Содержание к диссертации
Введение
РАЗДЕЛ I. Линейные и периодические функционалы погрешности 29
1.1. Пространства Wт(Е ),Lm(E ), Wm(Q), Lm(Q) 29
1.2. Построение элементарных кубатурных формул общего вида 30
1.3. Построение кубатурной формулы общего вида с регулярным пограничным слоем при т 45
1.4. Общий вид финитного функционала погрешности 53
1.5. Оптимальный периодический функционал погрешности в пространстве/, {Е ) 61
1.6. Норма периодического функционала погрешности в пространстве Lm(Е ) 69
РАЗДЕЛ II Оценка нормы функционала погрешности в пространстве L (Е) 74
2.1. Оценка сверху нормы функционала погрешности в пространстве Соболева {Е ) 74
2.2. Оценка снизу нормы функционала погрешности в пространстве Соболева (Е ).. 89
Заключение 93
Литература... 94
- Построение элементарных кубатурных формул общего вида
- Общий вид финитного функционала погрешности
- Норма периодического функционала погрешности в пространстве Lm(Е )
- Оценка снизу нормы функционала погрешности в пространстве Соболева (Е )..
Введение к работе
Теория кубатурных формул сложилась как новое направление математики в 60-ые годы в результате исследования С.Л. Соболева и прочитанного им курса лекций по теории кубатурных формул в Новосибирском государственном университете в 1965-66 годах.
В связи с появлением в 1974 году монографии «Введение в теорию кубатурных формул» С.Л. Соболева, эта область математики, предметом которой является приближение интегралов формулами механических квадратур, превратилась из набора отдельных формул для вычисления интегралов в новую математическую дисциплину, тесно связанную с другими разделами математики: анализом, теорией функции, функциональным анализом, теорией дифференциальных уравнений, алгеброй, теорией чисел.
В современном понимании проблема оптимизации формул численного интегрирования ставится как проблема отыскания минимума нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах.
Отметим, что кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями:
a) бесконечным многообразием многомерных областей интегрирования;
b) быстрым ростом числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.
Быстрые темпы совершенствования вычислительной техники приводят к возможности решать все более сложные задачи, требующие увеличение объема памяти и скорости вычисления, во многих областях деятельности людей -научной, технической, организационной и т.д. При больших численных расчетах становится полезным оптимизировать процесс приближенного вычисления интеграла. Поэтому важное значение имеет построение асимптотически оптимальных кубатурных формул в различных функциональных пространствах.
Построение элементарных кубатурных формул общего вида
В данном пункте рассматриваются элементарные кубатурные формулы, в которые входят как значения функций, так и значения ее производных. В книгах СМ. Никольского [28], Н.П. Корнейчука [16] ив других работах изучались квадратурные формулы общего вида. В этом пункте исследования С.Л. Соболева [50], СМ. Никольского [28], Н.П. Корнейчука [16] и других обобщаются на кубатурные формулы общего вида с ньютоновской системой узлов. Пусть Д = {х є Е , 0 х, 1, /" = 1,2,..л} - фундаментальный п-мерный компонентами, х = (х х ..л ) - точка и - мерного пространства Я , При достаточно большом числе узлов левая и правая обратная матрица существует, система имеет единственное решение. Ортогональность всегда присутствует [50]. и і = \ Благодаря ньютовской системы узлов максимально уменьшаем число узлов. N - число узлов, М- число одночленов от л-переменных. Так как взята ньютоновская система узлов, то N =М. Далее в ньютовской решетке крайние узлы заменяем на значения производных в точках, лежащих ближе к началу координат. Вследствие чего уменьшается область влияния функционала. формулы Маклорена следует, что основное влияние в качестве кубатурной формулы оказывают узлы, лежащие вблизи начала координат. (Чем ближе к началу координат, тем лучше идет интерполирование). Если узлы Ху, y=l,,..,Nне лежат на алгебраической поверхности порядка т, то алгебраическая гиперповерхность т-1-го порядка в «-мерном пространстве дт - (х,,х ,...,хп) = 0 имеет интерполяционный многочлен. Если узлы лежат на решетке, то всегда можно построить многочлен т- той степени. Сначала рассмотрим идею нашего метода на квадратурной форму ньютовской системы узлов максимально уменьшаем число узлов. N - число узлов, М- число одночленов от л-переменных. Так как взята ньютоновская система узлов, то N =М. Далее в ньютовской решетке крайние узлы заменяем на значения производных в точках, лежащих ближе к началу координат. Вследствие чего уменьшается область влияния функционала. формулы Маклорена следует, что основное влияние в качестве кубатурной формулы оказывают узлы, лежащие вблизи начала координат. (Чем ближе к началу координат, тем лучше идет интерполирование). Если узлы Ху, y=l,,..,Nне лежат на алгебраической поверхности порядка т, то алгебраическая гиперповерхность т-1-го порядка в «-мерном пространстве дт - (х,,х ,...,хп) = 0 имеет интерполяционный многочлен. Если узлы лежат на решетке, то всегда можно построить многочлен т- той степени. Сначала рассмотрим идею нашего метода на квадратурной формуле общего вида где I г Y\ = dae y,s- порядок старшей производной.
Пусть р(х) є S - бесконечно дифференцируемая, гладкая, убывающая на бесконечности функция и S - пространство Шварца. 1) Функцию р(х) разлагаем в ряд Маклорена в операторной форме [2, стр. 322] по методу Л.А. Люстерника и В,А. Диткина: дифференциальные операторы. Приравниваем коэффициенты при равных степенях d, сначала проведя преобразования (как метод неопределенных коэффициентов). Для точности формулы коэффициенты при d, степень которых больше чем от, мы приравниваем к нулю. Например: возьмем 3 точки, т.е. ш = 2. Построим формулу, точно интегрирующую многочлен 2-ой степени. Вместо значений функции в т х 2 возьмем значение производной в точке ближе к началу координат. коэффициенты формулы (1.2.10) ищем из уравнения: теперь приравниваем коэффициенты при d Формула (1.2.11) точно интегрирует многочлен 2-ой степени. Этот же пример можно решить по общему методу: В формуле (1.2.12) значения функции в крайних узлах заменим на значения производных в узлах, лежащих ближе к началу координат. При этом узлы не должны лежать на кривой ле общего вида где I г Y\ = dae y,s- порядок старшей производной. Пусть р(х) є S - бесконечно дифференцируемая, гладкая, убывающая на бесконечности функция и S - пространство Шварца. 1) Функцию р(х) разлагаем в ряд Маклорена в операторной форме [2, стр. 322] по методу Л.А. Люстерника и В,А. Диткина: дифференциальные операторы. Приравниваем коэффициенты при равных степенях d, сначала проведя преобразования (как метод неопределенных коэффициентов). Для точности формулы коэффициенты при d, степень которых больше чем от, мы приравниваем к нулю. Например: возьмем 3 точки, т.е. ш = 2. Построим формулу, точно интегрирующую многочлен 2-ой степени. Вместо значений функции в т х 2 возьмем значение производной в точке ближе к началу координат. коэффициенты формулы (1.2.10) ищем из уравнения: теперь приравниваем коэффициенты при d Формула (1.2.11) точно интегрирует многочлен 2-ой степени. Этот же пример можно решить по общему методу: В формуле (1.2.12) значения функции в крайних узлах заменим на значения производных в узлах, лежащих ближе к началу координат. При этом узлы не должны лежать на кривой 2-го порядка. Формула (1.2.13) той же точности что и формула (1.2.12). Коэффициенты формулы (1.2.13) найдутся единственным образом, так как, формула построена на основе ньютоновской системы узлов. Количество узлов в формуле (1.2.13) будет меньше чем N . Вследствие чего уменьшается область влияния функционала. Существует взаимооднозначное соответствие между: Пусть q {x,,x )- аналитическая функция. Имеет место, следующее разложение в ряд Маклорена: Формула (1.2.18) точно интегрирует многочлен 3-ей степени. Для точности формулы коэффициенты при я", степень которых больше чем т=3, мы приравниваем к нулю. Приравниваем коэффициенты при равных степенях d, сначала проведя преобразования (как метод неопределенных коэффициентов), получим систему линейных уравнений. Для нахождения коэффициентов формулы (1.2.13) можно также воспользоваться более общей системой
Общий вид финитного функционала погрешности
В работах С.Л. Соболева был установлен общий вид функционала погрешности в гильбертовом пространстве. В дальнейшем обобщены его учениками Ц.Б, Шойнжуровым, В.И. Половинкиным, М.Д, Рамазановым, В.Л, Васкевичем и др., на другие функциональные пространства. В.И. Половинкин в своих работах [32-40] исследовал общий вид как произвольных, так и финитных функционалов погрешности в пространстве В данном пункте исследования В.И. Половинкина обобщаются для общего вида финитного функционала погрешности в пространстве С.Л. В І - множество индексов а значений функций и ее производных порядка не выше p. Da p{j)- совокупность значений функций и ее производных Б одной точке, Кубатурная формула общего вида с ньютоновской системой узлов для области Q задается приближенным равенством и функционала погрешности формулы (1.4.1) определяется равенством Условие вложения Ln4En) в Ср{Еп) имеет вид Отметим, что доказательства лемм и теорем проводятся по схеме работы Шойнжурова Ц.Б. [72]. Однако свертка DaG(x) Q(X) В функционале общего вида имеет более высокую особенность в узлах у. представляет собой ограниченный линейный функционал над пространством Доказательство. Пусть \/(p(x)iL и рЛх ) - средняя функция для нее. Рассмотрим выражение [50] Интегрируя по частям выражение в правой части, получим Левая часть имеет предел при h- 0 равный уп& Ф&У) следовательно, 117 правая часть также имеет предел и J /0 (x)(p(x)dx существует для (х) є L . Из равенств (1.4.6), (1.4.7) при h- 0 следует пред В работах С.Л. Соболева был установлен общий вид функционала погрешности в гильбертовом пространстве. В дальнейшем обобщены его учениками Ц.Б, Шойнжуровым, В.И. Половинкиным, М.Д, Рамазановым, В.Л, Васкевичем и др., на другие функциональные пространства. В.И. Половинкин в своих работах [32-40] исследовал общий вид как произвольных, так и финитных функционалов погрешности в пространстве В данном пункте исследования В.И. Половинкина обобщаются для общего вида финитного функционала погрешности в пространстве С.Л. В І - множество индексов а значений функций и ее производных порядка не выше p. Da p{j)- совокупность значений функций и ее производных Б одной точке, Кубатурная формула общего вида с ньютоновской системой узлов для области Q задается приближенным равенством и функционала погрешности формулы (1.4.1) определяется равенством
Условие вложения Ln4En) в Ср{Еп) имеет вид Отметим, что доказательства лемм и теорем проводятся по схеме работы Шойнжурова Ц.Б. [72]. Однако свертка DaG(x) Q(X) В функционале общего вида имеет более высокую особенность в узлах у. представляет собой ограниченный линейный функционал над пространством Доказательство. Пусть \/(p(x)iL и рЛх ) - средняя функция для нее. Рассмотрим выражение [50] Интегрируя по частям выражение в правой части, получим Левая часть имеет предел при h- 0 равный уп& Ф&У) следовательно, 117 правая часть также имеет предел и J /0 (x)(p(x)dx существует для (х) є L . Из равенств (1.4.6), (1.4.7) при h- 0 следует представление функционала Из (1.4.9) следует его ограниченность. Линейность функционала 10(х) очевидна. Следовательно /Q (Х) - ограниченный линейный функционал. Лемма доказана. Из равенства (1.4.7) имеем то есть A (p (x) = (-1) / (д), решение которого записывается в виде свертки правой части с фундаментальным решением G(x) полигармонического уравнения AmG(x) = (-l)mS(x) [50]. Лемма 2. Пусть рт п7 p(m-\S\) n, \S\ р и 1 .(х) - произвольный финитный фупщионап общего вида из L и {1 Лх),х ) = 0 при,\а\ т, то сугцествует единственная фунщия и(х) = G(x) / (х) + Р _, (х) є L , определенная с точностью до произвольного многочлена Р _, {х) степени (т-1) и удовлетворяющая уравнению ставление функционала Из (1.4.9) следует его ограниченность. Линейность функционала 10(х) очевидна. Следовательно /Q (Х) - ограниченный линейный функционал. Лемма доказана. Из равенства (1.4.7) имеем то есть A (p (x) = (-1) / (д), решение которого записывается в виде свертки правой части с фундаментальным решением G(x) полигармонического уравнения AmG(x) = (-l)mS(x) [50]. Лемма 2. Пусть рт п7 p(m-\S\) n, \S\ р и 1 .(х) - произвольный финитный фупщионап общего вида из L и {1 Лх),х ) = 0 при,\а\ т, то сугцествует единственная фунщия и(х) = G(x) / (х) + Р _, (х) є L , определенная с точностью до произвольного многочлена Р _, {х) степени (т-1) и удовлетворяющая уравнению
Норма периодического функционала погрешности в пространстве Lm(Е )
В работе С.Л. Соболева [50] построена экстремальная функция в гильбертовом пространстве. На основе этой функций проводятся исследования в периодическом пространстве. Л.И. Дидур в работе [14] обобщил результаты С.Л. Соболева в гильбертовом пространстве. В работе В.И. Половинкина и Л.И. Дидур [41] рассмотрены последовательности эрмитовых кубатурньтх формул. Получена оценка В данном пункте исследования проводятся в негильбертовом пространстве и в явном виде получена норма периодического функционала, выделен главный член периодического функционала погрешности. Это важно для численного подсчета. Теорема 1. Если 1 р оо, /S/ m-n/p, h шаг решетки и щ(х) периодическое решение уравнения (1.5.18) для функционала L(x), то общее представление периодического функционала L(x) имеет вид асимптотической оптимальности кубатурных формул общего вида в пространстве L . В своих исследованиях [50-55] С.Л. Соболев впервые построил кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем и показал, что такие кубатурные формулы асимптотически оптимальны в гильбертовом пространстве L при неограниченном уменьшении шага решетки. Ц.Б. Шойнжуров [69], [70] рассматривал асимптотически оптимальные кубатурные формулы с пограничным слоем в пространстве Wm и выделил в явном виде главный член нормы функционала погрешности формул с пограничным слоем. В.И. Половинкин [32-40] доказал, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в пространстве L при 1 р со. М.Д. Рамазанов [44-49] исследовал асимптотически оптимальные кубатурные формулы с ослабленным пограничным слоем в пространстве Пусть некоторый функционал 1{х) є С (Еп) удовлетворяет условиям: 1) Suppl(x) с jr є E :\x\ L] - носитель обобщенной функции 1{х) содержится в шаре радиуса L с центром в начале координат. 2) C )c Л - максимально возможная погрешность формулы на непрерывных функциях из единичного шара пространства С не превосходите. 3) (l(x\xa) = 0 при \а\ т значение обобщенной функции /(х) на всех многочленах степени, меньшей т, равны нулю. Множество всех таких функционалов обозначим R(LtA m). Пусть Q -ограниченная область в Е с достаточно гладкой границей Р=Г(П). Построим решетку T(hE\0), покрывающую все пространство. Ячейки решетки hHy частично лежат внутри области Q, а частично - вне П.
Пусть Д - фундаментальный единичный куб, Л, - куб объема hnt Д, куб, полученный из куба А, переносом на вектор hy, объема h". Обозначим Обозначим через By {у& R:p(hHy,T(Q)) Lh) - множество индексов у, соответствующих точкам hHy принадлежащих Q и отстоящих от границы области ЦП) не менее чем на Lh. By = {yeR :p(hHy,T(Q)) Lh} - множество индексов у, соответствующих точкам hHy принадлежащих О и отстоящих от границы области Г(П) меньше чем на Lh [55, стр. 197.] Все элементарные функционалы 1у( -Ну) имеют порядок т+1, кроме, быть может, тех у которых /є By. При этом функционал, соответствующий у є By, имеет порядок т. Данный функционал называется равномерно распределенным Покажем, что знак равенства в неравенстве (1.6.8) достигается. Для этого вычислим значение функционала Из неравенства (1.6.8) и равенства (1.6.11) следует, что п[- экстремальная функция для периодического функционала /J — В силу определения рефлексивности пространства »(Л) и равенства (1.6.11) находим: Во втором разделе рассматривается вопрос об асимптотической оптимальности кубатурных формул общего вида в пространстве L . В своих исследованиях [50-55] С.Л. Соболев впервые построил кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем и показал, что такие кубатурные формулы асимптотически оптимальны в гильбертовом пространстве L при неограниченном уменьшении шага решетки. Ц.Б. Шойнжуров [69], [70] рассматривал асимптотически оптимальные кубатурные формулы с пограничным слоем в пространстве Wm и выделил в явном виде главный член нормы функционала погрешности формул с пограничным слоем. В.И. Половинкин [32-40] доказал, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в пространстве L при 1 р со. М.Д. Рамазанов [44-49] исследовал асимптотически оптимальные кубатурные формулы с ослабленным пограничным слоем в пространстве Пусть некоторый функционал 1{х) є С (Еп) удовлетворяет условиям: 1) Suppl(x) с jr є E :\x\ L] - носитель обобщенной функции 1{х) содержится в шаре радиуса L с центром в начале координат. 2) C )c Л - максимально возможная погрешность формулы на непрерывных функциях из единичного шара пространства С не превосходите. 3) (l(x\xa) = 0 при \а\ т значение обобщенной функции /(х) на всех многочленах степени, меньшей т, равны нулю. Множество всех таких функционалов обозначим R(LtA m). Пусть Q -ограниченная область в Е с достаточно гладкой границей Р=Г(П). Построим решетку T(hE\0), покрывающую все пространство. Ячейки решетки hHy частично лежат внутри области Q, а частично - вне П. Пусть Д - фундаментальный единичный куб, Л, - куб объема hnt Д, куб, полученный из куба А, переносом на вектор hy, объема h". Обозначим Обозначим через By {у& R:p(hHy,T(Q)) Lh) - множество индексов у, соответствующих точкам hHy принадлежащих Q и отстоящих от границы области ЦП) не менее чем на Lh. By = {yeR :p(hHy,T(Q)) Lh} - множество индексов у, соответствующих точкам hHy принадлежащих О и отстоящих от границы области Г(П) меньше чем на Lh [55, стр. 197.] Все элементарные функционалы 1у( -Ну) имеют порядок т+1, кроме, быть может, тех у которых /є By. При этом функционал, соответствующий у є By, имеет порядок т. Данный функционал называется равномерно распределенным [55, стр. 33.] Предположим, что все функционалы / (.г)при у є By совпадают друг с другом. Тогда исходный функционал запишется в виде:
Оценка снизу нормы функционала погрешности в пространстве Соболева (Е )..
Теорема 1. Пусть область Q, имеет кусочно гладкую границу Г=Г(П). Тогда для любого функционала погрешности кубатурных формул обгцгго вида с узлами на решетке с шагом h lQ(x) sQ(x) Z Z {-\ja\hn + \a\caBDaS{x-hp) (2.2.1) при h - О имеет место следующая оценка снизу Обратимся ко второму интегралу в (2.2.5), и дифференцируя по формуле Лейбница и учитывая оценку (2.2.4), получим Данная работа посвящена оценке погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева ІГЧЕ }. Для решения данной задачи был использован функционально-аналитический поход. В работе получены следующие результаты: указан способ расположения узлов и нахождения коэффициентов элементарных кубатурных формул, в которые входят как значения функции, так и значения ее производных с узлами на ньютоновской решетке. Построена кубатурная формула общего вида с регулярным пограничным слоем при т = 3, п - 2. Получен оптимальный периодический функционал погрешности и явный вид коэффициентов оптимального периодического функционала погрешности в пространстве L (Е ). В явном виде получена норма периодического функционала погрешности и норма экстремальной функции, соответствующей периодическому функционалу погрешности в пространстве Соболева Lm(E ). Также показана асимптотическая оптимальность Р п кубатурных формул общего вида, с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке в пространстве Соболева lP}\E ). Результаты работы могут быть использованы для приближенного вычисления многомерных интегралов, Основные результаты диссертационной работы являются новыми. 1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 631 с. 2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М: Гос. изд. физмат, лит-ры, Т.1, 1959. - 464 с. 3. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для куба // Вопросы вычислительной и прикладной математики. - Ташкент, 1970. - Вып. 38. - С. 8-15. 4. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников // Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. - 1979. - №1. - С. 5-15. 5. Васильева Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. -Улан-Удэ, 2000.-Вьш.5. - С. 49-54. 6. Васильева Е.Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. - Ulaanbaatar, 2001. - C. 14. 7.
Васкевич В.Л. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана // Кубатурные формулы и их приложения. - Уфа: ИМ ВЦ УНЦ УФО РАН, 1995. - С. 241-250. 8. Васкевич В.Л. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис... канд. физ-мат. наук (01.01.01) / Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. - 108 с. 9. Войтишек А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М.В. Носков, -Красноярск, 2003.-С. 45-53. ІО.Войтишек Л.В. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1969. - Т.9, №2. - С. 417-419. П.Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1976. -280 с. 12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - 5-е изд., доп. -М.: Наука, 1988. -512 с. 13. Глушко В.П. Неравенства для норм производных в пространствах L с весом // Сиб. мат. журн. - 1960. - Т. 1,3. 14. Дидур Л.И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях // Тр. Семинара акад. С.Л. Соболева. - 1981. - №1. - С. 48-56. 15. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. - М.: Наука, 1981.-431 с. 16. Корнейчук Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // СМ. Никольский. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1988.-С. 127-253. 17. Корытов И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. - Улан-Удэ, 1994.-Вып.1.-С. 150-152. 18. Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. - Улан-Удэ, 1994. Вып.1.-С. 147-150. 19. Корытов И.В. Норма периодического функционала погрешности в Й т (д) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. - Уфа, 1996. - С. 32-36.
![Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b]](/i/i/4249/45537.png "Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b] Шатохина Лариса Владимировна")
