Содержание к диссертации
Введение
Глава I Предварительные сведения 12
1. Усредняющие ядра интегральных операторов и их свойства 12
2. Оценка нормы оператора свёртки 18
3. Дробные производные и их свойства 24
4. Оптимальные методы и их связь с задачей Стечкина . 30
Глава II Устойчивая аппроксимация производной того порядка на основе метода средних функций 34
1. Оценка погрешности в С(—со, со) 34
1.1. Оценка погрешности метода сверху 35
1.2. Исследование точности мажорантной оценки 39
1.3. Проблема оптимальности метода 42
2. Оценки в пространствах суммируемых функций 48
2.1. Постановка задачи 48
2.2. Оценка погрешности метода сверху 49
2.3. Исследование точности мажорантной оценки 52
2.4. Оптимальность по порядку 55
3. Вычисление смешанной производной в пространстве С(М?) 57
4. Аппроксимация производных функции, заданной на отрезке 61
Глава III Устойчивая аппроксимация дробной производной 66
1. Метод средних функций 66
2. Вариационный метод регуляризации 72
Глава IV Численные эксперименты 75
1. Некоторые примеры использования метода средних функций для численного дифференцирования 75
2. Использование дробной производной в методе Тихонова для регуляризации уравнений Фредгольма первого рода . 83
Литература 90
- Усредняющие ядра интегральных операторов и их свойства
- Оценка погрешности в С(—со, со)
- Метод средних функций
- Некоторые примеры использования метода средних функций для численного дифференцирования
Введение к работе
Актуальность темы. Некорректно поставленные задачи возникают во многих областях науки и техники:—геофизике, гидродинамике, гидромеханике, астрономии, спектроскопии.
Основы общей теории и методов решения некорректных задач были заложены в фундаментальных работах выдающихся математиков А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, а также в работах их учеников и последователей.
Некорректно поставленные задачи можно условно разделить на два класса: решение операторного уравнения Ах = у с неограниченным обратным А~1, вычисление значений неограниченного оператора Ту = х на элементе у7 заданном с погрешностью. Задача численного дифференцирования за-шумлённой функции относится ко второму классу и, следовательно, является некорректно поставленной.
Работа посвящена методам аппроксимации производных целого и дробного порядка функции, заданной с погрешностью, и оценкам погрешности этих методов на различных классах корректности. Основными результатами данной диссертации являются точные или оптимальные по порядку оценки погрешности, полученные для метода средних функций. Проблема получения наилучших оценок погрешности метода представляет несомненный теоретический интерес и является актуальной.
Задача численного дифференцирования возникает во многих прикладных задачах. Поэтому построение оптимальных процедур аппроксимации производных представляет интерес для многих приложений.
Проблеме аппроксимации производных посвящено множество работ. Задача приближения оператора дифференцирования ограниченными операторами и построение оптимальных методов исследовалась в работах С.Б Стечки-на, В.В. Арестова, В.Н. Габушина, Ю.Н. Субботина, В.Н Страхова, А.П. Буслаева, О.А. Тимошина и других. Различные алгоритмы численного дифференцирования, в том числе оптимальные, содержатся в работах В.К. Ива-
нова и Т.Ф. Долгополовой, Л.П. Грабаря, В.А. Морозова, Э.В Колпаковой и В.И. Колпакова, В.Б. Демидовича, А.Г. Рамма, J. Cullum и многих других. Оценкой погрешности метода средних функций занимались В.В. Васин, C.W. Groetch, Г.В Хромова, Е.В Шишкова.
Целью работы является всестороннее исследование метода средних функций, а именно: изучение свойств усредняющих ядер интегральных операторов, на основе которых строятся регуляризаторы, получение точных или точных по порядку оценок погрешности на классах равномерной регуляризации, сравнение полученных оценок с оптимальными оценками. Кроме того, уточняются некоторые результаты по конечно-разностным методам и тихоновской регуляризации. При этом рассматривается случай задания функции как на действительной прямой, так и на отрезке.
Методы исследования. В работе использовались методы и подходы теории некорректных задач, теории приближения функций и функционального анализа.
Научная новизна. Все результаты, касающиеся точных оценок погрешности метода средних функций на классе, являются новыми или получены впервые.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер с выходом в различные приложения, где необходимо численно дифференцировать зашумленные функции.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
Всероссийская научная конференция «Алгоритмический анализ некорректных задач». Екатеринбург, 2-6 февраля 1998 г.
Всероссийская научная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г.
Всероссийская молодежная школа-конференция «Численные методы решения задач математической физики». Казань, 27 июня - 3 июля 2004 г.
37-я региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики». Екатеринбург, 30 января - 3 февраля 2006 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 48 наименований. Диссертационная работа изложена на 96 страницах и имеет 10 иллюстраций.
Усредняющие ядра интегральных операторов и их свойства
В этой главе излагается вспомогательный материал, который используется затем в главах II и III при исследовании метода средних функций — основного метода устойчивой аппроксимации задачи (В.З) в этой диссертации. В частности, устанавливаются некоторые свойства усредняющих ядер и интегральных операторов типа свёртки, а также излагается материал, относящийся к задаче дробного дифференцирования и некоторым постановкам экстремальных задач и их взаимосвязи.
Оценка погрешности в С(—со, со)
Неравенство (2.9) было получено на основе неравенства треугольника с помощью довольно точных оценок каждого слагаемого и поэтому возникает вопрос, не является ли эта оценка точной в целом? Другими словами, можно ли в (2.9) знак неравенства заменить на знак равенства? Ответу на этот вопрос будет посвящен следующий раздел.
Метод средних функций
Рассмотрим задачу вычисления дробной производной функции, заданной с погрешностью. Как и в случае m-й производной целого порядка оператор дробного дифференцирования является неограниченным как в пространстве С, так и в Lp (см. главу I, 3). Поэтому задача аппроксимации дробной производной функции, заданной с погрешностью, относится к числу некорректно поставленных.
Для случая всей числовой оси более естественно рассматривать дробную производную Маршо (1.24) (см. 4 главы I или [27] для более подробного изложения). Применим метод средних функций для регуляризации задачи численного вычисления оператора дробного дифференцирования Маршо действующего из пространства Lp(—оо,оо) в пространство Lr(—со, со), когда функция у задана с некоторой погрешностью 5, \\у — Уд\\ьр S.
Некоторые примеры использования метода средних функций для численного дифференцирования
В качестве примера возьмём функцию y(t) = щ, вычисляемую с точностью до 2-го знака после запятой (т.е. к = 2). Как легко проверяется, для t -1/2, \y "{t)\ 4. Таким образом, имеем 8 = 0.005, р = 4, 7J « 0.7574060587, О « 0.6214465012, при а « 0.3774340984 для метода средних функций И ОС Л 0.3107232505 для оптимального метода.
На рис. IV. 1 и IV.2 показан результат работы метода средних функций при N = 20 и N = 200 соответственно. Видно, что при увеличении N, решение по методу средних функций становится более гладким. На рис. IV.3 — результат работы оптимального метода. Как видно из этого рисунка, оптимальный метод даёт сильно негладкое решение. Более того, хотя теоретическая погрешность метода средних функций на классе больше теоретической погрешности оптимального метода, в этом примере погрешносгь метода средних функций для данной функции оказалась гораздо меньше погрешности оптимального метода.
Похожие диссертации на Наилучшие оценки в методах аппроксимации производных функции, заданной с погрешностью
