Введение к работе
Актуальность темы. Тема данной работы относится к области аналитической теории линейных дифференциальных уравнений.
Основы теории скалярных линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами были заложены в ХГХ столетии Б. Рима-ном1, который уделил особое внимание одному специальному классу таких уравнений — классу уравнений второго порядка с тремя особыми точками (полюсами коэффициентов), обладающих следующим свойством: решения в окрестности этих точек имеют не более чем степенной рост. Такие точки называются регулярными особыми точками (поскольку решения как правило являются многозначными функциями, то, говоря о степенном росте, следует ограничиваться случаем, когда аргумент стремится к особой точке, оставаясь при этом в некоторой секториальной окрестности этой точки). Исследования Б Римана продолжил его соотечественник Л Фукс2, некоторые результаты которого были получены еще Б. Риманом для вышеупомянутого класса уравнений Одно из наиболее известных достижений Л. Фукса состоит в том, что он полностью описал класс уравнений произвольного порядка, все особые точки которых регулярны.
Судя по всему, линейные системы вида
с мероморфной матрицей B(z) коэффициентов (заданной на всей сфере Римана или в некоторой области комплексной плоскости) впервые затрагивались в небольшой посмертной заметке Б Римана, но систематически стали рассматриваться несколько позднее. Л. Соваж, А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Й. Племель, Л. Шлезингер, Дж Биркгоф и другие математики рубежа ХГХ-ХХ веков начали исследования этих систем с различных точек зрения. Их исследования получили свое дальнейшее развитие во второй половине прошедшего столетия в связи с применением к задачам математической физики (теория изомонодромных деформаций), аналитической теории чисел и др. Здесь можно выделить таких математиков современности как А. X. М. Левель, Б. Мальгранж, Й. Сибуйя, В. Бальзер, Д. Бертран. Особо отметим имя А А. Болибруха, удостоенного в 2002 году Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники за цикл ра-
:См Рима* Б Сочинения М Гостектеоретюлат, 1948
2См Fbchi L Zur Тївопе der Jmewen Diffetentislg!«cKungen mit veranda-Mien Coefficient // Journal fur Math 18в6 V M P 121-160,1866 V68 P 35M85
бот "Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами"1. Среди полученных им результатов наиболее известным является отрицательный ответ на 21-ю проблему Гильберта (проблему Римана-Гильберта) о возможности построения фуксовой системы линейных дифференциальных уравнений с заданной монодромией (фуксовой называется система, особые точки матрицы B(z) коэффициентов которой суть полюса первого порядка). Монодромия системы описывает характер ветвления решений в особых точках.
Эффективным инструментом для исследования проблемы Римана-Гиль-берта и некоторых других задач аналитической теории линейных дифференциальных уравнений (например, задачи о биркгофовой стандартной форме) оказалась теория левелевских показателей (предложенная голландским математиком А X. М. Левелем2, описавшим локальное устройство пространства решений системы возле регулярной особой точки) Понятие левелевских показателей (чисел, характеризующих скорость степенного роста решений системы в окрестности регулярной особенности) обобщает известное с ХГХ века понятие показателей скалярного уравнения с регулярными особыми точками. Соотношение для суммы показателей такого уравнения по всем его особым точкам (зависящее только от порядка уравнения и числа особых точек) получено Л. Фуксом3 и известно как классическое соотношение Фукса. Относительно же системы, все особенности которой регулярны, до недавнего времени бьшо известно, что аналогичная сумма левелевских показателей является целым числом, не превосходящим нуль4. Это утверждение бьшо уточнено французским математиком Э. Корелем5, получившим верхнюю и нижнюю оценки для суммы показателей (зависящие от размера системы и порядков полюсов матрицы B(z) коэффициентов системы). Эти оценки стали называться неравенствами Фукса. Впоследствии Э. Корель6 получил неравенства Фукса и для систем с иррегулярными (т. е. не являющимися регулярными) особыми точками (для иррегулярной особой точки показатели определяются в пространстве
Болкбрух А А Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами // Современные проблемы математики (препринт Матеы ян-та. им В А Стоиова РАН) Вып I С 29-82
JI*vell А Н М Hypergeometnc functions П // Proc Komkl Nedeil Acad Wetenech Ser A 1961
V 64 P 3T3-385
*Fvdu L Zur Theone der Lneafen DineTentiblgleicbingen nut veranderhcben Coefficieitten // Journal fur Math 1866 V68 P 121-160
См Болибрух А А 21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем // Тр Матем ин-та им В А СтекловаРАН 1994 Т 206
s Corel Е Inigslites de Fuchs pour les jystemes difKrentiele reguliers // С R Acad So Paris 1999
V 328 Set 1 P 983-986
s(7orti В Relations de Fudis pour let syslimes diffStentiels lrregubers // С R Acad Sci Pane 2001
V 333 Ser I P 297 300
формальных решений системы).
А. А. Болибрух отметил, что неравенства Фукса могут быть использованы при исследовании обратных задач аналитической теории дифференциальных уравнений (таких как задача о биркгофовой стандартной форме) и в некоторых приложениях данной теории (например, для оценки порядков нулей компонент решений системы1, — оценки подобного рода применялись специалистами в области аналитической теории чисел2).
Цель работы. Основной целью настоящей работы является уточнение неравенств Фукса, полученных Э. Корелем, и последующее применение уточненных неравенств к оценкам кратностей нулей компонент решений системы.
Методы исследования. Доказательство неравенств Фукса основано на широко используемых А А Болибрухом в своих работах3 методах аналитической теории линейных дифференциальных уравнений (теория нормирований Левеля, метод локальных калибровочных преобразований, леммы о факторизации матричнозначных функций) Исследования, связанные с оценкой порядков нулей компонент решений (а также многочленов от компонент решений) некоторых систем, продолжают работу А. А. Болибруха1 и развивают методы этой работы.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:
Найдены уточнения неравенств Фукса (как для систем с регулярными особыми точками, так и для систем с иррегулярными особенностями).
Получено соотношение Фукса для системы двух уравнений (с произвольными особыми точками).
Исследована возможность построения скалярного фуксова уравнения по произвольному представлению монодромии (с возникновением дополнительных "ложных" особых точек).
Получены оценки порядков нулей компонент решений систем некоторых видов.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации относятся к аналитической те-
1 Болибрух А А Кратности нудей компонент решении системы с регулярными особыми точками // Тр Матем нн-тани В А Стеклова РАН 2002 Т 236 С 81-66
3См Шидлолский А Б Трансцендентные числа М Наука, 1967
эСм Волчбрус А А ЇІ-я провлема Гшьберта для линейных фуксовых систем // Тр Матем пита им В А Стеклова РАН 1904 Т 206 , Болибрух А А Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения М МІЩМО, 2000
ории линейных дифференциальных уравнений и могут найти применения в ходе научной работы (прежде всего, в МГУ и МИАН) по этой теории.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на следуюгцих семинарах и конференциях:
В Отделе дифференциальных уравнений МИАН на семинаре по аналитической теории дифференциалных уравнений под руководством академика РАН А. А. Болибруха, академика РАН Д. В. Аносова, к.ф.-м.н., доцента В. П. Лексина (в 2003, 2004 годах);
На международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 5-10 июля 2004 года);
На международной конференции "Особенности дифференциальных уравнений, интегрируемые системы и квантовые группы" (Страсбург, 24 - 27 ноября 2004 года).
Публикации. Основные результаты опубликованы в двух работах, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем текста — 69 страниц. Список литературы содержит 24 наименования.
