Вычисление параметров функционалов погрешностей кубатурных формул с пограничным слоем в неизотропном пространстве Юмова Цыренханда Жэмбэевна

Содержание к диссертации

Введение

РАЗДЕЛ I. Построение элементарных кубатурных формул и кубатурных формул с регулярным пограничным слоем общего вида 33

II. 1.1 Пространства Wf (Е ), Wf (О) . 33

II. 1.2 Общий вид линейного функционала погрешности в W (Еп) 37

II. 1.3 Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешностей 46

II. 1.4 Построение кубатурных формул с регулярным пограничным слоем общего вида 51

II. 1.5. Экстремальная функция функционала погрешности 55

РАЗДЕЛ II. Оценка норм функционала погрешности и построение функционалов погрешностей кубатурных формул 64

II.2.1 Вариационная задача для оптимального периодического функционала погрешности 64

II.2.2 Оценка сверху нормы функционала погрешности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем 70

II.2.3 Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида 83

II.2.4 Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурных формул в пространстве W (Еп) при нечетных тк 88

РАЗДЕЛ III. Представление нормы функционала погрешности решетчатой кубатурной формулы с предельным значением показателя суммируемости 90

III.3.1 Пространство W„(En) 90

III.3.2 Представление нормы функционала погрешности решетчатой кубатурной формулы с предельным значением показателя суммируемости 96

Заключение 99

Литература 101

Приложение 113

• Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешностей
• Вариационная задача для оптимального периодического функционала погрешности
• Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурных формул в пространстве W (Еп) при нечетных тк
• Представление нормы функционала погрешности решетчатой кубатурной формулы с предельным значением показателя суммируемости

Введение к работе

1 Кубатурными называем формулы для вычисления объемов тел в многомерном пространстве, по аналогии с квадратурными формулами, позволяющими приближенно решать задачу о квадратуре плоских фигур, т.е. о вычислении их площадей. Теорию кубатурных формул, как новое направление математики шестидесятых годов прошлого века, заслуженно связывают с исследованиями академика СЛ. Соболева. СЛ. Соболевым изданы более трех десятков работ: первую работу по кубатурным формулам он опубликовал в 1961 году, последнюю - в 1996, в том числе две фундаментальные монографии [74,82].

В одномерном случае теория квадратурных формул является хорошо разработанной областью: общеизвестны формулы Гаусса, а функциональные методы стали широко применяться, начиная с работ академика СМ. Никольского и первого издания его книги «Квадратурные формулы» [46]. Изложенные в ней результаты, на наш взгляд, являются самыми сильными, и относятся к квадратурным формулам на классах функций одной переменной. СМ. Никольский минимизировал

J- sup

д*)єФ

\f{x)dx- ^a_kf{x^w)

О)

по узлам и весам для Ф - единичных шаров наиболее употребительных банаховых пространств функций одной переменной. Кроме СМ. Никольского различные постановки экстремальной задачи для функции одной переменной в своих исследованиях рассматривали В.И. Крылов [34], Н.П. Корнейчук [29], А. Сард [72], А. Страуд [84] и другие.

Результаты по весам оптимальных квадратурных формул, изложенные в [74], обобщили некоторые результаты А. Сарда [72]. Ряд вопросов, возникающих в процессе реализации предложенного СЛ. Соболевым алгоритма отыскания весов оптимальных квадратурных формул, решен М.Д. Рамазановым и Х.М. Шадиметовым [69]. Квадратурные формулы Грегори и типа Грегори ис-

следовали Н.С. Бахвалов [7], В.И. Половинкин [57], В.Л. Васкевич [17,18] и многие другие.

Отличие кубатурных формул от квадратурных в бесконечном многообразии многомерных областей интегрирования и быстром росте числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.

При больших численных расчетах становится важным оптимизировать процесс приближенного вычисления многомерных интегралов. Трудность в разрешении упомянутой проблемы определяется в основном тем, что сама теория приближений функций в многомерном случае до сих пор не создала универсальные методы для решения задач оптимизации кубатурной формулы на классах функций. В этой связи, исследования задач теории вычисления многомерных интегралов, ведутся с точки зрения разных научных направлений. Наиболее важными из них являются: построение формул высокой степени точности; применение теоретико-числового анализа для построения формул, точных для конечных тригонометрических полиномов; применение теоретико-вероятностных методов к вычислению интегралов и, так называемый, «функциональный» подход, связанный с исследованием оценок погрешностей в классах суммируемых функций и линейных нормированных пространствах, включающих в себя интегрируемые функции.

Кратко опишем первые три направления.

Прежде всего - это минимизация формулы (1) по узлам при постоянных весах (a_k =|Q| /N).

1. Выбирая Ф в формуле (1) из расширяющейся последовательности множеств - обычно многочленов или тригонометрических многочленов степени, не превосходящей заданного числа т и останавливаясь на минимальных N = N(m), для которых J = О, получают последовательность (при w-»oo) формул алгебраической точности.

2. За Ф выбирают единичный шар в определенном банаховом пространстве, а задачу оптимизации по узлам решают с помощью теоретико-числовых ме-

тодов, добиваясь наилучшего порядка сходимости (при iV->oo).

3. За Ф выбирают единичный шар в определенном банаховом пространстве, а узлы определяют на основе псевдослучайных последовательностей чисел, опираясь на вероятностные методы исследования.

В описанных направлениях исследований получены важные и сильные результаты. Но так как результаты данной работы не относятся к этим областям исследований, ограничимся здесь ссылкой на работы, в которых вышеупомянутые направления описаны более полно и глубоко.

Как отмечено в [44], понятие инвариантной кубатурной формулы ввел С.Л. Соболев. Его работы [78, 80] позволили привлечь к исследованию куба-турных формул методы и результаты теории групп симметрии. Важную часть составляют исследования В.И. Лебедева [35], И.П. Мысовских [44], Г.Н. Салихова [70], А.К. Пономаренко [60] по кубатурным формулам, обладающим высокой полиномиальной степенью и инвариантным относительно преобразований той или иной группы симметрии. М.В. Носков [50] установил условия разложимости эрмитовых кубатурных формул в декартовы произведения формул меньшей размерности и доказал теорему, позволяющую определить точность сомножителей, исходя из точности самого декартова произведения.

Несколько иной подход к построению кубатурных формул на основе теоретико-числового анализа, заложенный трудами И.М. Виноградова [20], развивается в работах Н.М. Коробова [30, 31], где строятся формулы, точные для конечных тригонометрических рядов. На классах Н" функций s переменных, предложенных Н.М. Коробовым, у которых ограничены все смешанные производные с порядком дифференцирования а по каждой переменной в отдельности, не превосходящим а, Н.С. Бахвалов [3, 6] получил оценки снизу, совпавшие по порядку с оценками сверху, данными Н.М. Коробовым, а также дал целую серию оценок по вероятности [5].

Исследования Н.С. Бахвалова [5], Г.А. Михайлова [41], И.М. Соболя [83], А.В. Войтишек [23] связаны с оптимальными оценками сходимости кубатур-

ных процессов, с методами интегрирования типа метода Монте-Карло, а также с отысканием наилучших способов численного интегрирования. Применение вероятностных методов в приближенном вычислении интегралов в простейшем случае дает кубатурную формулу вида

/J/(*)* = i/(*<*>), (2)

оо " k=l

(к)

где х^К ' - независимые случайные точки, равномерно распределенные в единичном кубе. Удобство этого метода заключается в том, что в формуле (2) можно брать достаточно большие N, так как все точки х^(к) вычисляются по единому алгоритму, а порядок сходимости (2) (по вероятности) не зависит от

кратности интегралов и равен N ² для функции f(x) из любых классов. Но

слабой стороной этого метода является медленная его сходимость и гладкость функций при этом не способствует улучшению сходимости.

Основное внимание автор сосредоточил на четвертом направлении. Это направление общей многомерной теории характеризуется тем, что узлы выбираются в точках некоторой решетки, а минимизация (1) идет сначала по весам при фиксированной решетке, потом по различным решеткам. Ф берется единичным шаром определенного банахова пространства. Постановка и основные результаты исследований этого направления принадлежат С.Л Соболеву [74, 82], предложившему функционально- аналитический метод.

Это предполагает, во-первых, что выбранная (или построенная) кубатурная формула будет использована не только для какой-либо одной конкретной функции, а сразу для целого семейства подынтегральных элементов некоторого наперед заданного функционального банахова пространства В. Во-вторых, разность между интегралом и приближающей его линейной комбинацией значений подынтегральной функции рассматривается как результат действия на эту подынтегральную функцию некоторой обобщенной функции, полностью определяемой исходной кубатурной формулой и называемой функционалом погрешности. В-третьих, предполагается, что исходное банахово пространство В

вложено в пространство функций, непрерывных в замыкании области интегрирования. Это вложение непрерывно, т.е. функционал погрешности кубатурной формулы не только линеен, но и ограничен на В. Знание численной мажоранты для его нормы в сопряженном пространстве В* позволяет получать для произвольной функции из единичной сферы пространства В гарантированные оценки близости истинного значения интеграла от этой функции к рассматриваемой на ней кубатурной сумме и в этом - существенное отличие функционального подхода от всех других.

С.Л. Соболев рассмотрел в качестве Ф единичный шар гильбертова пространства Щ с целыми т>п12, профакторизованного по многочленам степени не выше т-\, с нормой

dx

_II/WII

да>

_{is ,}

П\а\=т\ ^а'

Для ограниченных областей с липшицевой границей он показал, что формулы, обладающие регулярным пограничным слоем (в смысле Соболева), являются асимптотически оптимальными. В ряде случаев указал решетки, реализующие минимум (асимптотически при т—»оо) формулы (1) по всевозможным решеткам.

После того, как С.Л. Соболевым была построена теория для пространства

ZJ, почти одновременно ее обобщение происходило в направлениях от L к L^m_p и от факторизации Ц, к W. Вопросу реализации четвертого направления теории вычисления многомерных интегралов в пространстве L^m_p посвящен ряд работ В.И. Половинкина [53, 54, 56, 57], в пространстве W- работы

Ц.Б. Шойнжурова [90,91,93- 95,99] и его учеников [32], [87], [88].

В.И. Половинкин рассматривал последовательности функционалов с пограничным слоем в негильбертовом пространстве L(E_n), 1 < р < оо с нормой

^{У f|[z>>(x)]:}

|а|=/я "-

L^m P

n *-'

В частности, в работе [53] им доказано, что при т нечетном кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны

bL(Q), а при четном т расширен класс функционалов с регулярным пограничным слоем и построены асимптотически оптимальные функционалы с пограничным слоем в L^m_p.

Ц.Б. Шойнжуров [93] впервые исследовал кубатурные формулы в негильбертовом пространстве С.Л. Соболева Wp{E_n)c нормой

\\<Р

fVp(E„)

\{\-^fcp{x)

зависящей от функции и ее производных до порядка т, т- любое , т > О и

(1-A)^Z ^*) = /И(1 + |2*|²)²/^(). Здесь требование ортогональности функционала многочленам степени ниже т не является обязательным в отличие от пространства L(E_n).

М.Д. Рамазанов [61, 65, 67, 69] ввел пространство H(Q). Это пространство состояло из сужений на область Q, лежащую в фундаментальном параллелепипеде Д>, функций / є Hg. При этом норма задавалась равенством

где g/Q = //Q. Он исследовал кубатурные формулы с ограниченным пограничным слоем, с использованием основных операций анализа таких, как замена переменных в функционале и перемножение функций, построил формулы с пограничным слоем, но отличные от формул с регулярным пограничным слоем для ограниченных областей с гладкими и кусочно-гладкими границами и пока-

зал их асимптотическую оптимальность в #2 (Р)

В.Л. Васкевич [16] исследовал кубатурные формулы в пространствах гармонических функций Бергмана в\(С1). Элементами e\(Q.) являются функции класса W\ (Q), гармонические в ограниченной области Q.

Разнообразным алгоритмическим реализациям вычислений по формулам С.Л. Соболева и программированию посвящены работы Л.В. Войтишек и Н.И. Блинова [11,12].

В работе С.Л. Соболева, И. Бабушки [2] задача оценки кубатурных формул приводит к задаче отыскания минимума нормы линейного функционала погрешности. Получены оценки погрешности кубатурных формул с правильной решеткой на классах периодических финитных и бесконечно дифференцируемых функций.

Переход от W к Wp потребовал применения качественно иных подходов

и осуществлен в конце 70-х гг. Ц.Б. Шойнжуровым [91]. Это стало возможным благодаря введению специальной нормы, для которой соответствующий дифференциальный оператор был хорошо изучен и описан в литературе, в частности, в [48]. Свойства его фундаментального решения были с успехом применены тогда для нахождения экстремальных функций и нахождения норм функционалов погрешности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем. Отметим, что несколько ранее М.Д. Рамазановым [65] был применен сходный

прием нормирования пространства W, и на этом пути получен ряд самостоятельных результатов. Подобным же образом вводится норма при рассмотрении функционалов над пространствами W в монографии С.Л. Соболева и

В.Л. Васкевича [82], дающей наиболее полное представление о современных направлениях в теории кубатурных формул. Кроме уже упомянутых, ниже укажем работы других авторов по сходным проблемам ближайшего тематического окружения.

2 В настоящей работе исследуются кубатурные формулы в пространстве Wp(E_n) с естественной нормой, когда норма функции учитывает разную глад-

кость функции по разным направлениям. Обозначим через D^mk q> - производную т_к, т.е. D^m"

^тк(р/дх^ , к = 1,..,я, т₀ = О, D^m = 1.

Неизотропное пространство Wp(E_n) определяется как множество функций <р(х), суммируемых с р-ой степенью на Е_п вместе со своими всевозможными частными обобщенными производными D^mk(p до порядка т_к включи-

тельно, к = 0,п, обладающих свойством гладкости вдоль выбранного координатного направления, и для которых конечна норма

|Р^Л

Пш{Е_п)

J И*)Г+1|я>(4

при 1 < р < оо. При р = оо нормой будет наибольший из существенных максимумов, взятых по каждой частной производной

1С-<_щН1С=^8ирФ>(*)|)-

" Оїкйп, '

хеЕ„

Если т₁ =т₂ =... = т_п =т, то W(E_n)=Wp (Е_п) - обычные изотропные пространства СЛ. Соболева. При р = 2 пространство W (Е_п) совпадает с пространством Соболева-Слободецкого W^^l^'J^(E_n) [73].

Различные постановки задач в неизотропных пространствах, не одинаковых по разным направлениям из-за дифференциальных свойств функций, рассматривались в работах П.И. Лизоркина [37, 38], Ароншайна [1], СМ. Никольского [49], М.Д. Рамазанова [61, 62, 65], Ц.Б. Шойнжурова [92, 98, 99] и других математиков. В работах П.И. Лизоркина [37, 38] исследовано интегральное представление для функций анизотропных классов при любом т и на их основе получена полная система теорем вложения. Ряд результатов, относящихся к случаю произвольных т и при р = 2 получены Ароншайном в работе [1]. При продолжении функции СМ. Никольским [49] применялся метод разложения ее в ряд по целым функциям экспоненциального типа и последующего наращивания его членов специальными функциями.

Более подробно М.Д. Рамазанов [65] исследовал кубатурные формулы на пространстве периодических функций В(А), где А = {хеЕ_п, 0<х_к <1, к = 1,2,..,«- фундаментальный единичный куб с нормой

|/| = max {[/(*)-/4_(Д), |/₀|). (4)

Здесь /₀ - нулевой коэффициент ряда Фурье. При этом пространство В(А) определял как замыкание всевозможных рядов Фурье ^/кЄ^2яікх, оно

\к\<С

рассматривалось произвольным, но не весовым. Однако при таком определении нормы функции возникали определенные трудности при согласовании периодичности с порядком сходимости h' = h%² =... = h" = h^m . В отличие от М.Д. Рамазанова и СМ. Никольского, Ц.Б. Шойнжуров [92] функции из рассматриваемой области Q продолжил на все пространство, «избавившись» от ограничений. Это позволило ему к периодической на всем пространстве функции _n), gj(x) = (p(x + hj3), \/fieZⁿ, применить преобразование Фу-

Р^ье* Приведенный здесь краткий и не претендующий на полноту обзор охватывает лишь основные направления исследований соболевской школы теории ку-батурных формул.

3 В данном пункте введения кратко остановимся на состоянии проблемы в настоящий момент.

Практика современной теории приближений такова, что для приближенного вычисления интеграла по ограниченной области Q пространства Е_п, п>2 чаще всего используются кубатурные формулы, т.е. приближенные равенства вида

(/_Q,p)= \<р(х)с1х-^С_кф^(к)) = 0. (5)

Здесь х-это и-мерный координатный вектор, С_к- коэффициенты, х^-узлы формулы, дающей различную точность для разных классов функций. При этом предполагается, что границей области Q служит гладкая поверхность конечной

площади, а в остальном Q произвольна. Кубатурная же сумма, приближающая интеграл, представляет собой с функциональной точки зрения линейную комбинацию дельта-функций S(x) Дирака

к=\ \к=\ )

Дельта-функции имеют смысл при воздействии на непрерывные пробные функции, отсюда требование вложения основного пространства в пространство

непрерывных функций Wp(E_n)cC(E_n), обеспечиваемое неравенством

P-*-i^w*"^I>(4³⁸'⁴⁸J-

Распределение узлов х^ внутри Q может быть произвольным. Тем не менее, результаты работы относятся к формулам с параллелепипедальной решеткой узлов. В этом случае узлы нумеруются с помощью мультииндекса У ⁼ (УііУ2>—>Уп) ^с Целочисленными координатами. Любой из них можно найти

по формуле х^ =(х₁,х₂,...,х_п), где х_к = h_ky_k, к=\,..,п, а малый положительный параметр h_k называется шагом решетки в к-ом направлении. В этом случае ку-

батурную формулу будем называть решетчатой.

Задача о построении решетчатой кубатурной формулы для ограниченной области Q заключается в следующем. Требуется при заданной ньютоновской

системе узлов В₀ = [у\ у є Е_п, 0 < у_к < N_k, ^Ук =^Nk>^k = U~,n}» взяв узлы у_к

к=\

на решетке, строго лежащие внутри или же на границе гладкой области Q, при фиксированных шагах h_x,h₂,..,h_n вдоль выбранных координатных направлений, определяемых с помощью следующей системы соотношений ff^l = /⁷² =... = f' = h^m , минимизировать кубатурную формулу по коэффициентам C_v .

/к

Коэффициенты же С_у кубатурной формулы,

І-егД 1-0-,/ \-_n

{h9)= J J ' \(p{x_XtX₂₉.._iX_n)dx_ldx₂-'dx_n-

_n=0y₂=0 /„=0 a _reB()

учитывающей свойства неизотропного пространства, выбираются так, чтобы выполнялись равенства

П=0 ^а* ^{+ х}

при любом значении гладкости функции т^ =1,2, .., п вдоль выбранной координатной оси Oxk, k=\,2,..,n.

Кубатурной формуле (6) сопоставим функционал погрешности

Kx) = Za(x)- ^h"C_y S{x-hy), (7)

где Ха~ индикатор или, иначе говоря, характеристическая функция области Q. Функционал является линейным, так как требуем независимости правил, указывающих узлы и коэффициенты, от выбора конкретной интегрируемой функции. Эта погрешность как разность между неизвестным точным значением интеграла и приближающей его кубатурной суммой является вполне определенной числовой величиной. Будем говорить, что кубатурная формула точна на функции (р(х₁,х₂,..,х_п), если разность (7) равна нулю. Функцию <р(х) считаем принадлежащей банахову пространству В. Предметом нашего изучения будет норма функционалаЦ l_a\_B*. Различным узлам и коэффициентам отвечают разные формулы. Важная задача - их исследование и минимизация нормы |/q||_s» .

Естественно рассматривать не изолированные кубатурные формулы, а их последовательность при увеличении числа узлов N. Будем говорить о сходимости кубатурных процессов на классах функций. Используя разные кубатурные формулы должны находить и оптимальную систему узлов, и коэффициенты такой формулы.

В практических вопросах важна не норма 1_п(х), а величина погрешности (і_п,<р) для каждой конкретной функции. Для любой непрерывной функции эта погрешность стремится к нулю. Слабая сходимость имеется всегда. В условиях банаховых пространств оказывается, что (/, щ для любой конкретной функции

<р существенно меньше, чем |/||_в. \(р\_в в очень большом числе случаев и, в частности, в тех же гильбертовых пространствах, которые изучены в [74]. Но точно оценить погрешность на конкретной функции трудно и поэтому полезно пользоваться формулами с наименьшей нормой функционала погрешности в про-странстве В . Выбор пространства В определяет и качество избранных куба-турных формул. Проблему получения числового выражения оценки функционала 1_п(х) обозначим как проблему А.

4 В настоящей работе реализуется соболевский подход к проблеме построения оценок погрешности. Если значение нормы конкретной подынтегральной функции можно вычислить или оценить, то основная проблема падает на нахождение нормы функционала погрешности. С.Л. Соболев [74] предложил находить норму |/| через экстремальную функцию щ данного функционала, т.е. через такую функцию, значение функционала на которой равно норме функционала \{1,д>}\ -1/|, при условии, что \<р,\ = 1. Сам С.Л. Соболев реализовал такой подход на функциях из пространства L^. При этом экстремальная функция находилась как решение уравнения с частными производными в обобщенных функциях. В случае L^ это было полигармоническое уравнение

А^ти = 1, где u = G*l,a.G- фундаментальное решение этого уравнения.

Таким образом, в проблеме А выделяется задача нахождения нормы функционала погрешности. Обозначим ее как задачу В.

5 Нормы функционалов погрешностей определяются через экстремальные функции, являющиеся обобщенными решениями некоторых дифференцальных

уравнений в частных производных. Задача отыскания экстремальной функции для функционала погрешности в пространстве обобщенных функций приводит к необходимости рассмотрения уравнения вида

(-1ГД²¹*и = /(*), (8)

leWf ,m_Q=0, D^m=\,u = s_m*l.

Свойства фундаментального решения є_2Ш є W , где — + — = 1, оценка его и

Р Р'

его производных хорошо изучены, их можно найти, в частности, в [38].

*

— т

Из принадлежности е_2ш пространству W и того факта, что / є W_p является суммой Хп ^и линейной комбинации ^-функций, следует существование свертки є_2ш * / и принадлежности ее тому же пространству, что и указанное фундаментальное решение.

о —*

Решению задачи В, определенной в п.4 , в пространстве W посвящена

серия работ Ц.Б. Шойнжурова [91]-[96].

В данной работе проблема нахождения нормы функционала погрешности (задача В) сводится к решению уравнения

(-1Г/Г< D^m*_n(x)r\sgnD^m'cp_Q(x))=l (х) (9)

для экстремальной функции данного функционала.

Уравнение (9) в случае р = 2 становится линейным, само пространство

W₂^m(E_n) совпадает с пространством Соболева-Слободецкого W(^lx^m2'"_x'^m\₂(E_n)> решение уравнения (9) можно получить с использованием преобразования Фурье. В случае же р Ф 2 применение прямых методов решения к уравнению (9) затруднительно. Здесь мы применили метод подбора экстремальной функции, который впервые был предложен Ц.Б. Шойнжуровым в работе [97] для нахождения обобщенных решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Отсюда возникает еще одна задача, задача С - вычисление нормы функционала погрешности и экстремальной функции при 1 < р < оо.

6 Решение задачи о минимальной норме приводит к уравнениям, которые в рассмотренном В.И. Половинкиным [52] одномерном случае для пространства L^m_p имеют вид

\\B_v(x) + Л_а\7=ї sgn(_v(x) + X_a)dx = 0. (10)

В.И. Половинкиным доказано, что если в уравнении (10) В_у(х) - полином Бер-нулли, а сопутствующее число последовательности квадратурных формул с пограничным слоем равно решению Л^ уравнения (10), то эта последовательность асимптотически оптимальна.

Применительно к нашему случаю, вариационную задачу, связанную с минимизацией нормы оптимального функционала погрешности по параметрам С_к, обозначим задачей D.

7 С.Л. Соболевым в [74] введено понятие асимптотической оптимальности кубатурных формул и дано определение формул специального вида - с регулярным пограничным слоем. Такие формулы обладают свойством асимптотической оптимальности. Особую роль при построении оценок норм функционалов погрешности с узлами в вершинах параллелепипедальных решеток С.Л. Соболев отводил элементарному функционалу погрешности.

С одной стороны, точный на константах произвольный периодический функционал погрешности по основному периоду является средневзвешенным нескольких элементарных функционалов, имеющих вид

Х_Ч {h-^lx)~ к^п^С_кд{х -x_k) = c,(l - Ф₀ (й-¹*)),

к=\ к=\

где А— фундаментальная область основного периода.

С другой стороны сумма (бесконечная) произвольных, точных на константах функционалов погрешностей (непериодических) представляет собой элементарный периодический функционал

Е'(а"^!*-)=Е zJh-^lx-/3)-^C_rs(h-^lx-r-fi) =1-Ф₀{к-^Іх).

P P

Представление любого функционала с регулярным пограничным слоем /(*) в некоторой области Q в виде

где /г" ={\lh_x,\lh2,...,\lh_n) - вектор, l₀(h~ x) = l-2__ih_lh2'"h_nS(x — hy)— ne-

риодический функционал погрешности, {/г/}- множество всех векторов из Е_п и В_п* = \hy)\ В_п выводится из определения функционала с регулярным пограничным слоем, которое выражается через сумму локальных функционалов по фундаментальным параллелепипедам решетки, расположенным внутри области и по параллелепипедам пограничного слоя. На основании этого представления строятся оценки сверху норм функционалов погрешности с регулярным пограничным слоем.

Применение периодического функционала к интегрированию финитных функций позволяет получить нижнюю грань нормы функционалов с узлами в вершинах параллелепипедальных решеток.

В проблеме А получаем видоизмененную задачу В - в случае невозможности вычислить в явном виде норму функционала погрешности получить ее оценку, выраженную через норму периодического функционала. Эту проблему обозначим Е. Решение задачи Е позволит получить двусторонние оценки - задача Е1. Выделим задачу Е2 - построение элементарных кубатурных формул и кубатурных формул с регулярным пограничным слоем.

8 Таким образом, целью работы является вычисление параметров, входящих в оценки нормы функционала и исследование асимптотической оптимальности нормы функционала в пространстве W (Е_п).

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие основные задачи исследования:

3. Исследована вариационная задача, связанная с вычислением параметров оптимального функционала погрешности (задача D);

4. Выделены в явном виде нормы экстремальной функции и функционала

погрешности при 1 < р < оо в Wp (Е_п ) (задача С);;

3. Построены элементарные кубатурные формулы и кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем (задача Е2);.

4. Получены двусторонние оценки нормы функционала погрешности куба-турных формул с регулярным пограничным слоем (задача Е1);.

9 Изложим кратко содержание диссертации.

Результаты диссертации оформлены в виде лемм, теорем. Диссертация состоит из введения, трех разделов, содержащих 11 пунктов, заключения, списка литературы и 3 приложений. Формулы отмечены тройной нумерацией: номер раздела, номер пункта и номер формулы в пункте, разделенные точкой. Объем работы составляет 127 страниц.

Введение содержит собственно введение в проблему (пункты 3 -7), формулировку цели и задачи диссертации (пункт 8), краткий обзор литературы по теме работы (пункты 1, 2).

В первом разделе рассматриваются линейные функционалы погрешности в неизотропном пространстве W, т =(т_х, т₂,..., т_п) - неотрицательный целочисленный вектор, 1Wp(Q), Wp{^). В качестве Q. рассматривается ограниченная область с гладкой границей. Пусть h_k > О, - шаги решетки вдоль выбранных направлений,

+ <

h =h,,h₂,..,h_n, к = \,..,п, 11 hk - не обязательно целые числа, —

к lAj

A j

к. л- j

N_k =

- количество узлов решетки вдоль выбранных координатных на-

/* -ч

правлении, cr_k = «

Л j

- дробная часть числа —, N" =N_lN₂---N_n

т =п

_2>;'

- среднегармоническое чисел т₁,т₂,..., т_п

VA=1 J

Среди решеток вида («іД, ^/^ А АЛ Л ^eZ"> к = 1,..,п оптимальная по порядку решетка определяется с помощью следующей системы соотношений

лг =/² =...=h:"=h^m.

(11)

* m /ту

Из условий (11) найдено/^=^^,^=^ ^/т* А: = 1,2,..,и , где N = f.

/г

Пусть Л = diag (/, /,.., h_n) - матрица периодов, Д^ = [х є Е_п,

О < д:_А < h_k, А: = 1,2,..,и} - фундаментальный параллелепипед с длинами ребер h_k,

А^ = hjij/*„ = = h" = det/г Ф О, А = {хєЕ_п, О <х_к < 1 -0^/.} - фундаментальный параллелепипед с длинами ребер \-cr_kh_k) к = 1,.., п. В частности, если

дробная часть равна нулю, то А = А, где А = {х є Е_п, 0 < х_к < 1, к = 1,2,..,«} -фундаментальный единичный куб.

В пункте 1.1 определены основные пространства W (Е_п), W (А^).

Пусть D^mk(p = d^mk(pl дх_к^к, к = 1,..,п. Если т₀=0, то D^m =1. В работе исследуются кубатурные формулы в пространствах с нормой

^К{Е_п)

j|l>>(*)

Ек=0

При /? = оо норма - это наибольший из существенных супремумов каждой частной производной, взятых по всему пространству Е_п:

D^mk(p{x)

\<Р

\wS(E_n)=Wh = V ^vrai

Ойкп,хєЕ„

В пункте 1.2. получен общий вид линейного функционала, доказывается теорема, результатом которой является получение в явном виде норм функцио-

нала погрешности и экстремальной функции. Исследования, проводимые в данной работе, продолжают и обобщают работу [98].

11 " і

Лемма 1.1. Пусть 1<р<<х>, — + —- = 1, и р-У\—>0 для любых

Р Р *=i Щ

п

(p_QeW^. Тогда оператор L(D) = ^(-І)^щ D^2mk переводит функцию уфс) в

к=0

»

обобщенную функцию L(D) щ (jc) = / (х) є W и выражение

(/(*),?(*)) = J f_jD^mk(_Po(x)D^mk_n)

Е„ А=0

представляет собой ограниченный линейный функционал над пространством Wf{E_n).

Теорема 1.1. (Об общем виде функционала погрешности.) Любой финит-

*

ный линейный функционал 1(х) из W представим в виде

(¹>ф)= \Y_J(r\)^mkD^mku*D^mk(pdx,

г*=0

где (peW_p ,иєі_р' и удовлетворяет уравнению

(-1Г>^2т*и = /(*), leWf.

Лемма 1.2. Пусть Q-ограниченная область вЕ_п ,р-У]— > 0 ,1(х) —про-

изволъный финитный функционал общего вида из пространства финитных
функционалов из S* с W . Тогда существует функция

<р₀(х) = s_2m{x)*l{x) є Wp<, являющаяся единственным решением уравнения

L(D)₀{x) = { (- \f^k D^2m* )<р₀(х) = l(x),
u=i )

и функционал погрешности общего вида имеет следующее представление {1(х),ф))= \ &^щє_2щ(х)*1(х))о^т*<р(х)с1х, V_n).

"Ill —

Теорема 1.2. Если\<р<со, , p-Y—>0, — + — = 1, l(x)eW*,

к=\Щ Р р¹ є_2ш(х)* 1(х)єУУ!, то экстремальная функция <р_{(х), соответствующая функционалу погрешности 1{х), определяется равенством

ср^х) = D^mkc_2m(x)* D^m*e_m(x)*l(x)^sgnD^mks_2m(x)*l (х),

нормы функционала погрешности 1(х) и экстремальной функции (p_t(x), соответственно, выражаются равенствами

_l'(*)IU=

j\D²""s_2!g(x)*l(xfdx

L«.

_{19 А}

w"

\f\D^mks_m{x)*l{x)

Е к=0

_ л

В пункте 1.3. построены элементарные функционалы погрешности, учитывающие свойства неизотропного пространства, с узлами, лежащими внутри или же на границе области.

Пусть y = {y_x,y₂,..,y_n)sZⁿ, <р(х)= <р(х_их₂,..,х_п) - функция, определенная наЕ_п, N = N_lN₂---N_n- количество узлов формулы, В₀ = [у\уеЕ_п, 0_kk,

^y_k=N_k,k = 1,..,«}- ньютоновская система узлов.

Строятся элементарные функционалы погрешности на плоскости (п=2)

1-Л,о-, 1-А₂ст₂ #, #2

(l,(p)= J J ф^Х^ОХ^-^^С^С^^^).
О О Г\ =0^2=0

(13)

Из следующей системы

, ІА,^ — \J,l,...,rft_k

a_t+l

]ГС_гП"< =^-^, fc=0,l....,m>.

п=о

(14)

найдены коэффициенты C_y при любом значении гладкости функции ть =1,2

вдоль выбранного координатного направления. Затем берется их декартово произведение. Разработанная программа в приложении 1 позволяет находить коэффициенты кубатурной формулы при любом т. Преобразуем функционал (13)

л A ^1_0"²^ Д

⁺ J Е^СП^1 J <Р{У\^2)^2-1,С_Г1(р{у_х,у₂))

у₂=0

о п=о

1-стЛ 1-ff.A,

^{1 и} 1"1 »-"2'^ Лі Л,

(/,^)= J J (^*(^l,^2)-Z]E^Cr,^l"^l)^Cr,^2-/2))

О о

у,=0у₂=0

1 2 CtXrvQJC'y ,

і-о-Лр-^А д *\ "1

{1,(р)= \ Ml- Х)С_Л<У(*, - П) Wdx_x xfdx₂ +

0 [ О І Гі=0 J

І-о'Л Д Гі-о-₂А2 д

+ J C_r(*,-ft)*f'A, J (l-2^Cr/^2-r₂)K²^2
0 Гі=0 |_ о Г₂=

Тогда функционал ортогонален многочлену степени ш\ по переменной х\, и ортогонален многочлену степени rri2 по переменной Хг'.

(/,(^),^) = ] 1-f^ (*,-/,)<'<&, и (/,(^),^) = 0,0 =0,..,111,,

о I r,=o J

l-o-^/ д Л

(/₂(*2*² \х₂^г) = J 1 - 21^/( - її) A^ldxi ^и ('гО?² )»*? } = 0,а₂= 0,..,m₂.
о V п=о )

В приложении 2 построены элементарные кубатурные формулы на плоскости, точно интегрирующие многочлен степени rrik по переменной х"^к,

a_k=0,..,m_k,h=l,2.

Далее эта конструкция обобщена на многомерный случай

1-<тД 1-(тЛ \-_nh„

(^) = J J ** \<р{х\,х₂,..,х_п)сЬс_хск₂---(1х_п-
0 0 о

- Е Е- Тп^сУі~-^сУп <р(г\>г2,»,Гп)= \_r (р{у),

где коэффициенты C_Y выбираются так, чтобы выполнялись равенства

_Гк=0 ^ak^+l

Далее функционалы погрешности, ортогональные многочленам степеней а_к=0,\,»,т_к, к = \,2,...,п вдоль выбранных координатных направлений продолжены путем суммирования по всем у' на всю числовую ось с выбранным шагом решетки h_k и построены периодические функционалы погрешности ку-батурной формулы общего вида

_ п

где 8{х-hP) = Y[8{х_к -h_kp_k).

к=\

В пункте 1.4. используя построенные функционалы относительно простого вида, строятся функционалы с регулярным пограничным слоем, с узлами, лежащими внутри или же на границе области. Их определение аналогично определению функционала с регулярным пограничным слоем, предложенным С.Л. Соболевым [74], и учитывает специфику неизотропных пространств. Вводятся следующие обозначения:

B_r={yeE_n:p(hy,r(Q))₀},

B_n={yeE_n:p(hy,r(Q))>Lh₀, hyeQ},B_n.={hy}\B_n.

Элементарные функционалы погрешностей разделены на два класса: 1. Если supp ly(x)cQ,то Iу(х) = l(x).

2. Если Лг = Ar n Q Ф 0, mes A^ ⁿ ,то для каждого / построен свой элементарный функционал /^(х) = I^у'(х) = _д. - J]С (х-h(j + у')).

~^hT \y'\

Пусть т = ю\дхт_к. Введем множество R(L,A,m) функционалов с носите-

\йк<.п

лем, сосредоточенным в шаре радиуса L, с оценкой нормы, не превышающей А в пространстве, сопряженном пространству непрерывных функций и ортогональных к многочленам степени ниже т.

Определение [74]. Если функционалы погрешности кубатурной формулы

w(x)dx » ^C_rдопускают представление в виде суммы

/nW= I l(h'^lx-r)+ Zlfih^x-y),

уєВ_а уєВ_г

где l(x) eR(L,A,m + l) и Ц{х) є R(L,А,т), то такие функционалы называются

функционалами с регулярным пограничным слоем толщины L порядка s = т с оценкой А.

Определение. Если функционалы погрешностей кубатурной формулы

\(p{x)dx « ^C_rдопускают представление в виде

Ш = 2#(*-'* - у)⁺№^-1*) -. 2Ж¹* - у),

ГеВ_г yeB_Q.

где l(x)eR(L,A,m + l) и I^у (x)eR(L,A,m), то такие функционалы называются

функционалами с регулярным пограничным слоем толщины L порядка s = т с оценкой Л.

Очевидно, эти определения эквивалентны.

Эти функционалы получены путем суммирования элементарных функционалов l_y(x)eR(L,A,m + l) и lf(x)eR(L,A,m), как в обычном анализе формулы

прямоугольников получаются суммированием элементарных формул прямоугольников. В приложении 3 для сравнения приведены значения некоторых тестовых интегралов с результатами, полученными с помощью построенной

кубатурной формулы с регулярным пограничным слоем при различных шагах и гладкостях по выбранным координатным направлениям.

В пункте 1.5. доказывается теорема об экстремальной функции и выписывается явное выражение нормы функционала погрешности. Введем обозначение //(Л"^) = 1 + ^и Ь*/^/', %(h-^lx) = ^dethS(x-h/3).

Лемма 1.3. Периодическое решение уравнения

(-1)"* D^2mky/_Q{h-^X х) = 1 -Ф₀(Й-¹х) = 7₀(h-^lx)

А=0

имеет вид

(15)

Щ^х)=^^Х1^{~^{2ЖІКРкХк)}^_к

(16)

Полагаем, что

А=0

*«,(*)=!

{2жіР_к)^щ е-^2лір^

№ l + Yfexfij)"'

.и, В_ш(С)=\±\в_тк(х) + С_к

*к=0 А

dx.

7=1

Теорема 1.3. Если 1для пространства Wp(Aj;) выполнено условие р-^^т^ > 0, h_k-шаги решетки, k=l..,n, ^/_Q{h~^xx) - периодическое решение уравнения (15), то справедливы утверждения 1. функционал погрешности представим формулой

(l_Q(h-^lx)MxJ)= jt{^Dmi^o(h-^lx) + h^Ci⁰⁾)D^m^(x)dx, (17)

д. *=о

2. экстремальная функция y/_Q(h~^xx) для функционала i₀(h ^lx) определяется формулой

2яіК~^хух

<р₀(й-ЬО = /Г'^-—гС,,

г*о\2яу\

D^m>e

^Сг=\

А=0 /7/0

-litih^Py

Kh~^lP)

+ h?>Ci⁰⁾

і p-i

+ /*Г*СІ⁰⁾

dy,

)^mk_e-2xih ^lPy

'k W

xsgn

{fa _M(h~^lfi) 3. норма экстремальной функции у/₀(h~^xx) определяется равенством

(18)

Up'

-і.

if/₀{h~ х)

^рІН)

_\1

д_гА=0

У У^тПк Рк)_ ^Є _{+ h}m_{k С}(0)

р*о

^ nQi~^xP) ^{к к}

, (19)

+ h?^kCl⁰⁾

7-І.

4. норма функционала l₀(h х) допускает представление

{2mhfP_kT^ke~^l7uh"^PkXk

-і

M(h~43)

Г l₀(h~^lx)

р*о

К (д_А->

\Vp'

(20)

Здесь Cf\ k = 0,1.. ,я - решение системы уравнении

_5/

ЬуР^ЩЄ~^1ЛІІІХ _|

,/r»e-

u& = 0, = 0,1..,72.

Jim,

где m/?)=i+s;;₌₁ (2*;/?,.) ^.

В разделе II ставится задача минимизации нормы линейного функционала погрешности, выводятся двусторонние оценки норм функционалов погрешности, с помощью которых исследована асимптотическая оптимальность.

Явное выражение нормы оптимального функционала погрешности l₀[h~^lx) найдено с помощью решения следующей вариационной задачи.

Задача. Найти вектор С⁽⁰⁾, доставляющий минимум функции

min^(C) = min \f\B_mt (х) + C_kf dx =В_Ш{С). (21)

л*=0 Д

Доказаны утверждения, сформулированные в виде следующих лемм.

к=\

Лемма 2.1. Если 1<р<со и выполнены условия вложения р-^Щ >0, то минимум функции В_Ш(С) достигается.

Лемма 2.2. Параметры С_к = С*Р, к - 0,1,..., и, доставляющие минимум функции

В_ш (С), удовлетворяют следующей системе уравнений

(22)

|^(х) + С^\р-' ^S&K(*) + Cl⁰⁾)dx = 0..

и система уравнений (22) имеет решение. Теорема 2.1. Система уравнений (22) имеет единственное решение.

Исследуется алгоритм вычисления параметров C_k, k = 1,...,и, входящих в

норму оптимального периодического функционала l₀(h~^lx) при р = 1 и р = <х>.

При /? = 1 параметры Cf^ определяются из равенств

С{>=-

«*

+ Я_т,(0)

При р = оо параметры С^⁰⁾ можно определить следующим образом

_с'М

_'Г

= 1,.., и, т_к - четное число,

т_к - нечетное число.

В пункте 2.2. получена оценка сверху нормы функционала погрешности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем в пространстве

*

Wp (Е_п). С использованием известных оценок для функции є_2ш(х) и ее производных, предварительно доказаны две вспомогательные леммы, необходимые для оценки сверху нормы функционала погрешности. Лемма 2.3. Если l_r(x)eR(L,A,s), s = т, т +1, причем при s = m + \ функционал

1 ^п 1
/ (х) = 1{х), и выполнено условие вложения 1 V — > 0, то справедлива

Рк=\Щ

оценка

f{D^m>e_m(xyi_r(h-^lx)

dx^mp'⁺ⁿ ,С>0.

--і

Лемма 2.4.Если I (h х) єR(L,A,s), s = m,m + \, >Lh_Q, то свертка

D^mk є_2ш (x) * / (h x) удовлетворяет неравенствам

m(K-l)+s

D^mks_m(x)*Uh-'x)

dethhi

\x-h/\

Теорема 2.2. Пусть Q— ограниченная область с гладкой границей, \<р<<х>, P~^"_k=l^mk >0 w 1_а{х) -функционал погрешности кубатурной формулы с ре-

*

гулярным пограничным слоем. Тогда при / —> 0 в W норма функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в смысле определения Соболева удовлетворяет неравенству

Ґ_\1

/(*)

(1 + ^(/)).

<(mes ofjh^m*

К (П)

рА МІР)

В пункте 2.3. для ограниченной области О, с гладкой границей получена оценка снизу нормы функционала погрешности в пространстве W. С помощью усреднений по Соболеву характеристической функции области О. и экстремальной функции функционала погрешности строится специальная последовательность финитных функций <р„(х) с Wp (Q.), h = (mes Q/N)^l/n. Свойства

этой последовательности используются при выводе оценки снизу нормы произвольного функционала с узлами в вершинах параллелепипедальной решетки. Лемма 3.3. Пусть область Q имеет гладкую границу Г = Г(П). Тогда при

h₀ -> 0 последовательность финитных функций (p_h(x) є Wp(Q) такая, что

a) _h{x) = О, если х = hp, где h/ЗєQ или х .Q_2h, 0!_2h = Q'_h \Q'_3h,

6) \_h(x)dx = mesQ J^

A, *=0

1(-1)

P*Q

D^mke~

Kh~^lP)

+ h^mC

^(1 + 0(/)).

Доказана оценка снизу нормы произвольного функционала погрешности.

Теорема 2.3. Пусть область Q. имеет гладкую границу, hⁿ =mesQ/N. Тогда

для любого функционала погрешности общего вида с узлами в вершинах параллелепипеда с шагом решетки hk

W*) = *n(*)- Y^WCpSix-hp)

hfleQ.

при / -» О имеет место следующая оценка снизу

>(mes tifjh"¹*

(1 + 0()).

_I'nOOl

К (.а)

Подобно тому, как В.И. Половинкиным в работе [52] была решена вариационная задача при гладкости функции одинаковой по всем направлениям, с помощью двусторонних оценок нормы функционала погрешности исследована асимптотическая оптимальность.

Теорема 2.4. Пусть область Q имеет гладкую границу Г = T(Q). Если хотя бы одно ть нечетно, то функционал погрешности 1_п(х) с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимален

і jyn_k -гтрх

У-

(l + O(h₀)).

_IM*)I

= (mesn)V/2^w*

Wp (П)

При всех четных т/с коэффициенты С[\ k = 0,..,п отличны от нуля и оценка снизу меньше оценки сверху.

В разделе III рассматривается пространство W(E_n) , доказывается теорема о явном выражении нормы произвольного функционала погрешности 1{х) и экстремальной функции щ{х) с предельным значением показателя суммируемости.

В пункте 3.1. рассматривается пространство W{E_n) .

Пространство W{E_n) = W определяется как множество всех измеримых на Е_п функций (р(х), имеющих обобщенные производные по х_к до т_к-го, к=0,\,2,...,п порядка включительно, причем для каждой такой функции ср{х) существует число N такое, что для всех р>N имеет место включение

_n), а также неравенство НтЫ _й,„ <оо. Норма в пространстве

^и р—>оо" ""р К^п)

W определяется равенством

<р ^ = lim\<р\ _ш.

(23)

В монографии [48] показано, что если функция измерима и существенно ограничена на ограниченном множестве Q, то sup vrai |^?(jc)| = A/p и доказано,

что lim |Ы| =М . Связь между пределом (23) и существенным максиму-мом D^mkq?(x), к = 0,1,..,« на .„ устанавливается с помощью следующей леммы.

Лемма 3.1. Если lim

р-><ю

Е„ к=0

<оо, то

w:

^IU- =supvrai

хєЕ„, к=0,\,..,п

D^mk(p(x)

^=м_г

\f\D^mkPdx

Лемма 3.2. Если lim

^p_>eoLn*-o

mo

(Руш =supvrai

" хєП,

k=Q,l,..,n

D^m«(p{x)

^=м_г

(3.1.9)

Лемма 3.3. Если l(x) є W* и supp l(x) с S_R, S_R={xe E_n, \x\

(3.1.15)

j\D^m's_m(x)*l(x)

E *=0

В пункте 3.2. доказывается теорема о явном выражении нормы произвольного функционала погрешности 1(х) и экстремальной функции (pi(x) с предельным значением показателя суммируемости.

Теорема 3.1. Если функционал погрешности I(x) eW , supp I(x) cz Sr

= {xeE_n, \x\ и имеет представление

rm oo '

{l,j (D^_2iW*/(x))D>(#, VipeWi

E„ *=0

то справедливы утверждения:

1. экстремальная функция фі(х) определяется формулой

<р, (х) = />"* е_ш (х) * sgn (/Г* є_ш (х) * І (*)),

k=0

2. норма функционала погрешности 1(х) допускает представление

\\^llr=$t \D^mks_m{x)*l{x)\dx,

Е k=0

3. норма экстремальной функции

^=L

Заканчивая введение, добавим несколько слов об обозначениях и символах. Большинство обозначений, используемых в тексте диссертации, являются общепринятыми. Разъяснение символов обычно дается при первом их упоминании.

Несколько слов о сходных символах.

Символ большей частью обозначающий ^-функцию Дирака, иногда будет обозначать радиус окружности точки в традиционных высказываниях на языке 3-є.

Символом А обозначены оператор Лапласа и «-мерный куб.

h₀ = h

= «Jhf + п\л-.. + п^г_п- модуль вектора h

h =diag(//₁,/2₂,..,^„) -диагональная матрица.

Константы, входящие в различные неравенства не нумеруются, т.е. одной и той же буквой могут быть обозначены различные константы.

В общем случае ситуации, когда одним и тем же символом обозначаются разные понятия, будут ясны из контекста.

Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешностей

Кубатурной формуле (6) сопоставим функционал погрешности где Ха индикатор или, иначе говоря, характеристическая функция области Q. Функционал является линейным, так как требуем независимости правил, указывающих узлы и коэффициенты, от выбора конкретной интегрируемой функции. Эта погрешность как разность между неизвестным точным значением интеграла и приближающей его кубатурной суммой является вполне определенной числовой величиной. Будем говорить, что кубатурная формула точна на функции (р(х1,х2,..,хп), если разность (7) равна нулю. Функцию р(х) считаем принадлежащей банахову пространству В. Предметом нашего изучения будет норма функционалаЦ la\B . Различным узлам и коэффициентам отвечают разные формулы. Важная задача - их исследование и минимизация нормы /QS» .

Естественно рассматривать не изолированные кубатурные формулы, а их последовательность при увеличении числа узлов N. Будем говорить о сходимости кубатурных процессов на классах функций. Используя разные кубатурные формулы должны находить и оптимальную систему узлов, и коэффициенты такой формулы. В практических вопросах важна не норма 1п(х), а величина погрешности (іп, р) для каждой конкретной функции. Для любой непрерывной функции эта погрешность стремится к нулю. Слабая сходимость имеется всегда. В условиях банаховых пространств оказывается, что (/, щ для любой конкретной функции существенно меньше, чем /в. \(р\в в очень большом числе случаев и, в частности, в тех же гильбертовых пространствах, которые изучены в [74]. Но точно оценить погрешность на конкретной функции трудно и поэтому полезно пользоваться формулами с наименьшей нормой функционала погрешности в про-странстве В . Выбор пространства В определяет и качество избранных куба-турных формул. Проблему получения числового выражения оценки функционала 1п(х) обозначим как проблему А.

В настоящей работе реализуется соболевский подход к проблеме построения оценок погрешности. Если значение нормы конкретной подынтегральной функции можно вычислить или оценить, то основная проблема падает на нахождение нормы функционала погрешности. С.Л. Соболев [74] предложил находить норму / через экстремальную функцию щ данного функционала, т.е. через такую функцию, значение функционала на которой равно норме функционала \{1,д }\ -1/, при условии, что \ р,\ = 1. Сам С.Л. Соболев реализовал такой подход на функциях из пространства L . При этом экстремальная функция находилась как решение уравнения с частными производными в обобщенных функциях. В случае L это было полигармоническое уравнение

Таким образом, в проблеме А выделяется задача нахождения нормы функционала погрешности. Обозначим ее как задачу В. Нормы функционалов погрешностей определяются через экстремальные функции, являющиеся обобщенными решениями некоторых дифференцальных уравнений в частных производных. Задача отыскания экстремальной функции для функционала погрешности в пространстве обобщенных функций приводит к необходимости рассмотрения уравнения вида Свойства фундаментального решения є2Ш є W , где — + — = 1, оценка его и Р Р его производных хорошо изучены, их можно найти, в частности, в [38]. Из принадлежности е2ш пространству W и того факта, что / є Wp является суммой Хп и линейной комбинации -функций, следует существование свертки є2ш / и принадлежности ее тому же пространству, что и указанное фундаментальное решение. о — Решению задачи В, определенной в п.4 , в пространстве W посвящена серия работ Ц.Б. Шойнжурова [91]-[96]. В данной работе проблема нахождения нормы функционала погрешности (задача В) сводится к решению уравнения для экстремальной функции данного функционала. Уравнение (9) в случае р = 2 становится линейным, само пространство W2m(En) совпадает с пространством Соболева-Слободецкого W(lxm2 "x m\2(En) решение уравнения (9) можно получить с использованием преобразования Фурье. В случае же р Ф 2 применение прямых методов решения к уравнению (9) затруднительно. Здесь мы применили метод подбора экстремальной функции, который впервые был предложен Ц.Б. Шойнжуровым в работе [97] для нахождения обобщенных решений дифференциальных уравнений в частных производных. Отсюда возникает еще одна задача, задача С - вычисление нормы функционала погрешности и экстремальной функции при 1 р оо. 6 Решение задачи о минимальной норме приводит к уравнениям, которые в рассмотренном В.И. Половинкиным [52] одномерном случае для пространства Lmp имеют вид В.И. Половинкиным доказано, что если в уравнении (10) Ву(х) - полином Бер-нулли, а сопутствующее число последовательности квадратурных формул с пограничным слоем равно решению Л уравнения (10), то эта последовательность асимптотически оптимальна. Применительно к нашему случаю, вариационную задачу, связанную с минимизацией нормы оптимального функционала погрешности по параметрам Ск, обозначим задачей D. 7 С.Л. Соболевым в [74] введено понятие асимптотической оптимальности кубатурных формул и дано определение формул специального вида - с регулярным пограничным слоем. Такие формулы обладают свойством асимптотической оптимальности. Особую роль при построении оценок норм функционалов погрешности с узлами в вершинах параллелепипедальных решеток С.Л. Соболев отводил элементарному функционалу погрешности. С одной стороны, точный на константах произвольный периодический функционал погрешности по основному периоду является средневзвешенным нескольких элементарных функционалов, имеющих вид

Вариационная задача для оптимального периодического функционала погрешности

В этом разделе строятся элементарные кубатурные формулы и кубатур-ные формулы с регулярным пограничным слоем в неизотропном пространстве Wp (Еп ), в явном виде выделены нормы экстремальной функции и функционала погрешности с матрицей периодов h . В отличие от изотропных пространств С.Л. Соболева дифференциальные свойства элементов неизотропного пространства зависят от координатных направлений.

При изучении функций многих переменных гладкость функций можно характеризовать посредством задания их дифференциальных свойств вдоль координатных направлений. Такой подход привел к пространствам. В данной работе исследования кубатурных формул ведутся в неизотропном пространстве Wp (Еп), где 1 р оо, т=(т1,т2,...,тп) - целочисленный «-мерный вектор пространства Еп с не отрицательными компонентами. Если тх=т2=... = тп=т, то Wp(En)= Wp (Еп ) - обычные изотропные пространства С.Л. Соболева. Различные постановки задач в неизотропных пространствах, не одинаковых вдоль разных координатных направлений из-за дифференциальных свойств функций, рассматривались в работах Н.С. Бахвалова [3], П.И. Лизор-кина [37, 38], Ароншайна [1], СМ. Никольского [48], М.Д. Рамазанова [65], Ц.Б. Шойнжурова [92, 98, 99] и других математиков. В работах П.И. Лизор-кина [37,38] исследовано интегральное представление для функций анизотропных классов при любом т и на их основе получена полная система теорем вложения. Ряд результатов, относящихся к случаю произвольных т и при р = 2 получены Ароншайном в работе [1]. При продолжении функции СМ. Никольским [48] применялся метод разложения ее в ряд по целым функциям экспоненциального типа и последующего наращивания его членов специальными функциями. В работе Л.В. Волевича и Б.П. Панеяха [25] рассмотрены пространства W{En) и в терминах этих пространств получены прямые и обратные теоремы вложения. В своей работе [65] М.Д. Рамазанов исследовал кубатурные формулы на пространстве периодических функций В (А) с нормой Основным периодом функций из пространства В он брал единичный куб А = {хєЕ„, 0 xt 1, / = 1,2, ... ,п). При этом пространство В (А) рассматривалось довольно произвольным, но не весовым. Коэффициенты fk Фурье этих функций определялись из равенств fk = \f(x)e 2nxkxdx. В качест-ве Q. рассматривалась область, лежащая строго внутри единичного куба, такая, что p(Q,En\A) 0. При этом пространство B(Q) задавал как пространство, образованное функциями Дд:), определенными наОи являющимися ограничениями на Q. функций из В, т.е. для всякогоДх) существовала g(x) є В такая, что g(x)\n = f(x) и норма функции определялась равенством /(x)g =infg(x) . Однако при таком определении нормы функции возникали определенные трудности при периодическом продолжении функции на единичный куб (порядок сходимости 1\х = h% -... = h" = hm должен был быть согласованным с числами /z,,/z2,..,/zw, т,,7Я2,..,/яя). Ц.Б. Шойнжуров [99] функции из рассматриваемой области Q, продолжил на все пространство, «избавившись» от ограничений. Это позволило ему к периодической на всем пространстве Wp(En) функции ф(х) = q (x + h/3), \/р є Z", применить преобразование Фурье. Пусть Dmk (р = дщ (р/дхк к = 1,.., п, т0 = О, Dm = 1. Само пространство Wp (Еп) определяется как множество функций, суммируемых с р-ой степенью на Еп вместе со своими всевозможными частными обобщенными произ водными Dmk ф до порядка тк включительно, к = О, п, обладающих свойством гладкости вдоль выбранного координатного направления и для которых В данной работе исследуются кубатурные формулы в Wi (Еп ) с нормой функции р(х) при 1 р оо, определяемой равенством При р = оо норма - это наибольший из существенных супремумов каждой частной производной, взятых по всему пространству Еп Ощф). (1.1.3) Последнее утверждение будет доказано позднее, в случае предельного показателя суммируемости. При р = 2 пространство W(En) совпадает с пространством Соболе-ва-Слободецкого W iE , исследованного в работе [76]. Известно, что пространство W {Еп) при 1 р оо является полным пространством, оно сепарабельно при 1 р оо и при 1 р оо рефлексивно о и равномерно выпукло [10]. Пространство С00 ) бесконечно дифференцируемых финитных в Еп функций плотно в Wp (Еп) при 1 р оо, т.е замы о 0_ кание пространства С(„) по норме (1.1.1) образует пространство Wp (Еп).

Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурных формул в пространстве W (Еп) при нечетных тк

Пусть Рш{х)-многочлен степени не выше тк по соответствующим переменным xk, =1,2,.., п и степени не выше тхт2---тп. Тогда (1,РШ) = 0, где т = (т1,т2,..,тп).

Так как сгк = 0, то Д = А. Пусть хЛх) индикатор или, иначе говоря, характеристическая функция, /(х)-элементарный функционал погрешности кубатурной формулы (1.3.1) из С , имеющий вид /( ) = = Хь (х) 2 Су8{х - у), удовлетворяющий следующим условиям: \Г\ Ь 1. Носитель обобщенной функции 1(х) содержится в шаре радиуса L с центром в начале координат: supp 1(х)е{х:\х\ Ц; 2. максимально возможная погрешность формулы на непрерывных функциях из единичного шара пространства С не превосходит А: 3. значение обобщенной функции 1(х) на всех многочленах степени меньшей тк, равны нулю: U(x), хак) = 0 при ак тк,к = 1,2,.., п. Построенные функционалы учитывают дифференциальные свойства неизотропного пространства. Множество всех таких функционалов обозначим через R(L,A,m). Пусть т = тахтк. Построим функционал общего вида 1(х) = %А(х)- су8(х-у) по методу, предложенным С.Л. Соболевым. Этот \r\ L функционал удовлетворяет условиям 1 и 2 и и(х),ха) = 0, \а\ т. Для простоты вектор, составленный из диагональных элементов матрицы h, обозна чим через h=(hx,h2,...,hn), hQ = h =т]$ +ti%+... +h - модуль вектора h, h-xx = {hx xxx,h xx2,...,h Xxn), S(h lx-y)= S(fc\-rx) S(K4, „) Построим функционалы I (h xx) = l(h lx - y), удовлетворяющие условиям: Множество всех таких функционалов, удовлетворяющих условиям а, б и в обозначим через R(L, А, т). Используя построенные функционалы относительно простого вида, строится последовательность функционалов с регулярным пограничным слоем. Ее определение аналогично определению функционала с регулярным пограничным слоем, предложенным С.Л. Соболевым, и учитывает специфику неизотропных пространств. Обозначим через Вг - множество точек решетки Т(И), принадлежащих Q и отстоящих от границы Г(О) меньше, чем на LhQ, то есть Br={yeR:p(hy,T(Q)) Lh0} и через Вп - множество точек решетки T(h), принадлежащих Q и отстоящих от границы Г(О) не менее, чем на Lh0: Вп = {ує R:p(hy,T(Q)) Lh0, hyeQ}. Далее элементарные функционалы погрешностей разделим на два класса: 1. Если supp ly (х) с Q, то ly (х) = l(x). 2. Если A r =Ar nQ 0, mes А ft", то для каждого у строим свой элементарный функционал L (х) = Е (х) = ;г.. - V Cl 8{х -h(y + у )). Определение (С.Л.Соболев [74]). Если функционалы погрешности кубатур-ной формулы \(p{x)dx » Cr p(h у) допускают представление в виде суммы /( )= Z Kh lx-r)+ ЯЇФ х-г), уеВп y&Bv где 1(х) єR(L, А,т + Ї) и lry (x)єR(L,A,m), то такие функционалы называются функционалами с регулярным пограничным слоем толщины L порядка Определение. Если последовательность функционалов погрешностей кубатурной формулы ](p(x)dx& J]Cr p(hy) допускают представление в виде Й( )= lr -Xx r) + l{h-xx)- "l(h-lx-r), ГєВг уеВа где l(x)eR(L,A,m + V) и l (x)eR(L,A,m), то она называются последовательностью функционалов регулярным пограничным слоем толщины L порядка s = т с оценкой А. Заметим, что функционалы 1 {х) получаются путем суммирования элементарных функционалов ly(x)eR(L,A,m + l) и rf(x)eR(L,A,m), как в обычном анализе формулы прямоугольников получаются суммированием элементарных формул прямоугольников. Используя интерполяционный многочлен Р(х), рассмотренный в работе [15], построим кубатурную формулу для А г J cp{x)dx» J Р (х)с1х = X Cf p(h{yx + /)). Функционал погрешности l r(x) этой формулы принадлежит R(L,A,m). Из вестно [74], что функционал погрешности /( ) кубатурной формулы с пограничным слоем в области Q имеет следующее представление где h x =(1//г,,1// ,...,1//гя) - вектор, /0(/г_1д;)- периодический функционал погрешности, \hy}- множество всех векторов из Еп и 5n» ={h/j\Bn. Здесь речь идет об обобщении формулы С.Л. Соболева с регулярным пограничным слоем на векторный случай.

Представление нормы функционала погрешности решетчатой кубатурной формулы с предельным значением показателя суммируемости

Данная работа посвящена вычислению параметров оптимального функционала погрешности решетчатых кубатурных формул, оценкам погрешностей этих формул в пространствах интегрируемых функций типа Соболева.

Для решения поставленных задач был использован функционально-аналитический подход. В ходе работы над диссертацией получены следующие результаты: 1. Исследована вариационная задача, связанная с вычислением коэффициентов оптимального функционала погрешности; 2. В явном виде выделен главный член нормы экстремальной функции и оптимального функционала погрешности при 1 р оо в W (Еп ). 3. Построены кубатурные формулы путем сжатия в 1// к = 1,.., п, раз единичного куба, с узлами, лежащими внутри или же на границе области. Заменой ячейки элементарного функционала на ячейки функционала с регулярным пограничным слоем с учетом гладкости функции вдоль выбранных координатных направлений, получена возможность для усовершенствованных формул установить порядковую оптимальность на всем классе решетчатых кубатурных формул в W (Еп ). 4. Получены двусторонние оценки нормы функционала погрешности и в явном виде вычислены константы, входящие в оценки нормы функционала погрешности. Доказана асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем при rrik нечетных и 1 р оо в Wp (Еп). А если же в полученных двусторонних оценках нормы функционала погрешности положить р = оо, то правдоподобно, что полученные нормы будут совпадать с нормой произвольного функционала с показателем суммируемости, равным бесконечности.

В приложении 1 приведен алгоритм нахождения коэффициентов квадратурной формулы при различных значениях гладкости т. Приведенные примеры в приложении 2 наглядно демонстрируют, что построенные элементарные кубатурные формулы на плоскости точно интегрируют многочлен степени ті по переменной х\, и многочлен степени ГП2 по переменной xj. В приложении 3 для сравнения приведены значения некоторых тестовых интегралов с результатами, полученными с помощью построенной кубатурной формулы с регулярным пограничным слоем при различных шагах и гладкостях функции по выбранным координатным направлениям.

Преимущество кубатурных формул в неизотропных пространствах заключается в том, что учет гладкости функции вдоль выбранных координатных направлений дает более точные результаты, чем кубатурные формулы, где гладкость по всем направлениям одинаковая. Приведенные в работе результаты расширяют объем известной информации о кубатурных формулах и могут использоваться как при решении новых задач теории приближенного вычисления многомерных интегралов, так и для оценки практических качеств кубатурных формул при их компьютерной реализации. Основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Похожие диссертации на Вычисление параметров функционалов погрешностей кубатурных формул с пограничным слоем в неизотропном пространстве

Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовых пространствах СоболеваФранцев Григорий Львович

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева L^m_p (E_n) Цыренжапов Нима Булатович

Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств Wmp(En)Булгатова Елена Николаевна

Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b] Шатохина Лариса Владимировна

Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в функциональных пространствах СоболеваКорытов, Игорь Витальевич

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с узлами на ньютоновской решетке в пространствах Соболева Wmp(En)Урбаханов Александр Валерьевич

Оценка погрешности экстремальных квадратурных формул на некоторых классах функцийРоманов Марк Анатольевич

Квазистатические контактные задачи для вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостьюМарк Александр Викторович

Реализация связностей с различными размерностями базы и слоя на оснащенных подмногообразиях проективного пространстваСоколовская Светлана Игоревна

Оценки погрешностей вычисления параметров орбиты космического аппарата из угловых измерений при автономной навигации по незаданным ориентирам Винокур Михаил Иосифович