Введение к работе
:)
Актуальность темы. В современной римановой геометрии большое значение в качестве модельных пространств, на которых проверяются различные гипотезы, играют однородные римановы многообразия, допускающие транзитивные группы изометрий. Класс таких пространств сложился не сразу. Вслед за классическими евклидовыми пространствами появились неевклидовы пространства: пространства Лобачевского и сферические и эллиптические пространства Римана. Они имеют постоянную секционную кривизну и могут быть охарактеризованы как однородные многообразия с внутренней метрикой, группа изометрий которых действует транзитивно на касательных 2-мерных подпространствах. Последующим естественным обобщением являются однородные изотропные римановы многообразия, состоящие из евклидовых и так называемых римановых симметрических однородных пространств (РОСП). Все такие пространства, в свою очередь, охватываются римановыми симметрическими пространствами, классификация и выражение для тензора кривизны которых были в основном получены Э. Картаном к началу 30-х годов 20-го века. В связи с этим интересно отметить, что общие однородные римановы многообразия начали изучать по-настоящему лишь около двадцати лет назад, когда в работах О'Нейла, Дж. Милнора, Чигера-Эбина и других были получены формулы для вычисления секционных кривизн инвариантных римановых метрик на группах Ли и их однородных пространствах.
Цель работы. Все компактные однородные римановы пространства КРОСПы получаются как базы обобщенных расслоений Хоп-фа
1) S2n+1{l) -+ СР",
-
S4"+3(l) -> HP",
-
S^(i)->s8(|),
4) CP2n+1 -> HP".
со слоями соответственно S1, S3, S', S2, если опустить плоскость
КлЛИ. ЧиС/ld, Ь L-lVUOKctX радиусы L-фЄр в сыиждивыл
пространствах, снабженных индуцированными римановыми метриками. Последнее расслоение известно под названием твистор-ного. Требование, чтобы эти расслоения были римановыми суб-мерсиями, определяет на базах классические метрики Фубини-Штуди. При фиксированных метриках на базах можно домножать метрики в слоях расслоений на положительные множители таким образом, что расслоения по-прежнему будут римановыми субмер-сиями. Такие однопараметрические вариации метрик в тотальных пространствах упомянутых расслоений называются каноническими. Эти метрики изучались в работах В. Циллера, Г. Йенсена, Ж.-П. Бургиньона и Г. Кархерас целью нахождения однородных эйнштейновых метрик; для первого расслоения некоторое подсемейство метрик рассматривал И. Чавел с целью распространения результатов М. Берже об однородных римановых многообразиях с малым радиусом инъективности. Интересно, что никто (кроме И. Чавела) не рассматривал задачу вычисления точных границ секционных кривизн указанных канонических вариаций римановых метрик. Эта задача в полном объеме решается в диссертации. Также затрагивается вопрос о радиусе инъективности.
Методы исследования. Основным инструментом диссертации явля ется формула О'Нейла для римановых субмерсий изучаемых пространств на проективные пространства (обобщенные расслоения Хопфа). В отдельных главах используются также клиффордовы алгебры и вычисление тензора кривизны с помощью бивекторов.
Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они могут быть использованы в изучении геометрии обобщенных расслоений Хопфа и в целом в теории однородных римановых многообразий.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на студенческих конференциях Омского государственного университета (1991-1993), совместных семинарах кафедр математического моделирования и
математического анализа ОмГУ (1992-1995), международной конференции " Группы в анализе и геометрии" (г. Омск, 1995), Втором Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике (г. Новосибирск, 1996).
Публикации, По теме диссертации опубликованы три работы, список которых приведен в конце автореферата. Результаты совместной статьи, используемые в диссертации, получены лично автором.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 90 страницах и состоит из введения и пяти глав, которые разбиты на пункты. Библиография содержит 26 наименований.
