Содержание к диссертации
Введение
1 Исследование асимптотической оптимальности в пространствах Lf(a,b) 18
1.1 Постановка задачи 18
1.2 Нахождение обратной фукнции и ее производной для полинома Бернулли степени 6 19
1.3 Преобразование основного уравнения при т — 6 22
1.4 Вывод основной теоремы 24
2 Исследование асимптотической оптимальности квадратурных формул С. Л. Соболева в пространствах L[a,b] 32
2.1 Обратная функция и ее производная для полинома Бернулли степени 8 33
2.2 Доказательство основной теоремы 37
3 Обращение полинома Бернулли степени 10 45
4 Весовые кубатурные формулы, построенные с использованием метода Фейера суммирования рядов 51
4.1 Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических 52
4.2 Нормы функционала ошибок 54
4.3 Асимптотическая оптимальность построенных кубатурных формул 57
Список использованных источников 61
- Нахождение обратной фукнции и ее производной для полинома Бернулли степени 6
- Доказательство основной теоремы
- Нормы функционала ошибок
- Асимптотическая оптимальность построенных кубатурных формул
Введение к работе
Тематика диссертации
Теория приближенного интегрирования является развитым разделом математического анализа. Наряду с другими авторами, ей посвящали свои исследования классики математики: И. Ньютон, Л. Эйлер, К. Гаусс, С. Н. Бернштейн, П. Л. Чебышев, С. Л. Соболев и другие. По данной тематике опубликован ряд монографий, в частности, [1-16].В этих книгах даны многочисленные ссылки на статьи, тематика которых пересекается с задачами, рассматриваемыми в настоящей диссертации. Пожалуй, наиболее полная библиография научной литературы подобного плана приводится в книге [16].
Исследование задач теории приближенного интегрирования ведется с точек зрения разных научных направлений. Наиболее важными из них являются: построение формул высокой степени точности; применение теоретико-вероятностных методов к вычислению интегралов и, так называемый, "функциональный" подход, связанный с исследованием оценок погрешностей интегрирования в классах суммируемых функций и линейных нормированных пространствах, включающих в себя интегрируемые функции.
Оценки погрешностей интегрирования, зависящие от квадратурной фор- мулы и класса интегрируемых функций, например, если данный класс характеризуется наличием производной соответствующего порядка или модуля непрерывности, вообще говоря, давно известны.
Бурное развитие теории приближенного интегрирования в классах функций началось с середины 50-х годов XX века, начиная с работ С. М. Никольского [17, 18], Н. С. Бахвалова [19, 20], Н. М. Коробова [3] и других авторов.
Мощным стимулом к исследованиям в теории функциональных методов приближенного интегрирования стал выход работ С. Л. Соболева, посвященных решению задач, связанных с асимптотической оптимальностью решетчатых кубатурных формул в пространствах типа L^1' [21-28]. Этому способствовало, в частности, то, что Соболев вскрыл связь важнейших проблем теории кубатурных формул с известными задачами других областей анализа: теорем вложения и продолжения функций, в том числе функций, заданных на решетках; геометрии чисел; аналитических функций многих действительных переменных; теории полигармонического уравнения; ряда задач теории специальных функций; теории обощенных функций; комбинаторной топологии. Результаты С. Л. Соболева, а также ряд результатов его учеников и соавторов были подробно изложены в монографиях [1, 16].
Не только Соболев и математики из его научной школы посвящали в последние годы свои исследования применению методов функционального анализа и теории функций к задачам приближенного интегрирования. Можно привести примеры работ таких авторов, как Н. П. Корнейчука [9, 29, 30] и его учеников, обзор работ которых приведен в книге [15], ряде трудов
И. В. Бойкова, например, в монографии [31]. Этот список может быть, конечно, увеличен.
Многие работы в функциональном направлении исследований задач теории приближенного интегрирования принадлежат ученикам С. Л. Соболева. Относительно подробная библиография их работ приводится в [16]. Упомянем о некоторых из них.
В монографии [8] и других своих работах М. Д. Рамазанов применил метод построения кубатурных формул, связанный с продолжением интегрируемых функций, заданных в произвольной ограниченной области с гладкой границей до периодических функций с некоторым п— мерным периодом и обосновал ряд вычислительных алгоритмов, построения кубатурных формул. Рамазанов продолжил исследования С. Л. Соболева и И. Бабушки [28], относящиеся к построению универсально асимптотически оптимальных формул, то есть формул, оптимальных одновременно в различных пространствах. Достаточно полный библиографический список работ М. Д. Рамазанова приведен в книге [16].
Стоит отметить, что несколько другой подход, который позволяет рассматривать задачи об универсальной асимптотической оптимальности в пространствах непериодических функций, был предложен в [32].
Ц. Б. Шойнжуров, в своих работах, в частности, в [34], обобщил теорию кубатурных формул Соболева для пространств типа W, на классы функций, заданных на всем пространстве, нормы которых определяются через потенциалы Рисса.
Кубатурные формулы в пространствах, связанных с коэффициентами и преобразованием Фурье, исследовал Т. X. Шарипов [35].
Г. Н. Салихов вывел выражения норм функционалов ошибок функций, заданных на поверхности сферы для пространств типа Соболева [12].
М. В. Носков обобщил теорию С. Л. Соболева на развертывающиеся поверхности [36-38].
Вопросы, относящиеся к нахождению коэффициентов оптимальных решетчатых квадратурных формул исследовались X. М. Шадиметовым [39] и 3. Ж. Жамаловым [40].
Т. И. Хаитов [41], а позднее, Л. И. Дидур, совместно с В. И. Половин-киным [42, 43] изучали эрмитовы кубатурные формулы в пространствах Соболева.
О. В. Бесов [44] вывел асимптотические формулы функционалов ошибок кубатурных формул Соболева и родственных им формул для ряда линейных нормированных пространств. Метод, примененный Бесовым, отличен от предыдущих методов Соболева и Половинкина, относящихся к данным задачам.
Ученик О. В. Бесова Г. Г. Акопян [45] рассматривал задачи теории кубатурных формул при менее ограничительных, чем обычно предполагается, требованиях на границу области интегрирования.
Ряд исследований, связанных с теорией кубатурных формул в пространствах Соболева выполнил В. Л. Васкевич. Некоторые результаты этих исследований и библиографию можно найти в [16]. Укажем характерные особенности этих исследований. Они либо относятся к интегрированию бесконечно дифференцируемых функций, на рост производных которых наложены некоторые ограничения (например классов Жевре), либо к обобщенным эрмитовым формулам, то есть таким, порядки производных которых в узлах не ограничены. Им также получены интересные результаты, относящиеся к, так называемому, эффекту насыщения. Отметим, что вопросы, связанные с эффектом насыщения исследовались К. И. Бабенко и В. Н. Белых [46].
Л. В. Войтишек, В. И. Блинов [47-49]строили конкретные кубатурные процессы, основанные на формулах С.Л.Соболева. В частности, Блиновым были впервые составлены успешно работающие программы для вычисления кратных интегралов, основанные на теории кубатурных формул Соболева.
Большое количество работ, связанных с теорией кубатурных формул Соболева выполнил В. И. Половинкин (см. например [50]). Ряд его результатов будет использоваться при доказательстве теорем настоящей диссертации. Среди работ В. И. Половинкина можно выделить, в частности, решение проблемы Соболева о построении асимптотически оптимальных формул в классах L^{Qi) и L(\En). (Случай L {Еп) был ранее исследован С. Л. Соболевым [1]).
В. И. Половинкин также исследовал весовые кубатурные формулы [51-53];асимптотически наилучшие формулы (то есть асимптотически оптимальные формулы), где меняются как узлы, так и коэффициенты [54, 55]; сходимость формул типа Соболева на конкретных функциях [56]. Он также подробно исследовал одномерный случай и получил ряд других результатов [61, 62, 63]. Отметим, что некоторые результаты Половинкина, относящиеся к одномерному случаю, были позднее другим способом получены в монографии [10]. В этой книге есть соответствующие ссылки на аналогичный результат Половинкина [62].
Ученица В. И. Половинкина, Н. А. Севостьянова исследовала квадратурные формулы Соболева в пространствах, связанных с дробными производными Римана-Лиувилля [67].
Настоящая диссертация по своей тематике относится к кругу научных работ, идейно связанных с работами С. Л. Соболева и его учеников по исследованию формул интегрирования в пространствах типа W"(m) (Q), L^1' (Г2), в первую очередь, относящиеся к изучению асимптотически оптимальных последовательностей формул.
Последовательности асимптотически оптимальных формул
Пусть заданы квадратурные формулы ff{x)dxai:4f(<* + kh), (0.1) а к=0 где h = — и соответствующие им функционалы ошибок lh ъ п (l\ /) = / f{x)dx - 4f(a + kh), (0.2) а к=0 а также последовательности таких функционалов.
Всегда будем предполагать, что —оо<а<6<оо.
Квадратурные формулы (0.1) и функционалы (0.2) это одномерные случаи кубатурных формул ff(x)dx*ckf(xk), (0.3) где Q — ограниченная область, а хк = (ж*, х%, , ##), к — 1,п и их функционалов ошибок (l,f) = jf(x)dx-tckf(xk): (0.4)
П к=1 tft / syft /у»*" /у**Ъ
Формулы (0.3) — кубатурные формулы с узлами в кубических решетках. Отметим, что исследовались их обобщения на формулы с узлами в других невырожденных решетках [1].
При изложении результатов будет удобнее формулировать их не как результаты, относящиеся непосредственно к квадратурным формулам, а как результаты, относящиеся к функционалам ошибок (0.2).
Через L(\a, b) будем обозначать банаховы пространства, порожденные полунормами
4m)(a,6) - j\f^m\x)\pdx
В многомерном случае их аналогами будут пространства 1Лт)(Г2) -|i/p J -±\(Df)(x)\>dx JQ \a\=m "
Через L^*(a,b) и lAm)*(Q) будем обозначать пространства, сопряженные l4m)(a, 6) и L^(Q), соответственно.
Квадратурные формулы (0.1) будут исследоваться для линейных нормированных пространств L^TO)(a,&).
Условимся функционалы ошибок кубатурных (квадратурных) формул и порожденные ими функционалы из L^*(Q), L^*(a, b) обозначать одинаково.
Везде на функционалы ошибок lh будут налагаться ограничения: (lh(x),xk) =0, к = 0,...,т-1. (0.5)
В многомерном случае, чтобы строить теорию кубатурных формул, необходимо предполагать, что рт > N, (0.6) а на области О, и их границы надо налолжить требования, достаточные, чтобы при выполнении условий (0.6) были верны теоремы вложения Соболева W^m\Vt) в пространство непрерывных функций С (О). Эти условия описаны в [1, 2].
Будем, главным образом, исследовать одномерный случай, то есть, N = 1 и р > 1.
Множество функционалов lh вида (0.4), удовлетворяющих (0.5) будем обозначать T^m(Q) , а совокупности последовательностей функционалов обозначим Vm(Q).
Положим: A(h) = inf {||/||,L»wm)-р v ; iev^(n) l" nbp [H)}
Если последовательность lh вида (0.4) такова, что то она называется асимптотически оптимальной. Соответствующие последовательности квадратурных и кубатурных формул будем называть асимптотически оптимальными. Если выполняется равенство то формулы (0.3) называются оптимальными.
В одномерном случае Q = (а, 6). Совокупность последовательностей {lh}, lh Є V{a, Ь) далее будем обозначать Vm.
Исследования последовательностей асимптотически оптимальных формул имеют определенные преимущества перед исследованиями оптимальных формул. В частности, можно отметить, что: а) построение асимптотически оптимальных формул обычно значитель но проще, чем построение оптимальных формул. Например, в ряде случаев при N = 1 асимптотически оптимальными являются известные квадра турные формулы Грегори. б) в многомерном случае при построении последовательностей асимпто тически оптимальных формул меньшую роль играет форма области, чем при построении оптимальных формул. в) в случае асимптотически оптимальных формул можно добиться того, чтобы все коэффициенты при узлах, не лежащих близко от границы облас ти (в " пограничном слое") будут равны между собой и не зависят не только от параметра р, но и от параметра т.
О содержании диссертации
Данная диссертация состоит из 4 глав. Важнейшие результаты содержатся в главах 1 и 2 и посвящены решению задач о построении асимптотически оптимальных последовательностей квадратурных формул в пространствах ІЛш)(а, 6) призначеннях m = 6 и т — 8.
Перед изложением результатов работы, приведем несколько необходимых определений [63].
Определение 1. Последовательность llh\ С Vm называется последовательностью функционалов с пограничным слоем, если найдутся натуральные числа d, t, К , t < d, и функционалы Щ, l\ , I, равные 0 на многочленах степени ниже т, определенные равенствами (U) = ff(x)dx- Cj№ о i=-t a+dh _|_^ (,/)= / f(x)dx-Z4nf(b-jh)
Ъ-dh 3=Q lh(x) = ПЕ *Z((z - a)/*"1 - i) + (2:) + (0:), (0.7) где все Cj , с^0 , chjn - постоянные, такие, что \cj0\, \cjn\ < Kh.
Определение 2. Число ае называется сопутствующим числом последовательности \lh} С Vm , если ае = lim [(6 - a)-lhTm(lh(x), хт)].
Определение 3. Последовательность функционалов с пограничным слоем называется последовательностью функционалов с регулярным пограничным слоем, если ее сопутствующее число равно 0.
Определение 3, по существу, является одномерным аналогом соответствующего определения С. Л. Соболева [1, с. 704].
Последовательности функционалов, удовлетворяющих определению 3, будем называть последовательностями функционалов Соболева, а соответствующие последовательности квадратурных формул будем называть последовательностями квадратурных формул Соболева.
В работах [57, 58] было показано, что последовательности функционалов с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны при р = 2.
Данный вопрос отражен и в книге [16]. Также последовательности формул с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны при т — нечетных в Щ1 {&) [60].
Для более глубокого изучения одномерного случая при т — четных, необходимо проводить исследования выражений, связанных с полиномами Бернулли. При этом будем опираться на результаты [60, 65].
В работах [62, 63] было установлено следующее утверждение. Если {lh} — последовательность функционалов с пограничным слоем, а ае — ее сопутствующее число, то при h —» 0 \\1Н\\ьГ(а,ь) = (Ь- а)1^^\\Вт{х){-1Г + ае|и,(о,і)Лт(1 + 0(h)\ (0.8) где Вт(х) — многочлен Бернулли степени гл., q = р(р — I)-1.
Минимизируя главные члены выражений норм функционалов ошибок квадратурных формул с пограничным слоем, мы, как показано в [65], тем самым, решаем задачу о минимизации (в рассматриваемом смысле) для произвольной последовательности квадратурных формул.
Известно, что среди последовательностей функционалов с пограничным слоем всегда есть асимптотически оптимальные и можно построить последовательности функционалов с пограничным слоем с любым сопутствующим числом ае.
Минимальное значение главный член правой части (0.8) принимает при единственном значении ае, если \\Вт(х)(-1)т + ae||L,(o,i) = їпї {\\Вт(х)(-1)т + A||Le(0,i)} (0.9)
АЄ^—oo,ooj
При m — четном, условие (0.9), с учетом того, что Вт(х) = Вт(1 — ж), можно записать так \\Bm(x) - ге\\Ьд{Ц) = щ^і0о){\\Вт(х) - A||Le(0>!)}. (0.10)
Вид последовательностей, асимптотически оптимальных в классах 1Лт'(а, 6) зависит от решения трансцендентного уравнения относительно эе = ae(s)
I \Вт(х) - ae|ssign(Bm(x) - ss)dx = 0, (0-И) где Вт{х) - полином Бернулли степени га, s = q — 1, p,q Є (1, оо), ^ + ^ = 1. Таким образом, задачи о построении асимптотически оптимальных последовательностей квадратурных формул тесно связаны с вопросом о наилучших приближениях полиномов Бернулли индексов к Bk(x) постоянными.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема ([60-66]). Последовательности формул с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в Lj,m)(a, 6), р Є (1, оо) тогда и только тогда, когда s = q — 1 удовлетворяет (0.11.
Как уже указывалось ранее [60, 62], квадратурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в пространствах Ь(\а, Ь) при т — нечетных и всех р Є (1, оо) , а также при т = 2, т = 4, если р = 2.
Отметим, что при т — 2 уравнение (0.11) исследовалось в несколько другом плане в [5, гл. 11, 2], [69].
В [50, 64] было показано, что функции ae(s) непрерывны на [0,1] и при s —у 0, s —> оо имеют пределы, которые не совпадают между собой. Кроме того, эе — строго монотонная функция. Это значит, что разным р со- ответствуют, вообще говоря, разные последовательности асимптотически оптимальных формул, и, следовательно, нельзя ожидать, что аз = 0 в этих случаях при всех р будет решением уравнения (0.11) и формулы Соболева не могут образовывать асимптотически оптимальные последовательности при всех р.
В работах [68] был исследован также случай р = оо. Теория же случая р = 1 существенно отличается от случаев р Є (1, со].
В главах 1 и 2 настоящей работы будет показано, что формулы Соболева при т = б, га = 8 могут быть асимптотически оптимальными в 1Лт)(а, 6) только при р — 2. Аналогичные результаты были получены В. И. Половинкиным при га = 2 и га = 4 [65]. Даже доказательство случая га = 4 было технически сложным.
Описанным выше исследованиям трансцендентного уравнения (0.11) и их следствиям для теории квадратурных формул посвящены главы 1 и 2. В главе 1 исследуется случай га = 6, а в главе 2 — случай га = 8.
При доказательстве этих результатов использован метод из [65], основанный на обращении полиномов Вернул ли.
Известно [5], что нахождение корней полиномов Бернулли четной степени 2га может быть сведено к обращению алгебраических полиномов соответствующей степени. При нахождении обратных функций для полиномов Бернулли при га = 6 и га = 8 используются известные [70] формулы Кардано и Феррари. Кроме того, для получения необходимых результатов в главах 1 и 2 пришлось выполнить ряд других технически громоздких преобразований, при выполнении которых использовалась вычислительная техника.
Сама задача обращения полиномов Бернулли представляет определенный математический интерес.
Нахождение обратной фукнции и ее производной для полинома Бернулли степени 6
При доказательстве результатов главы 1 используются как методы из работ [62, 63, 65], подвергшиеся определенной модификации, связанные с исследованием полинома Бернулли, так и численные методы. 1.2 Нахождение обратной фукнции и ее производной для полинома Бернулли степени 6 Теорема 1.1. Обратная функция г)(у) для полинома Бернулли степени 6 на интервале ( , оо) имеет вид: Доказательство. Пользуясь теоремой о представлении многочленов Бернулли четного номера [5, с. 14], сделаем замену: Отсюда при х Є (0,1/2) При замене (1.4) полином BQ(X) перейдет в полином от переменной z, который будем обозначать B(z) Ищем обратную функцию x = x(y). Приведем кубическое уравнение к виду: v?-{-pu-hq — 0, чтобы применить формулу Кардано для вычисления корней кубического уравнения [70]. и" 216 72 "т" 19й eU 91fi "т" 7? 2/ — "; Найдем дискриминант кубического уравнения D = —4р3 — 27 ?2 [70]. В нашем случае р = — , q = — у 12 у 108 Отсюда: Так как у Є (54,00), то D 0, следовательно, уравнение имеет один действительный и 2 сопряженных комлексных корня. Действительный корень находится по формуле Кардано [70]: 2ч/3 Теорема доказана. Лемма 1.1. Производная обратной функции г) (у) для полинома Бернул-ли степени 6 на интервале ( , оо) имеет вид: г/(У) = /3 (1.8) /108 -1+6 3242/2-6 - /1082/-1-6 3242/2 62/ (3242/2-бг/) (5-2 108 -1+6- /324 -6 -2 y/l08y-l-6y/324y2-6y
Доказательство. Непосредственным дифференцированием вычислим производную обратной функции rj(y) на интервале ( , сю). (108л/324у2-6у-1944у+18) /(108у-1+6л/324у2-6у)2 ,/(324у2-6у) [5-2 /і08у-1+6л/324у2-6у-2 /l08y-l-64/324y2-6y = (т. к. (108?/ - 1 + 6 JS24y2 - 6у)(Шу - 1 - 6 322 - 6у) = 1082?/2--216?/ + 1 - 36(322 - 6у) = 1082?/2 - 1082?/2 - 216?/ + 216?/ + 1 = 1) = 6л/3 (108у-1+6д/324у2-6у) /(108 -1-6- /324 -62/)2 (324у2-6у) (5-2 /l08y-l+6y/324j/2-6y-2 /l08y-l-6y/324y2-6y (108у-1-6л/324у2-6у) /(108у-1+6л/324у2-6у)2 /(324у2-6у) (5-2 /і08у-1+6у/324у2-6у-2 /іО82/-1-6024у2-6у 6у \/і08у-1+6л/324у2-6у- /і08у-1-6л/324у2 = v/3T= ./(324у2-6у)(5-2 /і08у-1+6ч/324у2-6у-2уі08у-1-6л/324у2-6у Отсюда следует, что производная обратной функции для полинома Бер-нулли степени 6 на интервале (Л, сю) имеет следующий вид: г/ (у) = л/3 /l08y-l+6v/324y2-6y-\/l08y-l-6v/324y2-6=y /(324у2-6у) [5-2 /і08у-1+6л/324у2-6у-2 /і08у-1-6л/324у2-6у Лемма 1.1 доказана. (1.9) Лемма 1.2. Уравнение (0.11) эквивалентно уравнению і I V / ws;(т/ (d - uw) - rf\d + vw))dw = f wsrf{d-\- vw)dw (1-Ю) Доказательство. Запишем формулу (0.10), используя замену (1.4): В работе [65, Лемма 5] доказано следующее утверждение: Лемма 1.3. Если эе — решение (0.10), то В2т(0) + В2т(1/2) ае Є ,52m(l/4) Непосредственным вычислением убеждаемся, что из леммы 1.3 и из (1.6) при т = 3 следует, что минимальное значение левой части (1.11) достигается при зе Є ( 88? — 8Шб) а минимальное значение правой части (1.11) достигается при d Є (yfg, 9б) Число Л определяется из условия 23(Л) + z2(A) = d. Таким образом, исходя из найденного вида обратной функции (1.3), получаем: \ z Отсюда (А) = г lOSd - 1 216 + 54d2 - d , 108d-_l \ 216 + \ 216 54d2 - d _ 1 216 6" _ y/Z-\jb-2 \/l08d-l+6\/324rf2-6d-2у/ l08d-l-6y/32W Л Ы 2V3 Известно [5], что полином Бернулли четной степени имеет корень при х Є [0,1/2].
Обозначим его через Л. Формула (0.11) в случае Вт{х) = = BQ(X), равносильна равенству Л \ f(B6(x) - se)sdx - (аэ - B6(x))sdx = 0 (1.12) 0 Л Уравнение (1.12) равносильно уравнению 1/2 Л 1 1/2 1 (1.13) Л 23 f(d -z3- -z2)sdz - / (г3 + -z2 - d)sdz = 0. Сделаем следующие замены: t = d — z3 — \z2 в первом интеграле из (1.13) и t = zz + \z2-d во втором интеграле. Отсюда в первом интеграле dz = rf{d — t)dt, а во втором интеграле dz = —rf(d + t)dt. Вычислим новые пределы интегрирования: ii = О, 2 = - + - + + = j l-Обозначим Ї2 через v. Подставляя полученные выражения в интегралы, получим: v d Jts(r) {d)-r) (d + t))dt = jtsr] (d + t)dt (1.14) О v Сделав в интегралах замену переменной t = uw, приходим к уравнению і J w8(rj (d - i/w) - rf{d + vw))dw — j wsr) (d + vw)dw (1-15) 0 1 Теорема доказана. 1.4 Вывод основной теоремы Теорема 1.2. Уравнение (1.1) имеет единственное решение s = 1. Доказательство. Лемма 1.4. Выражение r] (d-uw) -rf (d + vw) (1.16) при w Є [0,1] не меняет своего знака. Доказательство. Положим с(у) = $Жу - 1 + 6у/Шу 2 - 6у - 108у - 1 - 6А/324?/2 - 6у, (,) = А («2V - в,) (5 - 2 -1+6 5 - 108,,- .-« 24
Доказательство основной теоремы
Утверждение, определяемое леммой 1.2 в главе 1 данной работы, можно сформулировать и для случая т = 8. Полагая в лемме 1.2 т = 8, получим: d = , v = . Отсюда сформулируем утверждение. Лемма 2.2. Уравнение (2.1) эквивалентно равенству Теорема 2.2. Уравнение (2.1) имеет единственное решение s = 1. Доказательство. Рассмотрим поведение выражения г/ ( — - w) — —rf ( + тщ ) при w Є [0,1]. Покажем, что оно не меняет знака на данном интервале. Запишем данное выражение, используя обозначения из (2.15): Так как знаменатель дроби g {J — щ и;) g (J + j w) — положительная функция при и Є [0,1], то для исследования знака (2.17) достаточно рассмотреть только поведение числителя. Обозначим его через u(w). Выпишем функцию u(w) : «02 = І (У 7 + зШ\/К128 - 127 )( (128 - 127-ш)2 - 9(128 - 127ги) + 1280)+ + \1ё - Ш \/Кт - 127 )( (128 - 127)2 - 9(128 - 127«;) + 1280)); ы ! \/(2Т-зШ\/Иі28-127 (їІо(128-127ш)2-9(128-127 +1280)) 02-6 _.Д 71(1 - 7 )(1150(1 - ) 9(128-227 )4- 80) ( + (128-127 )( (128-1271(/)2-9(128-1271//)+1280) /1(128-127 )( (128-127 )2-9(128-127 )+1280) / = у472ооі - 54ai; /?02 = у4\/2а - 540 Тої = у7\/Заоі - б7ба01 - 2/?0i; 702 = \7y/3aQ2 - 6\/ба02 - 2/302; и(0) = 0; и(1) = 0.8438 0; и{1) 0. Прежде, чем сформулировать следующую ниже лемму, введем некоторые обозначения. Пусть задан отрезок [а, Ь], —оо а Ъ оо; числа h, XQ, XI, ..., хп таковы, что h = (b — а)/п, Xi = а + hi] і = 1,п; Функция f(x) непрерывно дифференцируема на [а, Ь]; /(а) = 0; / (а) ф 0. fix) дважды непрерывно дифференцируема на [a, a + h]. f{xi) сохраняет свой знак при і = 1, п; min{l/( OI} 0. г=1,п Обозначим А = max {/"(ж)}; В = max {/ (ж)}; С = min {/(ж )} жЄ[а,а+Л] жё[а,Ь] г =1,п Лемма 2.3. Пусть функция f(x) удовлетворяет введенным условиям. Тогда, если выполняются неравенства A\f(a + h)\ + 2\f(a)\B - ABh 0 (2.19) Bh/2 С, (2.20) mo f(x) не имеет нулей на [а, &], кроме х — а. Доказательство. Пусть условия леммы выполнены. Для определенности рассмотрим случай f{xj) 0 при і = 1,п (случай, когда f(xi) 0 исследуется аналогичным образом). Покажем, что выполняется (2.19). С одной стороны f{x) = Да) + / f {r)dr = /dr[/ M +/ f"(t)dt] (х - а)/ (а) + а а а (г - а\ (х - а): а а \2 + jdrj f"{t)dt (x-a)\f (a)\+JA(T-a)dT=(x-a)\f (a)\ + A Отсюда следует, что (х - а)2 2 39 \№\ А Пусть х - a = . Тогда АС 2/ (а) ( 2\f (a)\/A. (2.21) С другой стороны f(a + h) = f(a + C) + if(r)dr \f(a + (:)\ + B(h-0. Отсюда вытекает, что \f(a + h)\-B(h-C) 0 (2.22) Из (2.22) находим: /(а + Л) -Bh + B( 0, (2.23) Формула (2.23) дает неравенство А Bh-\f(a + h)\ С р (2-24)
В Сравнивая неравенства (2.21) и (2.24), получаем: Bh-\f(a + h)\ \f (a)\ В Z А Отсюда следует, что ABh - A\f(a + h)\ 2B\f(a)\. (2.25) Из формулы (2.25) выводим неравенство (2.19). Теорема доказана для интервала [a, a + h]. Утверждение теоремы для случая интервалов [a + hi, a + hi + h], і = = 1, п — 1 является непосредственным следствием формулы конечных приращений Лагранжа. Теорема доказана для всех точек интервала [а, Ь]. Покажем, что функция u{w) удовлетворяет всем условиям теоремы. poccmicvf. ГОСУДАРСТВ aU!(V"j БЕЕЛІЮШ/J Найдем производную для функции и : u {w) = (21602 - Ап(12л/баоі2 -(7- 6\/2)\/За0і) + /ао7(7 /ЗДі - 4 /2) -2/ 01)(/ 02702( 01 024 + 7/4а 4а 01а 02) + «оі«024(/%27о2 + 02702))+ +a01a 4/?02702(a0i(540a 2 - /301(18\/6aJ{2 -(7- 6 /2)\/3) + «м ЗДі -4 /2)) + (3 01{7лДа0{2 - 12\/баоі2 + (7- Ъу/2)у/3а01 - 4/?01)) - (216о$2 -/Ы12 /ба 2Ч7-6 /2) +7/4аоі4а0іа02) + «02«о{4(Аі7оі + Ап7оі)) - «о2«м4/Зоі7оі(«о2(540а 2 -/?02(18\/б 2 - (7 - 6л/2) /3) + а0 21/2(7ч/3/5о2 - 4 /2)) + Д2(7\/3 2 -12л/ба 2 + (7 - 6л/2)л/3аг02 - 4Д)2)). и (0) « 0.5386; и (0) 0. Найдем м": u"(w) = 2(а01(540ао(2 - /50і(18л/б {2 - (7 - 6л/І2)\/3) + «м/2(7\/%і--4л/2)) + Д л/Зо- 2 - 124/602 + (7 - 6\ )\ а0і -4/301))(/ 02702( 1 024 + 7/4 ( 01 02) + «01 «024 (/?02702 + ДюТюЖ +(2160:2 - /%і(12ї/баі{2 - (7 - 6л/2)л/3а0і) + / Г(7 /ЗА)і -4 /2) - 2 )(( 4 + 7/4а 4а01а02)(/302702 + А)27о2)+ +/302702(7/40 4 + 0 04 + 21/16ао21/4 (а02)2 «оі + 7/4a2o$V01)+ +№27о2 + /Зо27ог)(«оі«024 + 7/4а 4а01а02) + «0і«024(2/Зо27о2 + /%702+ +А)27о2)) + 1 02702( (540 (2 - /3oi(18\/6aJ{2 -(7- 6 /2)л/3) -1/2 (7 1-4 +a01(810aj{2a01 - /301(18\/6aJ{2 -(7- 6\/2)\/з) - /30i9vW/2«oi)+ +c oi1/27V% + і(7/2\/Заоі1/2Ооі 18 + (7- 6л/2)л/3а01--4/) - 2(a02(540a 2 - /?02(18\/б 2 -(7- 64/2) )+ +«o_21/2(7V3/3o2 - 4л/2)) + Д2(7\/3 2 - 12\/ба 2+ +(7 - 6V )V a02 - 4/?о2)) (/?оі7оі К2«оі4 + 7/4aofa02a01)+ +«02«о7і4(/50і7оі + /Woi)) + (216aoT - /W VSc 2 -(7- 6ч/2)л/3а02) + /йй(7 /ЗА)2 4 /2) - 2/5022)(( 2aJ{4+ +7/4аоі4а02«оі)(Ді7оі + An7oi) + /?oi7oi(7/4a02aoi4«oi + a02aoi4+ +21/16с оі1/4 Kif «02 + 7/4 0 V02) + ($l7oi + /?оі7оі)( 2«оТ+ +7/4a 4a02a01) + a02aS4(2/30l7Ji + /%7оі + А)і7оі))+ + 2 {4/3017оі( 2(540 2 - /302(18ч/ба 2 - (7 - 6л/2)л/3) -1/2ао23/2(7ч/3/Зо2 - 4л/2)) + /%(7 /3aJ2 - 12 /2 + (7- 6V2)V3a02 -4/) + a02(810aof a02 - / (18 2 -(7- 6 /2) /3) -/3029ч/бао"21/2ао2) + а0-21/27 /302 + 2 (7/2 3 217 V02 -Івл/ба оіз + (7- 6л/2)\/3«02 - 4/)). Следующие оценки получены с использованием неравенства треугольника: і з/і «01 = ЗЙО 1(128 + 127 )( (128 + 127w)2 - 9(128 + 127w) + 1280)
Нормы функционала ошибок
Рассматриваем периодические функции в го -мерном евклидовом пространстве. U= j f(x)e2 H 1 dx /5=_ 1 + 1 ДТО)(ВД = {/ : / Є С; (тг2) Ш 2т = 1Ш1("0(Пя) « } (4-3) Заметим, что в одномерном случае норма из (4.3) равна квадрату производных порядка т в смысле Вейля. Определение производных в смысле Вейля можно найти в [78]. 1/2 _, , оо, а / Є ЬГ ІПн)] rn го/2; L (П#) — пространство, сопряженное к пространству периодических функций Щ1 Рн) (здесь индексы т обозначают порядки производных, а 2 — степень их суммируемости; т го/2, где го — размерность пространства). I \g(x)\2dx Ял Пусть д Є 1/2, то есть д(х) = Ед0е2 х. Для функции / в работе [51] получена следующая оценка: 1/-/о (2 Гт1Я-\ГЛ1ЯЬ". (вд (4.4) Для таких д и / из (4.4) следует равенство Парсеваля. / g(x)f(x)dx = lim f g(x){c7tf){x)dx = lim J2 9-pfp) = Y,9-pfp (4.5) nH nH \ Bt J p Пусть ln — функционал ошибок, задается следующим образом: « п ft., f)= J g(x)f{x)dx - E сл/Ы, (4.6) где д Є L2(QH); Е ск = gQ. k=l Из (4.4) и (4.5) следует, что ln(f) является линейным ограниченным функционалом в пространстве Д (Q#). Ниже формулируются и доказываются теоремы, аналогичные теоремам из работы [51], в случае, когда в построении участвуют суммы Фейера. Теорема 4.2. Если 1п — линейный функционал вида (4-6), то г am d \s\ n k=l н-1/} -9s где а п-ІЯ- І+І n+l Доказательство. (ang)(x) E ase2m H , где as = n +1s+1gs; gs = \s\ n J g(x)e2niiH ls xl E E ase27ri{H l{s+ Xk) = E «s E е2жі(н 1{8+р) Хк) = (/п(ж),е2т (я""1(в+/3) ж)); \k\ n \s\ n \s\ n k—1 j- (H-1 (s+0),xk) = k=l 0, s + /3 0(mod(2n + l)) E e2ni H 8+ Xk\ s + (3 = 0(mod(2n + 1)) k \ Щ/)1 = 1п еМя ,,) = E fp ( n \J g(x)e2 H 1 dx - E «a E е -Ч +Я. )o„ ls n fc=l /\"я s+/3=0(mod(2n+l)) / — j8 м - E «. E ew(jr"I( s n fc=l\ s+/3sO(mod(2n+l)) /_ 1 (27r)-2mE; g.p - E «s E е2 (я + )s n k=l 2- 2НЯІЇ ад ія-1 2 Пусть / = (2тг)-2 /3 д-р - Е ОІ5 Е е2?гг (я +/3) ) #-V?2m Jlmkh \Ш)\ )3 ГгО ( 0-/J s+/fe0(mod(2n+l)) \ 2m(H-l{s+0),xk) J у-2m v / (2тг)- Е )3 p_ - E as E e m s n Jfe=l (3 27ГІІН-1 (s+0),xk) 2irikh \\f \Lim\nHy
Отсюда: E as s n fc=l -2m v- / \\шш = (2 )- 5: /з Теорема доказана. Зададим функционал / P-/ -\a\2m g e2m(H-l(s+P),xk) \Н-Щ (Iі, /)=/ 9(x)f(x)dx -hn Y [ tg](Hkh)f(Hkh), g є 2(ЗД. (4.7) fi lfcl t Теорема 4.3. Имеет место следующее равенство: l - - g - pg-p\ 5, я-і(/з + /з)2т ЬГ («я) r(/)IIW, = (27r)- 4 101 /3+/3 (4.8) Доказательство. 1. Запишем равенство теоремы 4.2 для функционала Iі. О. ІІ (/)ІІІГ(вд = ( Г2ш Е /3+/3 I g{x)f{x)dx-hn Е [atg]{Hkh)f(Hkh) я \k\ t я-Ч/з + ДІ2 = (27г)-2- 9-W-hn E l tg}(Hkh)f{Hkh) f щ ь Я-і ( + /3)1 /з+хз#о Л [atg}(Hkh)f{Hkh) = hn ase2 fc/l) е27Г = \k\ t \k\ t \\s\ t J = hn ( ase2 ] = /i" okfc E е2«в+Я А = aip_e, где o/s = -. Таким образом I / I2 4/)11 = W2m E E 2 _ /o -2m V- / V- 2-/?-/3 Q/?M Теорема доказана. Для доказательства следующей теоремы потребуются три оценки [51, с. 322]. 1. Если д є L2, то есть, / р(ж)2 &Е = да2 = 1ЫИ2 оо, то Е Ы2 = Ы\1А С4-9) l/3 t где а() — 0, при — - оо. 2. Существует постоянная величина М, такая, что для всех /3, f3, таких, что (3 = 0(mod(2t + 1)), \(3\ t, /3 0 1 =. (4-Ю) \н-\із + (3)\2т - \Н 1(3\2т 3. Существует функция a {t), такая, что для всех /?, /3, таких, что /3 = 0(mod(2i + l)), \(3\ лД, /М О 1 (!-" («)) , „.„Л „ Т7 г(1+ » ( )) (4-Й) я-і/?2тЧ v /у - ІЯ- /З + ДІ2 - \Н 1(3\2т и а (і) - 0 при t —) оо. Теорема 4.4. Пусть { }i=0 — последовательность функционалов вида (4-V- Тогда для всякого є 0 найдется число No такое, что из t No следует Доказательство. 1 - о -ді2 = (l . l + \а р\\д_р\) = \д_р_р\Ч +\а р\2\д-р\2 + 2\д_р_р\\а р\\д-р\. Отсюда і і2 , \9_fi_p - dfj9-f}\ \9-f5-p? Т , Т Щ2 \д-р у я-і(/3 + /3) 2- - t і я-і(/з + й2- t 1 1 -4 + /5 /3+/3 0 /3+/3 0 /3+/3 Пусть , Я-1 (/3 + /3) Г (3+/3 0 У t\H- {{3 + Р)\2 (3+/3 0 = Е „ Я-1(/3 + /3)2 /3+/3 0
Асимптотическая оптимальность построенных кубатурных формул
Пользуясь соотношениями (4.9), (4.10) и (4.11), оценим Д и І2- Представим І\ в следующем виде: h = Дд + Л,2 I / 12 I i,i = 1, 2 0+0ФО M \9 p\ ,./ 12 U .2 /1,2 = E E T й Ія_1(/з + /з)І Оценка (4.11) дает /З ІЛ РІ І КлЯ (4.12) так как о ]2 — 1, t —f оо. Используя (4.9) и (4.10)6 оценим /1;2 ll2- f tf"Wm i , " M llalli, Е -о )! \\д\\% Гщ а(Л), (4.13) так как о 2 - 1, —г оо. Из (4.9) и (4.10), получим /. Л2т1ЫЦГ (1 + )), (4.14) где а1 ) - 0, — оо. Найдем оценку для /г h МТ К— V l l2 М/г2тЫ2 - —a(t). (4.15) Так как І(т).,п . (27г)_2т[/і + /2 + 2\/Л/2], то, применяя оценки (4.14) и (4.15), получим Н м. (2пГ к2т\\д\\1Г [lW(t)+Ma(t)+2 (l + оД( М Д I-" PI Для всякого є 0 можно выбрать iVo таким образом, что для любого t N0 la1 ) + Ma(t) + 2 /(1 + a1(t))Ma(t)\ є. Таким образом II W) (2-) 2т2 щг рй2Э1(1 + е). (4.16) Теорема доказана. Отсюда можно сделать следующий вывод: выражение для главного члена нормы функционала ошибок весовых кубатурных формул имеет (4.16), то есть, не изменяется, если вместо метода суммирования Фурье использовать метод Фейера. [1] Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. [2] Соболев С. Л. Некоторые применнения функционального анализа в в математической физике. Новосибирск: Изд-во Сибирского отд. АН СССР, 1962. [3] Коробов Н. М.
Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963. [4] Stroud А. Н., Secrest D. Н. Gaussian quadrature formulas. New Jersey: Prentice-Hall, 1966. [5] Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. // М.: Наука, 1967. [6] Stroud А. Н. Approximate calculation of multiple integrals. Englewood Chiffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1971. [7] Бахвалов H. С. Численные методы. M.: Наука, 1973. [8] Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа: Изд-во Башкирского ун-та, 1973. [9] Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976. [10] Levin M., Girshovich J. Optimal quadrature formulas. BSB. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979. [11] Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М: Наука, 1981. [12] Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент, Фан, 1985. [13] Бабенко К. И. Основы численного аеализа. М: Наука, 1986. [14] Никольский С. М. Квадратурные формулы. М: Наука, 1988. [15] Корнейчук Н. П. О новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур (Дополнение к книге Никольского С. М. "Квадратурные формулы"). М.: Наука, 1988. [16] Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. [17] Никольский С. М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // УМН, 1950. № V, вып. 2(36). С. 165-177. [18] Никольский С. М. Квадратурные формулы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1952. № 16. С. 181-196. [19] Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. МГУ, 1959, № 4. С. 3-18. [20] Бахвалов Н. С. Об оптимальных оценках сходимости квадратурных процессов и методов интегрирования типа Монте-Карло на классах функций // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы (Дополнение к "Журн. вычислит, математики и мат. физики"), 1964, № 4. С. 5-64. [21] Соболев С. Л.
О формулах механических кубатур в п— мерном пространстве // ДАН СССР 137, № 3 (1961). С. 527-530. [22] Соболев С. Л. Различные типы сходимости кубатурных и квадратурных формул // ДАН СССР 146, № 1 (1962). С. 41-42. [23] Sobolev S. L. On cubature formulas, Studia Math. (Ser. Specjialna), Zesz. 1 (1963), p. 117-118. [24] Соболев С. Л. Об одном приеме вычисления коэффициентов для формул механических кубатур // ДАН СССР 150, № 6 (1963). С. 1238-1241. [25] Соболев С. Л. Сходимость формул приближенного интегрирования на функциях из 4т) // ДАН СССР 162, № 6 (1965) С. 1259-1261. [26] Соболев С. Л. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем // ДАН СССР 163, № 3 (1965). С. 587-590. [27] Соболев С. Л. Различные типы сходимости кубатурных и квадратичных формул, ДАН СССР 146, № 1 (1962) С. 41-42. [28] Бабушка И., Соболев С. Л. Оптимизация численных методов // Арі. Mat. 1965, № 10, p. 96-129. [29] Корнейчук Н. П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных // Мат. заметки, 1968, № 5. С. 565-576. [30] Корнейчук Н. П. Экстремальные значения функционалов и наилучшее приближение на классах периодических функций// Изв. АН СССР, 35 № 1, 1971. С. 93-124. [31] Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 1. Пенза: изд-во Пензенского государственного техн. ун-та, 1995. [32] Половинкин В. И. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем и универсальная асимптотическая оптимальность // Оптимальные методы вычислений и их применение к обработке информации. Пенза: изд-во Пензенского политехи, ин-та, 1991. С. 36-41. [33] Шойнжуров Ц. Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в пространстве W // Сиб. мат. журн. 1967. Т. 7, № 2. С. 433-446. [34] Шойнжуров Ц. Б. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы с узлами в криволинейной решетке // Тр. семинрара ак. С. Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1976, № 1. С. 157-164. [35] Шарипов Т. X. Верхняя оценка нормы функционала ошибки кубатурных формул с регулярным в смысле Соболева пограничным слоем в пространствах Щ(0) //ДАН СССР. 1972. Т. 202, № 1. С. 51-53. [36] Носков М. В. Приближенное интегрирование функций, периодических по некоторым переменным // Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. № 1. С. 83-102.
![Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b]](/i/i/4249/45537.png "Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b] Шатохина Лариса Владимировна")
