Введение к работе
Актуальность теша. Многие задачи естествознания и (хники в плане их теоретического обоснования тесно связаны с [фференциальными уравнениями,в том числе и с обыкновенными.
Основная теорема аналитической теории дифференциальных
іавнений - .теорема Коши - при весьма общих предположениях
ірантирует существование и 'единственность голоморфного
>шения дифференциального уравнения при заданных начальны::
їловиях. Но метод Коши не позволяет изучить особые точки
«пения. ' .
Вопрос о поведении решений дифференциальных уравнений в местности особых точек впервые был поставлен Врио и Буке , итавшими особыми тзкио точки, в которых нарушается хотя бы сно из условий теоремы Коши о существовании и единственности ішения.
Нелинейные дифференциальные уравнения, как . правило, іеют подвижные особые точки.
Особые точки аналитических функций разделяют обычно на позначные и многозначные, изолированные и неизолированные, простейшими - из них считаются изолированные однозначные юбые точки типа полюсов. Поэтому естественно, что первые следования в аналитической теории нелинейных фференциальных уравнений второго порядка были направлены на і, чтобы построить классы уравнений с наиболее простыми 1ДВИЖНЫМЛ особенностями. В работах Пенлеве, Пикара, Гарнье, мбье и других авторов была решена задача выделения класса ізвнений, решения которых свободны от многозначных подвижных обых точек, из уравнений вида
W = R(w',w,z), (1)
[е R - рациональная. относительно w и w функция с їломорфннми в некоторой области коэффициентами 'по z (эту дачу позднее стали называть задачей Пенлеве).
Полученные при решении- задачи Пенлеве результаты можно
v.
сформулировать следующим образом: множество уравнений видг (!), все подвижные особые точки которых однозначны, содержит 50 канонических уравнений; шесть из низ (неприводимые уравнения Пенлеве) порождают, вообще говоря, новые трнсцендентные.функции (трансцендентные Пенлеве).
Н.П. Еругин в 1952 и 1957 годах поставил ряд зада' относительно свойств решений уравнений Пенлеве. Среди ниг і такие: что можно сказать о тех уравнениях вида (1}, которьк отсеяны методом Пенлевэ, как уравнения заведомо имеющие подвижные многозначные особые точки? каков характер эти: особых точек? как можно построить -ешение в их окрестности' Об этих же задачах говорят в 1990 году в своей монографиз "Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве" Грома: В.И. и Лукашевич Н.А.
В диссертации названные задачи рассма /ркваются д честных случаев уравнения (1). Интересно сравнить вно получающиеся- результаты с уже- известными, поэтому д исследования выбраны уравнения, имеющие при некотор значениях коэффициентов только одиозна'пше подвижнуе особ точки.
Для того чтобы уравнение (1) имело только однозначные подвижные особые точки, необходимо, чтобы функция P.(W',W,2 была относительно W полиномом второй степени:
W г A(W,Z)W'2 + B(«,Z) W + 0(41,2,), '(J
где А,В,С рациональные по w функции с голоморфными по коэффициентами. А допускает одну из следующих возможностей
1) о: 2) -is 3) (і - ±}±. п > v, 4) ^ + -J-,:
8> ТІ w+ w~=-1 + w - Н )' Н постоянная (" і 1> и зависит от z.
4 *
В диссертации для А выбраны второй и третий случаи, при их условиях B(w,z), C(w,z) должны иметь вид: P2(w",z)-jj-;
w,z)tL где р. Р, полиномы соответственно второй и вертой степени относительно я с голоморфными по z в области гоэффициентами.
Целью данной работы является изучение структуры решений
жрестности многозначной подвижной особой точки уравнений
*а: '. '
2 *
т- = w2 + w' a (z)w2"J + Ъ (z)w*~J, (3)
J«0 J J»0 J
ww' = [l - -jHw'2 + w'X a (z)w2~J + E b (z)w*~J. (4) 1 ' j-o * J«o '
называется, что условия отсутствия логарифма в построенных
пениях являются достаточными для отсутствия многозначных ЗЕВИжных особенностей во всех решениях уравнений (3) и (4).
Методика исследования. В большинстве случаев для
зледования структуры решений уравнений используется прием
рехода от уравнения к системе двух уравнений Врио и Буке.
характеру решений этой системы делается вывод о структуре
пений уравнений (3), (4).
Если характеристическое уравнение- соответствующей стемы двух уравьений Врио и. Буке имеет нулевой корень или удается перейти к системе Врио и Буке, го решение авненлй (3) и (4) в окрестности многозначной подвижной ' обой точки строится методом Н.П. Еругина.
Научная новизна. Новыми в диссертации являются следующие зультаты:
описывается структура решений уравнений (3) и (4) в рестности многозначной подвижной особой точки;
получает дальнейшее развитие метод Н.П. Еругина строения решений уравнений в окрестности подвижной особой чки;
предлагается (с помощью метода Еругина) описание руктурн решений уравнений (3), (4), когда соответствующая
система двух уравнений Врио и Буке имеет нулевой корень.
Практическая ценность. Приведенные в диссертации подхо и полученные результаты могут быть использованы д исследования дифференциальных уравнений более общего вида для изучения конкретных математических моделей в физике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались обсуждались на семинаре кафедры математического анализа Р им.А.И. Герцена (Ленинград, 1985, руководитель проф. Матв Н.М.); семинаре преподавателей математических каф педагогических, институтов северо - запада Рос (Вологда,1989); семинаре кафедры дифференциальных уравне: БГУ (Минск, 1988, 1991, руководитель проф. Лукашевич Н.А.).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликов; в трех печатных работах, список которых дан в ко; автореферата..
Структура и объем работы, диссертация состоит .1 введения, трех глав и списка . цитированной . литературы (' наименования). Общий объм работы - 91 страница машинописно: текста. - „
