Введение к работе
Актуальность темы. В теории и практике численного интегрирования важной является проблема получения априорной оценки погрешности, которая позволила бы выполнить необходимое приближение с заранее заданной точностью.
При интегрировании функций одной независимой переменной проблема достаточно глубоко изучена, и для многих квадратурных формул известны численные значения констант, входящих в оценку, либо методы их вычисления на классах функций, широко употребляемых в математическом анализе. Эти результаты представлены в известных монографиях С.М.Никольского и В.И.Крылова.
Для оценки погрешности приближенного вычисления кратных интегралов С.Л.Соболевым предложен функционально-аналитический подход, а также указан способ построения ку-батурных формул специального вида — с регулярным пограничным слоем и доказано, что такие формулы обладают асимптотической оптимальностью в пространстве 1^ .
Это направление в дальнейшем развивали В.И.Половинкин, М.Д.Рамазанов, П.Б.Шойнжуров, В.Л.Васкевич, Н.И.Блинов, Л.В.Войтишек и другие, обобщая результаты С.Л.Соболева на различные банаховы пространства.
Норма функционала погрешности при таком подходе явно выражается через экстремальную функцию данного функционала, которая, в свою очередь, является решением некоторого дифференциального уравнения с частными производными в обобщенных функциях. В пространстве Wp такое уравнение становится нелинейным, и для его решения исследователям приходилось применять ряд искусственных приемов, например, вводить специальную нормировку пространства.
Для пространства с естественной нормой Ц.Б.Шойнжу-
ровым применен метод подбора экстремальной функции, разработанный на основе свойств рефлексивности банахова пространства с использованием ряда теорем функционального анализа. Этот метод приводит к результату, близкому к получению явного вида норм функционалов погрешности, применимого для программирования и численной реализации. Такое явное выражение можно вывести для периодического функционала погрешности, а затем использовать его при оценке норм функционалов погрешности с регулярным пограничным слоем, что даст возможность получить числовое значение априорной оценки погрешности приближенного интегрирования с применением указанных формул к функциям из пространства
Цель работы. Целью диссертационной работы является
получение асимптотического выражения нормы функционала
погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве
Соболева с естественной нормировкой.
Для ее достижения ставятся задачи нахождения представления периодического функционала погрешности в указанном пространстве, явного вида его нормы и главного члена асимптотического выражения нормы при стремлении шага решетки интегрирования к нулю, а также оценки сверху и снизу нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем.
Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы математического анализа и функционального анализа. Конкретные методы указываются в кратком изложении содержания работы.
Научная новизна. Результаты диссертации получены лично автором, являются новыми и опубликованы впервые.
Практическая и теоретическая значимость. Асимптотическое выражение нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем позволяет вычислить с требуемой
точностью константу, входящую в оценку погрешности. Эта константа зависит от гладкости подынтегральной функции и от размерности пространства, но не зависит от области интегрирования, шага решетки и коэффициентов пограничного слоя кубатурной формулы.
Представление произвольного периодического функционала в пространстве Соболева найдет применение за рамками теории кубатурных формул.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на III семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (Красноярск,1995); на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 1996); на Втором Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996); на ежегодных научных конференциях Восточно-Сибирского государственного технологического университета (Улан-Удэ, 1992—1996); на научных семинарах Института математики СО РАН (Новосибирск) и Института математики с вычислительным центром УНІІ РАН (Уфа); на объединенных физико-математических семинарах Бурятского филиала Новосибирского государственного университета и Бурятского научного центра, на семинарах по проблемам вычислительной математики Бурятского государственного университета, на семинарах кафедры высшей математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета под руководством проф. Ц.Б.Шойнжурова.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми параграфов и списка литературы из 73 наименований. Объем работы составляет 96 страниц.
![Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b]](/i/i/4249/45537.png "Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b] Шатохина Лариса Владимировна")
