Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Обобщение неравенства харнака для квазилинейных эллиптических уравнений
I. Формулировка теоремы 16
2. Вспомогательные утверждения 16
3. Абстрактная лемма о возрастании 18
4. Возрастание в узкой области 25
5. Лемма о трех шарах 32
6. Лемма о возрастании . 35
7. Доказательство теоремы 36
8. Примеры 45
ГЛАВА II. Обобщение харнака для квазилинейных параболических уравнений
I. Формулировка основной теоремы . 49
2. Вспомогательные утвервдения . 49
3. Возрастание в узкой области 51
4. Лемма о трех цилиндрах 58
5..Лемма о возрастании 66
, 6. Доказательство теоремы 78
ГЛАВА III. CLASS Скорость госта решения квазилинейного параболического неравенства в граничной точк CLASS е
1. Предельная скорость роста решения в граничной точке 91
2. Допустимая скорость роста решения в граничной точке 98
Литература 102
- Абстрактная лемма о возрастании
- Доказательство теоремы
- Вспомогательные утвервдения
- Допустимая скорость роста решения в граничной точке
Введение к работе
Получение неравенств типа Харнава - активно развивающаяся часть качественной теории дифференциальных уравнений второго порядна Интерес в неравенствам тавого типа обусловлен их применением при исследовании гёльдеровости решений линейных и ограниченных решений квазилинейных эллиптичесвих и параболических уравнений, при исследовании поведения их на бесконечности и в граничных точках» при доказательстве теорем Лиувилля. Важные теоремы о неравенстве Харнава для решений линейных уравнений эллиптического и параболического типов получены в работах [I9J [l7] , [ш], [б], [4], [12] . Результаты последних двух работ были обобщены на ограниченные решения недивергентных квазилинейных эллиптических и параболических уравнений (см., например, [Щ, [16], [п], [9]).
Основной целью этой работы является получение неравенств типа Харнава для решений квазилинейных эллиптичесвих и параболических уравнений без предположения об априорной ограниченности этих решений При этом удобнее рассматривать решения не уравнений, а квазилинейных неравенств вида в которых - фиксированные константы, и с - линейный равномерно эллиптический или параболический оператор второго порядка недивергентного вида с младшими членами Основные результаты работы следующие I. Получено обобщение неравенства Харнака для решений квазилинейных эллиптических неравенств в случае, когда 0 о о0, где об о зависит от размерности пространства и от ноэффипиентов оператора 2 Получено обобщение неравенства Харнава для решений квазилинейных параболических неравенств с теми же ограничениями на об . 3 Исследован рост решения квазилинейного параболического неравенства в граничной точке в случае, когда оС - положительное, меньшее единицы число Ооновные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора [із] - [I5J
Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.
Во введении мы формулируем основные результаты диссертации Первые две главы посвящены доказательству неравенства типа Хар-нава для решений квазилинейных неравенств вида (0 1): соответственно первая глава - для эллиптических, вторая - для параболических неравенств Для получения обобщения неравенства Харнака в каждой из первых двух глав доказана так называемая лемма о возрастании В третьей главе с помощью этой леммы исследуется рост решения квазилинейного параболического неравенства в граничной точке
Абстрактная лемма о возрастании
В силу выбора числа А о из неравенства (2.5) следует неравенство так как М?Ао ,0+ + 1 поусловиюи Н /Чл 2/І в силу предположения. Пусть Vr(X ,i ) lUf W . Положим гіГ гсҐ С (О, 0 1/і} Я) Обозначим По определению функции 1Д имеем W(X -i) = О при (Х 6)б )2 П Cf. , следовательно, VS \ 0 на множестве 92 о С#. . Далее, для точек (я,4) множества 3$/) {( ,t) -fi t ±+ ) /x=i J имеем us Следовательно, W (Ъ{Ь ) 0 . и, -наконец, для точек (XfL) множества о%)() (Zji) . Т -Я, /Х( ё J справедливо О )Х Х#1 /О , а потому Ы/[ (xti) О . Итак, отсюда следует, что $) С g), С С 3) и ЧЛГл 0 на /Y#/J . Далее, в силу условий (0.9) и неравенства (2.6) выполнено неравенство ҐУ ІУґл-(ьгл)і -і-Я(п Xі 1-А) - 4/(з А). Отсюда иг теоремы А.Д.Александрова - Н.В.Крылова следует, что (z.7) w, (xf,4 U[i + Sn Xі U + У/6 t)]lft (2)fH Положим По условию) леммы и? в силу выбора числа ZT0 из (2,7) следует W (хл і+) ( У) левая часть последнего неравенства больше (АІ//Ч ) » чт0 и доказывает утверждение леммы. Лемма доказана. 2. Лемма о возрастании, в константу раз. Лемма 3. Для любых положительных чисел f} Q. , Q д m \, существуют числа Аі -Ай. U, У, , ІЇ, Qj.} QA) 1} Tf = Z1 (П7), Л, Л) 0 , ш ? ІСп,)УО такие, что если /НУ Ах СХ (І /і J , то справедли во следующее. Пусть L 9 О -Ъ %. , - произвольное число, буквы U ш 9 обозначают те же самые цилиндре, что в лемме 2. Цусть 1Г - решение неравенства (2.і) в (,(Хо} Ьо , Ч, І) , $"{( , ) С : 1Г(Т,І) О } . Цго» Н= 4Mjf V . Тогда если лд4 ($)) 4Т1 М {Сл) , то С . Доказательство, Возьмем наименьшее натуральное число = (п) такое, что ($/z) 2 S 0 А и" Го " константы леммы о возрастании в узкой области, вычисленные при А9 Ж90}&д} % 4 и S Л,.УІ,л», "% соответственно. Обозначим . Лемма очевидна, если С ҐІҐ 2ЄМ .Считаем М 2Є/І . Утверждение леммы будем доказывать по индукции. Положим Ал Ао . i W(2(2) n) Обозначим С Vfx -i; ) : 2 ../+1. Заметим, что /%-//, /% з /У/ На -ом шагу индукции мы будем сравнивать вели чины / yf И. /Vf . При первом сравнении возможны два случая: либо либо . Покажем, что в обоих этих случаях верно /% Ъ/о /У В первом случае это очевидно. Во втором случае рассмотрим цилиндры и множество S)i - (3/; О По условию леммы и в силу выбора числа Т1 имеем /ц1 /%),) Го А-Ґ4 (. - 4 / Далее, функция ZT удовлетворяет неравенству - 56 так как ймЛ) V У/ M ± и X // Ci-4 По Уловию леммы iL / Ди-Р ) , так как buf? ZT 2П.. и ( / 4 Кроме того, 1 0 2/ /% //І по условию леммы. Следователь с } но, применяя к функции V и множеству eOi лемму 2, получаем Левая часть последнего неравенства не больше / , так как З Э/) 4 » а правая не меньше % // , ибо (Xit,) C2fiK и ir(Xi i) - // Следовательно, в обоих случаях верно /У 3 /У , что и требовалось. Пусть теперь на С , -ом шагу индукции имеет место неравенство М(ц f /2) Mi Если s % іо все доказано. Если V , то покажем, что Возможны два случая: либо ш либо в первом случав неравенство (2.8) непосредственно следует из предположения индукции.
Доказательство теоремы
Поскольку точка (XOf-i0) принадлежит цилиндру C/O,0j3j 0 /f0)f то для любой точки (т, -6) из цилиндра С/о, $0ор0 - рс д \ справедливо г-Х0/ 4 р 0 .Далее, так как -\?/0 р01 і о О- О р J o/z и Внооїа цилиндра 6 равна Л0 і j / - г о л»/5, , следовательно, с/ -О Поокольку , и, как уже было сказа но, 1 Р ypo , то мы тем самым доказали, что і 2 - С, . Отсюда и (2.27) при /с = & 3 следует, 410 м г -шг)н,?; . - 90 Из последнего неравенства и (2.29) получаем" _ А Положим 0о- 1 $Л /20)) Очевидно, что число 0 зависит лишь от 0 , т.е. от п , J} , А. . Тем самым число оС0 определяется по формуле о о- So /(Zi- Ґе) . Имеем поскольку число 4/- - конечно. Следовательно, при таком выборе константы о0 выполнено неравенство (2.28). Число /У0 , зависящее от Л ,/), УІ } dt Hi t\ % , можно выбрать столь большим, чтобы И А 9 (1 2о где; А " -ГНАК у42 А и } всех к- Лґ- 9J-3 независимо от (L , Положим І с целая часть [(5- Ь Єо9х ( МЩЯ ( /&)]+ . С другой стороны, из неравенства (2.30) следует, что /6 /0 1 . Противоречие. Следователь но, неравенство (2.30) невозможно, а потому невозможно и каж-дое из неравенств (2.19). Итак, с константой Р=? / 2 /Ґ справедливо утверждение теоремы. Теорема доказана. В этом и следующем параграфах при доказательстве теорем 3, 4 нам потребуется одна модификация леммы о возрастании из главы П. Лемма I. Пусть і - Ув&о , где L - константа леммы о трех цилиндрах главы П. Существуют константы сС1 к, f) -4 и Уо=У АДД f) 0 такие, что если МУ п , t0 - (і/і/ , то справедливо следующее Для произвольного Ъ , О . 0 f обозначим Сл--С(х о -, і, 1о) , Сх-С(х д j у7 & )j Ci C(x0 0- /9 \і . x/f, ) . Пусть IT - решение неравенства в C(Xot-6o o t .) , и $ {( , ) Q : V(Tt-b) Oj . пусть M - O f V . Тогда если - 92 -Доказательство, Обозначим /4 iMJ V . Пусть У Хъ (я \Л w - константа леммы о возрастании главы П, вычисленная при . Если /% (+$І/2)// , ЇО утверждение леммы верно о константой Vo- /g» Будем считать, что Рассмотрим цилиндр ,? С(х0}і0- l/z J / J Я А Если /7 = » 10 лемма справедлива с константами У0 - fa и /) - /}« , где Xj и А2 константы леммы о трех цилиндрах главы П, вычисленные при ІЇ і ,(? i ,2 и ъ 4 Предположим, что 2 ґ) Со Ф 0 Обозначим ML - & ср if С Пусть =Ai b i 1, - l± fo У + /Ґз) К -Л г) - соответственно константы лемм о возрастании и о трех цилиндрах главы П, вычисленные при указанных в скобках величинах.
Вспомогательные утвервдения
Сформулируем теперь основные результаты второй главы. Рассмотрим дифференциальное неравенство (0.7) Ци- Kt 4 Цл\-7и,\л+Л + Ні, в котором 0 cL 1 % R± Нх 0 - фиксированные константы, / - эллиптический оператор вида Предположим, что коэффициенты оператора L измеримы и существуют константы Л,-Л 0 такие, что для любого Х - Т ,ГД,..., T J R и любой точки ( ,і)б/?Л + і выполнены условия: Предположим, что положительное в открытом множестве ч К решение (4,неравенства (0.7), принадлежащее и обращающееся в нуль на , нам дано. Основным результатом главы П является Теорема 2. Существуют положительные константы ot0 oi0(nj - г(П") и,УІ ) и для положительного «Со существует еще и константа такие, что если М М , МА/Г 0 1 Ч И В цилиндре С[075 12норог , 3 2р0, А о ) определено положительное решение а неравенства (0.7) такое, что Ubf- U = /Y , то 4 46 Р ҐІ , ( 1,6, гл.П). Сформулируем еще две важных леммы главы П. Лемма ("об узкой области"). Для любых положительных чисел oi, 1, , &± , Oz , существуют константы / 0 Г 4 , такие, что если Л/?/), t0= //" " "" t то справедливо следующее. Для произвольного t, » # - t обозначим С±х С(хо, " о і г; п. ) t С,. = С ( в, о , /Я & ) . Пусть iF COR" 1) " Решение неравенства (о.іо) -- q/ /a lvirl 1 + ДЯ diO IT в СЫо,-Ьо) г0; А) иЗ)-{( ) С, ) о] . Пусть М CLuf Тогда если уЦ ( )Т.МЛ (С± ) , то ff v (і + jO А/. (n.I 3 гл.П). Доказательство этой леммы использует оценну А.Д.Александрова в модификации Н.В.Крылова [2] решения параболического уравнения. Лемма (о возрастании). Существует константа п.0-.&о , и, _Л) 0 и для любых положительных чисел К гъ0 } о(, 1 и й, 1 существуют константы Ъх,(Х1,\ &) 1 и fc oU, Л, Л ,}jtL) 0 такие, что если А/ /)о » tQ (б/і) » то спра ведливо следующее. Для произвольного Ъ , О ь 4 с 0 9 обозначим С±- C(x0)ic ; \, А\ Cz= С(Хъ±0-Ь/8&\,г Пусть ЧГ -решение неравенства (0.10) в W3:0 ," о J 0 /) иЙ--{(х;і) Сі: чг(х)і) 6] .пусть Л/= сшр гг. Тогда если ккл В третьей главе рассматривается дифференциальное неравенст -во в котором О U i , К - Coytsft 0 , 6 - эллип тический оператор вида (0.8), удовлетворяющий условиям (0,9), Мы предполагаем, что положительное в открытом множестве ч СШП \ 0s (0,0,.., ,0)6 , решение U. неравенства Co.Il), принадлежащее и обращающееся в нуль на bGi \ { О j , нам дано. Для Ь , О 1 гь0 К , обозначим (сій) nxd) = -lUf и. ?ч C(o,A0RziZR,&/v- V(M )) Основными результатами главы III являются Теорема 3. Для любых W, ,}" , ,\ существуют положительные константы Д,0 п-о 7 о " Ло С , J, /1 _, и ft= (n, ,-/1,о ; ) такие, что если Ао и f = р ( ,")- (ЪМЫф )) , то спра ведливо следующее. Пусть (о/о) , 1 оИ ; Я0 К Для точки ( ,") 6 ?? 1Х4 2 , 0±-Ь4Ко2г обозначим / ,)= / "I5 где . Пусть H (ОС/і) otp U, . \ СІ.(Я,І) Пусть множество ч удовлетворяет условию: Далее, пусть ЖС/ с) определено формулой (0.12 и оУКъ) - о при % - О У- . Тогда ( і гл. m). Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 3. Пусть дана непрерывно дифференцируемая функция г («$/ , определенная при 9 S 4 Ко R , удовлетворяющая следующим условиям: 1) г , )ф / монотонно возрастают и - « при J"- 2) 1 / J\ С С гДе о О - некоторая константа. 11 р/ " Пусть также в окрестности граничной точки Об. dQ множество Ь) является областью вращения подграфика функции т=уіі) , где M42R, 0 Ї45/ Я , (/ - непрерывная, монотонно убывающая при - 04- функция, удовлетворяющая условию: U (S)4 Сj. ( Y(S)) ПРИ 0 S4 n R где = /(4-0()+і, СХ СІ.(АО , О 0.
Допустимая скорость роста решения в граничной точке
Процесс увеличения радиусов шаров закончим на fa ) -ом шагу, где С]/ - наименьшее натуральное число такое, что «6 /с0 / 7/typ . При этом И Х0 $Ро Согласно (Ї.23) из последнего неравенства следует
Положим -(&# ( /Zojj 0чевиДно» что о за" висит лишь от а0 0 } Л ПРИ 9T0M % - 2о Я при і 0, 4, , . , 9-И , а потому при всех указанных і выполнено неравенство (і,24), Константа о0 определяется по формуле oto o /(Z+uo) 10 ? также можно выбРать СТОЛЬ бОЛЬШИМ, ЧТОбЫ /V0 A if 1 ( ?Q) ПРИ всех 09 ,. ..} Фі і независимо от о, Еыбрав So t положим L = целая часть }[Ь+ b0+ СоО а(УА)Ъ йщ(1/» ) / І.
При таком выборе чисел 0 и С неравенство (1.25) будет невозможно, и, значит, невозможно и каждое из неравенств (I.I7).
Следовательно, с константой J ty 2 /Уо справедливо утверждение теоремы. Теорема доказана. Следующий пример заимствован из j_8j. Пусть о( 0 , Хс= О » t s 8 . Покажем, что какие бы константы - достаточно большое число) мы ни брали, существует решение обыкновенного дифференциального неравенства (1.26) ц" 4 ЫЧ" положительное на отрезке -8, S] , такое, что U,(0) Af , и при этом 1ч U,{z) Р- М при /X/4 1 .
Замечание. Известно / 4] , что если коэффициенты при младших членах у оператора в уравнении (0.2) равны нулю, то неравенство (Ь.З) верно для любого L 0 . Пусть УС » М0 таковы, что при Т У0 и ff //v выполнены неравенства: йь(рн)- М&(Р+ )(Р і) ,У0. - 46 -Рассмотрим решение обыкновенного дифференциального уравнения / 0-/ = 6Р+4) U-4 удовлетворяющее начальным условиям: U iohM , и;/о] -М&Н- (+1). Имеем Далее, ,7 = //4, (AiJ 4 р{ &ь (P+i)ot} / То при jXl о . Следовательно, функция di на отрез ке -8, 8/ является решением дифференциального неравенства (1.26). Однако -LMf Ц. (Я) = tf.(p+i) р -/ c_p.U/o). С другой стороны, покажем, что если оіУ 1 (положим о{ -4+6.) t Х0 - О , то какие-бы числа Jr , A/ , t О ( С сколь угодно малое число) мы ни брали, существует решение неравенства (і.2б) , положительное на отрезке , Ъ J , такое, что LC (0)-=- /V , и при этом выполнено lLLtf Lt (ос.) У L /і . Этот пример является видоизменением примера из [8j. Пусть с -4 \ ft) ( + ) Шберем число СУО столь большим, чтобы Положим и (+1) С . Функция -Сх +М, -г4х $о, - 47 -является решением неравенства Сі.26), положительным на /-, J удовлетворяющим условию: LL /o) А/ . Но, по построению, U7 V ) Р ІЧ при У / 4 / . Замечание. Построенная функция LL имеет разрыв первого рода у второй производной. Но, конечно, ее можно сделать дважды непрерывно дифференцируемой. Приведем еще один пример, показывающий на точность взаимо связи: и ро і необходимой для справедливости обобщенного неравенства Харнака. Пусть О d 1 , Х0 = U . Покажем, что какие-бы константы мы ни брали, сущест вует положительное на отрезке / в , с] » гДе о " oU (i ?v /7 » решение неравенства (I.26J такое, что &(0)= Н , и при бтом IUUD LC Обозначим а1- (1 ) оС , - с (1-о() Решим систему уравнений: е гмл/вЛег -(ММ 35ГНКЦИЯ является решением неравенства (і.2б), удовлетворяющим условию U (0)= М Однако, по построению, имеем dCCp Ц (х) У Р% М ПР1 / -/ о/Я . Для функции Uj также справедливо предыдущее замечание.
