Динамические системы с гомоклиническими касаниями, омега-модули и бифуркации Гонченко Сергей Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

1. Классификация многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями и их гиперболические свойства . 37

1.1. Определение простого гомоклинического касания 37

1.2. Свойства локального и глобального отображений То и Т\. 41

1.3. Геометрическая теория: кодировки, полоски и подковы. 46

1.4. Нетривиальные гиперболические подмножества диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями 52

1.4.1. Специальная окрестность негрубой гомоклиниче-ской траектории 53

1.4.2. Полоски и подковы и их пересечения 55

1.4.3. Символическая динамика для траекторий из окрестности негрубой гомоклинической орбиты 62

1.5. Классы систем с гомоклиническими касаниями 67

1.6. Доказательство лемм 1.1, 1.2 и 1.3 73

2. Модули топологической и П-сопряженности многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями . 90

2.1. Определение и свойства модулей 91

2.2. Модули Пэлиса-Гаврилова-Шильникова 95

2.3. Предельные модули в случае диффеоморфизмов первого класса 101

2.4. 1}-модули диффеоморфизмов третьего класса в случае (1,1) 108

2.5. 12-модули диффеоморфизмов третьего класса в случае (2,1) 115

2.6. Модули Гі-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией в случае (1,2) 126

2.7. Модули Q-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией в случае (2,2) 137

Основные бифуркации периодических траекторий многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями . 150

3.1. Постановка задачи и основные результаты 150

3.2. Построение отображений первого возвращения. Доказательство леммы о рескелинге 158

3.2.1. Отображения первого возвращения в случае (1,1). 158

3.2.2. Отображения первого возвращения в случае (2,1). 161

3.2.3. Отображения первого возвращения в случае (1,2). 166

3.2.4. Отображения первого возвращения в случае (2,2). 171

3.3. Доказательство основных теорем 181

Динамические свойства двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами . 185

4.1. Постановка задачи и формулировки основных результатов 185

4.2. Геометрические и аналитические свойства диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром. 191

4.3. Локальные и глобальные отображения 192

4.3.1. Специальная окрестность гетероклинического контура 194

4.3.2. Условия пересечений подков и полосок 196

4.3.3. Кодировки неблуждающих траекторий и нетривиальные гиперболические подмножества 198

4.4. Классы двумерных диффеоморфизмов с простейшим негрубым гетероклиническим контуром 200

4.5. Существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой 203

4.5.1. Доказательство теоремы 4.1 205

4.5.2. Области Ньюхауса вблизи диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром общего типа, 210

4.6. Модули Q-сопряженности диффеоморфизмов третьего класса с негрубым гетероклиническим контуром. 212

4.7. Негрубые периодические траектории диффеоморфизмов третьего класса 221

4.8. Устойчивые и вполне неустойчивые периодические траектории диффеоморфизмов третьего класса 225

4.8.1. Случай, когда седловые величины лежат по одну стороны от единицы 225

4.8.2. Случай, когда седловые величины лежат по разные стороны от единицы 227

4.9. Интервалы Ньюхауса второго и третьего типов 231

5. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса . 239

5.1. Три класса гомоклинических касаний в двумерном случае.239

5.2. Гиперболические свойства диффеоморфизмов с гомоклн-ническим касанием третьего класса 250

5.3. Сосуществование гомоклинических касаний третьего класса 259

5.4. Гомоклинические касания произвольно высокого порядка. 270

5.5. Периодические траектории высоких порядков вырождония281

Список литературы 287

• Символическая динамика для траекторий из окрестности негрубой гомоклинической орбиты
• Модули Гі-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией в случае (1,2)
• Классы двумерных диффеоморфизмов с простейшим негрубым гетероклиническим контуром
• Гиперболические свойства диффеоморфизмов с гомоклн-ническим касанием третьего класса

Введение к работе

Гомоклинические траектории Пуанкаре, т.е. двояко-асимптотические к седловым периодическим, являются одним из наиболее интересных объектов в теории динамических систем. Это связано, в частности, с тем, что сам факт наличия в системе хотя бы одной такой траектории уже свидетельствует о сложной динамике системы в целом. Сама по себе, гомоклиническая траектория Пуанкаре является довольно простым объектом - это траектория, которая лежит в пересечении инвариантных многообразий седловой периодической. Если указанное пересечение трансверсальное, то гомоклиническая траектория называется грубой (или трансверсальной), а в случае нетрансверсального пересечения мы имеем дело с негрубой (нетрансверсальной) гомокли-нической траекторией Пуанкаре, или с гомоклиническим касанием. Сложность возникает уже тогда, когда мы пытаемся описать еще и близкие траектории, которые целиком лежат в малой окрестности го-моклинической орбиты. Такая задача описания окрестности грубой гомоклинической траектории получила название задачи Пуанкаре-Биркгофа, и была полностью решена Шильниковым [55], который показал, что множество N траекторий, целиком лежащих в окрестности грубой гомоклинической орбиты является нетривиальным гиперболическим множеством, траектории которого находятся во взаимо однозначном соответствии с траекториями топологической схемы Бернул-ли из трех символов.

В случае негрубой гомоклинической траектории соответствующая задача становится гораздо более сложной, и в определенном смысле даже неразрешимой, если иметь в виду именно задачу "полного описания", в особенности, когда рассматривается не только сама система, но и все достаточно близкие. Дело в том. что при малых гладких

возмущениях системы с гомоклиническим касанием могут возникать новые гомоклинические касания любых порядков, а также сколь угодно вырожденные периодические траектории [22, 36, 66]. Это означает, с формальной точки зрения, что никакого конечно-параметрического семейства недостаточно для полного исследования бифуркаций таких систем. Одна из основных причин такого явления - это существование бесконечного числа модулей fi-эквивалентности, так называемых Q-модулей, т.е. непрерывных инвариантов топологической эквивалентности на множестве неблуждающих траекторий. Непрерывность в данном случае означает, что любое изменение значения Q-модуля ведет к изменению в структуре множества неблуждающих траекторий, в частности, в множестве периодических и гомоклинических орбит. С другой стороны, и это очень важно, fi-модули можно рассматривать, при исследовании бифуркаций, как естественные управляющие параметры, конечно, наряду с традиционными параметрами расщепления. Сами по себе, Q-модули являются часто "скрытыми" параметрами, они не присутствуют явно ни "в правых частях", ни являются эмпирически данными. Их нужно находить. В этом смысле, хороший пример дают аттракторы лоренцевского типа: они, как известно, обладают инвариантами типа 17-модулей, так называемыми нидинг-инвариантами [82] (их два в несимметричном, и один в симметричном случаях). Использование нидингов является эффективным инструментом исследования таких аттракторов (и не только, например, одномерных отображений, в том числе разрывных [40]). И опять нидинги не присутствуют в правых частях, их существование а также форма выводятся из соответствующего анализа геометрических и динамических свойств отображений, получающихся при факторизации инвариантных слоений. Аналогичная ситуация имеет место и с Q-модулями систем с гомокли-ническими касаниями.

В связи с важностью fi-модулей для теории бифуркации, в работе [36] была разработана программа исследования бифуркаций в системах со сложной структурой, которая, как необходимый элемент, включает а) доказательство существования fi-модулеіі; б) их явное нахождение; в) использование основных fi-модулей в качестве-управляющих параметров; г) исследование возможности существования счет-

ного множества fit-модулей (и соответственно возможности появления бесконечных вырождений); а также д) исследование динамики систем из областей Ньюхауса пространства динамических систем, в которых плотны системы с гомоклиническими касаниями.

Эта программа была, в принципе, реализована в последующих статьях Гонченко, Тураева и Шильникова. Конечно, она ещё далеко не завершена (в особенности, что касается пунктов г) и д) для многомерного случая). А в некоторой части она даже перекрыта: так, доказано существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой [26, 68, 27]; исследованы консервативные системы с гомоклиническими касаниями [20, 78, 71, 81], и т.п.

В настоящей диссертации излагаются основные результаты, полученные автором при исследовании динамических свойств многомерных систем с гомоклиническими касаниями. При этом, во многих моментах во главу исследований положена концепция ^-модулей (которым, собственно, посвящена глава 2). Ситуация с существованием бесконечного множества fi-модулей рассматривается на примере двумерных диффеоморфизмов.

С целью единообразия, в диссертации рассматриваются только диффеоморфизмы. Естественно, все результаты применимы и к потокам, если иметь в виду, что сами потоки, при полулокальном анализе, могут быть исследованы с помощью отображений Пуанкаре — т.е. сводятся к диффеоморфизмам (с гомоклиническими касаниями) в размерности на единицу меньше, чем размерность фазового пространства потока.

Актуальность исследования.

Исследование систем с гомоклиническими структурами является весьма актуальным также с точки зрения теории динамического хаоса, математическим образом которого является странный аттрактор -нетривиальное притягивающее множество с неустойчивым поведением траекторий на нём. Гомоклинические орбиты являются не только необходимым атрибутом любого странного аттрактора, но и определяют главные элементы его динамики. Поэтому весьма часто термином "гомоклинический хаос" обозначают хаотическую динамику, демонстрируемую странными аттракторами, отличными от гипербо-

лических и квазигиперболических (аттракторов Лоренца). Аттракторы последних двух типов тоже содержат гомоклинические траектории Пуанкаре, но они являются здесь грубыми. В большинстве же динамических моделей с хаотическим поведением встречаются (неустранимым образом) гомоклинические касания. Более того," в основе механизмов возникновения и разрушения странных аттракторов могут лежать бифуркации, связанные с образованием гомоклинических касаний. Благодаря опять же гомоклиническим касаниям, внутренняя структура большинства аттракторов является неоднородной: помимо "больших" гиперболических подмножеств, содержащих седловые периодические траектории одного индекса, могут существать также устойчивые траектории или седловые других индексов. Некоторые типы аттракторов, так называемые квазиаттракторы [59]. считающиеся "странными" на физическом уровне, содержат помимо седловых траекторий ещё и асимптотически устойчивые периодические траектории, но весьма больших периодов. Существование таких устойчивых траекторий вытекает из теории [14, 98], и типична ситуация, когда устойчивых периодических траекторий бесконечно много и в замыкании они содержат нетривиальные гиперболические подмножества [98]. Тогда, естественно, возникает вопрос (Ньюхаус), а что мы наблюдаем: хаотическую (неравномерно) гиперболическую динамику, или сложный переходный (очень долговременный) процесс притяжения к устойчивым периодическим траекториям. По-видимому, здесь происходит одновременно и то и другое, и какие процессы превалируют при этом совсем не очевидно. Во всяком случае, некоторые устойчивые периодические траектории могут проявлять себя как "окна устойчивости". При этом указанное поведение траекторий может быть характерным для открытых областей значений параметров (областей Ньюхауса), и эти области, как показывают вычисления [87], могут быть весьма обширны. Даже если в аттракторе гарантированно нет устойчивых периодических траекторий, как, например, в диких спиральных аттракторах [50], проблемы, связанные с неоднородностью структуры, остаются. Наконец, существование вырождений высоких порядков говорит о том, что в гомоклиническом хаосе нет той масштабной инвариантности, которая характерна для гиперболической и

одномерной динамики.

Если посмотреть с другого конца, то исследование систем с гомоклиническими касаниями или с негрубыми гетероклиническими контурами, является естественным продолжением гиперболической теории. Дело в том, что гиперболическая теория, развитая в трудах Алексеева, Аносова, Синая, Смейла, Песина и др., см. [2, 3], имеетдело, в основном, с грубыми гиперболическими множествами. II здесь Q-множество состоит из конечного числа так называемых гиперболических базисных множеств. В системах с гомоклиническими касаниями тоже есть свои "базовые" гиперболические множества [14, 34], которые формируют во многом скелет множества неблуждающих траекторий но всё его, вообще говоря, не исчерпывают. Кроме того, указанные "базовые" множества в совокупности не являются грубыми и меняют свою структуру при изменении параметров.¹ При этом могут возникать гиперболические подмножества весьма различной природы: "тонкие", "толстые", с малой и большой хаусдорфовой размерностью [99, 103]. Причем, существование "аномальных" гиперболических множеств ("толстых" и с большой хаусдорфовой размерностью) является типичным свойством систем в областях Ньюхауса [61]. Исследование таких гиперболических множеств является одной из наиболее трудных задач в данной тематике. Но эта задача очень важна, поскольку как раз такие гиперболические множества делают возможным неустранимые касания, и таким образом, ответственны за явление "грубой негрубости", весьма важного для нелинейной динамики.

Цели и задачи исследования.

Основная цель диссертации — это исследование динамических явлений в многомерных системах, которые вносят гомоклинические касания. В связи с этим, вторичной целью является разработка новых методов исследования систем со сложным поведением траекторий, включающая также обобщение уже известных методов.

Основная часть диссертации (главы 1,2 и 3) посвящены изучению многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями. Гла-

¹ Заметим, что при явлениях гомоклинического ft-взрыва могут возникать настоящие гиперболические базисные множества, и здесь в пространстве параметров будут чередоваться области, отвечающие гиперболическому и хаотическому поведению.

*

*

.'#

вы 4 и 5, где рассматриваются двумерные диффеоморфизмы, дополняют эти исследования — здесь акцент делается на выяснение новых и весьма неожиданных динамических явлений (основные из которых — существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой и существование бесконечных вырождений в областях Ньюхауса).

Основные задачи, которые рассматриваются в диссертации можно разбить на следующие большие группы.

1. Классификация многомерных систем с гомоклиническими касаниями и исследование их гиперболических свойств.

2. Теория модулей топологической и П-сопряженностн (fi-мо дулей) многомерных систем с гомоклиническими касаниями.

3. Исследование основных бифуркаций в рамках общих (трансвер-сальных) конечно-параметрических семейств (в которых в качестве управляющих параметров, помимо параметров расщепления, рассматриваются также Г2-модули.

4. Исследование условий существования в областях Ньюхауса грубых периодических траекторий различных топологических типов, а также негрубых периодических траекторий и инвариантных торов.

5. Установление существования областей Ньюхауса различных типов, и, в частности, доказательство существования областей Ньюхауса со смешанной динамикой, в которых плотны системы со счетным множеством грубых периодических траекторий всех типов, которые допускает размерность.

6. Доказательство плотности в областях Ньюхауса систем с бесконечно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями, и тем самым, установление невозможности полного исследования динамики таких систем с помощью конечно-параметрических семейств.

Объект исследования.

В диссертации рассматриваются актуальные проблемы нелокальной теории бифуркаций, относящиеся к одному из наиболее интересных и трудных для исследования её разделов - теории бифуркаций систем с негрубыми гомоклиническими траекториями Пуанкаре.

Основное внимание уделяется системам с простыми гомоклиниче-

скими касаниями. Они характеризуются только одним негрубым усло
вием - существование гомоклинического касания, которое к тому же
^ является квадратичным. Остальные условия, накладываемые на си-

стему, являются общими (типа неравенств). Таким образом, системы
с простым гомоклиническим касанием могут неустранимым образом
встречаться в общих (трансверсальных) параметрических семействах.
Более того, здесь имеет место явление Ньюхауса, заключающееся в
том, что в таких семействах существуют области (интервалы) значе
ний параметров с плотными подмножествами, каждому значению па
раметров из которых отвечает система с простым гомоклиническим
касанием. В этом случае, в силу наличия различного типа транзитив
ных свойств (из-за существования, опять же, раномерно или неравно
мерно гиперболических подмножеств), те свойства динамики", которые
выясняются при полулокальном рассмотрении, могут иметь также и
глобальный характер. К таким свойствам можно отнести, в частно
сти, а) существование смешанной динамики в областях Ньюхауса и б)
_у плотность в областях Ньюхауса систем с бесконечно вырожденными

^iy периодическими и гомоклиническими траекториями. Последние два

типа динамических явлений анализируются в диссертации на примере двумерных диффеоморфизмов.

Методологическая и теоретическая основа исследования.

Вообще тот факт, что устойчивые и неустойчивые многообразия
седловых периодических траекторий могут пересекаться, не совпадая
при этом, установил Пуанкаре. Он показал, что соответствующие го-
моклинические решения могут существовать на примере классической
задачи трех тел в своем знаменитом мемуаре "О проблеме трех тел
и об уравнениях динамики, 1889" (см. [44]). Эта работа Пуанкаре, ко
торая была связана с научным конкурсом, приуроченным к юбилею
' шведского короля Оскара II, была высоко оценена Вейерштрасом. Как

член жюри конкурса, он писал: ''Поэтому я без колебаний признаю эту работу достойной премии... эта работа настолько значительна, что с её опубликованием, по моему мнению, начнется новая эпоха в истории небесной механики". Сам Пуанкаре также придавал большое значение факту существования гомоклинических пересечений, с которым он

связывал прежде всего сложность динамики в целом и принципиальную невозможность интегрирования большинства моделей классической динамики. Собственно говоря, Пуанкаре, кажется, получил только один результат, относящийся к структуре множества траекторий, целиком лежащих в малой окрестности грубой гомоклинической орбиты: он показал, что в этой окрестности существует счетное множество других гомоклинических траекторий (двояко-асимптотических к той же самой седловой точке). Это связано, по-видимому, с тем, что, во-первых, он больше уделял внимание не столько этой по-существу полулокальной задаче, сколько тому насколько гомоклнническпе, а также гетероклинические, траектории существенны для динамики в целом; во-вторых, Пуанкаре придавал больше ценности устойчивым периодическим траекториям, чем седловым, которые, как он, по-видимому, знал, только и могут существовать в окрестности грубой гомоклинической орбиты. Им даже были высказаны несколько гипотез "на эту тему", из которых представляются весьма интересными и актуальными следующие две. Первая - "гомоклнническпе точки плотны", т.е. устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия одной седло-вой периодической орбиты образуют такую сложную пересекающуюся сеть, что точки пересечения (гомоклнническпе точки) плотны. Вторая - "(устойчивые) периодические траектории плотны в фазовом пространстве". Обе эти гипотезы относятся к симплектической динамике и до сих пор не доказаны и не опровергнуты.²

Другое дело, полулокальная динамика, т.е. задача о структура мно-

²Хотя здесь есть ряд весьма интересных результатов. Причем, наибольший прогресс достигнут в случае С¹-гладких симплектических диффеоморфизмов, заданных на компактных многообразиях. Здесь, как установили Пью, Робинсон, Такенс, Ньюхаус, типичны (т.е. выполняются для множества систем второй категории) следующие свойства: 1) в фазовом пространстве плотны гиперболические периодические точки ([109]); 2) каждая гиперболическая периодическая точка в произвольной окрестности любой точки из фазового пространства имеет трансверсальную гомоклиническую точку ([122, 123, 102]); 3) если диффеоморфизм не является аносовским, то, [102], в фазовом пространстве также плотны 1-эллиптические периодические точки (у такой точки все ее собственные значения, кроме пары комплесных e^'^v , где tp ф 0,7Г, не лежат на единичной окружности - в двумерном случае 1-эллиПтичсские точки являются эллиптическими). Что касается гладкого случая, то здесь можно отметить результат Трешёва [49, 125] о том, что в случае двумерных симплектических диффеоморфизмов замыкания устойчивого и неустойчивого многообразий совпадают при наличии гомоклинической точки и при условии, что эти многообразия не покидают некоторую оганиченную область в фазовом пространстве (в частности, этот результат справедлив в случае симплек-тического диффеоморфизма на замкнутом двумерном многообразии); результаты Дуарте [63, 64] о существовании областей Ньюхауса у двумерных симплектических отображений; а также наши результаты (Гонченко, Щильников, Тураев) о том, что симплектические диффеоморфизмы со счетным множеством эллиптических периодических точек общего типа плотны на некоторых бифуркационных поверхностях коразмерности один: в двумерном случае, [20, 71], такие поверхности образуют диффеоморфизмы с негрубым гетероклиннческим контуром, а в четырехмерном, [78, 74], симплектические диффеоморфизмы, имеющие гомоклиннческие касания к периодическим точкам типа седло-фокус.

жества N траєкторнії, целиком лежащих в окрестности грубой го-моклинической траектории. Как мы уже отмечали, первоначальный

_iyj\ прогресс в этой задаче был достигнут Пуанкаре: доказательство су-

^ ществования счетного множества вторичных гомоклинических траек-

торий. Далее, Биркгоф [60] установил существование (в случае дву
мерных симплектических отображений, но его рассуждения годятся и
для общего двумерного случая) счетного множества (однообходных)
периодических траекторий. Существенное продвижение в решении за
дачи Пуанкаре-Биркгофа было достигнуто лишь спустя тридцать лет,
благодаря работам Смейла и Шильникова. После их результатов суще
ствование в системе грубой гомоклинической траектории стало одним
из основных критериев сложной динамики. Отметим, что Смейл [120]
установил, опираясь на его знаменитый пример подковы [119], что в
N существует нетривиальное гиперболическое подмножество Q - тем
самым, в N существует счетное множество седловых периодических
траекторий, континуум траекторий устойчивых по Пуассону и т.п.
₀ Что касается работы Шильникова [55], то в ней было дано оконча-

^ тельное решение задачи Пуанкаре-Биркгофа, т.е. было найдено полное

описание множества N. Пусть О - седловая периодическая траектория, IV^s(О) и IV^й(О) - ее инвариантные устойчивое и неустойчивое многообразия, Г С W^s(0) П W^u(0) - гомоклиническая к О траектория, в точках которой многообразия W^s(0) и W^u(0) пересекаются трансвер-сально. Пусть U = U(0 U Г) - достаточно малая окрестность контура О U Г. Ее можно представить в виде объединения малой окрестности траектории О и малой окрестности собственно гомоклинической траектории Г. На рис. 0.1 представлена такая окрестность в случаях а) диффеоморфизма плоскости и б) трехмерного потока. Обозначим через N множество траєкторнії динамической системы, целиком лежащих в окрестности U. Тогда, как установлено в [55], в случае потока,

\гу дг будет топологически эквивалентно надстройке над схемой Бернул-

ли из двух символов, причем, независимо от размерности системы. В случае диффеоморфизма имеет место аналогичный результат, только полное описание здесь дается не схемой Бернулли из двух символов, а топологической марковской цепью, изображенной на рис. 0.2. Кроме того, множество N является гиперболическим: все его траектории,

\T>

'ф

b)

Рис. ОЛ. Окрестность гомоклинической траектории Г в случае а) диффеоморфизма плоскости; Г:) трехмерного потока.

(^

включая О, седловые и размерности их устойчивых и неустойчивых многообразий равны соответственно dim W^s(0) и dim W^u(0). Аналогичная задача Пуанкаре-Биркгофа была решена также и для случая гомоклинического многообразия седлового инвариантного тора [56], для отображений в банаховых пространствах [39] (включая также случай, когда неустойчивое многообразие бесконечномерно), а также для неавтономных непериодических по времени систем [90].

Но инвариантные многообразия седловых периодических траекторий могут и касаться. Эта ситуация является в некотором смысле общей для однопараметрических семействах многомерных систем со сложной динамикой. Тогда возникает естественная задача о структуре множества N траекторий, целиком лежащих в малой окрестности не-

Рис. 0.2. Топологическая марковская цепь из к 4- щ символов. Число к + по является инвариантом, оно зависит только от размеров окрестности U\ число по определяется выбором двух гомоклинических точек - он равен числу итераций диффеоморфизма, связывающих гомоклинические точки М""" Є ^'i„_c ^{n tf}0 ^и M~ Є ^Тіс ⁿ ^^{0, а} " ^:,то минимальное число итераций, необходимое точкам из окрестности Л/"*", чтобы их образ попал в окрестность точки

м~.

грубой гомоклинической орбиты Пуанкаре, включающая также исследование бифуркаций при изменении параметров. Такую задачу впервые поставили и решали Гаврилов и Шильников [14]. Они рассмотрели случай трехмерных потоков (двумерных диффеоморфизмов) и установили ряд фундаментальных результатов о структуре множества N. Во-первых, было показано, что, в зависимости от геометрии (квадратичного) касания, структура множества N может быть совершенно различной. И здесь они выделили три класса систем с гомоклини-

№\ ческими касаниями. Этот результат мы проиллюстрируем на примере

двумерных диффеоморфизмов, имеющих седловую неподвижную точку О с мультипликаторами Лі,71 такими, что 0 < |Ai| < 1 < J71I и |Аі7і| ф 1, и негрубую гомоклиническую траекторию Го, в точках которой многообразия IV^s(О) и W^u(0) имеют квадратичное касание. Мы также будем полагать, что Ai > 0,71 > 0 (хотя в [14] рассмотрены также случаи, когда Ai и/или 71 отрицательны), и седловая величина а = |Ai7i| меньше единицы (случай а > 1 сводится к сг < 1 для обратного диффеоморфизма /^-1). Тогда имеется 4 различных типа гомоклинических касаний: два случая гомоклинических касаний "снизу" (рис. 0.3а) и Ь)), и два случая гомоклинических касаний "сверху" (рис. 0.3с) и сі)). Системы с гомоклиническим касанием "снизу" при-

(уф надлежат первому классу; это тот случай, когда множество А^г имеет

тривиальную структуру: N = {О; Го}. Системы с гомоклиническим касанием "сверху" в случае рис. 0.3с) принадлежат второму классу: здесь множество Л^г имеет неравномерно гиперболическую структуру - все траектории из N, за исключением Го, являются седловыми того же индекса, что и О. Кроме того, в этом случае множество N допуска-

a)

b)

с)

Рис. 0.3.

ет полное описание на языке символической динамики.³ Диффеоморфизмы в случае рис. 0.3d) (а также все оставшиеся диффеоморфизмы, кроме тех, у которых касание "снизу" и 7і > 0,Лі < 0) относятся к третьему классу. Здесь множество N имеет сложную структуру: в N содержатся нетривиальные гиперболические подмножества, которые, в отличие от диффеоморфизмов второго класса всё Л^г, вообще говоря, не исчерпывают (правда, при резонансах, т.е. когда Х'{ = ^^р при натуральных р и д, множество N может допускать полное описание [18]).

Во-вторых, в [14] было выяснено значение гомоклинических касаний

³Но в отличие от случая грубой гомоклинической траектории - уже с помощью фактор-системы схемы Бернулли
из трех символов; факторизация здесь возникает из-за того, что образ гомоклинической траектории Го при сим
волическом описании получается из "склеивания" двух гомоклинических траекторий (...,0,...,0,1,0,...,0,.,.) и
(...,0,...,0,2,0 О,...).

различных типов для динамики систем в целом. Так, было установлено, что системы с гомоклиническими касаниями первого класса могут лежать на границе систем Морса-Смейла. При переходе через такую границу сложная структура возникает сразу - взрывом, поэтому совокупность всех соответствующих бифуркационных явлений получила наименование гомоклинического 0,-взрыва. В дальнейшем, эти явления были более детально изучены в ряде работ Ньюхауса, Пэлиса. Такен-са, Стенькина и Шильникова (см., например, [101. 104. 48]). Важность систем второго класса проявляется в том. что они могут разделять системы с гиперболической структурой и системы со сложным хаотическим поведением траекторий.⁴ Системы с гомоклиническими касаниями третьего класса являются своеобразными индикаторами сложности: они показывают, что не только сама система, но все близкие, имеют чрезвычайно сложную динамику. Так, в [14] было показано, что здесь еще до момента первого касания (у таких диффеоморфизмов как на рис. 0.3d)) уже имеет место сложная структура.

В-третьих, в [14] были изучены основные бифуркации периодических траекторий в рамках общих (трансверсальных) однопараметри-ческих семейств fn (где \i - параметр расщепления инвариантных многообразий IV^s (О) и W^u(0) относительно некоторой точки гомоклинического касания). Основной результат в этом направлении - это

"Теорема о каскаде периодических стоков": в любом общем (трапс-версальном) семействе f^ существует последовательность непересекающихся интервалов 5k значений параметра /и, которые накапливаются к ц = 0 при к —> оо_; таких, что при \і Є Sk диффеоморфизм /ц имеет периодическую асимптотически устойчивую периодическую траекторию (периода к).

Наконец, отметим еще одну важную особенность диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями, обнаруженную в [14]. Она касается диффеоморфизмов третьего класса и состоит в том, что на би-

⁴ Например, бифуркационные значения параметров, отвечающие гомоклиническим касаниям второго класса являются "последними" при рождении "полной" подковы Смейла, а также при возникновении гиперболической структуры в отображении Эно [59, 70, 83]. Также кажется, что системы с такого типа гомоклиническими касаниями должны лежать на границе областей Ньюхауса.

фуркационных поверхностях таких систем плотны системы с негрубыми периодическими траекториями. С этим связано существование у диффеоморфизмов третьего класса Q-модулей - непрерывных инвариантов топологической эквивалентности (сопряженности) на множестве неблуждающих траекторий. Вообще, результаты о Q-модулях были доказаны позже, в [23, 24], но уже в [14] был, фактически, указан основной fi-модуль, это инвариант

ln|7i|

Практически в одно время с работами Гаврилова и Шильникова по
явились также знаменитые статьи Ньюхауса [97, 98, 99] о существова
нии так называемых "диких гиперболических множеств" вблизи гомо-
клинических касании. Собственно, статья [97] не имеет прямого отно
шения к гомоклиническим касаниям. В ней приведен пример однопа-
раметрического семейства диффеоморфизмов, известного как "крюк
Ньюхауса", в котором гомоклинические касания не исчезают при из-
Ч^- менении параметра. Точнее, любое данное касание расщепляется моно-

тонно вместе с параметром, но неизбежно появляются новые касания. Но пример статьи [97] был слишком специальным, чтобы его можно было бы использовать вообще для диффеоморфизмов с гомоклиниче-скими касаниями. В этом отношении для теории динамических систем гораздо более важной оказалась статья [99], в которой было показано, что в любой окрестности любого двумерного диффеоморфизма с гомоклиническим касанием существуют области, в которых диффеоморфизмы с гомоклиническими касаниями плотны. Такие области, как в пространстве динамических систем, так и в пространстве параметров, получили наименование областей Ньюхауса.

В работе [98] было установлено одно замечательное свойство систем в областях Ньюхауса - сосуществование периодических траекторий различных типов. Применительно к случаю двумерных диффеоморфизмов оно звучит так: в областях Ньюхауса вблизи диффеоморфизма с гомоклиническим касанием в случае о < 1 плотны диффеоморфизмы со счетным множеством устойчивых и седловых периодических траекторий (в случае а > 1 - со счетным множеством вполне

Рис. 0.4.

неустойчивых). В самой работе [98] приводится многомерный результат (dim W^u{0) = l,dim W^s(0) = n, и мультипликаторы.точки О такие, что 0 < |Л„| < ... < |Л₂| < |Лі| < 1 < |-у| и а = |Лі7І < 1), но дополнительно накладываются такие условия, что полученный в [98] результат может использоваться для систем весьма специального вида (например, предполагается существования структуры типа прямого произведения и т.п.). Вообще говоря, этот результат верен и без специальных предположений, но его обоснование уже базируется на 1) доказательстве существования областей Ньюхауса в многомерном случае и 2) доказательстве существования устойчивых периодических траекторий в параметрических семействах. Обе эти задачи решены. Существование областей Ньюхауса доказано в общем случае в [25], и в многомерном случае, когда неустойчивое многообразие (для диффеоморфизмов) одномерно, в [105, 112]. Причем, в [25] существование областей Ньюхауса установлено и для трансверсальных параметрических семейств. Бифуркации рождения устойчивых периодических траекторий в трансверсальных параметрических семействахе изучались для многомерного случая в [31, 28, 70, 75], и в [28, 70] были даны критерии существования устойчивых периодических траєкторнії. Отметим также, что в [32, 24] были найдены условия существования счетного множества устойчивых периодических траекторий непосредственно у систем с гомоклиническими касаниями: эти условия оказались связанными с арифметическими свойствами основных инвариантов, fi-модулей, негрубой гомоклинической структуры, и одним из таких модулей был инвариант 0.

Вообще, существование модулей топологической сопряженности у систем с простой динамикой обнаружил Пэлис [106]. Он показал, что такими модулями обладают уже двумерные диффеоморфизмы с негрубой гетероклинической траекторией, в точках которой которых инвариантные многообразия двух разных седловых неподвижных точек имеют одностороннее касание. Пусть д - такой диффеоморфизм (класса С^г,г > 2), имеющий две грубые седловые неподвижные ТОЧКИ 0\ и 0₂ с собственными значениями A_s,7s такими, что |A_S| < 1 < \^y_s\,s = 1,2; кроме того H^/u(0₂) имеет одностороннее касание с W^s{0\) в точках некоторой гетероклинической траектории Г21 (рис. 0.4). Пэлис доказал в [106], что инвариант

1п|А₂| In |7i І

является модулем локальної! топологической сопряженности диффеоморфизмов с гетероклиническим касанием. Другими словами, если д и д' - два диффеоморфизма с гетероклиническими касаниями, то у и д' могут быть локально сопряжены только в том случае, когда

1п1А₂|₌ Ь1А'₂|
1п|7і| 1п|7ІҐ

Модули топологической сопряженности многомерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими траекториями были установлены в работе [100], где, в частности, были рассмотрены также случаи, когда седловые неподвижные точки являются седло-фокусами (в этих случаях помимо а модулями являются также угловые аргументы комплексных ведущих мультипликаторов). После [106] вообще появилась целая серии работ по модулям, см., например, [91, 92, 93, 94, 95], опять же для систем с простой динамикой, в которых рассматривались уже не только необходимые, но также и достаточные условия для существования топологической сопряженности.

Если говорить о системах с простой динамикой, имеющих только гетероклинические касания, то модули в них проявляются, по большей степени, как некоторые "препятствия" к построению сопрягающих гомеоморфизмов. В случае гомоклинических касаний или негрубых гетероклишпеских контуров, т.е. когда помимо того, что И "(0₂)

имеет касание с IV^s(0\), еще и W^u(Oi) пересекается с VT*'(О2), появление модулей представляется более естественным из-за возможности существования сложной динамики. Также естественно существование модулей топологической эквивалентности в случае векторных полей, имеющих петлю состояния равновесия типа седло-фокус (рис. 0.5). Явление всюду плотной fi-негрубости на бифуркационных поверхностях таких систем было открыто в работе [54] для случая трехмерных (в [57] также и многомерных) векторных полей. В этом случае поле X имеет состояние равновесия О с характеристическими корнями у₁₂ = — a±iu;,z>3 = Ь, где а > 0,w > 0,6 > 0, неустойчивая сепаратриса которого (одна из компонент в W^u(0)\0) ложится на И^7,4(О), образуя гомоклиническую петлю Г. Как показано в [54], структура множества Я траекторий, целиком лежащих в малой окрестности V = V(0 U Г), существенно зависит от значений инварианта Шильникова

^р=ь

Так, если 0 < р < 1, то ЛҐ имеет сложную структуру, которая, кроме того, меняется непрерывно при изменении значения инварианта р. Если же р > 1, то j\f = {О, Г}, но сложную структуру, также непрерывно зависящую от /?, имеет множество полутраекторий, w-предельных к Г. И опять, только в 80-х, Афраймович и Ильяшенко [б] (а также Тогава [124] в случае 0 < р < 1) показали, что р является модулем топологической экивалентности (но не О-?). Какие еще модули есть в случае седло-фокуса, неизвестно, хотя некоторые намётки имеются в [42, 43, 1].

Как мы уже отмечали, систематическое изучение Q-модулей было начато в работах [18, 23, 24], где их существование было явно доказано для случая многомерных систем с гомоклиническими касаниями. Также в [72] был рассмотрен случай гомоклинического касания к неподвижной точке типа седло-фокус с двумя парами комплексно-сопряженных мультипликаторов (т.н. случай (2,2)). В случае двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами модули изучались в работах [37, 27, 20, 71], причем в последних двух были рассмотрены двумерные симплектические отображения. В работах [28, 70, 74] были изучены бифуркации периодических траекторий в

_г

Рис. 0.5.

рамках трансверсальных параметрических семейств, проходящих через многомерную систему с простым гомоклиническим касанием. Наиболее интересные результаты здесь были получены в случае, когда, седловая неподвижная точка, у которой есть гомоклиническое касание, является седло-фокусом, т.е. она имеет комплексно-сопряженные ведущие мультипликаторы. В этих случаях, как показано в [28, 71], комплексные (угловые) аргументы ведущих мультипликаторов являются ^-модулями, и такие модули были рассмотрены, наряду с параметром расщепления, в качестве управляющих параметров.⁰ Основные результаты по исследованию бифуркаций были анонсированы в [28]. а доказательства для базовых случаев (без неведущих мультипликаторов) были приведены в [28. 70. 30. 75].

Еще одно интересное направление в исследовании гомоклинических бифуркаций это изучение бифуркаций в рамках параметрических семейств, которые не расщепляют исходное гомоклиническое или ге-тероклиническое касание. В этих случаях Г2-модули. вообще, стано-

Іакоп подход был реализован также при исследовании бифуркации четырехмерных снмплектических диффеоморфизмов, имеющих гомоклиническое касание к седло-фокусу. Основные бифуркации, в рамках двухпараметриче-ских трансвереальных семейств, были изучены в [78]. где было показано, что на плоскости параметров существует счетное множество областей, отвечающих существованию у диффеоморфизма эллиптической периодической точки общего типа (т.е. точек с мультпликаторами е*""¹,е*"*"², где 0 < ш\,Ш2 < tt.jji ф uji. и выполнены некоторые условия общего положения). В свою очередь, это позволило установить, что уже на бифуркационной поверхности таких систем (четырехмерных снмплектических диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием к седло-фокусу) плотны диффеоморфизмы со счетным множеством эллиптических периодических точек общего типа.

2]

вятся естественными управляющими параметрами. Бифуркации в семействах, где Q-модули являются параметрами были рассмотрены в [32, 24, 80, 47] - для случая систем с гомоклпническими касаниями; в [26, 68, 37, 27] - для случая двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами (в [20, 71] был рассмотрены симплек-тические диффеоморфизмы); в [42, 43, 65, 1] - для случая векторных полей с гомоклпническими петлями седло-фокусов. Среди результатов здесь можно отметить следующие: связь динамики с арифметическими свойствами основных Q-модулей (например, как показано в [32, 27], счетное множество (двухобходных) устойчивых периодических траекторий у диффеоморфизмов с гомоклпническими касаниями или негрубыми гетероклиническими контурами существует тогда, когда два основных инварианта 9 и т (см. 2.3, где определено г) являются иррациональными числами экспоненциально хорошо приближаемыми рациональными дробями); плотность значений двух П-модулей (опять же б¹ и г в случае гомоклиничес'кого касания), при которых система имеет двукратно вырожденную периодическую траекторию [80, 47, 1] (с мультипликатором +1 или —1 и равной нулю первой и отличной от нуля второй ляпуновскими величиными); плотность значений Q-модулей, при которых существуют вторичные гомоклинические касания [22. 66]. Последний результат следует особо отметить, поскольку он дает путь к построению, путем использования гладких локализованных добавков, систем со счетным множством новых гомоклиниче-ских касаний, а тем самым приводит к принципиально важному результату: на бифуркационной поверхности систем (третьего.класса) с гомоклиническим касанием плотны системы со счетным множеством О-модулей [24, 66, 70]. А это, a priori, означает, что гомоклинические бифуркации могут приводить к бесконечным вырождениям. Соответствующие результаты были установлены в [22, 66, 70, 21]. где было, в частности, показано, что в областях Ньюхауса плотны системы с периодическими траекториями и гомоклпническими касаниями любого порядка вырождения.

Что касается бифуркаций негрубых гетероклинических контуров, то, как кажется, они не представляли специального интереса, вплоть до появления работ [68, 126, 27], так как неявно предполагалось, что

бифуркации эти в некотором смысле аналогичны ^,1roMoiwHiHinecKiiM^v, и новых динамических эффектов здесь не следует ожидать. В указанных работах было обнаружено существование, у двумерных диффеоморфизмов, областеіі Ньюхауса со смешанной динамикой. Под этим термином понимаются области Ньюхауса, в которых 1) плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество седловых. устойчивых и вполне неустойчивых периодических траекторий (т.е. грубых траекторий всех типов); 2) замыкания этих счетных множеств траекторий пересекаются (и типично, когда это пересечение содержит нетривиальные гиперболические множества).

Научная новизна.

Если говорить о новых научных результатах, то их можно условно разбить на две группы. Первую группу составляют результаты, которые обобщают (так или иначе, а в основном переносят на многомерный случай) ранее известные. Вторую группу составляют те результаты, которые носят принципиально новый и характер, и ранее в теории динамических систем не были извесны.

К первой группе можно отнести следующие результаты.

7. Распространение классификации динамических систем с гомо-клиническими касаниями, данной Гавриловым и Шильниковым в [14] для случая двумерных диффеоморфизмов (трехмерных потоков), на общий многомерный случай. При этом, классификация идет по тому же типу: выделяется три класса систем — с простой динамикой (первый класс), с полным описанием (второй класс), со смешанным описанием (третий класс).

8. Установление гиперболических свойств многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями: выделение нетривиальных неравномерно гиперболических подмножеств и описание их структуры посредством символической динамики. Здесь используются и обобщаются разработанные в [55,14, 34, 27] методы построения гиперболических подмножеств, основанные на методе краевой задачи и принципе Банаха для последовательности седловых отображений, записанных в так называемом перекрестном виде [55].

9. Нахождение основной нормальной формы многомерного отобра-

жения в окрестности седловои неподвижной точки. Разные варианты были представлены ранее в [23, 24, 117]. В диссертации изложен самый общий (конечномерный) вариант.

Вторая группа новых результатов связана с новыми динамическими явлениями, которые ранее (до работ автора и его соавторов Тураева и Іїїильникова) в теории динамических систем не отмечались.

10. Теория Q-модулей систем с гомоклиническими касаниями и с негрубыми гетероклиннчсскими контурами. В случае гомоклинических касаний модули топологической сопряженности изучались в наших работах [32, 24], а также в [110, 111]; а П-модули были введены в [18, 19] и изучались в [24, 36, 28, 37, 72, 78].

11. Структура бифуркаций многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями, в особенности в случаях, когда неподвижная точка, многообразия которой имеют касание, является седло-фокусом. В этих случаях, в параметрических семейств, в которых в качестве параметров, помимо параметра расщепления, рассматриваются основные ^-модули, наблюдаются бифуркации, связанные с появлением как периодических траекторий с одним двумя и даже с тремя мультипликаторами на единичной окружности, так и инвариантных торов и даже странных аттракторов (последние, например, возникают в потоковых нормальных формах отображений вблизи неподвижных точек с мультипликаторами (1,-1,-1) или ( — 1,-1,-1) [116]).

12. Новые квадратичные "гомоклинические" отображения. В [28, 70, 30, 74] было показано, что отображения первого возвращения могут быть приведены с помощью гладких замен переменных и параметров к отображениям, которые асимптотически близки (когда время возвращения стремится к бесконечности) к стандартным квадратичным отображениям одного из следующих видов:

1. отображение параболы у = М\ — у'²;

2. отображение Эно х = у, у = М\ — Мух — у²;

3. отображение Мира х = у, у — Mi — М2У — х²\ с!) трехмерное отображение Эно

х = у, y = z, z = Mi - М₂х - M_zz - і/²;

е) обобщенное отображение Эно

х = у, у = Мі - М₂х - у² + sixy + ₂i/;

где М\,АІ2,Мз - параметры, і,"2 - некоторые малые коэффициенты. Заметим, что первое отображение является "универсальным", так как может быть найдено вблизи любой системы с простым квадратичным гомоклиническим касанием [25], тогда как отображения Ь)-е) возможны только в случаях седло-фокусов. Обобщенное отображение Эно было выведено в [73, 33, 79] для некоторых случаев гомоклини-ческих касаний коразмерности два, и в [69] для случая негрубого ге-тероклинического контура; отображение Мира было найдено также в [128] для некоторого случая трехмерных диффеоморфизмов имеющих вырожденное гомоклиническое касание. Из перечисленных отображений, отображения а),Ь) и с) достаточно хорошо известны и изучены, тогда как d) и е) еще нуждаются в более детальном изучении.

4. Установление новых динамических явлений в областях Ньюхауса. Наиболее популярное свойство динамики систем из областей Ньюхауса, открытое в [98], это сосуществование счетного множества седловых и счетного множества устойчивых периодических траекторий. Оно характерно для областей Ньюхауса вблизи диффеоморфизмов, имеющих гомоклиническое касание многообразий седловой неподвижной точки в случае, когда неустойчивое многообразие одномерно и сед-ловая величина меньше единицы. Как мы установили, [28. 70, 74], в общем многомерном случае существуют области Ньюхауса, в которых плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество грубых периодических траекторий трех или четырех разных типов, а также периодические траектории с двумя или даже тремя мультипликаторами, равными по модулю единице.

5. Доказательство существования областей Ньюхауса со смешанной динамикой, т.е. таких областей, в которых плотны системы со счетным множеством грубых периодических траєкторнії всех типов, которые допускает размерность. В [68, 27] было показано, что такие области Ньюхауса существуют вблизи двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами в случае "знакопеременной дивергенции" (т.е. когда контур содержит две седловые точки та-

кие, что седловая величина одной больше единицы, а другой - меньше единицы).

б) Установлено, что в областях Ньюхауса, существующих вблизи двумерных С^г-гладких диффеоморфизмов с квадратичными гомокли-ническими касаниями, плотны, в С-топологии для любого г < оо, диффеоморфизмы, имеющие бесконечно вырожденные периодические и гомоклинические траектории.⁵

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 128 наименований.

В первой главе изучаются общие свойства многомерных систем с простым гомоклиническим касанием. Определение простого гомокли-нического касания дается в параграфе 1.1. Здесь рассматривается С^г-гладкий, г > 3 , диффеоморфизм /, заданный на (т -f тг)-мерном, т. > 1.77 > 1. гладком многообразии. Пусть / имеет седловую неподвижную точку О. у которой dim W^s(0) = т , dim И'"(О) = /7, и, кроме того, IV^s (О) и W^u(0) пересекаются нетрансверсально в точках некоторой гомоклинической траектории Го. Пусть Ai,..., A_m, 71, --.,7/1 - мультипликаторы точки О, упорядоченные так, что | у_п |> ... >| 7i |> 1 >| Ai |> ... >| А_ш | . Обозначим А =| Ai | , у =| 71 I- Мультипликаторы А; будем называть устойчивыми, а у^ - неустойчивыми. Разобьем мультипликаторы на две группы: ведущие и неведущие. К ведущим отнесем те мультипликаторы, абсолютные величины которых равны А и 7, а к неведущим - остальные. Мы предполагаем, что выполнено следующее условие.

А. Ведущие мультипликаторы точки О являются простыми, и О

Нужно отметить, что этот результатуже вызвал определенный резонанс в теории динамических систем в целом. Во-первых, он показывает, что качественные методы, в традиционном их понимании, здесь не работают, поскольку никакого конечно-параметрического семейства не достаточно для полного исследования динамики систем в областях Ньюхауса. Кроме того, указанные бесконечные вырождения могут быть "любыми": например, плотны диффеоморфизмы с континуумом периодических и гомоклинических точек (в первом случае имеется периодическая точка, некоторая степень которой в ограничении на центральном многообразии является локаїьно тождественным отображением, а во втором случае устойчивое и неустойчивое многообразия некторой седловои точки локально совпадают). Оказалось, что из этих фактов можно извлечь разного сорта "экзотические" свойства систем из областей Ньюхауса. Так, в [85] было показано, что в указанных областях Ньюхауса типичны (т.е. выполняются для множеств второй категории) диффеоморфизмы, обладающие суперэкспонеициальным ростом с периодом числа периодических точек (что опровергает гипотезу Смейла о типичности диффеоморфизмов Артина-Мазура). Совсем недавно некоторые совсем нетривиальные следствия были выведены в работе [61]: в областях Ньюхауса 1) типичны С'^г-диффеоморфизмы, не сопряженные ни с каким С-диффеоморфизмом; 2) типичны (двумерные) диффеоморфизмы, имеющие транзитивные гиперболические множества с максимальной (равной двум) хаусдорфовой размерностью.

принадлежит к одному из следующих четырех типов: (1,1) Лі и 7і действительны и Л >| Л2 |,7 <| 72 | 5

1. Лі^ = Ле^±г^(<^ ф 0,7г),7і действителен и Л >| Лз |,7 <| 72 \\

2. Лі действителен, 71,2 = ^е^±гф(ф ф 0,7г) и Л >| Л₂ |,7 <1 7з I 5 (2,2) Л_1і2 = Ле^±г> , 71,2 = іе^&іф ф 0,тг) и Л >| Лз |,7 <| 73 |

Точку О будем называть седлом в первом случае и седло-фокусом, во всех остальных. Обозначим через n_s , а через п_и — число ведущих неустойчивых мультипликаторов. Соответственно будем приписывать диффеоморфизму или седловой неподвижной точке тип (n_s,n_u). Введем константу J = Л^п"7"", которая есть модуль произведения ведущих мультипликаторов точки О. Мы предполагаем также, что / удовлетворяет одному из следующих условий общего положения.

В. J < 1, и Л7 Ф 1 в случае (2,1), и Л7² ф 1 в случае (2,2) ; или

В^;. J > 1, и Л7 Ф 1 в случае (1,2), и Л²7 Ф 1 в случае (2,2)..

Остальные условия C,D,E и F касаются уже характера пересечения многообразий IV^s [О) и W^u(0) в точках гомоклинической траектории Го- Так, условие С предполагает, что IV^s(О) и W^u(0) имеют ровно одно касательное направление; условие D, что касание вдоль этого направления квадратичное; условие Е, что расширенные устойчивое и неустойчивое многообразия в гомоклинических точках пересекаются трансверсально с слоями соответственно сильно неустойчивого и сильно устойчивого инвариантных слоений; условие Е, что гомоклиниче-ские точки не принадлежат сильно устойчивому и сильно неустойчивому многообразиям.

Параграфы 1.2 и 1.6 носят преимущественно технический характер. В 1.2 изучаются локальное Го и глобальное Ті отображения. Отображение То - это отображения по траекториям диффеоморфизма из малой окрестности седловой неподвижной точки. Отображение Ті - это отображение по траекториям диффеоморфизма из некоторой малой окрестности глобального куска гомоклинической траектории. Мы показываем, что отображение То может быть приведено к так называемой "основной нормальной форме" - лемма 1.1, а также описываем поведение его итераций - лемма 1.2. Также в параграфе 1.2 устанавливается "нормальная" форма глобального отображения Ті -

лемма 1.3. Эти результаты используются всюду в дальнейшем. В 1.6 доказываются леммы 1.1, 1.2 и 1.3.

В 1.3 излагается, в основном, геометрическая теория многомерных систем с гомоклпническпми касаниями (здесь описывается геометрия областей определения и значения отображений вблизи седла и вблизи гомоклинической орбиты - "подковы и полоски"). Здесь же приводится общая схема описания множества N траекторий, целиком "лежащих в достаточно малой фиксированной окрестности негрубой гомоклинической траектории.

В 1.4 дается описание нетривиальных гиперболических подмножеств многомерных диффеоморфизмов с простым гомоклнническим касанием (теоремы 1.1 и 1.2). С этой целью, строится специальная окрестность негрубой гомоклинической траектории (лемма 1.4) и определяется характер пересечений подков и полосок (лемма 1.5).

В параграфе 1.5 дается классификация многомерных диффеоморфизмов с простым гомоклнническим касанием. Следуя линии [14], мы разбиваем рассматриваемые многомерные диффеоморфизмы на три класса, в зависимости от типа описания множества N. Первый класс составляют диффеоморфизмы с тривиальным описанием, здесь A^r = О П Го (теорема 1.3). Ко второму классу мы относим диффеоморфизмы, допускающие полное описание, когда все траектории в Д^г, за исключением Го, седловые, и N определяется с помощью топологической схемы Бернулли из трех символов (теорема 1.4). Диффеоморфизмы первого и второго класса являются релятивно fi-грубыми в том смысле, что структура множества N у них не меняется, когда сам диффеоморфизм варьируется без расщепления исходного гомоклини-ческого касания. Остальные диффеоморфизмы относятся к третьему классу (к нему принадлежат, в частности, все диффеоморфизмы типа (2,2) и (1,2), последние при выполнении условия В), и они имеют смешанное описание множества Л^г: здесь в N^ содержатся нетривиальные гиперболические подмножества (в частности, в N содержится счетное множество "подков Смейла" - теорема 1.5), которые, вообще говоря, всё N не исчерпывают.

Вопросы о модулях топологической и Q-сопряженности диффеоморфизмов с гомоклпническпми касаниями рассмотриваются в главе 2.

В 2.1 даются определение модуля, локальной топологической и Q-сопряженности (соответственно определения 2.1,2.2 и 2.3) и рассматриваются некоторые их " абстрактные" свойства безотносительно к конкретной динамике. В параграфах 2.2-2.7 уже более конкретно рассматриваются вопросы о существовании модулей топологической и Q-сопряженности в случаях многомерных диффеоморфизмов с гомо-клиническими касаниями. При этом, мы находим явный вид только основных модулей (результаты о существовании счетного множества Q-модулей доказываются в диссертации только для случаев двумерных диффеоморфизмов, соответственно в главах 4 и 5). Кроме того, в случае гомоклинических касаний можно выделить модули трех типов. Это, во-первых, так называемые простые модули. Это модули топологической сопряженности такого же характера, что и при гетероклини-ческом касании, т.е. при изменении значений таких модулей меняется структура блуждающий траекторий, которые не являются особыми. Во-вторых, существуют модули, которые мы будем называть предельными и которые являются модулями на множестве (полу)траекторий либо ^'-предельных (при Л7 < 1), либо а-предельных (при А7 > 1) к го-моклиническим. По существу, модули двух этих типов представляют интерес только в случае диффеоморфизмов первого и второго классов. Наконец, в случае диффеоморфизмов третьего класса существуют Q-модули, т.е. модули локальной топологической сопряженности на множестве неблуждающих траекторий. В 2.2 рассматриваются простые модули у диффеоморфизмов первого класса и предельные модули у диффеоморфизмов второго класса. Здесь показано (теорема 2.1). что таким модулем является 9 - инвариант Гаврилова-Шильникова. Предельные модули в случае диффеоморфизмов первого класса рассматриваются в 2.3. Мы выделяем два таких основных модуля 9 и г₀ в случае диффеоморфизмов типа (1,1) - теорема 2.2, и (р и 9 в случае диффеоморфизмов типа (2,1) - теорема 2.3. В остальных параграфах изучаются Г2-модули: в 2.4 рассматриваются диффеоморфизмы третьего класса типа (1,1); в 2.5 - типа (2,1); в 2.6 - типа (1,2); в 2.7 - типа (2,2). Мы выделяем основные fi-модули: 9 и tq в случае (1,1) -теорема 2.4; <р и 9 в случае (2,1) - теорема 2.5; ф и 9 в случае (1,2) -теорема 2.6; ф,<р и 9 в случае (2,1) - теоремы 2.7 и 2.8 (за исключением

резонансных случаев ф = (р = {7г/2,27г/3}, когда 9 может и не быть модулем).

Символическая динамика для траекторий из окрестности негрубой гомоклинической орбиты

Исследование систем с гомоклиническими структурами является весьма актуальным также с точки зрения теории динамического хаоса, математическим образом которого является странный аттрактор -нетривиальное притягивающее множество с неустойчивым поведением траекторий на нём. Гомоклинические орбиты являются не только необходимым атрибутом любого странного аттрактора, но и определяют главные элементы его динамики. Поэтому весьма часто термином "гомоклинический хаос" обозначают хаотическую динамику, демонстрируемую странными аттракторами, отличными от гипербо лических и квазигиперболических (аттракторов Лоренца). Аттракторы последних двух типов тоже содержат гомоклинические траектории Пуанкаре, но они являются здесь грубыми. В большинстве же динамических моделей с хаотическим поведением встречаются (неустранимым образом) гомоклинические касания. Более того," в основе механизмов возникновения и разрушения странных аттракторов могут лежать бифуркации, связанные с образованием гомоклинических касаний. Благодаря опять же гомоклиническим касаниям, внутренняя структура большинства аттракторов является неоднородной: помимо "больших" гиперболических подмножеств, содержащих седловые периодические траектории одного индекса, могут существать также устойчивые траектории или седловые других индексов. Некоторые типы аттракторов, так называемые квазиаттракторы [59]. считающиеся "странными" на физическом уровне, содержат помимо седловых траекторий ещё и асимптотически устойчивые периодические траектории, но весьма больших периодов. Существование таких устойчивых траекторий вытекает из теории [14, 98], и типична ситуация, когда устойчивых периодических траекторий бесконечно много и в замыкании они содержат нетривиальные гиперболические подмножества [98]. Тогда, естественно, возникает вопрос (Ньюхаус), а что мы наблюдаем: хаотическую (неравномерно) гиперболическую динамику, или сложный переходный (очень долговременный) процесс притяжения к устойчивым периодическим траекториям. По-видимому, здесь происходит одновременно и то и другое, и какие процессы превалируют при этом совсем не очевидно. Во всяком случае, некоторые устойчивые периодические траектории могут проявлять себя как "окна устойчивости". При этом указанное поведение траекторий может быть характерным для открытых областей значений параметров (областей Ньюхауса), и эти области, как показывают вычисления [87], могут быть весьма обширны. Даже если в аттракторе гарантированно нет устойчивых периодических траекторий, как, например, в диких спиральных аттракторах [50], проблемы, связанные с неоднородностью структуры, остаются. Наконец, существование вырождений высоких порядков говорит о том, что в гомоклиническом хаосе нет той масштабной инвариантности, которая характерна для гиперболической и одномерной динамики.

Если посмотреть с другого конца, то исследование систем с гомоклиническими касаниями или с негрубыми гетероклиническими контурами, является естественным продолжением гиперболической теории. Дело в том, что гиперболическая теория, развитая в трудах Алексеева, Аносова, Синая, Смейла, Песина и др., см. [2, 3], имеетдело, в основном, с грубыми гиперболическими множествами. II здесь Q-множество состоит из конечного числа так называемых гиперболических базисных множеств. В системах с гомоклиническими касаниями тоже есть свои "базовые" гиперболические множества [14, 34], которые формируют во многом скелет множества неблуждающих траекторий но всё его, вообще говоря, не исчерпывают. Кроме того, указанные "базовые" множества в совокупности не являются грубыми и меняют свою структуру при изменении параметров.1 При этом могут возникать гиперболические подмножества весьма различной природы: "тонкие", "толстые", с малой и большой хаусдорфовой размерностью [99, 103]. Причем, существование "аномальных" гиперболических множеств ("толстых" и с большой хаусдорфовой размерностью) является типичным свойством систем в областях Ньюхауса [61]. Исследование таких гиперболических множеств является одной из наиболее трудных задач в данной тематике. Но эта задача очень важна, поскольку как раз такие гиперболические множества делают возможным неустранимые касания, и таким образом, ответственны за явление "грубой негрубости", весьма важного для нелинейной динамики.

Основная цель диссертации — это исследование динамических явлений в многомерных системах, которые вносят гомоклинические касания. В связи с этим, вторичной целью является разработка новых методов исследования систем со сложным поведением траекторий, включающая также обобщение уже известных методов.

Основная часть диссертации (главы 1,2 и 3) посвящены изучению многомерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями. Главы 4 и 5, где рассматриваются двумерные диффеоморфизмы, дополняют эти исследования — здесь акцент делается на выяснение новых и весьма неожиданных динамических явлений (основные из которых — существование областей Ньюхауса со смешанной динамикой и существование бесконечных вырождений в областях Ньюхауса).

Основные задачи, которые рассматриваются в диссертации можно разбить на следующие большие группы. 1) Классификация многомерных систем с гомоклиническими касаниями и исследование их гиперболических свойств. 2) Теория модулей топологической и П-сопряженностн (fi-мо дулей) многомерных систем с гомоклиническими касаниями. 3) Исследование основных бифуркаций в рамках общих (трансвер-сальных) конечно-параметрических семейств (в которых в качестве управляющих параметров, помимо параметров расщепления, рассматриваются также Г2-модули. 4) Исследование условий существования в областях Ньюхауса грубых периодических траекторий различных топологических типов, а также негрубых периодических траекторий и инвариантных торов. 5) Установление существования областей Ньюхауса различных типов, и, в частности, доказательство существования областей Ньюхауса со смешанной динамикой, в которых плотны системы со счетным множеством грубых периодических траекторий всех типов, которые допускает размерность. 6) Доказательство плотности в областях Ньюхауса систем с бесконечно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями, и тем самым, установление невозможности полного исследования динамики таких систем с помощью конечно-параметрических семейств.

Модули Гі-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией в случае (1,2)

Как мы уже отмечали, систематическое изучение Q-модулей было начато в работах [18, 23, 24], где их существование было явно доказано для случая многомерных систем с гомоклиническими касаниями. Также в [72] был рассмотрен случай гомоклинического касания к неподвижной точке типа седло-фокус с двумя парами комплексно-сопряженных мультипликаторов (т.н. случай (2,2)). В случае двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами модули изучались в работах [37, 27, 20, 71], причем в последних двух были рассмотрены двумерные симплектические отображения. В работах [28, 70, 74] были изучены бифуркации периодических траекторий в рамках трансверсальных параметрических семейств, проходящих через многомерную систему с простым гомоклиническим касанием. Наиболее интересные результаты здесь были получены в случае, когда, седловая неподвижная точка, у которой есть гомоклиническое касание, является седло-фокусом, т.е. она имеет комплексно-сопряженные ведущие мультипликаторы. В этих случаях, как показано в [28, 71], комплексные (угловые) аргументы ведущих мультипликаторов являются -модулями, и такие модули были рассмотрены, наряду с параметром расщепления, в качестве управляющих параметров.0 Основные результаты по исследованию бифуркаций были анонсированы в [28]. а доказательства для базовых случаев (без неведущих мультипликаторов) были приведены в [28. 70. 30. 75].

Еще одно интересное направление в исследовании гомоклинических бифуркаций это изучение бифуркаций в рамках параметрических семейств, которые не расщепляют исходное гомоклиническое или ге-тероклиническое касание. В этих случаях Г2-модули. вообще, становятся естественными управляющими параметрами. Бифуркации в семействах, где Q-модули являются параметрами были рассмотрены в [32, 24, 80, 47] - для случая систем с гомоклпническими касаниями; в [26, 68, 37, 27] - для случая двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами (в [20, 71] был рассмотрены симплек-тические диффеоморфизмы); в [42, 43, 65, 1] - для случая векторных полей с гомоклпническими петлями седло-фокусов. Среди результатов здесь можно отметить следующие: связь динамики с арифметическими свойствами основных Q-модулей (например, как показано в [32, 27], счетное множество (двухобходных) устойчивых периодических траекторий у диффеоморфизмов с гомоклпническими касаниями или негрубыми гетероклиническими контурами существует тогда, когда два основных инварианта 9 и т (см. 2.3, где определено г) являются иррациональными числами экспоненциально хорошо приближаемыми рациональными дробями); плотность значений двух П-модулей (опять же б1 и г в случае гомоклиничес кого касания), при которых система имеет двукратно вырожденную периодическую траекторию [80, 47, 1] (с мультипликатором +1 или —1 и равной нулю первой и отличной от нуля второй ляпуновскими величиными); плотность значений Q-модулей, при которых существуют вторичные гомоклинические касания [22. 66]. Последний результат следует особо отметить, поскольку он дает путь к построению, путем использования гладких локализованных добавков, систем со счетным множством новых гомоклиниче-ских касаний, а тем самым приводит к принципиально важному результату: на бифуркационной поверхности систем (третьего.класса) с гомоклиническим касанием плотны системы со счетным множеством О-модулей [24, 66, 70]. А это, a priori, означает, что гомоклинические бифуркации могут приводить к бесконечным вырождениям. Соответствующие результаты были установлены в [22, 66, 70, 21]. где было, в частности, показано, что в областях Ньюхауса плотны системы с периодическими траекториями и гомоклпническими касаниями любого порядка вырождения.

Что касается бифуркаций негрубых гетероклинических контуров, то, как кажется, они не представляли специального интереса, вплоть до появления работ [68, 126, 27], так как неявно предполагалось, что бифуркации эти в некотором смысле аналогичны ,1roMoiwHiHinecKiiMv, и новых динамических эффектов здесь не следует ожидать. В указанных работах было обнаружено существование, у двумерных диффеоморфизмов, областеіі Ньюхауса со смешанной динамикой. Под этим термином понимаются области Ньюхауса, в которых 1) плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество седловых. устойчивых и вполне неустойчивых периодических траекторий (т.е. грубых траекторий всех типов); 2) замыкания этих счетных множеств траекторий пересекаются (и типично, когда это пересечение содержит нетривиальные гиперболические множества).

Если говорить о новых научных результатах, то их можно условно разбить на две группы. Первую группу составляют результаты, которые обобщают (так или иначе, а в основном переносят на многомерный случай) ранее известные. Вторую группу составляют те результаты, которые носят принципиально новый и характер, и ранее в теории динамических систем не были извесны.

К первой группе можно отнести следующие результаты. Распространение классификации динамических систем с гомо-клиническими касаниями, данной Гавриловым и Шильниковым в [14] для случая двумерных диффеоморфизмов (трехмерных потоков), на общий многомерный случай. При этом, классификация идет по тому же типу: выделяется три класса систем — с простой динамикой (первый класс), с полным описанием (второй класс), со смешанным описанием (третий класс).

Классы двумерных диффеоморфизмов с простейшим негрубым гетероклиническим контуром

. Здесь, по-существу. наибольший интерес вызывают случаи, когда среди ведущих мультипликаторов седловои неподвижной точки есть комплексно-сопряженные, т.е. когда неподвижная точка является седло-фокусом. Мы различаем три основных типа седло-фокусов по характеру ведущих мультипликаторов: седло-фокус (2,1), когда устойчивые ведущие мультипликаторы комплексные, т.е. они образуют пару вида \е±гір, где 0 А 1,0 9 тг, а неустойчивый мультипликатор 7, где -у 1, действителен; седло-фокус (1,2), когда устойчивый мультипликатор действителен, а неустойчивые -комплексные, т.е. вида 7е±г , где 7 1,0 ф 7г; седло-фокус (2,2), когда и устойчивые и неустойчивые ведущие мультипликаторы комплексные. В случае седло-фокусов, в соответствующих областях Нью-хауса могут быть плотны диффеоморфизмы со счетным множеством сосуществующих грубых периодических траекторий трех и даже четырех разных (соседних) индексов (теорема 3.4). Последнее, например, может иметь место в случае седло-фокуса (2.2).

Что касается существования устойчивых периодических траекторий, то мы показываем (теорема 3.5), что если седловая неподвижная точка не имеет неустойчивых неведущих мультипликаторов, а модуль J произведения ведущих мультипликаторов меньше единицы, то в соответствующих областях Ньюхауса плотны системы со счетным множеством устойчивых периодических траекторий. С другой стороны, если либо J 1, либо существуют неведущие неустойчивые мультипликаторы, то устойчивых периодических траекторий в малой окрестности гомоклинической орбиты нет как у самой системы (с простым гомоклиническим касанием), так и у всех близких.

Что касается бифуркаций периодических траекторий, то здесь в случае гомоклинического касания к седло-фокусу могут встречаться (помимо седло-узловых и бифуркаций удвоения периода) бифуркации. связанные с появлением у периодической траектории двух или даже трех, как в случае седло-фокуса (2,2), мультипликаторов на единичной окружности. Причем, диффеоморфизмы с такими мультипликаторами плотны в областях Ньюхауса (теорема 3.3), а сами мультипликаторы могут образовывать либо любую пару из множества {(1,1),(1,-1), (—1, —1), (еш, е ги )}, либо любую тройку из множества {(1,1,1), (1,1,-1),(1,-1,-1),(-1,-1, -1), (1, е-, е-), (-1, е-, е-)}, причем для любого и из интервала (0,7г). Отметим, что периодические траектории, имеющие три мультипликатора на единичной окружности . могут порождать при локальных бифуркациях странные аттракторы [116, 70, 77] (лоренцевского типа, спиральные и т.п.).

В случае мультипликаторов е±гш из периодической траектории могут рождаться замкнутые инвариантные кривые. Мы показываем, что в случае гомоклинического касания к седло-фокусу, когда выполнены условия теоремы 3.5. (т.е. нет неустойчивых неведуших мультипликаторов и J 1), в соответствующих областях Ньюхауса плотны диффеоморфизмы со счетным множеством устойчивых инвариантных замкнутых кривых. Этот результат доказывается в теореме 3.6.

В определенном смысле глава 4 тесно связана (как по методами исследования, так и по характеру полученных результатов) с предыдущими главами. Отличие состоит в самом объекте исследования. Здесь мы рассматриваются двумерные диффеоморфизмы с негрубыми гете-роклиническими контурами, т.е. имеется уже не одна седловая неподвижная точка (или периодическая траектория), а по крайней мере две, и не одна гомоклиническая траектория, а по крайней мере две гетероклинических. В этом случае гетероклиническим контуром мы называем набор из седловых неподвижных (периодических) точек и их гетероклинических траекторий. Мы рассматриваем случай, когда по крайней мере одна из данных гетероклинических траекторий является негрубой (нетрансверсальной), т.е. в ее точках инвариантные многообразия двух седловых точек пересекаются нетрансверсально.

Несмотря на существенную схожесть динамики систем с гомокли-ническими касаниями и систем с негрубыми гетероклиническими контурами (которая проявляется даже в деталях: существует три класса контуров таких же типов, как и в гомоклиническом случае; диффео :и морфизмы третьего класса имеют нетривиальные гиперболические подмножества; существуют Q-модули, и т.п.), есть и принципиальные различия, на которые и делается основной акцент.

Когда мы имеем дело с гомоклиническими касаниями, то как одно из важнейших характеристических свойств таких систем, отмечается свойство сосуществования счетного множества периодических траекторий различных топологических типов (см. теорему 3.4 из главы 3). Применительно к двумерным диффеоморфизмам это свойство проявляется в следующем: в областях Ньюхауса, связанных с гомокли-ническим касанием седловой неподвижной точки, плотны диффеоморфизмы, у которых наряду с седловыми периодическими траекториями существует либо счетное множество устойчивых, если седловая величина а неподвижной точки меньше единицы, либо счетное множество вполне неустойчивых периодических траекторий, если и 1. Если а ф 1, то устойчивые и вполне неустойчивые траектории в указанных областях Ньюхауса сосуществовать не могут. Что касается негрубых гетероклинических контуров, то в том случае, когда седловые величины всех неподвижных точек контура одноврехменно меньше или больше единицы, результаты принципиально не отличаются от известных в случае диффеоморфизмов с гомоклиническим касанием. Однако, если в контуре имеются хотя бы две неподвижные точки, у одной из которых седловая величина меньше единицы, а у другой больше единицы, то возникает новое явление: вблизи диффеоморфизма с таким контуром существуют области Ньюхауса со "смешанной динамикой", в которых плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество седловых, счетное множество устойчивых и счетное множество вполне неустойчивых периодических траекторий (т.е. грубых периодических траекторий всех возможных типов).8

Гиперболические свойства диффеоморфизмов с гомоклн-ническим касанием третьего класса

Таким образом, достаточно показать, что все отображения из последовательности (1.50) являются седловыми, именно, что эти отображения, записанные в перекрестном виде, будут определены на компактных метрических пространствах (в нашем случае эти пространства есть /о х J\ (см- Ф0РМУЛУ (1-41)) и будут являться сжимающими отображениями с константой сжатия меньшей, чем . Заметим, что мы уже показали выше, при доказательстве леммы lemper, что перекрестное отображение (Tjj)t определено на IQ Х J\ , область его значений принадлежит также IQ Х JI, и это отображение является сжимающим. Таким образом, это завершает доказательство для случая неасимптотических к О траекторий. В случае траекторий, которые являются асимптотическими к О , доказательство вполне аналогично (см. также [14]). Отличие состоит только в том, что вместо (1.50) мы должны рассматривать последовательности, которые содержат бесконечную подпоследовательность, составленную из отображений То и стоящую либо на правом, либо на левом конце (либо и справа, и слева— для го-моклинической к О траектории). Так как То - седловое отображение (в достаточно малой окрестности Щ), то лемма 1.6 о седловой неподвижной точке применима и к таким последовательностям, что дает нам искомый результат о существовании и единственности.

Теорема 1.1 показывает, что в множестве N можно выделить нетривиальное гиперболическое подмножество Nj., которое может быть описано следующим образом. Рассмотрим простанство всех бесконечных в обе стороны последовательностей, составленных из трех символов {0,1,2}; напомним, что отображение сдвига Е на этом пространстве называется топологической схемой Бернулли из трех символов. Отождествим две гомоклинические траектории (...,0,...,0,1,0,...,0,...) и (...,0,...,0,2,0,...,0,...), полученную траекторию обозначим как UJ. Рассмотрим подпространство В полученной фактор-системы, которое содержит траектории (...,0,...,0,...) и о), а также все символические последовательности, удовлетворяющие условию:

Длина любого полного отрезка, состоящего из символов "0", не меньше,чем к + Щ — 1 . В Б выделим подмножество Б, содержащее траектории (..., 0,..., 0,...) и о), а также все траектории для которых выполнено условие 2. Пусть (ks + по — 1) и (ks+\ + Щ — 1) - длины следующих друг за, другом полных отрезков, составленных из символов "0" и разделен ных символом 1 V или "2" . Тогда, для любого s , пара (j = кы,г = AVH) допустима. Имеет место следующий результат. Теорема 1.2. Пусть f - рассматриваемый диффеоморфизм с гомо-клиническим касанием. Тогда, для любого .достаточно большого k , в N существует подсистема N k такая, что 1) / у сопряжено символической подсистеме Е ; 2) все траектории из ЛгДГо являются седловыми. Доказательство основано на том, что соответствие между траекторией и ее уточненной кодировкой вида (1.48) является непрерывным отображением (когда траектории (...,0,...,0,1,0,...,0,...) и (...,0, ...,0,2,0, ...,0,...) отождествлены). Из доказательства теоремы 1.1 вытекает также, что кодирование является взаимо-однозначным отображением из Щ в Б - следовательно, это отображение есть гомеоморфизм; а по построению кодировки, мы получаем немедленно, что это отображение является топологической сопряженностью между / Ідг. и символической системой Е g . Мы имеем уже формальное разбиение диффеоморфизмов с гомокли-ническим касанием на типы (1,1), (2,1), (1,2) и (2,2) в зависимости от характера ведущих мультипликаторов седловой неподвижной точки. Но это разбиение не касается динамических свойств рассматриваемых диффеоморфизмов. В то же время, теоремы 1.1 и 1.2, а также лемма 1.5, показывают, что системы с гомоклиническими касаниями можно попытаться проклассифицировать по характеру динамики, и прежде всего - по типу описания множества Л траєкторнії, целиком лежащих в малой окрестности негрубой гомоклишпеской орбиты. Мы здесь следуем линии статьи [14], где была дана соответствующая классификация трехмерных потоков (двумерных диффеоморфизмов) с квадратичными гомоклиническими касаниями.3 Также как и в [14], мы разбиваем рассматриваемые многомерные диффеоморфизмы с простым гомоклиническим касанием на три класса, в зависимости от типа описания множества iVj.. К первому классу отнесем диффеоморфизмы с простым гомоклиническим касанием в случае (1,1), у которых DQ 0 и 71 0," а также диффеоморфизмы в случае (2,1), у которых А7 1 и Do 0, 71 0. Ко второму классу отнесем диффеоморфизмы с простым гомоклиническим касанием в случае (1,1), у которых Ai 0,71 0,с 0 и о 0. К третьему классу отнесем все остальные диффеоморфизмы с простым гомоклиническим касанием. В частности, все диффеоморфизмы, имеющие простое гомоклиническое касание к седо-фокусам типа (1,2) или (2,2) будут третьего класса. Замечание. Для приведенной классификации существенно условие В, т.е. A"s7"u 1, которое мы везде предполагаем для определенности. Хотя случай А"57"" 1 сводится к рассматриваемому путем перехода к обратному диффеоморфизму /-1, однако, кажется более удобным дать классификацию непосредственно для него. Тогда, в случае А"57п" 1, к первому классу относятся диффеоморфизмы в случаях (1,1), а также (1,2) с А7 1, у которых CDQ 0 и Ai 0; ко второму классу - те диффеоморфизмы в случае (1,1), у которых Ai 0,71 0, с 0 и DQ 0; и, наконец, к третьему - все остальные.

Похожие диссертации на Динамические системы с гомоклиническими касаниями, омега-модули и бифуркации

Функционализация параметра в задаче о локальных бифуркациях динамических системИбрагимова Лилия Сунагатовна

Инвариантные множества и бифуркации динамических систем с ударамиКрыжевич, Сергей Геннадьевич

Исследование локальных и нелокальных бифуркаций в системе уравнений Лоренца Калошин Дмитрий Александрович

Качественное поведение траекторий и бифуркаций дискретных фазовых системЛебедева, Лариса Владимировна

Бифуркация квазипериодических движений гладких систем дифференциальных уравненийУспенская, Наталия Викторовна

Бифуркации предельных циклов квадратичных автономных систем на плоскостиГайко, Валерий Александрович

Методы исследования локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системахМуртазина, Сария Аширафовна

Устойчивость и бифуркации семейств равновесий и стационарных движений симметричных и косимметричных динамических системКуракин Леонид Геннадиевич

Устойчивость и бифуркации систем управления с цилиндрическим пространством состоянийКондратьева, Наталья Васильевна

Динамические бифуркации в системах с шумомСуровяткина, Елена Дмитриевна