Содержание к диссертации
стр.
ВВБЩЕНИЕ 4
ГЛАВА I. НЕКОТОШЕ ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ПЯТИМЕРНОГО СИМПЛЕКТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА . I. Пятимерное симплектическое пространство . . 12 2. Симплектический инвариант пары прямых и
пары 3-плоскостей 14
3. Некоторые инварианты пар точек пространства
SPs 16
4. Метрика грассманова многообразия прямых . . 17
ГЛАВА П. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В 5ps
I. Деривационные формулы симплектического репера
в Sp5 ........ .' 23
2. Пара кривых в Sps 24
3. Геодезическая пара кривых в Sp5 26
4. Репер нулевого порядка линейчатой поверхности 31
5. Дифференциальный инвариант линейчатой поверх
ности 33
6. Геодезическая линейчатая поверхность .... 37
7. Геодезическая линейчатая поверхность с гео
дезической парой направляющих линий 43
8. Нормаль грассманова многообразия прямых ... 45
9. Основные образы линейчатой поверхности, ассо
циированные с первой дифференциальной окрест
ностью луча 47
10. Трансверсальные свойства линейчатой поверхности в первой дифференциальной окрестности 52 II. Квазифлекнодалыше точки пары линейчатых по
стр. верхностей относительно третьей линейчатой
поверхности 56
12. Вторая дифференциальная окрестность 58
13. Трансверсальные свойства присоединенных линей
чатых поверхностей. Квазифлекнодальные точки
присоединенных линейчатых поверхностей .... 63
14. Геодезические присоединенные линейчатые повер
хности и геодезические пары кривых 65
15. Канонизация репера . . . 67
ГЛАВА Ш. 2-СШЕЙСТВО ПРЯМЫХ В Sp*
I. Репер нулевого порядка 2-семейства прямых
в% 71
2. Свойства 2-семейства прямых 73
3. Построение канонического репера, его дерива
ционные формулы 80
4. Геодезические подмногообразия 2-семейства
прямых 83
5. Нормали к 2-поверхности грассманова многооб
разия 85
6. Трансверсальные свойства 2-семейства прямых . 92 7. Фокальные направления 3-поверхности, описываемой лучом 2-семейства. Асимптотические
направления 94
8. Циклические точки луча линейчатой поверхности,
принадлежащей 2-семейству прямых 97
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 99
ЛИТЕРАТУРА 100 .
Введение к работе
Евклидовы и неевклидовы пространства, имеющие большое значение в развитии математики, можно трактовать как аффинные и проективные пространства, в которых задан симметрический тензор fa. . Эти пространства хорошо изучены, поэтому естественный интерес вызывает геометрия аффинных и проективных пространств с кососимметрическим тензором д. . Такие пространства получили название симплектических.
Если определитель матрицы координат кососимметрического тензора ди отличен от нуля, то такие симплектические пространства называются невырожденными. Геометрия вырожденных симплектических пространств почти не изучена.
Название "симплектическая" впервые было введено Г.Вейлем f3j для определения группы, ранее называемой комплекс-группой или группой линейного комплекса, а затем, чтобы избежать смешения этого понятия с понятием группы комплексных матриц, термин "комплекс" был переведен на греческий язык. В дальнейшем пространства с симплектической группой преобразований были названы симплектическими.
Так как кососимметрический определитель нечетного порядка равен нулю [9], то невырожденные афинные симплектические пространства могут быть только четной размерности, а проек-тивно-симплектические - нечетной.
Систематическое изучение симплектической геометрии было начато примерно в пятидесятых годах настоящего столетия.
И.М.Яглом в 1952 г. рассмотрел линейные подпространства симплектического пространства, а в 1956 г. - теорию кривых многомерного пространства [37,38] и показал, что степень симп-лектической ортогональности двух подпространств определяется аналогично тому, как находится степень перпендикулярности двух линейных подпространств евклидова пространства ([36], с.391 ). Известно ([Зб], с.361), что в П -мерном евклидовом пространстве существует лишь два вида инвариантных относительно евклидовых движений скалярных произведений двух ^-векторов, линейных относительно обоих множителей, а в симплекти-ческом пространстве существует [J-]+/ различных скалярных произведений двух р-векторов, инвариантных относительно симплектических преобразований пространства. Souilciu у.М. в своих работах [41,42,43] изучает 2п -мерное симплектическое пространство. Б [43] им введено понятие "насыщенного изотропного подпространства" как подпространства максимальной размерности, состоящего из взаимно сопряженных векторов, и изучаются свойства этого подпространства.
В диссертации и работах Н.М.Остиану [22,23,24,25] строится общая теория многомерной поверхности четного измерения аффинно-симплектического пространства. В [24] изучаются дифференциально-геометрические свойства четномерной поверхности невырожденного многомерного аффинно-симплектического пространства. Исследования проводятся методом Г.Ф.Лаптева [20]. В [25] изучается четно-мерная поверхность, размерность которой равна половине размерности объемлющего пространства.
Чжень-Шен-шень и Ван Сянь-чжун в 1947 г. [39] рассмотрели проективно-симплектическую геометрию ( 2а + I)-мерного пространства. Ими установлено, что не все р -мерные плоскости симплектического пространства равноправны и указана их классификация; построена теория кривых, выведены формулы
Френе.
Б.А.Розенфельд [ЗО,32] рассматривает многомерные проек-тивно-симплектические пространства Sp2n+1 и изучает образы симметрии в них. Показано [29], ([зо], с.663), что многомерное симплектическое пространство «5p2„t/ изометрично унитарному неевклидову пространству, построенному над алгеброй антикватернионов, а многообразие п-мерных плоскостей симп-лектического пространства SpZnt1 можно взаимно однозначно отобразить на неевклидово пространство Хуа Ло-кена /7, [45,4б], причем группа симплектических преобразований SpZn+l и группа движений /7, * изоморфны. Vcusman J. построил основы теории поверхности (и, в частности, линейчатой поверхности) трехмерного симплектичес-кого пространства [44].
Р.М.Гейдельман построил симплектическую теорию конгруэнции прямых трехмерного пространства, а затем - теорию семейств подпространств многомерного лроективно-симплектического пространства [5,6,8].
Симплектическая дифференциальная геометрия пары и двух пар взаимных конгруэнции и комплексов прямых пространства Sps изучалась Н.К.Варначевой [2]. Ею исследованы также свой-ства их образов в четырехмерном неевклидовом пространстве V
Аффинно-симплектические пространства изучаются А.Паррин-гом [26,27] и М.Б.Берниковым [4]. Доказывается [2б], что 4-мерное аффинно-симплектическое пространство Sp4 индуцирует в 6-мерном бивекторном пространстве структуру евклидова пространства Е6 . Возникает аналог сферического отображения, который сопоставляет каждой симплектическои 2-плоскости определенный ею нормированный бивектор в Ве
Продолжается изучение трехмерного симплектического пространства. Пачев Х.С. и Пеклич В. А. [28 J доказывают изомор-физм групп движений пространства St, и Sps и рассматривают отображение, при котором точке пространства Sll соответствует пара сопряженных прямых из Spb . SiLcJvLvi X. J40J в Sp3 изучает пару взаимных конгруэнции прямых, для которых ее образ в пространстве S4 при отображении, рассмотренном Р.М.Гейдельманом, представляет собой двумерную минимальную поверхность.
Из возрастающего числа работ по симплектической геометрии следует, что возрос интерес к симплектической геометрии многомерного пространства. При изучении геометрии пятимерного симплектического пространства возникает много конкретных результатов, возможность перенесения ряда идей на пространства другой размерности. В этом заключается актуальность данной работы.
В настоящей диссертации изучается симплектическая дифференциальная геометрия линейчатых многообразий пятимерного симплектического пространства Sps . Исследованы геодезические линейчатые поверхности, геодезические пары кривых и геодезические линейчатые поверхности, принадлежащие 2-семейству прямых, а также рассмотрены свойства отображения в грассма-ново многообразие линейчатой поверхности и 2-семейства прямых.
Работа выполнена методом подвижного репера и внешних форм [ІЗ,34]. диссертация состоит из трех глав.
В I главы I излагаются основные понятия, связанные с геометрией пятимерного симплектического пространства bpf - -проективного пространства /. , в котором задан кососиммет-ричный невырожденный ковариантный тензор д * Этот тензор порождает инвариантный линейный комплекс, называемый абсолютным. В нуль-системе, порождаемой абсолютным комплексом, каждой точке А пространства Sps ставится в соответствие гиперплоскость 9і(А) того же пространства. ' В 2 рассматривается симплектический инвариант W пары прямых и пары 3-плоскостей.
В 3 рассматриваются некоторые инварианты пар точек пространства 5ps и указывается их связь с симплектическим инвариантом W , определяемым этими парами прямых.
В 4 рассматривается грассманово многообразие прямых пространства Sps . Прямая пространства Sps отображается в точку восьмимерной поверхности Грассмана, принадлежащей 14-мерному неевклидову пространству \ , а грассманово многообразие прямых пространства Sps является метрическим с конкретной метрикой.
В 2,3 главы П рассматривается пара кривых пространства Sps- . Найдена длина дуги пары кривых пространства Sps. Эта величина названа длиной дуги пары кривых в Sps . Получены уравнения геодезической пары кривых как экстремали функционала длины дуги пары кривых. Доказано, что геодезическая пара кривых вырождается в пару прямых.
В 5 рассматривается линейчатая поверхность в Sps . Доказывается, что симплектический инвариант [б] двух близких лучей линейчатой поверхности является абсолютным дифференциальным инвариантом, который обозначен d.62 . Линейчатая поверхность класса do^-О названа изотропной. Доказывается, что линейчатая поверхность изотропна тогда и только тогда, когда она является торсом либо касательное пространство пересекается с абсолютным комплексом по специальному линейному комплексу. Изотропная линейчатая поверхность в S/v соответствует изотропной линии граосманова многообразия прямых. Так как d6'z является абсолютным дифференциальным инвариантом, то 6 принят за натуральный параметр линейчатой поверхности. Методами вариационного исчисления находится линейчатая поверхность, которая дает минимум функционала 6" . Такая линейчатая поверхность названа геодезической.
В 6 найдены уравнения геодезической линейчатой поверхности. Доказывается теорема: чтобы линейчатая поверхность была геодезической, необходимо совпадение ее соприкасающегося пространства с касательным. Найдено условие достаточности.
В 7 рассматривается геодезическая линейчатая поверхность с геодезической парой направляющих линий. Доказывается, что геодезическая неторсовая линейчатая поверхность с геодезической парой направляющих линий является демиквадрикой, а геодезическая пара направляющих является прямыми второго семейства образующих квадрики, принадлежащими абсолютному комплексу. Доказывается, что геодезическая линейчатая поверхность является торсом, когда она конус (в этом случае линейчатая поверхность является изотропной).
В 8 доказывается, что нормаль поверхности Грассмана определяется подпространством пространства е$1н , соответствующим совокупности всех прямых поляры луча в S/v . Для линии граосманова многообразия, соответствующей линейчатой поверхности, найдены векторы геодезической и нормальной кривизн. Доказывается, что линейчатая поверхность является геодезической, когда соответствующая линия грассманова многообразия является геодезической, и линейчатая поверхность в Bps- является торсом, когда она соответствует асимптотической линии грассманова многообразия.
В 10 рассматриваются трансверсальные свойства линейчатых поверхностей в первой дифференциальной окрестности.
В 9, 12-15 рассматривается геометрия первой и второй дифференциальных окрестностей луча линейчатой поверхности в Sps . Изучаются основные образы линейчатой поверхности, ассоциированные с лучом. Построен канонический репер линейчатой поверхности, который определен с точностью до нормирования вершин.
В главе Ш изучается 2-семейство прямых пространства Spff . В 1,2,3 строится канонический репер, который определен с точностью до нормирования вершин.
В 4 найдены уравнения геодезических подмногообразий 2-семейства прямых и доказано, что геодезическая линейчатая поверхность пространства, принадлежащая 2-семейству прямых, всегда является геодезической 2-семейства. Доказывается, что геодезической линейчатой поверхности 2-семейства прямых в Sps соответствует геодезическая линия соответствующей 2-поверхности грассманова многообразия.
В 5 для линии 2-поверхности грассманова многообразия, соответствующей линейчатой поверхности 2-семейства прямых пространства Sps , найдены векторы геодезической и нормальной кривизны.
В 6 рассматриваются трансверсальные свойства 2-семейства прямых. - II -
В 7 изучаются фокальные направления 3-поверхности, описываемой лучом 2-семейства, и асимптотические направления.
Содержание диссертации докладывалось на П-ой, Ш-ей научных конференциях по математике и механике Томского университета 1972 г., и 1973 г., на ХУІ, ХУЛ, ХУШ, XIX научно-технических конференциях Иркутского ордена Трудового Красного Знамени политехнического института 1979 г., 1980 г., 1981 г., 1982 г., на городском геометрическом семинаре при кафедре геометрии Иркутского Государственного университета шлени А.А.Жданова, на городском геометрическом семинаре при кафедре геометрии Казанского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени Государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина (октябрь 1982 г.) и опубликовано в статьях [47, 48, 49, 50]. Научная новизна: доказано, что пространство линейных комплексов 3-плос-костей, а также пространство линейных комплексов прямых, является неевклидовым пространством S ; найдена конкретная метрика грассманова многообразия прямых; найден абсолютный дифференциальный инвариант dS линейчатой поверхности в Sps. Изучены свойства изотропной линейчатой поверхности (поверхности класса d&- О ); найдены уравнения геодезической линейчатой поверхности как экстремали функционала натурального параїлетра 6 линейчатой поверхности, изучены ее свойства; найдены векторы геодезической и нормальной кривизн линии грассманова многообразия,соответствующей линейчатой поверхности; найдены уравнения геодезических подмногообразий 2-семейства прямых, исследована их геометрия.
Все эти перечисленные результаты выносятся на защиту.
