Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию некоторых вопросов теории векторных решеток и положительных операторов, решеточно нормированных пространств, теории сублинейных операторов и субдифференциального исчисления, связанных единым образом на основе концепции метрической п-неразложимости.
Идейной предпосылкой этой концепции послужило понятие порядковой дискретности, которое сыграло важную роль в становлеіши теории векторных решеток. Многие просто устроенные классы упорядоченных векторных пространств, например, К-пространства последовательностей s, IP, с, конечномерные пространства являются дискретными векторными решетками, изучение которых и явилось толчком к развитию общей теории векторных решеток. Различные виды дискретных элементов и функционалов на векторных решетках изучались рядом известных отечественных и зарубежных математиков, таких как М. Вольф, Б. 3. Вулих, Ж. А. Креншоу, Г. Я. Лозановский, А. Г. Пинскер, А. И. Юдин, С. Ямамуро и другими.
В то же время при изучении операторов требуются более общие аналоги дискретности, чем обычные понятия атома, неразложимого и дискретного элементов. Классическим в данном направлении является критерий С. С. Кутателадзе решеточного гомоморфизма, во многом проясняющий природу дискретности в векторнозначном случае. В последнее двадцатилетие вопросы, связанные с дискретностью и безатомностью в теории векторных решеток и положительных операторов изучались Л. Вейсом, П. Войтащиком, Н. Ж. Калтоном, А. Г. Кусраевым, С. А. Малюгиным, Б. де Пагтером, С. Б. Хьюсмансом, И. И. Шамаевым и другими.
Однако многие изучаемые объекты в теориях векторных решеток, упорядоченных решеточно нормированных пространств и положительных операторов, не будучи дискретными в каком-либо известном смысле, являются по существу таковыми в некотором более общем смысле. Например, в пространстве R любой элемент характеризуется тем свойством, что он не разлагается в сумму более п ненулевых попарно дизъюнктных элементов. Аналог такой «неразложимости порядка п», как будет показано, имеет место и в более общих пространствах, в частности, в пространстве регулярных операторов для п-дизъюнктных операторов.
Напомним, что линейный оператор Т, действующий между векторными решетками X и Е, называется п-дизъюнктнъш, если, во-первых, Т является порядково ограниченным и, во-вторых, для любых попарно дизъюнктных
элементов Хд, х1г ..., хп є X выполнено соотношение Л |Т(^)|= 0.
4=0
Этот важный класс операторов исследовался в последние годы такими математиками, как С. Ж. Верно, Д. С. Каросер, Б. де Пагтер, В. А. Фельдман, С. Б. Хыосманс.
Свойство «неразложимости порядка п», которое легло в основу концепции метрической п-неразложимости, удобно изучать в классе векторных решеток с некоторой обобщенной метрической функцией. Хорошей базой для этого являются решеточно нормированные решетки, т.е. упорядоченные решеточно нормированные пространства, обладающие дополнительной порядковой квалификацией - структурой векторной решетки и нормой, естественным образом согласованной с порядком.
Цель работы. Основная цель настоящей диссертационной работы -развить концепцию метрической п-неразложимости и с ее помощью продолжить дальнейшее изучение тг-дизъюнктных операторов, а также исследовать сублинейные операторы, являющиеся верхними огибающими семейств п-дизъюнктных операторов.
Методика исследования. В работе применяются методы теории векторных решеток, решеточно нормированных пространств, положительных операторов, теории сублинейных операторов, техника субдифференциального исчисления.
Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Укажем основные из них:
- разработана концепция метрической п-неразложимости в
упорядоченных решеточно нормированных пространствах, развивающая
классические понятия дискретности в теории векторных решеток и
положительных операторов;
- предложен новый подход к исследованию регулярных операторов,
действующих в пространства Канторовича, основанный на интерпретации
свойств оператора на языке ассоциированной с ней решетки Банаха-
Канторовича. На этом пути установлены разнообразные характеризации
п-дизъюнктных операторов, среди которых выделяются описания п-дизъюнктных операторов в терминах ортоморфизмов и проекторов, обобщающие и дополняющие известный критерий С. С. Кутателадзе решеточного гомоморфизма. Уточняется теорема С. Ж. Верно, С. Б. Хьюсманса и Б. де Пагтера о разложении п-дизъюнктного оператора. Получен критерий п-дизъюнктного оператора, развившощий результат С. Б. Хьюсманса и В. А. Ж. Люксембурга о решеточных гомоморфизмах, описана булева алгебра осколков п-дизъюнктного оператора;
- изучены сублинейные операторы, являющиеся верхними огибающими
семейств положительных п-дизъюнктных операторов. Получены описания
возникающих субдифференциалов и их крайних точек, обобщающие
соответствующие результаты С. С. Кутателадзе при п=1. Установлены
характеризации решеточпо-безатомных субдифференциалов, решеток
Банаха-Канторовича с решеточно-безатомным сопряженным
пространством, обобщающие критерии Г. Я. Лозановского, Б. де Пагтера и В. Внука безатомности сопряженного пространства банаховой решетки.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании порядково ограниченных операторов, сублинейных операторов, а также в дальнейшем развитии теории решеточно нормированных пространств.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994), обсуждались на семинарах лаборатории функционального анализа Института математики СО РАН им. С. Л. Соболева, объединенном семинаре отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН им. С. Л. Соболева под руководством академика Ю. Г. Решетняка.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,2], указанных в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и занимает 108 страниц. Библиография включает 85 наименований.
