Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена обратным функциональным неравенствам и их приложениям к граничным задачам. Теория прямых и обратных функциональных неравенств является одной из интенсивно развивающихся областей математического анализа. Типичным примером прямых неравенств могут служить теоремы вложения, существенную часть которых составляют оценки норм функций через нормы производных этих функций. Первые исследования в данном направлении производились ещё Пуанкаре и Гильбертом на рубеже XIX и XX столетий. Эти исследования были связаны с вариационными методами математической физики. Как научное направление теория вложения оформилась в работах С. Л. Соболева; о дальнейшем развитии этой теории и плодотворности её приложений можно судить по многочисленным публикациям в этой области.
Обратные функциональные неравенства дают оценки норм старших производных функций через нормы их младших производных. Такого рода оценки справедливы лишь для функций, удовлетворяющих дополнительным условиям. В качестве примера можно рассмотреть оценки С. Н. Бернштейна вида ;|w;C:| < F(jjzj;C|) решений дифференциального неравенства .
\u"\
а также принадлежащую ему же оценку
;Jk;C'|J<4<;CJ|, (2)
верную для тригонометрических многочленов степени не превосходящей числам. Неравенство (1) связано с классическим L-условием Бернштейна, играющим первостепенную роль в теории нелинейных краевых задач. Оценка (2) играет важную роль в конструктивной теории функций. Естественно возникает задача, связанная с обобщением и усилением линейных и нелинейных обратных неравенств.
Значительная часть диссертации посвящена обратным неравенствам для функций, принадлежащих конусам в пространствах Банаха. Большинство полу-
ценных результатов не требуют положительной обратимости дифференциал ных операторов, рассматриваемых краевых задач, несмотря на широкое и пользование конусных методов.
Цели работы. Доказательство новых теорем о разрешимости нелинейнь краевых задач и ветвлений соответствующих решений на основе применен! обратных неравенств.
Методика исследования. В работе используются качественные метод теории краевых задач и общие методы анализа, в том числе теория уравнений пространствах, полуупорядоченных конусом.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Усі лены и обобщены линейные и нелинейные обратные неравенства для скаля] ных и векторных функций одной переменной, с помощью которых устанавлі вается существование нетривиальных решений краевых задач с сильными н< линейностями. Полученные результаты были обобщены для случая банаховь: пространств функций многих переменных. Следует отметить, что использові пне пространств Маршшкевича-Соболева вместо традиционно используемы пространств Соболева позволило усилить ряд обратных неравенств. В диссе[ тации рассмотрены приложения полученных результатов к нелинейным эллш тнческим краевым задачам.
Теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результ; ты диссертации могут быть использованы в целях дальнейшего уточнения усиления обратных неравенств, в теории нелинейных краевых задач для обьп повенных дифференциальных уравнений, а также к нелинейным эллиптиче скіїм краевым задачам.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и конференции молодых учёных «Проблемы современной науки» (Орлог схий ГПУ, апрель 1996 г. на Воронежской весенней математической школ «Современные методы в теории краевых задач» (Воронежский ГУ, май 1997 г. на Воронежской математической школе «Современные проблемы механики прикладной, математики» (Воронежский ГУ, апрель 1998 г.), на семинар Ю. В. Покорного (Воронежский ГУ).
Публикации. Основные результаты диссертации были опубликованы в заботах [1-5].
Структура диссертации. Диссертация содержит 119 страниц и состоит из зведення, трёх глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы из 105 наименований.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю В. С. Климову за постановку задач и помощь в работе; Ю. В. Покорному, И. А. Бахтину, В. Н. Камышникову за внимание к работе.
