Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации изучаются метрики ограниченной сверху кривизны на двумерных полиэдрах.
Пространства ограниченной сверху кривизны были введены А.Д.Александровым (см. /1-2/), а для случая неположительной кривизны - независимо Г.Буземаном (см. /10/).
В работах А.Д.Александрова, Ю.Д.Бураго, В.А.Залгаллера, Ю.Г.Решетника и других по-сущаству была создана метрическая теория поверхностей.
В 60-70-е года общие метрические пространства ограниченной сверху кривизны изучались в работах В.Г.Берестовского, И.Г.Николаева, Ю.Г.Рештняка (см. /3; 6/) и других. Одним иэ результатов развития этой теории явилось решение проблемы синтетической характеризагаги римановых многообразий. Было доказано, что пространство (без края) с двусторонне ограниченными кривизнами является римановыы многообразием (см., например, /3/).
В 70-80-е годы изучение пространств ограниченной сверху кривизны было проложено в работах S.Alexander, R.Bishop, в.кіеінег и других (см., например, /7/).
Существенный вклад в понимание пространств А.Д.Александрова с ограниченной снизу кривизной внесла работа / 5/ и последующие за ней работы Г.Перельмана, А.Петрунина.к.йгвте, C.Plaut, S.Petersoa и других.
Интерес к пространствам ограниченной сверху кривизны на новом уровне, возродился в начале 80-х годов в результате работ М.Громова (см. /II; 12/), в которых метрические идеи А.Д.Александрова были применены к комбинаторной теории групп. Основным объектом этой теории являются 2-ыерные комплексы Кэли конечно порожденных групп (то есть,, по сути, двумерные полиэдры). Их геометрические свойства тесно связаны с алгебраическими характеристиками данных групп. Это послужило одной из мотивировок изучения геометрии двумерных полиэдров (W.Ballmann, M.Brln, S.Buyalo и др,, СМ. /в; 9/).
Естественным классом метрик на 2-полиэдрах являются метрики ограниченной сверху кривизны (ветвления, имеющиеся на полиэдре, исключают возможность введения в нем метрики
ограниченной снизу кривизны).
Полученные в этой области результаты, как правило, ограничиваются кусочно-гладкими метриками на 2-полиэдрах. Для общих метрик пока нет достаточно развитой теории, которая включала бы, в частности, такой фундаментальный факт, как теорема Гаусса-Бонш. (Для кусочно-гладких метрик такая теория есть, см., непример, /9/).
Настоящая работа имеет своей целью заполнить этот пробел. А именно, мы вводим новый класс метрик на 2-ЕОлиэдре, называемых ручныыи. Грубо говоря, ручная метрика является равномерным пределом кусочно-гладких метрик ограниченной сверху кривизны.
Для этого класса метрик оказывается возмояныы ввести понятие заряда кривизны, доказать слабую сходимость зарядов кривизны и формулу Гаусса-Бонне для замкнутых 2-полиэдров, а тем самым перенести фундаментальные результаты теории поверхностей на (замкнутые) 2-полиэдры.
Цель работы состоит в изучении класса ручных метрик на 2-полиэдрах, который является замыканием (в равномерной топологии) класса кусочно-гладких метрик ограниченной сверху кривизны. Это изучение, включает, в себя определение заряда кривизны ручной метрики, доказательство слабой сходимости зарядов кривизны и формулы Гаусса-Бонда на 2-полиэдрэ, а также обобщение известных ранее результатов для кусочно-гладких метрик на случай ручных метрик.
Методы исследования. Доказательства проводятся методами теории поверхностей с привлечением базовых фактов теории меры.
Главными техническими средствами является техника сингулярных дисков и кривых ограниченной вариации поворота. Б работе существенно используются результаты /2; 4/ о 2-мерных поверхностях ограниченной кривизны и /9/ о кусочно-гладких метриках на Зполиэдре.
Научная новизна. Все основные результате диссертации являются новыми. Б работе дана оценка вариации поворота существенного одномерного остова замкнутого 2-полиэдра для кусочно-гладких (ручных) метрик ограниченной сверху кривизны;
определено понятие сингулярного диска на замкнутом 2-полиэд-ре и доказана теорема о сходимости индуцированных метрик на сингулярных дисках; введено понятие ручной метрики на 2-поли-эдре, определен заряд кривизны этой метрики и доказана теорема о слабой сходимости зарядов кривизны на замкнутом 2-поли-эдрв; для заряда кривизны ручной метрики получена формула Гаусса-Бонне; обобщены на случай ручных метрик некоторые результаты, известные для кусочно-гладких метрик.
Теоретическая и практическая пэнность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении метрик ограниченной сверху кривизны на 2-подиэдрах.
Апробйдия работы. Результаты работы многократно докладывались на геометрическом семинаре РГЛУ им.А.И.Герцена (руководитель проф. А.І.Беряер), а также на геометрическом семинаре Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова РАН (руководитель проф. Ю.Д.Бураго).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы, список которых приведен в коше автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 71 страницах и состоит из введения и пяти глав. Библиография содержит 65 названий.
Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю доктору фйЗшсо-математичэскЕХ наук Буяло СВ. за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку.