Содержание к диссертации
Введение
1. Устойчивость линейных стационарных систем с разрывными фазовыми траекториями 22
1. Постановка задачи и основные определения 23
2. Моментные уравнения 28
3. Анализ условий среднеквадратической устойчивости 35
4. Формула усреднённой производной в силу системы 51
5. Метод функций Ляпунова 60
6. Пример 65
2. Исследование устойчивости нелинейных стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями 71
7. Постановка задачи 71
8. Исследование устойчивости стохастических систем по первому приближению 76
9. Моделирование движения тела переменной массы 83
10. Метод «замораживания случайности» 91
11. Пример 103
Литература 105
- Моментные уравнения
- Формула усреднённой производной в силу системы
- Исследование устойчивости стохастических систем по первому приближению
- Пример
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию задач устойчивости и стабилизации динамических систем, находящихся под воздействием случайных помех. Эти помехи могут иметь различную природу возникновения и вызывать изменения, как структурного состояния системы, так и разрывы фазовой траектории. В реальных физических, экономических и, других эволюционных процессах, случайное воздействие возмущений может привести либо к разрывам протекающего процесса, либо к его непрерывному изменению. Системы, характерным признаком которых является неоднородность пространства состояний, называют системами со случайной структурой, а в западной литературе распространён термин «системы со скачками» (JamP systems). В настоящее время большое внимание уделяется моделированию стохастических систем, которые встречаются в различных отраслях техники, механики, биологии и т.д. Особое место в моделировании случайных процессов занимает описание возможных случайных разрывов фазовых траекторий.
При анализе таких динамических систем, как правило, интересуют вопросы устойчивости, в том или ином смысле, стабилизации и оптимизации. Так как эволюция системы протекает под воздействием случайных факторов, то методы исследования устойчивости зависят в определенной степени от информации о помехах, действующих на систему. Если возмущения в системе отсутствуют или носят детерминированный характер, а информация об этих помехах исчерпывается лишь заданием областей их возможного изменения, то исследование устойчивости опирается, прежде всего, на фундаментальные результаты в теории устойчивости детерминированных систем, основанной Ляпуновым и, получившей своё развитие в трудах Н.Г. Четаева, И.Г. Малкина, Е.А. Барбашина, Н.Н.Красовского, А.И. Лурье, Дж. Массера.
Исследование устойчивости невозмущенного движения обыкновенных дифференциальных уравнений основано на применении второго метода Ляпунова. В этой связи следует, прежде всего, отметить труды Барбашина Е.А. [5], Красовского Н.Н. [34-36], Матросова В.М. [54, 55], Якубовича В.А. [82]. Метод функций Ляпунова оказался эффективным средством исследования устойчивости и стабилизации разностных систем, а так же для систем с последействием. В этой области известны труды Мышкиса А.Д. [65], Колма-новского В.Б. [39], Шайхета [80, 81]. Бесспорное преимущество этого метода состоит в том, что систему дифференциальных уравнений можно исследовать на предмет устойчивости не интегрированием, а построением специальной функции с определенными свойствами, зависящей от правых частей рассматриваемой системы.
Моделирование реальных процессов, происходящих в природе, технике и других физических явлений, связанное с рассмотрением систем со случайной структурой, привело к созданию нового направления в теории устойчивости движения - стохастической теории устойчивости. Задачи устойчивости динамических систем при случайных возмущениях связаны с выяснением условий, при которых некоторые статистические характеристики движения (например, среднее значение координат и скоростей, их матрица кова-риации и т.д.) мало меняются при малом изменении возмущающих факторов. Основные базовые результаты в этом направлении были получены в работах Красовского Н.Н. и Каца И.Я. [25-29], Хасьминского РЗ. [78], Лидского Э.А. [51]. Исследования стохастической устойчивости так же базируется на втором методе Ляпунова, который использовался в ряде работ [3], [4], [7], [27], [29], [33], [40] и др.
В развитии стохастической устойчивости можно выделить два основных направления. К первому направлению относится изучение стохастических дифференциальных уравнений с непрерывными фазовыми траекториями, описываемые стохастическими уравнениями Ито [10]. Рассмотрение стохастических уравнений Ито приводит к исследованию стохастических интегралов, конструкция и свойства которых изложены во многих монографиях [8], [64] и учебниках по теории вероятностных процессов [10], [64], [66]. Результаты исследования устойчивости таких случайных процессов изложены в публикациях [15], [17], [32], [47].
В работе Милыптейна Г.Н. [61 ] впервые получены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном в терминах функции Ляпунова для линейной системы, находящейся под воздействием марковской цепи. Для такой стохастической системы выведен аналог уравнения Ляпунова, высказаны общие соображения по анализу этого уравнения, приводящие к условиям экспоненциальной устойчивости линейной системы с мультипликативными белыми шумами и случайным изменением структуры, В публикациях [6], [25], [50] показано, что устойчивость линейной стохастической системы сводится к исследованию устойчивости линейной детерминированной системы, составленной для моментов второго порядка. Метод функций Ляпунова используется так же и для дискретных систем со случайной структурой. Например, в работах Пакшина П.В. [68-70] построена функция Ляпунова, обеспечивающая необходимые и достаточные условия устойчивости таких систем, исследована устойчивость в среднем квадратичном, получены критерии устойчивости линейных систем с мультипликативными белыми шумами.
Получено необходимое и достаточное условие устойчивости в среднем квадратичном для системы (0.1) с условием скачка (0.2), выписаны момент-ные уравнения. Для скалярного случая показано, что для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы соответствующая система без скачков обладала этим свойством, и коэффициенты ctJ удовлетворяли условию Су cjs = cis, с и =1, i,j,s = \,...k.
Данная диссертационная работа продолжает исследования в этой области. Основные результаты опубликованы в работах [13-24].
Первая глава данной диссертации так же посвящена исследованию и анализу устойчивости в среднем квадратичном стохастических систем, испытывающих воздействие марковской цепи. Существенным предположением в постановке задачи диссертации является предположение о скачке фазового вектора, величина которого зависит от случайной величины с известными параметрами распределения. Такая ситуация является весьма распространённой на практике, что делает изучение таких задач актуальным как с теоретической точки зрения, так и с практической.
К исследованию устойчивости нелинейных стохастических систем со скачками фазового вектора применяется классический метод первого приближения. Для стохастических уравнений с неизменной структурой задача об устойчивости по первому приближению рассматривалась в монографиях Р.З. Хасьминского [78], Гихмана И.И. и Скорохода А.В. [8]. Важные результаты в этом направлении для систем со скачками получены в работе И.Я. Каца [29]. В качестве систем первого приближения в [29] рассматривались либо стохастические системы, либо детерминированные, полученные «замораживанием» случайных факторов в системе. В работе И.Я. Каца [29] получены условия экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном для системы со случайной структурой в предположении, что правые части системы либо малы, либо малы в среднем по времени. Вторая глава данной диссертации продолжает эти исследования на случай случайных скачков фазовых траекторий. Следует отметить, что, несмотря на разрывный характер фазового вектора, удается определить условия существования функции Ляпунова и вычислить значение усредненной производной этой функции в силу системы со случайной структурой. Эффективные методы решения задач управления для детерминированных и стохастических систем, в том числе в условиях неполной информации, предложены в работах А.Б. Куржанского [48], Ю.С. Осипова [67], Ф.Л. Чер-ноусько [79], А.И. Субботина и А.Г. Ченцова [75] и в работах многих других исследователей. Задачи оптимального управления стохастическими системами состоят в определении управления, реализующего экстремум математического ожидания заданного функционала (критерия качества), зависящего от траектории движения системы и управления.
В случае, когда имеется полное статистическое описание помех, задача оценивания и управления решается в рамках статистической теории фильтрации, созданной Н. Винером, А.Н. Колмогоровым, Р. Калманом [84]. Существенные результаты в этом направлении содержатся в работах Ф.Л. Черно-усько [79], В.Б. Колмановского [39], И.И. Гихмана, А.В. Скорохода [8] и многих других исследователей. Метод функций Ляпунова применялся в исследовании условий стабилизации для систем со случайной структурой с разрывными фазовыми траекториями. Здесь известны работы И.Я. Каца [29], Пакшина П.В. [72] и др.
Предлагаемая диссертационная работа состоит из двух глав, объединяющих одиннадцать параграфов. Первая глава посвящена изучению и анализу устойчивости в среднем квадратичном стохастических систем со случайными скачками. Во второй главе рассматриваются вопросы устойчивости по первому приближению нелинейной системы случайной структурой, испытывающей воздействие чисто разрывного марковского процесса и, претерпевающая случайные разрывы фазовых траекторий.
Исследование устойчивости таких систем, проведённое в диссертационной работе, базируется на методах, использованных в монографии И.Я. Каца «Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры» для стохастических систем с детерминированным условием скачка фазового вектора.
Моментные уравнения
Пусть в случайный момент времени t = т изменения структурного состояния системы (1.1) за счет перехода из состояния у{т 0) = yt в состояние у(т) = уj Фу{ с переходными вероятностями (1.2), (1.3) скачок фазового вектора происходит случайным образом согласно соотношению (1.5). Обозначим условное математическое ожидание означающее среднее значение фазового вектора x(t) для любого структурного состояния системы y(t) и, вычисленное при любых фиксированных начальных условиях х0, у0. Введем так же обозначения At = А{у(), qt — qtJ . Справедливо следующее утверждение. ЛЕММА 2.1. Динамика условных средних тДґ) системы со случайной структурой (1.1), (1.5), подверженной воздействию марковской цепи с известными переходными вероятностями (1.2), (1.3), описывается следующей системой дифференциальных уравнений с начальными условиями /и,(/о) = хйХ;(Уо) i,j = h...k, и не зависит от постоянных матриц Qsi ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычислим M[x(t + К)ХІ (УО + )) (0, УШ условное математическое ожидание фазового вектора в момент времени (t + h) для всех реализовавшихся структурных состояний и при любых начальных условиях из области F. С учетом (1.1)-(1.3) и (1.5), а так же Ма - О, М 1 =1, получим с точностью до o(h) следующие равенства которые можно переписать в виде Здесь — единичная матрица. Пользуясь формулой повторного математического ожидания М[М[ //]] = М[], а также введенным обозначением (2.1), получим Перенесем ті (t) в левую часть равенства, разделим полученное равенство на А и перейдем к пределу при h стремящемся к нулю. Имеем Пусть известны начальные условия для системы (1.1) x(tQ) = х0, у it Q) = У о Тогда найдем начальные условия, при которых следует решать систему моментных уравнений (2.2). Подставим начальные данные в обозначение (2.1), получим Итак, начальные условия для решения детерминированной системы (2.2) имеют вид; Дифференциальные уравнения (2.2) совпадают с уравнениями для средних в случае детерминированного скачка, которые получены в работе [29]. Что и требовалось доказать. Если фазовые траектории xit) системы (1.1) непрерывны, то есть Ki} Е и Qs = 0, тогда уравнения для средних mi (/) принимают вид Если условие скачка фазового вектора имеет случайную составляющую Qs з 0, а так же Ktj=E, то уравнения для моментов первого порядка будут совпадать с уравнениями (2.3). Введем обозначения для вторых моментов Штрих означает транспонирование.
Отметим, что условные моменты M t), определяют не ковариационные матрицы, а начальные моменты решений. Справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 2.1. Для экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном системы со случайной структурой (1.1), испытывающей воздействие марковской цепи с известными параметрами распределения (1.2), (1.3), и со случайным условием скачка (1.5) необходимо и достаточно, чтобы была экспоненциально устойчива детерминированная система матричных дифференциальных уравнений для моментов второго порядка (2.5) которые следует решать при начальных условиях ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A. = A(yt), тг( ,.) = сти.. Рассмотрим значения моментов второго порядка в момент времени (t + h), учитывая (1.5), (1.6) и (2.3), имеем где ДА = 4h , поскольку приращение винеровского процесса ww(f) имеет порядок малости Jh . Раскрывая скобки, получим преобразуем к виду Вычисляя повторное математическое ожидание, и пользуясь принятыми обозначениями (2.4), получим Перенося слагаемое M( (t) в левую часть равенства и, разделив обе части на h, перейдем к пределу при А стремящемся к нулю: Учитывая, что д: ] = x x=tr{xx) и Mi(t)=M\_x{t)xf(t)\xQiyQ ], no-лучим Через tr( A ) обозначен след матрицы A. Следовательно, из того, что полученная система (2.5) экспоненциально устойчива, следует экспоненциальная устойчивость системы (1.1) с условием скачка фазового вектора (1.5). Доказательство закончено. ПРИМЕЧАНИЕ 2.1. Матричная система для моментов второго порядка дифференциальных уравнений стохастических уравнений Ито с неизмен- неизменной структурой и непрерывными фазовыми траекториями получаются из (2.4) при qtJ Уравнения (2.5) совпадают с моментными уравнениями, полученными в работе А.И. Маликова [57] при исследовании стохастической системы с разрывными фазовыми траекториями с предположением об изменении размерности фазового пространства в момент скачкообразного изменения структуры. В этой работе использовался метод вектор - функций Ляпунова и предполагалось, что скачок фазового вектора изменяется по детерминированному закону. Там же доказана теорема об абсолютной устойчивости в среднем квадратичном стохастической системы со случайным изменением размерности пространства. Рассмотрим стохастическую систему дифференциальных уравнений (1.1). Предположим, что в случайные моменты времени происходит скачок фазового вектора по детерминированному закону, тогда уравнения для моментов второго порядка выглядят следующим образом: Такие уравнения были получены в монографии И.Я. Каца [29]. В случае непрерывного изменения дг(г) система дифференциальных моментных уравнений (2.5) будет иметь вид ми с предположением об изменении размерности фазового пространства в момент скачкообразного изменения структуры, В этой работе использовался метод вектор - функций Ляпунова и предполагалось, что скачок фазового вектора изменяется по детерминированному закону. Там же доказана теорема об абсолютной устойчивости в среднем квадратичном стохастической системы со случайным изменением размерности пространства.
Рассмотрим стохастическую систему дифференциальных уравнений (1.1). Предположим, что в случайные моменты времени происходит скачок фазового вектора по детерминированному закону, тогда уравнения для моментов второго порядка выглядят следующим образом: Такие уравнения были получены в монографии И.Я. Каца [29]. В случае непрерывного изменения x(t) система дифференциальных моментных уравнений (2.5) будет иметь вид В этом параграфе проведём анализ условий среднеквадратической устойчивости стохастической системы дифференциальных уравнений (1.1) со случайным условием скачка (1.5), пользуясь теоремой 2.1. А так же приведём иллюстрирующий пример исследования на устойчивость с помощью применения математического пакета Mat-Lab. Уравнения (2.5) позволяют анализировать моменты второго порядка решений линейных стохастических систем со скачками вектора фазового x(t). Если коэффициенты матриц А а- постоянны, то для асимптотической (экспоненциальной) устойчивости системы (1.1) в среднем квадратиче-ском необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения имели отрицательные действительные части. Здесь В— матрица составленная из коэффициентов системы дифференциальных уравнений (2.5), Д - определитель и-го порядка матрицы (В — ЯЕ). Как известно [52], необходимые и достаточные условия для отрицательности вещественных частей корней алгебраического уравнения (3.1) могут быть даны в виде неравенств для коэффициентов матрицы В. Эти условия, полученные с помощью метода Рауса - Гурвица, однако, довольно громоздки, поскольку система дифференциальных уравнений (2.5) содержит п(п + \)к/2 независимых уравнений, где я- порядок исследуемой системы, к - число её структурных состояний. В ряде случаев удается свести задачу исследования устойчивости вероятностной системы со скачками к исследованию аналогичной системы без скачков, в частности, такая ситуация описана в работе Каца И.Я.[27] для скалярного уравнения и детерминированного вида скачка. Проведем сравнительный анализ устойчивости в среднем квадратичном стохастической системы дифференциальных уравнений (1.1) с условием скачка фазовой траектории (1.5) и стохастической системы дифференциальных уравнений не испытывающей разрывов фазового вектора в случайные моменты времени. Будем рассматривать скалярную систему (1Л) и, соответственно, скалярное уравнение скачка.
Формула усреднённой производной в силу системы
Важное место в исследовании устойчивости стохастических систем методом функций Ляпунова занимает понятие усреднённой производной в силу системы, В современной литературе можно встретить так же термин «производящий дифференциальный оператор». Именно изучение свойств усреднённой производной функции Ляпунова в силу системы со случайной структурой позволяет делать заключение о поведении траектории в фазовом пространстве. При этом важно отметить, что для вычисления производной в силу системы нет необходимости интегрировать систему, а достаточно лишь знать её правые части. Целью данного параграфа является вывод усреднённых производных в силу системы (1.1) с условием скачка фазового вектора (1.5) для следующих двух основных типов марковских случайных функций y(t), зависящих от времени tel = {t :t t0}. 1. Скалярный процесс y(t) является однородной марковской цепью с конечным числом состояний Y = {y}t...,yk} и известными параметрами qtJ, порядка малости относительно (t - s) при / —» s; известные параметры q. характеризуют интенсивность перехода из у,-го состояния марковской цепи в _у .- е состояние. Будем предполагать, что почти все реализации yt(t) случайного процесса y(t) являются кусочно-постоянными непрерывными справа функциями. Условия, при которых это свойство выполняется, указаны, например, в работе [10], 2. Компоненты ysi s = 1,. ..,r, г - вектора y(t) образуют между собой чисто разрывные марковские процессы [10], переходные функции которых допускают следующее разложение где qs (t, a, ft), qs (/, a) - известные функции, причем, qs (t, a,+oo) = qs(t,a). Теперь введём определения, соответствующие для данного случая известным понятиям метода функций Ляпунова. Будем рассматривать скалярные функции Ляпунова V(t,x,y), определенные в области F: x ER{"\y є У, / 0, и непрерывно дифференцируемые в этой области по всем переменным столько раз, сколько потребуется в процессе решения задачи. Кроме того, будем предполагать, ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Функция V{t,x,y) называется положительно определённой (отрицательно определённой) в области F, если существует определённая функция в смысле Ляпунова [52]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Функция V(t, х, у) называется знакопостоянной в области F , если она в ней принимает значение только одного знака, но может обращаться в ноль не только в начале координат.
Центральное место в стохастической теории устойчивости, применительно к исследованию устойчивости некоторых компонент марковских процессов, занимает понятие усреднённой производной в силу системы. Введём понятие усреднённой производной в силу системы со случайной структурой аналогично тому, как это сделано в работах [35], [52], [70]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Усреднённой производной dM[V]/dt в силу системы со случайной структурой (1.1) в точке (s, х, у) є F называется -оператор где M[ - ] - символ условного математического ожидания. Наглядно величину можно представить как среднее значение dt производной функции F(/, х, у) вдоль всех реализаций марковского процесса {x(t),y(t)}, выходящих из точки {х,у) в момент времени S. В работе [25] впервые получена формула усредненной производной в силу системы со случайной структурой без скачков фазового вектора. Очевидно, что значение усреднённой производной зависит как от характера марковского процесса, так и от поведения фазового вектора в момент смены структурного состояния системы. Итак, рассмотрим динамический процесс, описываемый линейной стохастической системой дифференциальных уравнений (1.1). По-прежнему будем предполагать, что в момент перехода системы из состояния уі в состоя- ниє уj, где і j, /, j = 1,.,. к происходит случайный скачок фазовой траектории, описанный соотношением (1.5). 1. Для случая, когда случайный процесс у if) является простой марковской цепью с переходными вероятностями (4.1), (4.2), справедливо следующее утверждение. ЛЕММА 4.1. Для усредненной производной квадратичной функции V(t x,y) в силу системы (1.1), подверженной параметрическому воздействию простой марковской цепи с переходными вероятностями (4.1), (4.2), и с условием скачка фазового вектора (1.5) в точке {s x y F справедлива формула Доказательство. Рассмотрим возмущенное движение системы (1.1) с заданными начальными условиями JC(S) = х, y{s) = yt. При каждом / = 1,..., будем рассматривать полную группу несовместных событий Событие А/ означает, что на интервале времени О?, ґ] структура системы (1.1) не изменяется, то есть система будет находится в состоянии У(0) — Уі на промежутке времени 0 є ($, ]. Тогда, с точностью до o(t — s) имеем Р(А( ) = 1-2 qiJ{t s)-\—qi{t s)i где / () - вероятность соответ- ствующего события. Событие Ay соответствует предположению, что на интервале времени (s,/] происходит изменение структуры системы у. - уj уп І, j - 1,..., к, вероятность которого равна P{AV) = qtj (t s).
Введём обозначение AV = V{t,x{i),y{t)) V{six,yi) и вычислим значения ДЛ.К, АА,.У, соответствующие событиям А{ и Д?, і\ф j, соответственно, Пренебрегая слагаемыми порядка o(t s), получим производных квадратичной функции У{я,х,У]). Все частные производные вычислены в точке Если на интервале времени (s, t] произошло изменение структуры системы yi — у j Ф уп то изменение функции К(/, x(t\y(t)) равно где K(s,rs .) - значение квадратичной функции Ляпунова в момент изме- нения структурного состояния, то есть y(s,z,yj) = V{S) КуХ + Y,sQsx,yj). Для вычисления среднего значения AV{t,x,y) воспользуемся формулой повторного математического ожидания. Имеем где последнее усреднение в правой части выполняется по случайной переменной z. С учётом (1.1), (1.5), (4.1), (4.2) с точностью до o(t — s) получим При вычислении третьего слагаемого использовано свойство х Лх = tr(Axx ). По предположению V(s,x,y) квадратичная функция по х, поэтому, учитывая, что Ms - О, Ms = I можно записать Разделим обе части равенства на (/ —s) и перейдём к пределу при t— s + Q, получим в точке (з,х,у{) значение усреднённой в силу системы (1 Л) с условием скачка (1.5): что и требовалось доказать. Усреднённая производная (4.6), вычисленная в силу системы (1.1) с условием скачка (1.5) в точке ( , , ,) є F отличается от усреднённой производной, вычисленной в силу системы (1.1) с детерминированным условием скачка (то есть при отсутствии слагаемого T,4SQSX(T -0) в условии скачка (1.5)) слагаемым V{t Qsx,yj), которое отражает влияние случайных ли- нейных возмущений в момент смены структурного режима. Формула (4.3) показывает, что для вычисления dM\V \jdt, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, достаточно лишь знания правых частей системы (1.1), вероятностных характеристик марковского процесса y(t), а также условие скачка фазового вектора. В частном случае, когда в моменты изменения структуры yi — у изменения фазового вектора зависят только от случайной составляющей, то есть х(т) = 4sQsx(.T 0) тогДа формула (4.6) упрощается и принимает вид то формула для вычисления усреднённой производной получается из (4.6) или (4.10) при х = 0. 2. Если y(t) описывает чисто разрывный марковский процесс с переходными вероятностями (4.3), то справедливо следующее утверждение. ЛЕММА 4.2.
Исследование устойчивости стохастических систем по первому приближению
Рассматриваются задачи устойчивости по первому приближению нелинейных стохастических систем случайной структуры. Многообразие возникающих здесь задач связано со способом выбора системы первого приближения и характером близости между исходной и упрощенной системами. Предполагается два подхода к построению системы первого приближения: во первых, рассмотрен случай, когда система первого приближения является стохастической, параметры которой малы, во - вторых, изучен случай детерминированной системы первого приближения, полученной «замораживанием» случайных параметров системы. Изучен также случай, когда случайные возмущения, действующие на систему малы в среднем по времени. На основе полученных результатов смоделировано движение тела, жёстко закреплённого на пружине, со случайными скачками массы. Предполагается, что в случайный момент изменения массы возникает случайный импульс, зависящий от присоединённого или отброшенного кусочка массы. 7 Постановка задачи Пусть механический процесс в области F: описывается системой нелинейных стохастических дифференциальных уравнений где y{t) простая марковская цепь, допускающая разложение (1.2), (] .3), Здесь ) (0)) vO»,y(0) - известные пхп- матрицы, элементы которых непрерывные и ограниченные функции в области F \ R(t x y(t)) Sv(t,x,y(ty) -п векторные функции возмущений, зависящие от состояния системы и, удовлетворяющие в области F локальному условию Липшица и такие, что В уравнении (7Л) wy(t),v — {,...,! - независимые компоненты стандартного /- мерного винеровского процесса w(t). Предполагается, что в момент времени t = г скачкообразного изменения структуры yi — уj, і j, i,j = 1,..., , условие скачка фазового вектора определяется нелинейным соотношением где К у- постоянные пхп матрицы, у(л)- непрерывные функции в области F , причем 4 (0) = 0, - случайная величина, у которой известны математические характеристики распределения М = 0, М 2 =1. Нелинейную добавку у ( Сг — 0)) можно характеризовать как случайную помеху в момент смены структурного состояния системы (7.1). Наряду с системой (7.1) рассмотрим линейную систему первого приближения со случайной структурой и линейным детерминированным условием скачка Предположим, что в области F функции возмущений Требуется определить условия, налагаемые на постоянную у, при которых из экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном системы первого приближения (7.3) с условием скачка (7.4) следует асимптотическая устойчивость полной системы (7.1) с условием скачка фазового вектора (7.2). При доказательстве устойчивости по первому приближению стохастических систем, как правило, пользуются вторым методом Ляпунова.
В этой связи приведём некоторые факты, доказанные в монографии Н.Я. Каца [29] для стохастических систем без скачков и, справедливые для системы со случайной структурой (7.3) и условием скачка (7.4). Следует заметить, что приведённые теоремы имеют место только для систем с линейным условием скачка фазовой траектории, так как функцию Ляпунова, зависящую от нелинейной функции по переменной х, оценить не представляется возможным. ТЕОРЕМА 7.1. Если для системы со случайной структурой (7.3), (7.4) существует положительно определённая функция V(t,x,y), допускающая бесконечно малый высший предел, усреднённая производная которой dM[V] I dt определённо отрицательна в области F, то невозмущённое движение х = 0 асимптотически устойчиво по вероятности. ТЕОРЕМА 7.2. Если для системы (7.3), (7.4) существует функция V(t, х,у), удовлетворяющая в области F условиям где с, - положительная постоянная, то тривиальное решение х - О устойчиво в среднем квадратичном. ТЕОРЕМА 7.3. Если для системы (7.3), (7.4) существует функция У if І ХІ у) 7 удовлетворяющая в области F оценкам где сх,с2,с3- положительные постоянные, то решение х = 0 уравнений (7.3), (7.4) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном. Приведённая теорема допускает обращение и имеет принципиально важный результат. Справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 7.4. Если тривиальное решение х — О системы (7.3), (7.4) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном, то в области F существует функция V(t, х, у), удовлетворяющая условиям (7.7). Из этой теоремы вытекает следствие. СЛЕДСТВИЕ 7.1. Если тривиальное решение х = 0 системы (7.3), (7.4) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном, то оно асимптотически устойчиво по вероятности в целом.
Подчеркнём принципиальную важность этого результата, поскольку в данном случае из среднеквадратичной устойчивости, характеризующей поведение процесса в каждый фиксированный момент времени и, следовательно, описывающей слабую устойчивость, следует сильная устойчивость в целом, характеризующая поведение траекторий процесса x(t). Аналогичные достаточные условия устойчивости установлены Р.З. Хасьминским [78] для систем со случайной структурой, параметры которых не учитывают воздействие марковской цепи. В монографии [29] использована другая схема доказательства. 8 Исследование устойчивости стохастических систем по первому приближению 1. В этом параграфе решим задачу, поставленную в 7. Для системы (7.1), (7.2) справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 8.1. Если невозмущенное движение х = О системы (7.3) с условием скачка фазового вектора (7.4) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном, а постоянная / 0 в условии (7.5) достаточно мала, то невозмущенное движение полной системы (7.1) с условием скачка (7.2) асимптотически устойчиво по вероятности в целом, и экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном. Следует отметить, что условия теоремы предполагают, что отклонение правых частей в нелинейной системе от линейной части малы, то есть неравенства (7.5) выполняются в достаточно малой окрестности х = О, тогда условие теоремы будет обеспечивать асимптотическую устойчивость по вероятности. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что линейная система (7.3), (7.4) экспоненциально устойчива в среднем квадратичном.
Пример
Здесь исследуются вопросы вероятностной устойчивости возмущенного движения в нелинейной стохастической системе, параметры которой находятся под воздействием разрывного марковского процесса. Предполагается, что в моменты смены структурного состояния системы фазовый вектор изменяется скачком, величина которого зависит от случайной величины с заданными характеристиками распределения. В качестве системы первого приближения рассматривается система с фиксированным структурным состоянием. Изучен вопрос устойчивости нелинейной стохастической системы со случайным условием скачка фазового вектора в предположении, что система первого приближения имеет некоторое множество своих неустойчивых структурных состояний. Аналогичная задача впервые рассмотрена в работе [29] для системы со случайной структурой и непрерывными фазовыми траекториями. Рассмотрим невозмущенное движение системы со случайной структурой где x є RM-n -мерный вектор фазовых координат. Случайные изменения структуры системы учитываются введением в число аргументов и—векторной функции f{t,x,y(t)) скалярной случайной переменной Х0» описывающей чисто разрывный марковский процесс, допускающий разложение где а,/? є У = [T}],J]2], Р{А\В} —условная вероятность события A, o(At) бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем At при At -» 0. Функции p(t,a,/3), p{tba) считаются известными. Функция w(t) обозначает т— векторный винеровский процесс с независимыми компонентами wi(t\...,wm(t), а(і,х,у) —является матричной функцией указанных аргументов, размерности пхп. Поскольку в системе (ЮЛ) исследуется невозмущенное движение х = 0, то будем предполагать, что правые части системы удовлетворяют условиям Липшица: где L - постоянная Липшица; Пусть в области G : t t0, xeR(n\ yeY = [ rj2] заданы начальные условия которые будем считать фиксированными. Тогда уравнения (10,1) и начальные условия (10.4) определяют в области G строго марковский (п + т)- мерный случайный процесс. Будем предполагать, что правые части системы удовлетворяют в области G следующим условиям: Предположим, что в случайные моменты времени скачкообразного изменения вектора состояния системы у {і) фазовый вектор x{t) так же изменяется скачком по закону: где т -момент перехода системы из состояния у(т — 0) = а, в состояние у{т + 0) = /3 Ф О.; Bls —независимые случайные величины, для которых M%s — 0, М%1 = 1 (М —знак математического ожидания); К(ау/3) -матрица размерности пхп, характеризующая состояние фазового вектора в момент смены структурного состояния y(t) є Y; Qs— известные матрицы с постоянными коэффициентами размерности пхп.
Будем предполагать, что в окрестности невозмущённого движения х — 0 параметры скачка фазового вектора ограничены: при всех а, р є Y. Здесь у - некоторая положительная постоянная. В качестве системы первого приближения рассмотрим стохастическую систему с неизменной структурой где v - фиксированное значение разрывного марковского процесса, принимающее значение из множества Y = [?}1Ут]2]. Систему (10.8) будем называть системой с «замороженной структурой» [29]. Будем предполагать, что при каждом значении у є Y невозмущенное движение системы (10.8) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном, то есть для системы (10.8) выполняется причем, постоянные А 0, X 0 не зависят от структурного значения системы v є Y при всех / Найдем условия, накладываемые на вероятностные характеристики процесса y(t), при которых условие (10.9) выполняется для стохастической системы (10.1) с условием скачка (10.6). Устойчивость системы, описываемой уравнениями (ЮЛ), (10.2), (10.6) будем понимать в обычном смысле [47]. Справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 10.1. Пусть невозмущенное движение системы с неизменной структурой (10.8) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном равномерно по параметру v Y и выполнено условие (10.9), кроме того, для системы со случайной структурой (ЮЛ) и случайным условием скачка (10.6) справедливы условия (10.5), (10.7), а процесс y(t) изменения структурного состояния является чисто разрывным марковским процессом (10.2). Тогда существует такая постоянная 0 0, что при выполнении условия невозмущенное движение системы (10.1), (10.6) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном. Аналогичный результат был получен в работе [29] для стохастической системы с непрерывными фазовыми траекториями, при этом случайный процесс y(t) определялся обобщенным стохастическим дифференциальным уравнением Ито. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим систему первого приближения (10.8), которая при каждом v Y экспоненциально устойчива в среднем квадратичном. Из условия (10.9) следует существование функции V{t,x,v) для системы (10.8), удовлетворяющая следующим оценкам [см. приложение]: где постоянные с, - cs не зависят от v . Легко проверить, что найдется такая постоянная L, для которой выполняется Для исследования устойчивости системы (ЮЛ) рассмотрим функцию u(t х, у) = V(t, х, у). Вычислим значение получим Пользуясь ограничениями (10.5), (10.7), (10ЛО) и (10.11), получим оценку усредненной производной где обозначено я - 2у \ \f) - a\p(s,a, fi)dp. Так как в области G выполняется оценка то усреднённая производная в силу системы (ЮЛ), (10.6) будет отрицательна. Следовательно, по теореме 7.3 невозмущенное движение системы со случайной структурой (10.1), (10.6) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном. Теорема доказана. ПРИМЕЧАНИЕ. Вероятностный смысл ограничения л(1,у) в вытекает из неравенства Таким образом, в теореме речь идет об ограничении на среднюю скорость изменения структурного состояния системы, при этом разрывный характер фазовых траекторий обуславливает дополнительное ограничение (10.7), означающее малую вероятность больших скачков.
Предположим, что в исследуемой стохастической системе (ЮЛ) отсутствуют винеровские слагаемые (белый шум), т.е. r(t,xty) — 0. Тогда система первого приближения оказывается детерминированной, а условие (10.10) будет означать, что невозмущенное движение любой детерминированной системы должно быть, экспоненциально устойчиво по параметру veK. Такой способ выбора системы сравнения можно считать методом «замораживания» случайности. Условия устойчивости, сформулированные в теореме 10.1, налагают на систему первого приближения довольно жесткие требования. В частности, требуется, чтобы система сравнения (10.8) была экспоненциально устойчива в среднем квадратичном при каждом структурном состоянии v є Y. Естественно рассмотреть более общий случай. Именно, будем предполагать, что система со случайной структурой (10.8) может иметь некоторое множество своих неустойчивых структурных состояний. Пусть возмущенное движение стохастической системы описывается уравнением (10.1), определенным в области G. Предположим, что y(t) - скалярный чисто разрывный марковский процесс, принимающий значение из множества У [ ]\ %] и, допускающий разложение (10.2). В момент перехода из состояния _у(г - 0) = а є К в состояние у(т + 0) = /3&аєУ происходит разрыв координат фазового вектора. Начальные условия для продолжения траектории определяются из равенства (10.6). Рассмотрим случай, когда система первого приближения (10.8) с неизменной структурой экспоненциально устойчива в среднем квадратичном равномерно по v лишь на некотором замкнутом множестве Н a Y. А на множестве T = Y\H система первого приближения (10.8), вообще говоря, не обладает свойством (ЮЛ 0). Предположим, что в области G : правые части системы (10.1) удовлетворяют условиям (10.5), а параметры скачка фазового вектора удовлетворяют условию (10.7). Поскольку для системы (10.8) выполнено условие (10.9) при всех V є Н в области G, то существует функция V{t,x,y), удовлетворяющая при каждом v є// оценкам (7.8), (7.11). Для исследования вероятностной устойчивости системы (10.1) с условием скачка (10.6) рассмотрим функцию Ляпунова в виде: где ft 0 - некоторая положительная константа, не зависящая от структурного состояния; Т — Y\H— дополнение множества Н до Y.
