Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию обобщенных римановых пространств. В работе дается решение некоторых известных и сравнительно давно поставленны. задач.
Фундамент теории обобщенных римановых пространств был заложен в работах А.Д.Александрова, связанных с изучением внутренней геометрии произвольных двумерных выпуклых поверхностей (см. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - 386 с). Основные идеи и методы этих исследований легли в основу теории двумерных многообразий ограниченной интегральной кривизны (см. Александров А.Д., Залгаллзр В.А. Двумерные многообразия ограниченной кривизны // Труды мат. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР, 1962, т. 63. - С. 1-252). В работе А.Д.Александрова "Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения" (Труды мат. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР, 1951, т. 38. - С. 5-23) был введен класс метрических пространств односторонне ограниченной кривизны и среди них были выделены метрические пространства с двусторонне ограниченной кривизной. Условие ограниченности кривизны определяется чисто синтетически, без использования какого-либо аналитического аппарата, аналогичного тому, который обычно применяется в римановой геометрия.
Класс пространств с двусторонне ограниченной кривизной -пространств кривизны ^ К. и ^ К' является основным
объектом исследования диссерта деи. Бри этой ж аксиомам, первоначально предложенным А.Д.Александровым, добавляются еще две, которые, в частности, позволяют заключить, что рассматриваемые пространства являются топологическими многообразиям! конечной размерности.
Эти пространства далее для краткости называются пространствами с ограниченной кривизной.
В двумерном случае пространства с ограниченной кривизно) являются частным случаем двумерных многообразий ограниченной интегральной кривизны, которые интенсивно изучались в 50-х -60-х годах.
В результате исследований ленинградской школы геометров были получены ответы практически на все принципиальные вопрО' еы двумерной теории. В связи с этим следует отметить прежде всего работы А.Д.Александрова, В.А.Залгалле^з и Ю.Г. Решетник.
В многомерном случае, который представляет особый интерес для римановой геометрии, после основополагающих работ А.Д.Александрова (кроме цитированных выше см. такжеЛвеХ.оМ row A- OSex еслб VetaffgemeSneTvaj Rieminnstktn. Ceomtttie//$JKxcfi.lnst.7Ha.th.yiS5M-l.~ S.33- 8) долгое время не было заметного прогресса. Первое существенно продвижение тут было получено в работе В.Н.Берестовского "О введении римановой структуры в некоторых метрических пространствах" (Сиб. мат. журн., 1975, т. 16, № 4. - С. 651-662 который доказал, что внутренняя метрика пространства с ограниченной кривизной может быть задана с помощью непрерывного метрического тензора. Однако вопрос о дифференциальных свойствах метрического тензора, задающего метрику ограниченной кривизны, оставался открытым.
Изучение пространств с ограниченной кривизной, определя емых для произвольных размерностей, оказалось важным и с точ ки зрения классической римановой геометрии.
Во-первых, изучение этих пространств позволило решить старую задачу о синтетическом описании римановой геометрии. Более точно речь идет об условиях на расстояние в метрическс пространстве, при выполнении которых данное пространство ок зывается изомегричным Cz или, в общем случае (Г^-глад-
-сому риманову многообразию (2 і m ^ + м ), .
Зо-вторых, имеются примеры, когда обобщенные римзновы пространства существенно используются при решении задач классической римзновой геометрии.
Наиболее важные из имеющихся применений обобщенных рима-ювых пространств в зада их многомерной римановой геометрии связаны іменно с использованием пространств с ограниченной сривизной и основаны на теореме компактности М.Громова ' Crtomov УІЇ.. Sizuctuves m. =^-/.-^ чея рскг &s v*xl«fA Rc'emaafi:eiass. l/R&iC-ju pxt Я«Ал*«йй 'J <'6 Ыл-sa P. - Para: СЫсс /'fc-^nd j\fcth*.n. , 13 21 .-
is-op.).
Эта теорема утверждает, что множество ХЛ(ъ,у\/.Л) всех 1 -мерных компактных бесконечно дифференцируемых римановых іногообразий <'- , для которых: выполнены условия: Літ Л\
d, Vo Л/. > /> о , mcLX {і к<г і $ й л ,
:вляется предкомпактным подмножеством по отношению к расстояние Липшица d. ^ в множестве всех п. -мерных компактных С1'1 -гладких многообразий с непрерывным метрическим тензо-юм.
Предельные метрики в теореме компактности Громова, как егко показать, являются пространствами с ограниченной кривиэ-ой. Изучение свойств таких пространств поэтому представляст-я важным в тех вопросах, где применяется теорема компактнос-и. В качестве примера приложения теоремы М.Грог за, в кото-ом существе--чую роль играет свойство предельного прострзн-тва быть пространством с ограниченной кривизной, отметим еорему М.Берже об устойчивости в теореме несткоети (см,
lexqet Ж. Su.i &S VCL-cCeieS Rcem
j4ste ли- dessous de І/Ц // Ann.. Ititi. Fimttex , G-tenogee, І32.3, т. 33, //.- P. i3$ - 1$Q).
Цель работы состоит в том, чтобы
I. Получить описание пространства с ограниченной кривиз-эЯ как нерегулярного риманова многообразия и как предела эеледовательности классических римановых пространств: опи-зть дифференциальные свойства метрического тензора, задаюча метрику ограниченной 'фивизны, исследовать возможность іпроксимаїтии таких «етрик классическими римановыми.
5.
2, Получить синтетическое- описание классических римано-вых пространств.
Общая методика исследований. Методы, используемые в диссертации, носят смешанный синтетико-аналитический характер. Геометрическая часть основана на использовании различных конструкций синтетического ха^іктера, геометрических оценок и т.д. В аналитической части используются методы и результаты теории эллиптических уравнений, теории функций с обобщенными производными, теории обобщенных функций. .
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являютсл новыми как по содержанию, так и по методам доказательств.
К основным результатам диссертации относятся:
-
Описание дифференциальных свойств метрики пространства с ограниченной кривизной;
-
Описание класса пространств с ограниченной кривизной как замыкания множества классических римановых многообразий;
-
Геометрическое описание тензора кривизны пространства с ограниченной кривизной;
-
Решение задачи Л.Д.Александрова о синтетическом описании классических римановых пространств;
-
Решение задачи А.Д.Александрова об описании изотропных метрических пространств.
Практическое и теоретическое значение. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по гесметрии "в целом", а также в дистанционной геометрии.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались:
на республиканской конференции по геометрии (Симферополь, 1980), на советско-венгерском симпозиуме (Новосибирск, 198У,на симпозиуме по геометрии "в целом" и основаниям теории относительности (Новосибирск, 1982), на расширенном заседании Московского математического общества, посвященном 75-детлю со дня рождения Н.В.Ефимова (Москва, 1985, совместный доклад с А.Д.Александровым и В.Н.Верестовским), на ыея-дународной конференции по геометрии и приложениям.(НРБ, г. Смолян, j.985), на Всесоюзной конференции по геометрии "в це-
лом" (Новосибирск, 1987), на IX Всесоюзной геометрической конференции (Кишинев, 1988), на Всесоюзном геометрическом семинаре им. Г.Ф.Лаптева (Москва, 1989), а такжч на семинаре "Хроногеометрия" при НГУ (руководитель проф. Ю.'5.Борисов), на семинаре по геометрич и анализу отдела анализа и геометрии ИМ СО АН СССР (руководитель академик Ю.Г.Решетняк), на семинаре кафедры геометрии ОГУ (руководитель проф. Н.С.Синкжов), на семинаре по тензорному анализу и приложениям (кафедра высшей геометрии и топологии МГУ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - III .Из совместной работы с А.Д.Александровым и В.Н.Берестовским [ 53 включены только результаты главы У, принадлежащие автору.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, развитых на 12 параграфов. Параграфы разбиты на пункты и подпункты, снабженные заголовками. Нумерация формул, теорем, лемм и т.д. в каждом параграфе -автономная.
