Введение к работе
Актуальность темы
При численном интегрировании функций с помощью квадратурных формул становится полезным (при большом объеме вычислений) оптимизировать эти формулы. Эта задача особенно важна для функций многих переменных. Проблема оптимизации квадратурной формулы в современном понимании — это задача минимизации нормы функционала погрешности этой формулы в заданном банаховом пространстве по узлам и весам. Задачи подобного рода восходят к А. Н. Колмогорову и называются экстремальными задачами теории квадратурных формул. Из исследований в этом направлении в первую очередь следует отметить основополагающие работы С. Л. Соболева1, СМ. Никольского2, Н. М. Коробова3, Н. С. Бахвалова, Е. Главки и др.
Экстремальные задачи даже для функций одной переменной относятся к наиболее трудным задачам теории квадратурных формул. Случаи, когда минимум нормы функционала погрешности удается вычислить явно, крайне редки. Ситуация существенно усложняется для функций нескольких переменных. Поэтому часто указанная величина не вычисляется явно, а только оценивается снизу и сверху. Сравнение нижней и верхней оценок характеризует качество квадратурной формулы и в ряде случаев позволяет найти формулы, близкие к оптимальным. Этот прием реализован в работах В. А. Быковского4, В.Н. Темлякова5,
1 Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев.
- М.: Наука, 1974.
2Никольский С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. — 2-е. изд. — М.: Наука, 1974. — 224 с.
3Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе / Н. М. Коробов. - М.: МЦНМО, 2004. - 288 с.
4Быковский В. А. О правильном порядке погрешности оптимальных кубатурных формул в пространствах с доминирующей производной и квадратичных отклонениях сеток / В. А. Быковский // Препринт. — Дальневосточный научный центр, Вычислительный центр ДВО РАН, Владивосток, 1985. - 31 с.
5Темляков В.Н. Об одном приеме получения оценок снизу погрешностей квадратурных формул / В. Н. Темляков // Математический сборник.
- 1990. - Т. 181, № 10. - С. 1403-1413.
И. Ф. Шарыгина и других авторов.
Для недетерминированных (вероятностных) квадратурных формул, где узлы и веса выбираются случайным образом, имеет смысл минимизировать те или иные статистические характеристики погрешности (математическое ожидание, дисперсию, высшие моменты). Здесь следует отметить работы Н. С. Бахвалова7.
Помимо задач приближенного вычисления интегралов, оптимальные квадратурные формулы применяются при численном решении интегральных уравнений. Они позволяют получить наименьшую оценку погрешности приближенного решения, которая возникает в результате замены интеграла квадратурной суммой.
Цель работы
Целью работы является получение двусторонних оценок оптимальной погрешности детерминированных и оптимального среднеквадратичного значения погрешности недетерминированных квадратурных формул на классах периодических функций нескольких переменных, последовательность коэффициентов Фурье которых ограничена в лебеговой р-порме.
Методика исследования
В работе применяются методы функционального анализа, теории рядов Фурье, а также некоторые теоретико-числовые методы, связанные с оценками тригонометрических сумм.
Научная новизна
Новыми являются следующие результаты:
6Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций / И. Ф. Шарыгин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1963. — № 3. — С. 370-376.
7Бахвалов Н. С. Об оптимальных оценках скорости сходимости квадратурных процессов и методов интегрирования типа Монте-Карло на классах функций / Н. С. Бахвалов // Сб. Числ. методы решения диффер. и интегр. уравнений и квадратурные формулы. — М.: Наука, 1964. — С. 5-63.
Получена двусторонняя оценка оптимальной погрешности детерминированных квадратурных формул на классах периодических функций нескольких переменных с ограничением на коэффициенты Фурье в р - норме при р Є (1,2). Ранее она была известна лишь при р Є [2, оо].
Для тех же классов функций получена двусторонняя оценка оптимального среднеквадратичного значения погрешности недетерминированных квадратурных формул при всех р Є
(1,00).
Все оценки неулучшаемы в степенной шкале, и с точностью до логарифмических множителей (в одномерном случае с точностью до констант) совпадают с наилучшими на рассматриваемых классах.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты работы носят теоретический характер и могут применяться для построения квадратурных формул на классах периодических функций.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е. В. Золотова (Владивосток, 2004, 2008), на краевом конкурсе молодых ученых и аспирантов (Хабаровск, 2005, 2008), на научном семинаре Хабаровского отделения ИПМ ДВО РАН (Хабаровск, 2007), на межкафедральном научном семинаре <Диффе-ренциальные уравнения> Тихоокеанского государственного университета (Хабаровск, 2009).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах, указанных в конце автореферата. Из них первая работа написана в соавторстве с В. А. Быковским. Полученные им результаты также используются в диссертации.
Структура и объем работы
