Введение к работе
Изучение свойств изгибаний поверхностей, а также деформаций, при которых длины кривых на поверхности не изменяются с точностью до какого-то порядка малости, занимает важное место в теории деформации поверхностей. Деформации поверхности, при которых длины кривых на поверхности не изменяются до п-ого порядка малости назьшают бесконечно малыми изгибаниями п-ого .порядка, при п=1 такие изгибания поверхности назьшают бесконечно малыми изгибаниями первого порядка или бесконечно малыми (б.м.) изгибаниями.
Большое место в теории изгибаний поверностей занимают изгибания поверхностей с краем, при которых на краю ставятся условия того или иного типа ( кинематического или геометрического), называемые краевыми условиями.
В работах И.Н.Векуа, а в дальнейшем и в работах В.Т.Фоменко, определен и исследовал ряд достаточных условий, налагаемых на край поверхности и внешнюю связь, при которых краевое условие является квазикорректным почти жестким с тремя степениями свободы, и описаны некоторые краевые условия, при которых поверхность допускает непрерывные изгибания, зависящие от трех параметров.
Пусть R3—трехмерное риманово пространство с метрикой ds2 = g^dx^dx" ,(а,/3 = 1,2,3), где g^ є С**» , п> 3, 0 < о < 1. Известно, что поверхность S с положительной внешней кривизны К> кй > О, t0=const., гомеоморфная плоской области, допускает бесконечно малые изгибания с большим произволом, при этом бесконечно малые
изгибания поверхности описываются дифференциальным оператором
Ь=0, (1)
где = [")—тензорное поле скоростей точек поверхности при бесконечно малом изгибаний.
В работах И. Н Векуа рассматривались бесконечно малые изгибания поверхности S, подчиненои на краю условию обобщенного скольжения
ft*r'' = ff, (2)
где \1Р)—заданное вдоль края а— заданная функция. Им достаточно полно изучена задача (1), (2) при условии, что тензорное поле (/^) принадлежит касательному расслоению поверхности вдоль края aS . Установлено, что однородная (a s о) задача имеет конечное число линейно независимых решений, а
неоднородная (с О) задача разрешима при определенных условиях,'
налагаемых на тензорное поле у0} и функцию <т.
В. Т. Фоменко и И. М. Кричевер изучали задачу (1), (2) в предположении, что „ = g22 = Е , gap = 0,а Ф/3, gj3 = 1, где E=E(z) еС"1'",
п> з, 0<о <1, а тензорное поле (/'J мало (в смысле некоторой нормы )
отличается от тензорного поля \1$ ) = {0,0,1}. Ими доказано, что для односвязной поверхности с положительной внешней кривизной, существует константа Р такая, что для всех тензорных полей (Iе )
|/'-#Це1>. *Р,Р>0,0<ы<1 (3)
задача (1), (2), безусловно, разрешима для любой функции а, при этом однородная задача имеет три линейно независимых решения.
В приложениях, связанных с исследованием поведения тонких упругих ободочек при втулочных связях, важную роль играет знание величины Р в оценке (3). Конкретное значение величины Р в случае евклидова пространства приведено В.Т.Фоменко. В настоящей диссертации указываются аналогичные значения константы Р для ри-мановых пространств с выше указаной метрикой. Доказывается также, что при указаных внешних связях рассматриваемые поверхности допускают непрерывные изгибания, зависящие от трех параметров.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ И ЕЕ НАУЧНАЯ НОВИЗНА. : -
Цель работы- изучить бесконечно малые и непрерывные изгибания поверхностей в римановом пространстве при условиях обобщенного скольжения и условиях втулочних связях на краю. Найти достаточные условия, при выполнении которых, внешние связи обобщенного скольжения является квазикорректными в отношении бесконечно малых изгибаний поверхностей и являются совместимыми с непрерывными изгибаниями рассматриваемой поверхности.
Новизна- 1) найдены условия, налагаемые на угол у , определяемый тензорным полем (/'), при которых внешняя связь (2) является
квазикорректной почти жесткой с тремя степениями свободы.
2) Найдены условия, налагаемые на угол у . при которых внешняя связь совместима с непрерывными изгибаниями поверхностей , зависящими от трех параметров.
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации являются новыми и могут быть применены к дальнейшему исследованию бесконечно малых и непрерывных изгибаний поверхностей в римановых пространствах.
В работе используются традиционные методы геометрии и теория дифференциальных уравнений. Существенную роль играет применение теорем существование решения третьей краевой задачи для уравнений эллиптического типа. Применение априорных оценок решения краевой задачи позволяет использовать принцип последовательных приближений для доказательства существования решения нелиейной задачи.
Результаты диссертации докладивались и обсуждались на итоговых научных конференциях Таганрогского госпединститута (1992-1995), на мезкдународной научной конференции "Лобачевский и евклидова геометрия" (18-22 августа 1992г., Казань), на международной конференции по геометрии "в целом" (12-15 сентября 1995г., Черкассы).
Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых находится в конце автореферата
Диссертаци содержит 83 страниц текста, состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы в 34 наименования.
Главы имеют следующие названия:
Гл. 1. Общие сведения теории изгибаний поверхностей.
Гл. 2. Бесконечно малые изгибания поверхностей положительной внешней кривизны при внешних связях.
Гл. 3. Непрерывные изгибания поверхностей в римановом пространств.
«
стороны положительного направления края cS, гг=хг + уг
(х,у)
Показьшается, что условие (2) относительно функции U(x,y) на cD имеет вид
где -Z7— производная по направлению r={xv|, S(sj eC"~1,u(cD),
В третьем параграфе исследуется краевая задача (4), (5) (третья краевая задача) путем построения сопряженной задачи и доказываются вспомогательные предложения.
В четвертом параграфе рассматривается краевая задача (4). (5)
для поверхности Sp; z = f[p2) єС"+1'"(>), рг =хг+уг, (х,у)єД которая
исследуется методом заменой искомой фугасний. При этом для описания граничного условия вместо угла у вводится в рассмотрение
угол а: у = — - yfct?f'p - а). Доказывается ряд вспомогательных предложений.
Основными результатами главы являются следующие теоремы.
ТЕОРЕМА А. Пусть угол у вдоль края
удовлетворяет условию -—-arctga>\s)
м ,, VVGJt fj\
i\s)=fr fpn_—Саяя,гІ kn — нормальная кривизна края cS , k
—кривизна края ffD области D, n —внешняя нормаль 8D. Тогда поверхность S, подчиненная однородному (сг = 0) условию обобщен-
ного скольжения, допускает три линейно независимых бесконечно малых изгибаний; поверхность S, подчиненная неоднородному (с ^0]
условию обобщенного скольжения, всегда для любой функций а допускает бесконечно малые изгибания, зависящие от трех параметров.
ТЕОРЕМА В. Пусть утол а вдоль края oSp поверхности Sp
f\ (Л_24ЁГр-рЕ>
удовлетворяет условию arctgca2\s)<а <п, где аг\?)- ",— rf
Тогда поверхность Spi подчиненная однородному (asOj краевому условию обобщенного сколъжениа. допускает три линейно независимых бесконечно малых изгибания; поверхность Spt
подчиненная неоднородному (сг^о) условию обобщенного скольжения, всегда для любой функции а допускает бесконечно малые изгибания, зависящие от трех параметров.
ГлаваЗ состоит из четырех параграфов. В первом параграфе
дается аналитическая запись непрерывных изгибаний поверхности S0 положительной внешней кривизны в рішановом пространстве R (j, заданной уравнеием г=/(х:у), (х,у)єД где D —односвязная ограниченная выпуклая область с границей eD класса CLU, Дх,у) eC№lu, п> 3,0 < и < 1, с краевым условием обобщенного скольжения.
Пусть при непрерывной деформации поверхность S0 переходит в поверхность S. Непрерывная деформация поверхности S0 называется непрерывным изгибанием, если ds^ = ck2, где <кг0 и ds2 первые формы поверхностей S0 и S соответственно. Показывается, что
