Содержание к диссертации
Введение
РАЗДЕЛ I. Построение эрмитовых кубатурных формул 17
1.1 Пространства W(Я„), Lmp(Еп) 18
1.2 Элементарные квадратурные формулы общего вида 19
1.3 Периодические функционалы: погрешности - квадратурной формулы общего вида 27
1.4 Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешности 30
1.5 Построение кубатурной формулы общего вида с пограничным слоем при л = 2, G = l,cr = 2 41
РАЗДЕЛ II. Оценка нормы функционала погрешности 49
2.1 Общий вид функционала погрешности кубатурной формулы в пространстве W (Еп) 49
2.2 Норма периодического функционала погрешности кубатурной формулы общего вида 57
2.3 Оценка сверху нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем 66
2.4 Оценка снизу нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида 79
2.5 Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида в W^(En) - 85
Заключение 88
Литература 89
- Периодические функционалы: погрешности - квадратурной формулы общего вида
- Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешности
- Норма периодического функционала погрешности кубатурной формулы общего вида
- Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида в W^(En)
Введение к работе
Данная диссертация посвящена исследованиям кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов и некоторых вопросов, связанных с реализациями функционалов общего вида, вычислениям норм функционалов и применениям этих реализаций к исследованиям функционалов погрешности кубатурных формул общего вида. В работе построены эрмитовы кубатурные формулы в пространстве Е„ и не эрмитовы кубатурные формулы с ньютоновской системой узлов для кубов, являющихся аналогами формул Ньютона-Котеса.
Основной целью диссертации является построение и обоснование асимптотической оптимальности решетчатых кубатурных формул общего вида в пространстве С.Л. Соболева W"1.
Для достижения цели ставятся задачи:
• построение элементарных кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов;
• получение общего вида функционала погрешности, получение в явном виде нормы функционала погрешности и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу;
• получение в явном виде нормы периодического функционала
погрешности в W (Е ), выделение главного члена нормы
периодического функционала погрешности, получение нормы экстремальной функции, соответствующей данному периодическому функционалу погрешности;
• оценка сверху нормы функционала погрешности;
• оценка снизу нормы функционала погрешности..
Объектом исследования в данной работе служат формулы приближенного вычисления многомерных интегралов, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно-гладкой границей в «-мерном евклидовом пространстве Е , в остальном она произвольна.
В данной работе рассматриваются кубатурные формулы с ньютоновской системой узлов, в которых участвуют значения функции и её производные.
Периодические функционалы: погрешности - квадратурной формулы общего вида
В данном пункте равномерно распределенные функционалы погрешности в области Q [44] переносим на функционалы, содержащие значения функции и её производные.
В своих работах [44] С.Л. Соболев впервые построил кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем и показал, что такие кубатурные формулы асимптотически оптимальны в гильбертовом пространстве L" ПРИ неограниченном уменьшении шага решетки. В данной работе исследуются асимптотически оптимальные кубатурные формулы общего вида в пространстве W. Пусть D - ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г=Г(0) в Eni Д - фундаментальный единичный куб, Д,- куб объема /г", Д, - куб, полученный из куба Д, переносом на вектор hy, объема -.И1, Обозначим Q, = Д, r\Q. и mes О-ъг 0. Очевидно, что если Д, с П, то П h = Д, Обозначим В - {у є R : p{hHy, T(Q)) Lh} - множество индексов у, соответствующих точкам hHy принадлежащим П и отстоящих от границы области Г{Д) не менее чем на Lht В = {уеЯ ;p{hHy,T{ty) Lh} множество индексов у,. соответствующих точкам hHy принадлежащих О и отстоящих от границы области Г(П) меньше чем на Lh, тогда В$ и Bf = J49,CTp. 197]. Пусть Iа (х) є С (Е„)- некоторый функционал общего вида Iа {х) єЛх)- 2 Z СІDS8{X у) удовлетворяющий условиям: a) Supp / ( :)(= jx є :x J - носитель обобщенной функции Iа (х) содержится в шаре радиуса L с центром в начале координат; - максимально возможная погрешность формулы на непрерывных функциях из единичного шара пространства С не превосходите; - значения обобщенной функции /CT(x) на всех многочленах степени, меньшей т+1, равны нулю. Множество функционалов 1 ґх Т ї » удовлетворяющих данным h ) условиям обозначим Л(, А, т +1). Множество функционалов 1 — \-є , (х)- J]C Z)5 —(/+/0 удовлетворяющих условиям a), b), условию Иі),/ =0 при a m- и hy є В]/ обозначим через R(L,A,m). С помощью элементарных функционалов, следуя С.Л. Соболеву, определим следующие функционалы. Определение 1. Если функционалы погрешности кубатурноЙ формулы допускают представление в виде суммы функционалы называются равномерно распределенными в области Q. Определение 2. Если функционалы погрешности кубатурноЙ формулы \tp(x)dx У Е - р(й/)й допускают представление в виде суммы то такие функционалы называются функционалами с регулярным пограничным слоем толщины 2Z порядка т с оценкой А. Заметим, что указанные функционалы получаются путем суммирования элементарных функционалов Iа {х) и 1у(х). Известно [49], что если 1 (х) - функционал с регулярным пограничным слоем в области О., то справедливо представление (2.3.1). «„со J w- чл ; уеЛ} (2.3.2). где Ят = \hHy)JBi и периодический функционал имеет вид Ы%\ -1- I T(-\fhn+WDsDs5(x-hy). В дальнейшем потребуется фундаментальное решение т-метагармоническогоуравнения (і-Д)тг2т(х) = (х). Фундаментальное решение определяется формулой Макдональда, порядка.
Элементарные кубатурные формулы общего вида и периодические функционалы погрешности
Данная диссертация посвящена исследованиям кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов и некоторых вопросов, связанных с реализациями функционалов общего вида, вычислениям норм функционалов и применениям этих реализаций к исследованиям функционалов погрешности кубатурных формул общего вида.
В работе построены эрмитовы кубатурные формулы в л-мерном пространстве Е„ и не эрмитовы кубатурные формулы с ньютоновской системой узлов для кубов, являющихся аналогами формул Ньютона-Котеса. Построенные эрмитовы формулы не могут быть получены интегрированием формул Тейлора, так как они содержат не один, а несколько узлов. Формулы получены с помощью символического метода В.А. Диткина и Л.А. Люстерника [2]. В одномерном случае эрмитовы квадратурные формулы исследовались в работах СМ. Никольского [24], Н.П. Корнейчука [10] и его учениками. Эрмитовы кубатурные формулы рассматривались и ранее Т.И. Хаитовым [61] в гильбертовом пространстве L. В работе В.И. Половинкина и Л.И. Дидур [36] рассмотрены последовательности эрмитовых формул в пространстве V"p и получена оценка В. И. Половинкин отмечает, что в этой работе не выписывались явно коэффициенты таких конкретных формул и вычисление этих коэффициентов при узлах формул является технически трудной задачей. В диссертации Н.Б. Цыренжапова [62] рассматривалась решетчатая эрмитова формула вида В работе [62] крайние узлы в ньютоновской системе узлов В„ заменялись на значения производных в точках, лежащих ближе к началу координат, вследствие чего уменьшается область влияния функционала. Однако при определении коэффициентов некоторых формул возникает трудность при выборе отдельных точек. В отличие от работы Н.Б. Цыренжапова, в данной диссертационной работе рассмотрены формулы, в которых участвуют все значения функции и её производные до порядка а включительно в узлах ньютоновской решетки и в явном виде получены кубатурные формулы общего вида. Основной целью диссертации является построение и обоснование асимптотической оптимальности решетчатых кубатурных формул общего вида в пространстве С.Л. Соболева W"1. Для достижения цели ставятся задачи: построение элементарных кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов; получение общего вида функционала погрешности, получение в явном виде нормы функционала погрешности и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу; получение в явном виде нормы периодического функционала погрешности в W (Е ), выделение главного члена нормы периодического функционала погрешности, получение нормы экстремальной функции, соответствующей данному периодическому функционалу погрешности; оценка сверху нормы функционала погрешности; оценка снизу нормы функционала погрешности.. Объектом исследования в данной работе служат формулы приближенного вычисления многомерных интегралов, в которых участвуют как значения самой функции, так и значения ее производных. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно-гладкой границей в «-мерном евклидовом пространстве Е , в остальном она произвольна. п В данной работе рассматриваются кубатурные формулы с ньютоновской системой узлов, в которых участвуют значения функции и её производные. В этом случае алгебраическая система линейных уравнений для определения коэффициентов элементарной формулы общего вида имеет решение и периодический функционал, построенный с помощью элементарного функционала с ньютоновской системой узлов асимптотически оптимален в ж;(л). Для нахождения коэффициентов формулы используем метод JLA. Люстерника и В.А. Диткина [2].
Норма периодического функционала погрешности кубатурной формулы общего вида
Используя доказанные ранее теоремы об оценках сверху и снизу нормы функционала погрешности, сформулируем основную теорему. Теорема 2.6. Пусть область Q. имеет кусочно-гладкую границу Г = r(Q). При нечетном т функционал / с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимален в пространстве Соболева W(En) и выполняется равенство При нечетном т оценка сверху совпадает с оценкой снизу, т.к. о коэффициенты Са, входящие в оценку равны нулю. При четном т о коэффициенты Са отличны от нуля и оценка снизу не превышает оценки о сверху, т.к. оценка снизу минимизирована по Са В это случае в главном члене нормы функционала погрешности остается зазор, определяемый равенством Теорема доказана. Для сравнения вычислим норму функционала погрешности обычной кубатурной формулы и кубатурной формулы с участием производной. Для определенности возьмем п = \,р 2,а 2,т = 5. Кубатурная формула в первом случае будет иметь вид Кубатурная формула с участием производных выражается следующим образом: о Для вычисления коэффициентов формулы (2.5.2), решим систему уравнений (1.4.8) и получим следующие значения: с0 - 2,ц - 2,с0 - 10.Ц - 10,с0 - 120,с, -120. Пусть В5{х) - многочлен Бернулли пятой степени. В первом случае норма функционала порешности имеет след представление: Данная работа посвящена оценке погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева W Для решения данной проблемы был использован функционально-аналитический поход. В работе получены следующие результаты: построение элементарных кубатурных формул общего вида с ньютоновской системой узлов; получен общий вид функционала погрешности, получена в явном виде норма функционала погрешности и экстремальной функции, соответствующей данному функционалу; получена в явном виде норма периодического функционала погрешности в Wm(E ), выделен главный член нормы периодического функционала погрешности, получена норма экстремальной функции, соответствующей данному периодическому функционалу погрешности; показана асимптотическая оптимальность кубатурных формул общего вида, с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке в пространстве Соболева Wm \Е J при нечетных т. Результаты работы могут быть использованы для приближенного вычисления многомерных интегралов. Основные результаты диссертационной работы являются новыми.
Асимптотическая оптимальность нормы функционала погрешности кубатурной формулы общего вида в W^(En)
Если т - точность формулы (1.2.9), .то-число коэффициентов Са равно т +1 и Са зависит от выбора параметров G и а. В дальнейшем считается, что при заданной точности т числа G и ст согласованы таким образом, чтобы система (1.2.8) имела единственное решение. Пусть т — точность квадратурной формулы (1.2.9), т + \ — число всех одночленов, входящих в произвольный многочлен степени т, G-fl - число всех узлов формулы, лежащих на оси ОХ], а + 1 - число значений функции и её производных в одной точке и ( 7 + l)((j + l) - число всех коэффициентов формулы (1.2.9). Исследуем выбор параметров т, Си сг: 1. Пусть заданы параметры G и сг. Тогда точность т формулы (1.2.9) определяется из уравнения: Рассмотрим следующие примеры: а) Пусть G=2 и 7=1, тогда точность m=3x2-l=5. Для определения коэффициентов формулы (1.2.9) решим систему (1,2.8) J20 r 120 2 24 r 24 2 720 Решая систему, получим следующие коэффициенты: Квадратурная формула для данного случая будет иметь вид б) Пусть Сг=3 и у =2, тогда точность /и—4x3-1=11. Сама формула примет вид: )f{x)dx = С0Д0) + С,Д1) + С2/(2) + С3/(3) / (0) + C\f{\) + Для определения коэффициентов формулы решим систему (1.2.8) и получим следующие коэффициенты 2. Пусть задана точность m формулы. Проанализируем уравнение (1.2.10): m + l = (G + lXo- + l) Если т + \ - нечетное число, то Си а - чётные. Если т +1 - четное число, то G нечетно или а нечетно. Если т + 1 - четное число и (cr + lXC + l) - нечетное число или т + \ -нечетное число и (CT + IXG + I) - четное число, то т + 1 = ((7-1 + іХо- + і)+1 = (ог + і)(7 + 1 или m = G(o + \). Если перечисленные условия не выполнены, система уравнений (1.2.8) может не иметь решений. 3. Пусть заданы числа т и G. Предположим m-G G + \. Из уравнения (1.2.10) находим
