Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Динамическая устойчивость линейных упругих систем, подверженных воздействию пульсирующих сил 14
I. Основные дифференциальные уравнения для общего случая...
2. Основные резонансы Р7
3. Комбинационные резонансы 19
4. Правило знаков для комбинационных резонансов, критерий существования этих резонансов и влияние линейного демпфирования 24
5. Численные примеры 29
Глава II. Динамическая устойчивость прямых упругих трубопроводов при протекании через них пульсирующей жидкости 39
I. Основные дифференциальные уравнения 39
2. Основные резонансы 43
3. Комбинационные резонансы 45
4. Правило знаков для систем, имеющих пульсирующую упругость и демпфирование, критерий существования комбинационных резонансов в таких системах
5. Влияние линейного демпфирования на области неустойчивости комбинационных резонансов 62
6. Влияние амплитуд параметрических возбуждений на области неустойчивости комбинационных резонансов 64
7. Динамическая устойчивость полых пластин при протекании через них жидкости 68
Глава III. Динамические системы, содержащие "быстрое"и "медленное" параметрическое возбуждение 72
1. Общий метод сведения сложных дифференциальных уравнений второго порядка с "медленным" и "быстрым" временем (3-І) к системе дифференциальных уравнений второго порядка, содержащей только "медленное" время 73
2. Приведение линейных систем дифференциальных уравнений с "быстрым" и "медленным" временем к системам, содержащим только "медленное" время 82
3. Системы с одной степенью свободы 87
4. Случай наличия в линейной системе многих высокочастотных параметрических возбуждений 89
5. Протекание быстропульсирущей жидкости в прямой упругой трубе 111
Глава ІV. Проверка полученных теоретических результатов на ЭВМ 106
1. Система дифференциальных уравнений с периодически возбуждаемыми демпфированием и упругостью 106
2. Сравнение полученных аналитически и найденных на ЭВМ областей неустойчивости основных и комбинационных резонансов для системы дифференциальных уравнений (2-6)
3. Сравнение теоретических результатов с решениями на ЭВМ исходных дифференциальных уравнений при наличии в них высокочастотного параметрического возбуждения 165
Глава 7. Экспериментальные исследования 174
I. Описание экспериментальной установки 174
2. Определение критических значений постоянной скорости потока воды при различных величинах постоянной продольной силы
3. Параметрический резонанс в трубе с текущим через нее пульсирующим потоком воды 179
Выводы 189
Литература 92
Приложение 205
- Правило знаков для комбинационных резонансов, критерий существования этих резонансов и влияние линейного демпфирования
- Влияние амплитуд параметрических возбуждений на области неустойчивости комбинационных резонансов
- Приведение линейных систем дифференциальных уравнений с "быстрым" и "медленным" временем к системам, содержащим только "медленное" время
- Сравнение теоретических результатов с решениями на ЭВМ исходных дифференциальных уравнений при наличии в них высокочастотного параметрического возбуждения
Введение к работе
Теория динамической устойчивости различного рода упругих систем имеет разнообразные приложения практически во всех областях техники и физики. Особую значимость она приобретает в строительной технике, машиностроении, радиотехнике, акустике и электронике.
Обзор литературы показывает, что теоретические исследования в этой области широко и достаточно глубоко изучены.
Однако существуют многие актуальные проблемы динамической устойчивости упругих систем, которые до настоящего времени не были достаточно глубоко исследованы, хотя практическая важность их весьма значительна.
К таким проблемам^ частности,относится подробно исследованная в настояще работе задача о динамической устойчивости упругих систем, внутри которых протекает жидкость, содержащая .. пульсирующую составляющую скорости.
Вся теория, связанная с динамической устойчивостью упругих систем, подверженных действию как внешних, так и внутренних3^ пульсирующих возбуждений, сводится в конечном итоге к исследованию сложных систем линейных или нелинейных дифференциальных уравнении, содержащих различные виды параметрического возбуждения. Решение таких систем дифференциальных уравнений существующими математическими методами в ряде случаев весьма затруднено.
Поэтому одной из основных целей работы является дальнейшее развитие асимптотических методов интегрирования указанных уравнений. В работе составлены соответствующие алгоритмы, позволяющие достаточно эффективно и быстро находить искомьв результаты и проводить их подробный анализ.
Под внутренним возбуждением подразумеваются гидродинамические силовые эффекты, возникающие при протекании жидкости внутри упругой системы.
Указанные методы применимы к исследованию динамической устойчивости упругих систем, находящихся под действием как внешних, так и внутренних (гидродинамических) пульсирующих возбуждений.
Вместе с этим подробно рассмотрены системы с высокочастотными пульсирующими возбуждениями. В частности, исследована задача о динамической устойчивости упругих систем, находящихся под действием полигармонических высокочастотных возбуждений с нецелочисленно кратными частотами.
В историческом аспекте следует отметить, что первой работой о динамической устойчивости стержня, подверженного воздействию продольной гармонической силы, является работа Беляева Н.М. [i] . С этого времени проблема исследования устойчивости упругих систем и, связанных с этим математических методов, стала привлекать всеобщее внимание. Здесь необходимо отметить классические работы Крылова Н.М. и Боголюбова Н.Н. [2] , Боголюбова Н.Н. и Митропольского Ю.А. [з] , Треффтца [4] , Кочина Н.Е. [5] , Челомея В.Н. [б-Іі] , Болотина В.В. [I2-I4J, Меттлера [I5-I8] , Вайденхаммера [19,2( , Ляпунова A.M. [2l], Мандельштама Л.И.-и Папалекси Н.Д. [22,23] , исследования Иво-цубо, Сигуяма, Исихара [24] , Шмидта [25] , Сю [26,2?] , Гото [28J и многих других авторов [28-137] .
Обзор ряда работ до 50-х годов по проблеме динамической устойчивости упругих систем приведен в работе [зз] . Большое внимание в этот период было уделено исследованию основных параметрических ре-зонансов, вызываемых действием пульсирующих сил, и определению областей неустойчивости этих резонансов в зависимости от коэффициентов дифференциальных уравнений [2,9,38,56.66,67,117] .
Начиная с 60-х годов особую важность приобрела проблема динамической устойчивости при комбинационных резонансах в системах со многими степенями свободы, находящихся под действием параметрического возбуждения [l8, 27, 96, 37, 99, 103 и др_] . Были проведены
_ 7 -
многочисленные теоретические исследования, излагающие и обосновывающие математические методы исследования таких систем, изучена асимптотическая сходимость методов исследования, рассмотрены высшие приближения [3,25,29,40,41,42,46,54,58,69,70,101,ПО,122,130,135,137] . Большое внимание было уделено влиянию линейного демпфирования на возникающие в таких системах резонансы [24,51,60,94,96,115,I30J .
Примерно в это же время появился ряд важных работ по исследованию динамической устойчивости упругих труб с протекающей в них пульсирующей жидкостью [l05,$08,112,114,123-125,128,132] . Обзор работ по задачам исследования динамической устойчивости упругих труб с протекающей жидкостью приведен в [l32j .
После появления работы [її] исключительно важное значение приобрела проблема исследования упругих систем, находящихся под воздействием высокочастотных параметрических возбуждений ["76,83-86,129J . Появилось большое число работ, посвященных математическим методам исследования такого рода задач [3,20,31,35,39,43,47,73,78,96,98] .
Рассмотрены задачи о динамических системах, имеющих два источника параметрического возбуждения [30,58,65,96,98] .
Большое внимание было уделено различным техническим приложениям теории динамической устойчивости и разработке общих теорий, как линейных, так и нелинейных для самых разнообразных колебательных систем: стержней, пластин, оболочек, электрических систем, систем автомобиль-дорога-автомобиль и т.п. [7,10,13,17,23,26,28,32,34,36, 48-50,52-55,57,59,66,71,72,74,77,79-82,88-93,106,116,121,131,135] .
Краткое содержание настоящего исследования.
В работе поставлены и решены следующие важные как в теоретическом, так и в прикладном аспектах актуальные задачи.
К ним в первую очередь относится дальнейшее развитие асимптотических методов интегрирования дифференциальных уравнений, связанных с исследованием динамической устойчивости сложных упругих систем,
подверженных действию различного рода внешних и внутренних пульсирующих сил.
Здесь показано, что сложные системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих явно "быстрое" и "медленное" время могут быть сведены к системам дифференциальных уравнений, содержащим только "медленное" время, анализ которых значительно проще. Исследовано взаимное влияние высокочастотных возбуждений на динамическую устойчивость упругих систем.
Для всех рассмотренных в работе упругих систем выведены "правила знаков", позволяющие по одному лишь виду исходных дифференциальных уравнений определить все возможные типы комбинационных резонан-сов и формы колебаний, между которыми они могут иметь место.
Установлены условия, когда области неустойчивости комбинационных резонансов в этих системах могут расширяться при увеличении демпфирования.
Выведены критерии существования комбинационных резонансов в изучаемых системах.
Показано, что для упругих систем с внутренним гидродинамическим возбуждением увеличение амплитуд параметрических возбуждений могут привести к сужению областей неустойчивости комбинационных резонансов.
Проведены сравнительные расчеты на ЭВМ и осуществлены эксперименты по динамической устойчивости упругой трубы с текущей через нее пульсирующей жидкостью, подтверждающие теоретические результаты.
Содержание работы по главам.
В главе I обобщена задача, рассмотренная в [%] , на общий случай упругих систем, описываемых уравнением динамического равновесия
it/ fu\+ 2Li /tfis n (b-i)
Ц"ЬР(±)Ц*0+ ^ 1^ + ^1,(4)= о
где L,, Lfc, L3 и L - соответствующие линейные дифференциальные операторы, а величина ц = %\ х, \), *, t).
Для такой системы выведено общее правило знаков для комбинационных резонансов, позволяющее по виду одних лишь операторов L-( і = 1,2,3,4) определить возможные для системы (В-І) комбинационные резонансы. Выведены общие условия, когда комбинационные резонанси в такой системе вообще невозможны. Исследовано влияние линейного демпфирования на области неустойчивости комбинационных резонансов и найдены общие условия для парадоксального, с первого взгляда, случая, когда введение линейного демпфирования расширяет области неустойчивости комбинационных резонансов. Графически в трехмерном пространстве построена резонансная поверхность, где наглядно видна зависимость ширины области неустойчивости комбинационных резонансов от коэффициентов линейного демпфирования 8*и и &,-( t*j- ).
Вторая глава работы посвящена исследованию динамической устойчивости трубопроводов с текущей через них несжимаемой невязкой пульсирующей жидкостью. Уравнение динамического равновесия для такой задачи в общем случае имеет вид:
(B-2)
і TJX2- J ТНі П>Х v~ J 1)1*-
с соответствующими краевыми условиями.
Здесь i^ и кг - коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования, а и yy) - распределенные плотности жидкости и материала трубы. Это дифференциальное уравнение гораздо сложнее уравнения (B-I), поскольку пульсирующая скорость протекания жидкости 'С находится здесь при члене хгт^ у ее производная по времени при -J~ , а при члене т>~і находится величина квадрата скорости протекания жидкости и1 , что приводит к появлению четырех периодических параметрических возбуждений: одного с частотой р при демпфировании, двух с частотой р и одного с частотой ?р при упругости, где р - частота вибрации потока жидкости.
Для системы (В-2) получена общая бесконечная система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, описывающая динамические явления, происходящие в исследуемой упругой системе:
44 + c*-S*# +саЩ+ Zl (Vfy % аьрЬ - ^%и%Соь2Ри
а <*'< „ (В-3)
j At.
где соц - приведенные собственные частоты, a &iC) YCJ , fycj , *1у ^j> ftcJ> А1*»' и ^j ( ^j- = I»2,.,.) - соответствующие малые коэффициенты.
При такой постановке задачи теоретически определены условия возникновения основных и комбинационных резонансов с учетом демпфирования и найдены условия, когда эти резонансы имеют место. В специальных случаях для таких систем сформулировано правило знаков, позволяющее по виду коэффициентов исходных .дифференциальных уравнений определить типы возможных комбинационных резонансов и найти
- II -
между какими формами колебаний они будут иметь место. Найдено условие,при котором возникновение комбинационных резонансов в таких системах вообще невозможно.
Исследовано влияние постоянного линейного демпфирования. Показано, что в ряде случаев увеличение линейного демпфирования может привести не к расширению, а к сужению областей неустойчивости комбинационных резонансов.
Рассмотрено также влияние амплитуд параметрических возбуждений на области неустойчивости комбинационных резонансов. Доказано, что в отличие от систем, имеющих моногармоническое параметрическое возбуждение только при упругости, в системах, рассмотренных в главе П возможно расширение областей неустойчивости некоторых комбинационных резонансов при уменьшении амплитуд параметрических возбуждений и, наоборот, одновременное увеличение этих амплитуд может привести к сужению областей неустойчивости комбинационных резонансов.
Задача о протекании жидкости через упругую трубу обобщена на полые упругие пластины с одномерным течением жидкости через них.
Правило знаков для комбинационных резонансов, критерий существования этих резонансов и влияние линейного демпфирования
Теория динамической устойчивости различного рода упругих систем имеет разнообразные приложения практически во всех областях техники и физики. Особую значимость она приобретает в строительной технике, машиностроении, радиотехнике, акустике и электронике.
Обзор литературы показывает, что теоретические исследования в этой области широко и достаточно глубоко изучены.
Однако существуют многие актуальные проблемы динамической устойчивости упругих систем, которые до настоящего времени не были достаточно глубоко исследованы, хотя практическая важность их весьма значительна.
К таким проблемам частности,относится подробно исследованная в настояще работе задача о динамической устойчивости упругих систем, внутри которых протекает жидкость, содержащая .. пульсирующую составляющую скорости. Вся теория, связанная с динамической устойчивостью упругих систем, подверженных действию как внешних, так и внутренних3 пульсирующих возбуждений, сводится в конечном итоге к исследованию сложных систем линейных или нелинейных дифференциальных уравнении, содержащих различные виды параметрического возбуждения. Решение таких систем дифференциальных уравнений существующими математическими методами в ряде случаев весьма затруднено. Поэтому одной из основных целей работы является дальнейшее развитие асимптотических методов интегрирования указанных уравнений. В работе составлены соответствующие алгоритмы, позволяющие достаточно эффективно и быстро находить искомьв результаты и проводить их подробный анализ. Под внутренним возбуждением подразумеваются гидродинамические силовые эффекты, возникающие при протекании жидкости внутри упругой системы. Указанные методы применимы к исследованию динамической устойчивости упругих систем, находящихся под действием как внешних, так и внутренних (гидродинамических) пульсирующих возбуждений. Вместе с этим подробно рассмотрены системы с высокочастотными пульсирующими возбуждениями. В частности, исследована задача о динамической устойчивости упругих систем, находящихся под действием полигармонических высокочастотных возбуждений с нецелочисленно кратными частотами. В историческом аспекте следует отметить, что первой работой о динамической устойчивости стержня, подверженного воздействию продольной гармонической силы, является работа Беляева Н.М. [i] . С этого времени проблема исследования устойчивости упругих систем и, связанных с этим математических методов, стала привлекать всеобщее внимание. Здесь необходимо отметить классические работы Крылова Н.М. и Боголюбова Н.Н. [2] , Боголюбова Н.Н. и Митропольского Ю.А. [з] , Треффтца [4] , Кочина Н.Е. [5] , Челомея В.Н. [б-Іі] , Болотина В.В. [I2-I4J, Меттлера [I5-I8] , Вайденхаммера [19,2( , Ляпунова A.M. [2l], Мандельштама Л.И.-и Папалекси Н.Д. [22,23] , исследования Иво-цубо, Сигуяма, Исихара [24] , Шмидта [25] , Сю [26,2?] , Гото [28J и многих других авторов [28-137] . Обзор ряда работ до 50-х годов по проблеме динамической устойчивости упругих систем приведен в работе [зз] . Большое внимание в этот период было уделено исследованию основных параметрических ре-зонансов, вызываемых действием пульсирующих сил, и определению областей неустойчивости этих резонансов в зависимости от коэффициентов дифференциальных уравнений [2,9,38,56.66,67,117] . Начиная с 60-х годов особую важность приобрела проблема динамической устойчивости при комбинационных резонансах в системах со многими степенями свободы, находящихся под действием параметрического возбуждения [l8, 27, 96, 37, 99, 103 и др_] . Были проведены многочисленные теоретические исследования, излагающие и обосновывающие математические методы исследования таких систем, изучена асимптотическая сходимость методов исследования, рассмотрены высшие приближения [3,25,29,40,41,42,46,54,58,69,70,101,ПО,122,130,135,137] . Большое внимание было уделено влиянию линейного демпфирования на возникающие в таких системах резонансы [24,51,60,94,96,115,I30J . Примерно в это же время появился ряд важных работ по исследованию динамической устойчивости упругих труб с протекающей в них пульсирующей жидкостью [l05,$08,112,114,123-125,128,132] . Обзор работ по задачам исследования динамической устойчивости упругих труб с протекающей жидкостью приведен в [l32j . После появления работы [її] исключительно важное значение приобрела проблема исследования упругих систем, находящихся под воздействием высокочастотных параметрических возбуждений ["76,83-86,129J . Появилось большое число работ, посвященных математическим методам исследования такого рода задач [3,20,31,35,39,43,47,73,78,96,98] . Рассмотрены задачи о динамических системах, имеющих два источника параметрического возбуждения [30,58,65,96,98] . Большое внимание было уделено различным техническим приложениям теории динамической устойчивости и разработке общих теорий, как линейных, так и нелинейных для самых разнообразных колебательных систем: стержней, пластин, оболочек, электрических систем, систем автомобиль-дорога-автомобиль и т.п. [7,10,13,17,23,26,28,32,34,36, 48-50,52-55,57,59,66,71,72,74,77,79-82,88-93,106,116,121,131,135] .
Влияние амплитуд параметрических возбуждений на области неустойчивости комбинационных резонансов
Здесь i и кг - коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования, а и YY) - распределенные плотности жидкости и материала трубы. Это дифференциальное уравнение гораздо сложнее уравнения (B-I), поскольку пульсирующая скорость протекания жидкости С находится здесь при члене хгт у ее производная по времени при -J , а при члене т і находится величина квадрата скорости протекания жидкости и1 , что приводит к появлению четырех периодических параметрических возбуждений: одного с частотой р при демпфировании, двух с частотой р и одного с частотой р при упругости, где р - частота вибрации потока жидкости.
Для системы (В-2) получена общая бесконечная система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, описывающая динамические явления, происходящие в исследуемой упругой системе: где соц - приведенные собственные частоты, a - соответствующие малые коэффициенты.
При такой постановке задачи теоретически определены условия возникновения основных и комбинационных резонансов с учетом демпфирования и найдены условия, когда эти резонансы имеют место. В специальных случаях для таких систем сформулировано правило знаков, позволяющее по виду коэффициентов исходных .дифференциальных уравнений определить типы возможных комбинационных резонансов и найти между какими формами колебаний они будут иметь место. Найдено условие,при котором возникновение комбинационных резонансов в таких системах вообще невозможно.
Исследовано влияние постоянного линейного демпфирования. Показано, что в ряде случаев увеличение линейного демпфирования может привести не к расширению, а к сужению областей неустойчивости комбинационных резонансов.
Рассмотрено также влияние амплитуд параметрических возбуждений на области неустойчивости комбинационных резонансов. Доказано, что в отличие от систем, имеющих моногармоническое параметрическое возбуждение только при упругости, в системах, рассмотренных в главе П возможно расширение областей неустойчивости некоторых комбинационных резонансов при уменьшении амплитуд параметрических возбуждений и, наоборот, одновременное увеличение этих амплитуд может привести к сужению областей неустойчивости комбинационных резонансов.
Задача о протекании жидкости через упругую трубу обобщена на полые упругие пластины с одномерным течением жидкости через них. работы посвящена исследованию сложных линейных и нелинейных систем, содержащих "быстрое" и "медленное" время.
В весьма общем случае движение таких систем описывается нелинейными дифференциальными уравнениями вида В таком общем виде эта важная для практики задача поставлена шервые«
В работе построен асимптотический метод, основанный на принци-іе усреднения движения по "быстрому" времени тг , позволяющий с лю-5ой степенью точности свести систему (В-4) к системе нелинейных дифференциальных уравнений, содержащей только " медленное" время -Ь Рассмотрены линейнне системы, содержащие "быстрое" и "медленное" время при нулевых, первых и вторых производных и системы с одной степенью свободы. На примере линейной системы, имеющей "быстрое" параметрическое возбуждение при нулевой и первой производных с нецело-численно кратными частотами, показан метод приведения ее к системе линейных дифференциальных уравнений, зависящих уже только от "медленного" времени. Для таких систем впервые найдены резонансно-параметрические соотношения, связывающие частоты параметрических возбуждений с частотами собственных колебаний системы при выполнении которых в системе может возникнуть состояние динамической неустойчивости. Вычислены области неустойчивости и условия ее возникновения. Если же эти резонансно-параметрические соотношения не выполняются, то высокочастотные параметрические возбуждения будут повышать в целом динамическую устойчивость упругой системы [її] .
В конце главы рассмотрен случай протекания в прямой упругой трубе быстропульсирующей жидкости.
В главе ІУ приведено численное решение на ЭВМ ряда задач о динамической устойчивости труб с текущей через них пульсирующей жидкостью. Исследовано также влияние высокочастотных вибраций с нецело-численно кратными частотами на динамическую устойчивость упругих систем. Рассмотрена система, имеющая одно высокочастотное возбуждение с частотой р при перемещениях, а второе - с частотой р ,
при ускорениях. Показано, что при выполнении определенных. В главе 7 выполнены экспериментальные исследования, достаточно подробно описывающие физическую картину исследуемых проблем динамической устойчивости упругих трубопроводов и подтверждающие результаты изложенной теории.
В ряде случаев подробно излагалась математическая сторона вопроса, построенная на теории усреднения и асимптотических методах последовательных приближений. При этом автором не ставилась задача исследования сходимости полученных решений.
Приведение линейных систем дифференциальных уравнений с "быстрым" и "медленным" временем к системам, содержащим только "медленное" время
В формулах (2-89) - (2-91) перед радикалом нужно брать знак "плюс", если выполняется условие (2-54) и знак "Минус", если это условие не выполняется. Для комбинационного резонанса разностного типа р \Ык.-& [ условием расширения областей неустойчивости комбинационных резонансов при уменьшении амплитуд [cj и \, будет где В определяется формулой (2-69),/AJ С" - (2-90), где у" заменено на h , а В формуле (2-92), как и в (2-91), перед знаком радикала надо брать знак "плюс", если условие (2-54) выполняется и знак "минус", если это условие не выполняется. В случае увеличения амплитуд параметрических возбуждений с X и на 7,. и с Jjg на tc g , где коэффициенты й\. и tL , больше единицы, но такие, что величины .Чу и кі Ґу все равно имеют порядок , ширина области неустойчивости комбинационного резонанса суммарного типа p jw w / уменьшится, если выполняется условие где л") 8 " и с" такие же, что А", в , с" .; в (2-90) , но вместо и и кь- надо брать ь и L . Для комбинационного резонанса разностного типа р= ] оу,-ыг» условием сужения областей неустойчивости комбинационных резонан-сов при увеличении амплитуд параметрических возбуждений будет где в " такое же, что и в" в (2-92), но вместо хс и к с нужно брать tc и йі. , а вместо in в А1" и с " - брать уе Б формулах (2-93) и (2_94), как и раньше, перед радикалом нужно брать знак "плюс", если условие (2-54) выполняется и знак "минус", если это условие не выполняется. В частном случае Su- 0 ( t =1,2,...) уменьшение величины параметрического возбуждения также может привести к расширению областей неустойчивости комбинационных резонансов. Для комбинационного резонанса суммарного типа таким условием будет а для комбинационного резонанса разностного типа Необходимо отметить, что здесь в случае г = ХкК-н, никакого расширения областей неустойчивости не будет, а будет иметь место лишь сужение этих областей. .При небольшом увеличении амплитуд параметрических возбуждений условием сужения областей неустойчивости областей неустойчивости комбинационного резонанса суммарного типа будет а разностного типа [ wU -±) (2-98) Здесь также при г , й.к.ц сужения областей неустойчивости не происходит, а имеет место их расширение. Необходимо отметить, что для комбинационного резонанса сумк марного типа даже при отсутствии постоянного демпфирования, область неустойчивости может исчезнуть и правратиться в точку p.wic+us,., я ддд этого должно выполняться условие Для комбинационного резонанса разностного типа условием правраще-ния области неустойчивости в точку р= \и к ч \ является Таким образом, область неустойчивости комбинационных резонан-сов трубы с текущей через нее жидкостью превратится в точку, если выполняются условия (2-99) при комбинационном резонансе суммарного типа, или (2-100) при комбинационном резонансе разностного типа. 7. Динамическая устойчивость полых пластин ПРИ протекании через них жидкости
Рассмотрим динамическую устойчивость полой внутри прямоугольной пластиы, через которую в одном направлении X протекает со скоростью тУ жидкость. Поток жидкости будем считать неразрывным. Будем также считать, что какого-ляибо поверхностного перетекания жидкости внутри пластины по другим координатам, кроме координаты X нет.
Уравнение динамического равновесия такой пластины с учетом центробежных сил жидкости и сил Кориолиса имеет вид где - : - ті - оператор Лапласа, - пдлиндрическая жесткость пластины, а р и m - погонная плотность жидкости и материала пластины соответственно.
Если пластина не искривлена, то при наличии потока жидкости, протекающего через нее, в пластине возникнут напряжения. Если теперь какой-либо случайный импульс сообщит пластине малое перемещение, нормальное к ее срединной плоскости, то возникнут поперечные колебания, описываемые дифференциальным уравнением в частных производных (2-I0I). Отметим, что из (2-I0I) легко получить уравнение динамического равновесия трубы с текущей через нее жидкостью, если в (2-I0I) пренебречь координатой g .
Сравнение теоретических результатов с решениями на ЭВМ исходных дифференциальных уравнений при наличии в них высокочастотного параметрического возбуждения
В этом параграфе мы рассмотрим и исследуем чрезвычайно важную задачу о воздействии многих високочастотних параметрических возбуждений на линейную динамическую колебательную систему, причем параметрическое возбуждение действует как на перемещения xL , так и на скорости хс .
Как было показано в работах [ 7,11,96] , одно высокочастотное параметрическое возбуждение всегда приводит только к повышению динамической устойчивости системы. В работах 96, 98, 100] с достаточной полнотой было доказано, что два высокочастотных параметрических возбуждения при определенных соотношениях между их частотами и частотами собственных колебаний системы могут привести исследуемую систему в состояние динамической неустойчивости. В этих работах считалось, что параметрическое возбуждение находится только при перемещениях Х .
Здесь же мы не будем ограничиваться числом параметрических возбуждений, причем будем рассматривать наиболее общий случай, когда эти параметрические возбуждения нецелочисленно связаны друг с другом.
Практическая ценность исследуемой в этом параграфе задачи несомненна, поскольку большое число задач, в частности, задача о протекании быстропульсирующей струи через упругую трубу, приводят к уравнениям, где высокочастотные параметрические возбуждения находятся не только при перемещениях Хс , но и при скоро в стях этих перемещений Хс . Пусть динамическая система описывается следующей системой линейных дифференциальных уравнений В качестве малого параметра, по которому в дальнейшем будем проводить асимптотические разложения, выберем S -i/Px , где pt= ma [принадлежит множеству чисел и) . Обозначим КрОМв ЭТОГО будем СЧИТаТЬ, ЧТО ВеЛИЧИНЫ рк-р f If, ms 1,2,. jW; K- J малы по сравнению с величинами рк ( =)..»,..., »j и имеют порядок, равный порядку частот собственных колебаний системы сое (С-лл... , В соответствии с обозначениями параграфа 2 этой главы, имеем Аналогично где Величины Ac/ t/tJ и jft/fc) » определенные в уравнении (3-21), равны нулю. Вводя обозначения перепишем выражения (3-49) и (3-50) так BtjfrtJ = -Wul+Wt - ( «о/ ce»i+ /VKCJ -S rJ (3-51) C- j (C,t)= -03L j 4- JcZ (QKijto + urtj &»Ъ) Подставляя выражения (3-51) в формулы параграфа 2 этой главы и, учитывая, что Acj- bcj -О , получим (3-52) Функции игс(ъ,Ь) и Фи«:(\) будут определяться выражениями Вычислим В соответствии с принятыми в этом параграфе обозначениями, имеем Используя обозначения, принятые для AKIJJ B«CJ, С„получим Ейражение для Ф Й) примет вид J- " " LV (3-58) (С у Вк -ІЦ- A jJCwfiftrHVjJ lj +сч,-[ (( QJJ, + где выражения в круглых скобках, являющиеся крэффициентами, не зависящими ни от т , ни от t , определяются по формулам (3-54) -(3-57). Тогда система уравнений для "медленного" времени примет вид Из рассмотрения системы (3-59) можно заключить, что частота собственных колебаний "медленного" движения и коэффициент при постоянном демпфировании несколько изменятсяг. Действительно, систему (3-59) можно записать в виде.
