Введение к работе
Актуальность темы. К изучению систем с релейно-гистерезисными нелинейно стями приводит широкий круг задач современной техники. Такие системы используются для описания динамики в системах управления химическими процессами, техническими устройствами, например, в корабельной энергетике, авиационной и космической промышленности. Характерная особенность релейных элементов состоит в том, что при прохождении управляющим сигналом некоторых пороговых значений управляющее воздействие изменяется скачком, а между скачками оно практически постоянно.
Одной из основных задач теории автоматического управления является определение значений параметров системы, при которых положения равновесия или стационарные множества системы являются устойчивыми. К этой задаче тесно примыкает задача нахождения периодических движений и автоколебаний в таких системах.
Первые теоретические исследования систем с гистерезисными нелинейностями появились в 40-е годы прошлого столетия в работах А.А.Андронова, Н.Н.Баутина, А.А.Витта, А.А.Фельдбаума и Ф.Краутвига и получили существенное развитие в последующие годы.
В работах А.А.Андронова, Н.Н.Баутина, А.Г.Майера для изучения поведения решений систем автоматического регулирования были развиты методы фазовой плоскости и фазового пространства, основные идеи которых были изложены еще в работах А.Пуанкаре и Г.Биркгофа, а также метод точечных отображений, который позволил полностью решить ряд классических задач теории управления и оказался эффективным при исследовании поведения решений двумерных систем с кусочно-линейными характеристиками. В дальнейшем метод точечных отображений был применен Ю.И.Неймарком, Н.А.Железцовым, А.А.Фельдбаумом и многими другими авторами к исследованию релейных систем с гистерезисом.
Общая теория систем с гистерезисом была существенно развита в работах В.А.Якубовича, М.А.Красносельского и А.В.Покровского.
Большое значение для исследования устойчивости нелинейных
систем автоматического управления имеет второй метод
А.М.Ляпунова, который широко применялся и развивался начиная с
30-х годов прошлого столетия Н.А.Еругиным, В.И.Зубовым,
Н.Н.Красовским, А.И.Лурье, А.М.Летовым, В.А.Плиссом,
Я.З.Цыпкиным, В.А.Якубовичем и многими другими авторами. Основная трудность в применении этого метода состоит в построении функции Ляпунова, так как регулярных методов ее построения для
нелинейных систем не существует. Кроме того, второй метод Ляпунова, как правило, позволяет получить лишь достаточные условия устойчивости нелинейных систем.
В 1944 году в работе А.И.Лурье и В.Н.Постникова было впервые дано определение абсолютной устойчивости систем автоматического управления с нелинейностью, удовлетворяющей секторному условию. Там же был предложен метод исследования таких систем, в основе которого лежит второй метод Ляпунова. В работе Е.С.Пятницкого для получения необходимых и достаточных условий абсолютной устойчивости двумерной системы с секторной нелинейностью был применен принцип максимума Понтрягина.
В работах Я.З.Цыпкина, Д.В.Аносова, В.Г.Болтянского и Л.С.Понтрягина, А.Х.Гелига и других авторов методы А.М.Ляпунова были обобщены на системы с разрывными нелинейностями и, в частности, на релейные системы.
В 1959 году в работе румынского математика В.М.Попова был впервые доказан частотный критерий абсолютной устойчивости положения равновесия для систем с нелинейностью, удовлетворяющей секторному условию. В.А.Якубовичем критерий Попова был распространен на случай неоднозначных гистерезисных нелинейностей, А.Х.Гелигом - на системы с неединственным положением равновесия. Р.Е.Калман показал, что критерий Попова основан на идеях второго метода Ляпунова. Поэтому частотные критерии абсолютной устойчивости доставляют лишь достаточные условия устойчивости положений равновесия нелинейных систем.
Еще одним эффективным методом исследования устойчивости движения нелинейных систем является принцип систем сравнения, основы которого были заложены в работах С.А.Чаплыгина и Е.Камке. В теории автоматического управления идеи метода систем сравнения были использованы П.В.Бромбергом и Я.З.Цыпкиным, А.А.Фельдбаумом и другими авторами. Существенное развитие этот метод получил в работах Н.Н.Красовского, В.М.Матросова и Р.Беллмана.
В диссертационной работе с помощью метода систем сравнения находятся условия абсолютной устойчивости систем с релейно-гистерезисной нелинейностью.
Цель работы. Основной целью работы является получение необходимых и достаточных условий абсолютной устойчивости двумерных систем автоматического регулирования с нелинейностью релейно-гистерезисного типа.
Методы исследования. В работе использовались классические методы исследования фазового пространства автономных
дифференциальных систем на плоскости, второй метод исследования устойчивости A.M. Ляпунова, метод систем сравнения.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
Получены коэффициентные необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости двумерных систем с гистерезисной функцией релейного типа.
Получены коэффициентные необходимые и достаточные условия существования предельного цикла и устойчивости в целом стационарного множества двумерной релейной системы с положительным гистерезисом.
Практическая и теоретическая ценность. Работа в значительной степени носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для решения ряда теоретических задач и более детального изучения реальных релейных систем, где кусочно-линейные модели являются слишком упрощенными и требуется учет внешних воздействий.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседании Международного конгресса «Нелинейный динамический анализ», посвященного 150-летию со дня рождения академика А.М.Ляпунова (С.-Петербург, 4-8 июня 2007 г.), на Международной научной конференции «Космос, астрономия и программирование» (Лавровские чтения), посвященной 85-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР, профессора С.С.Лаврова (С.-Петербург, 20-22 мая 2008 г.), на научной конференции «Герценовские чтения» в РГПУ имени А.И.Герцена (14-19 апреля 2008 г.), а также неоднократно докладывались на заседаниях Семинара под руководством члена-корреспондента РАН, профессора Г.А.Леонова Кафедры прикладной кибернетики Математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, перечисленных в конце автореферата. Работы [2, 4, 5] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.
В работе [3] (тезисах доклада), выполненной в соавторстве, соавтору Т.Е.Звягинцевой принадлежит идея доказательства, а соискателю принадлежит доказательство сформулированного утверждения.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 115 страницах, состоит из введения, двух глав, разбитых на 6 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 115 наименований.
