Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Введение и основные результаты
1.1. Введение 3
1.2. Основные определения 13
1.3. Зацепления и заузленные торы 17
1.4. Вложения высокосвязных многообразий 19
1.5. Инвариант Хефлигера-Ву вложений 25
1.6. О полноте инварианта Хефлигера-Ву 29
1.7. Инвариант Хефлигера-Хирша погружений 38
1.8. Инвариант Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений 46
ГЛАВА 2. Метод разведения и его применения
2.0. Обозначения 53
2.1. Когомологическое препятствие Ван Кампена 58
2.2. Теорема Вебера 66
2.3. Простейший случай усиления теоремы Вебера 73
2.4. Общая теорема о разведении 78
2.5. Леммы о разведении и реализации 88
2.6. Сюръективность инварианта Масси-Рольфсена 94
2.7. Построение погружения 100
ГЛАВА 3. Вычисления взрезанного квадрата и их применения
3.1. Инъективность инварианта Масси-Рольфсена 111
3.2. Инъективность инварианта Хефлигера-Ву 113
3.3. Теорема о псевдоизотопии 122
3.4. Заузленные торы 126
3.5. Примеры неполноты инварианта Хефлигера-Ву 132
3.6. Доказательство теоремы Хефлигера-Хирша 139
Список работ по теме диссертации 143
Литература 145
- Вложения высокосвязных многообразий
- Когомологическое препятствие Ван Кампена
- Леммы о разведении и реализации
- Инъективность инварианта Хефлигера-Ву
Введение к работе
Мотивировки.
Многие теоремы в математике утверждают, что любое пространство из данного абстрактно определенного класса всегда является подпространством некоторого "стандартного" пространства из этого класса. Это такие теоремы, как теорема Кэли о вложении конечных групп в симметрическую группу, теорема о существовании точного линейного представления компактных групп Ли, теорема Урысона о вложении нормальных пространств со счетным базисом в гильбертово пространство, теорема общего положения о вложении конечномерных полиэдров в Rm, теорема Менгера - Небелинга - Понтрягина о вложении конечномерных компактов в Rm, теорема Уитни о вложении гладких многообразий в Rm, теорема Нэша о вложении римановых многообразий в Rm, теорема Громова о вложении симплектических многообразий в IR2n и т.д. Решение тринадцатой проблемы Гильберта А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом можно также сформулировать на языке вложений. Эти теоремы вложимо-сти интересны не только сами по себе, но и как сильные инструменты для решения других задач. Одной из главных классических проблем топологии является более тонкая проблемы существования вложения данного пространства в Ш.т для данного га. Как писал Е. К. Зиман, три классические проблемы топологии — проблемы вложимости, заузливания и гомеоморфизма — требуют найти условия того, чтобы данное пространство JV было вложимо в ffiLm для данного га;
найти условия того, чтобы данные вложения /, g : N — Ш.т были изотопны (а также описать множество изотопических класов вложений N -+ Rm);
найти условия того, чтобы данные два пространства N и М были гомеоморфны (а также описать множество гомеоморфических классов многообразий из заданного класса, например, заданной размерности п).
Проблемы вложимости и заузливания уже сыграли выдающуюся роль в развитии топологии. Для решения проблем вложимости и заузливания были созданы различные методы такими классиками как Дж. Александер, П. С. Александров, Е. Ван-Кампен, К. Кура-товский, С. Маклейн, Л. С. Понтрягин, Р. Том, X. Уитни, X. Хопф, и другими. В настоящее время исследование этих проблем переживает новый расцвет.
Проблемы вложения и заузливания являются частными случаями общей проблемы топологии о существовании и классификации отображений с заданными ограничениями на самопересечения: погружений, сингулярных зацеплений, почти вложений [FKT94], квазивложений (фактически рассматривавшихся М. Хиршем и другими), а также вложений, аппроксимирующих данное отображение. Эту общую проблему естественно изучать в совокупности с проблемой вложений, поскольку они используют близкие методы. Поэтому в настоящей работе рассматриваются не только вложения, но и погружения, сингулярные зацепления, квазивложения и вложения, аппроксимирующие данное отображение. Однако поскольку случай вложений наиболее известен и наиболее сложен, а также поскольку наиболее яркие результаты работы относятся именно к этому случаю, в ее названии упоминаются только вложения.
Краткое описание классических результатов о вложениях, погружениях и сингулярных зацеплениях.
Наиболее известным частным случаем проблемы заузливания является теория вложений в коразмерности два (в частности, классическая теория узлов). В этой же работе рассматривается в основном случай вложений в коразмерности более двух (т. е. m — dimiV 2). Классическими результатами для этого случая являются теоремы классификации зацеплений, вложений сфер и вложений с?-связных многообразий в Ет для т 2п — d (Р. Пенроуз, Дж. Г. К. Уайт-хед, К. Зиман, М. Ирвин, Дж. Левин, Дж. Хадсон, А. Хефлигер М. Хирш). Проблема классификации вложений считается очень трудной, поскольку других случаев, для которых было бы получено конкретное описание (непустого) множества вложений с точностью до изотопии, нет. В то же время было получено много примеров, связанных с проблемой классификации вложений. Некоторые из них использовали заузленные торы, т.е. вложения декартовых произведений сфер (Дж. Хадсон, Р. Тинделл, Ж. Беша, А. Хефлигер, Р. Мильграм и Э. Рис).
Изучение вложений методом хирургии (Браудер, Левин, Новиков, Хефлигер и др.) дает хорошие результаты для простейших многообразий, но наталкивается на вычислительные трудности для более сложных многообразий. Наиболее сильный метод (в коразмерности более двух), позволяющий получать конкретные результаты — ме тод инварианта Хефлигера-Ву (см. определение в 1.5). Он является проявлением общематематических идей дополнения до диагоналей и отображения Гаусса , появившихся в работах К. Борсука и С. Лефшеца около 1930 [Vas92]. Этот метод в применении к теории вложений развивался в работах Е. Ван Кампена (1932), А. Шапиро (1957), В. By (1957-59), А. Хефлигера (1962-63), К. Вебера (1967) и Л. Харриса (1969). Классическая теорема Хефлигера-Вебера утверждает полноту (т.е. биективность) инварианта Хефлигера-Ву для вложений n-мерных полиэдров и многообразий в пространство Ш.т при метастабилъном размерностном ограничении 2га Зга + 4 (см. подробности в теореме 1.6.1 ниже).
Поскольку инварианты вложений, полученные применением хирургии или высших взрезанных степеней, трудно вычислимы, то изучение вложений при 2га Зп + 4 естественно приводит к проблеме нахождения условий полноты инварианта Хефлигера-Ву при отсутствии метастабильного размерностного ограничения. Интерес к этой фундаментальной проблеме объясняется большим количеством ее геометрических следствий, а также возможностью выявить связи с другими областями математики. А. Хефлигер доказал, что это размерностное ограничение можно ослабить для незамкнутых многообразий и гладкого случая. В 1960-е годы были построены примеры, показывающие неослабляемость метастабильного размерностного ограничения для замкнутых многообразий и гладкого случая (даже при дополнительном предположении высокой связности). Эти примеры принадлежат Ж. Беша, Е. С. Зиману, Дж. П. Левину, 3. Мардешичу, Дж. Сегалу, В. Сяну, А. Хефлигеру и Р. Щарбе (см. примеры 1.6.2 ниже). Хотя некоторые результаты о кусочно-линейных вложениях первоначально были получены при ме-тастабильном размерностном ограничении, а затем и в коразмерности больше двух, однако примеры М. Фридмана, В. Крушкаля, П. Тайхнера, Дж. Сегала, С. Спеша и автора [FKT94, SSS98] показали, что метастабильное размерностное ограничение не может быть ослаблено и для полиэдрального случая. Этот результат автора не включен в докторскую диссертацию, поскольку содержится в кандидатской. Ввиду указаннных вычислительных трудностей и примеров проблема классификации вложений произвольных замкнутых многообразий при 2га Зп + 4 считается особенно сложной.
Проблема классификации погружений сводится к алгебраическим проблемам при помощи теоремы Смейла-Хирша. Для многих вопросов теории погружений оказывается полезной другая классификация погружений — в терминах инварианта Хефлигера-Хирша (аналога инварианта Хефлигера-Ву). Такая классификация была получена А. Хефлигером, М. Хиршем и Л. Харрисом и тоже содержала метастабильное размерностное ограничение (теорема 1.7.3 ниже) [НаНі62, Наг69]. Было известно, что его можно ослабить для гладкого случая и незамкнутых многообразий. Оставалось невыясненным, возможно ли такое ослабление для кусочно-линейного случая и незамкнутых многообразий. Похожая ситуация сложилась с решением проблемы Смейла о модификации погружения во вложение в терминах инвариантов Хефлигера-Хирша и Хефлигера-Ву, полученном А. Хефлигером, К. Вебером и Л. Харрисом [НаебЗ, Web67, Нагб9]. В литературе имеется большое количество других результатов о погружениях, не связанных с инвариантом Хефлигера-Хирша.
Сингулярные зацепления были введены Р. Фоксом и Дж. Милно-ром [МІІ54]. Инвариант Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений (аналог инварианта Хефлигера-Ву), применялся в работах У. Кайзера, У. Кошорке, У. С. Масси, Дж. П. Скотта, Д. Рольфсена и Н. Хабеггера. Для сингулярных зацеплений важную роль играют другие инварианты (в частности, обобщения инварианта Масси-Рольфсена).
Краткое описание основных результатов диссертации.
Основной целью работы является нахождение размерностных условий полноты инварианта Хефлигера-Ву вложений многообразий с заданными размерностью и порядком связности (в кусочно-линейной категории). Первым основным результатом является теорема полноты инварианта Хефлигера-Ву для многообразий с заданными размерностью и порядком связности при более слабом размерностном ограничении, чем метастабильное (в кусочно-линейной категории). Более точно, для замкнутых п-мерных d-связных многообразий инвариант Хефлигера-Ву биективен в кусочно-линейной категории при 2га Зп + 3 — d (см. подробности в основной теореме 1.6.3 ниже). Этот результат выглядит неожиданно на фоне контрпримеров, упомянутых в предыдущем разделе. Ограничение на порядок связности многообразия естественно, часто выполнено и поэтому встречалось еще в работах Хефлигера-Хирша и других авторов по вложениям. Благодаря этому из первого основного результата оказалось возможным вывести много конкретных следствий (например, нижеследующие теоремы 1.4.3.cdf, теорема 1.4.5.а и случаи т у + 1ит Зп±з теорем 1.4.б.а и 1.4.6.Ь, соответственно, теорема 1.6.9, см. также утверждения (1) и (2) в начале 1.6). Методы, разработанные для его доказательства, находят применение и для классификации вложений при 2га Зп + 3 — d [SkoOl]. Они позволяют также получить новую аппроксимационную изотопическую версию теоремы Хефли-гера-Вебера (теорема 3.3.1).
Вторым основным результатом являются вычисления инварианта Хефлигера-Ву заузленных торов. В результате при помощи первого основного результата получена полная классификация заузленных торов в терминах гомотопических групп многообразий Шти-феля при некоторых размерностных ограничениях (основная теорема 1.3.2).
Третьим основным результатом являются теоремы о заузленных торах (3.4 и 3.5), показывающие, что в первом основном результате размерностное ограничение нельзя отбросить (основные примеры 1.6.4 ниже). Как и сам первый основной результат, эти примеры являются неожиданными. Действительно, аналогичное ограничение уже возникало в знаменитой работе Дж. Хадсона о кусочно-линейных вложениях (использующей близкие методы). Но А. Хефлигером, А. Кэссоном, Д. Сулливаном и Ч. Уоллом доказано (с использованием хирургии), что это условие в теореме Хадсона можно отбросить.
Четвертым основным результатом является теорема полноты инварианта Хефлигера-Хирша для погружений многообразий с краем при более слабом размерностном ограничении, чем метастабильное (в кусочно-линейной категории). См. основную теорему 1.7Л.(3d ниже. Похожий результат получен для проблемы Смейла о модификации погружения во вложение. Эти результаты необходимы для доказательства первого основного результата.
Для доказательства первого основного результата введено понятие квазивложения (а также более общее понятие . -отображения) и построен инвариант Хефлигера-Ву квазивложений. Пятым основным результатом является доказательство его полноты при более слабом размерностном ограничении, чем метастабильное (основная теорема 1.6.7.6; ниже).
Шестым основным результатом является полнота инварианта Мас-си-Рольфсена (аналога инварианта Хефлигера-Ву) для сингулярных зацеплений произвольных полиэдров при ослабленных метастабиль-ных размерностных ограничениях (основная теорема 1.8.3 ниже). Получены следствия о сингулярных зацеплениях, образованных высокосвязными многообразиями.
Основные результаты были получены за счет синтеза и развития методов и результатов кусочно-линейной топологии (относительные регулярные окрестности, поглощение, теоремы о незауз-ленности, контроль, пальцевые движения Ван Кампена и Кэссона) и теории гомотопий (произведения Уайтхеда, теорема Хилтона о гомотопических группах букетов, эквивариантные препятствия и их вычисления). Создан новый метод постепенного устранения самопересечения данного отображения — метод разведения, работающий без метастабильного размерностного ограничения для классификации вложений, погружений, сингулярных зацеплений и их обобщений. Этот метод основан на идеях трюка Уитни, пальцевых движений Ван Кампена и их обобщениях, полученных Хефлигером и Вебером.
Заметим, что существовавшие методы построения кусочно-линейных погружений не позволяли получить необходимое усиление теоремы Хефлигера-Хирша-Харриса. Поэтому для доказательства указанного усиления пришлось создать новый метод построения кусочно-линейных погружений (основанный на методе разведения). Этот новый метод дал также новое доказательство самой теоремы Харриса и окончательный ответ на вопрос о необходимости метастабильного размерностного ограничения в этой теореме. Этот метод — наиболее трудная часть работы (2.7).
Формально, результатами диссертации являются все результаты, приведенные без ссылок или со ссылками на список работ по теме диссертации. При этом основные результаты называются основными теоремами или основными примерами.
О близких проблемах геометрической топологии.
Приведем некоторые ссылки на литературу по близким вопросам геометрической топологии и по некоторым приложениям теории вложений и отображения Гаусса, а также описание совместных результатов автора по теме диссертации, не являющихся основными.
Так как результаты диссертации о проблеме аппроксимируемости данного отображения вложениями не являются основными, то краткий обзор этой проблемы помещен в 3.3. О задаче устойчивости пересечения компактов, связанной с сингулярными зацеплениями и аппроксимациями вложениями, см. [Spi90, DRS91, SpTo91, DRS93] и ссылки в этих работах.
О вложимости косых произведений и групп Ли см. [Ree71]. В [ARS01] найдена наименьшая размерность евклидова пространства, в которое вложимо заданное прямое произведение многообразий размерностей не выше 3.
В [ReSkOO] доказаны теоремы о разрешимости двумерных полиэдров до специальных, посредством отображений со стягиваемыми слоями. Эти теоремы проявляют неожиданную связь между теориями специальных 2-полиэдров и клеточноподобных резольвент. Одним из следствий является редукция проблемы Уайтхеда об асферичности к случаю ложных поверхностей. Другие следствия о вложениях двумерных полиэдров в R4, которые были основной мотивировкой теорем разрешимости, содержатся в [ORS01]. Некоторые из этих следствий касаются вложений полиэдров в различные (т.е. не фиксированные заранее) многообразия, изучавшейся в [Wal66, Neu68, LiSi69]. В работе [BRS99] получена классификация вложений данного 2-полиэдра в различные 3-многообразия, являющиеся его регулярными окрестностями, и приведены некоторые интересные следствия. В работе [ReSk99] классифицированы некоторые специальные вложения поверхности в 3-многообразие (сечения Зейферта). Этот результат применен к обобщению теоремы Болсинова-Фоменко о траекторнои классификации интегрируемых гамильтоновых систем [ReSk99, CRS00] на случай наличия критических окружностей с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами. Работы [ReSk99, CRS00] не включены в докторскую диссертацию.
Отображение Гаусса применялось к характеризации гладко вложенных подмногообразий в [Glu68j. Новое применение отображения Гаусса и связанного с ним понятия геометрической производной (введенного Е. В. Щепиным) получено в работах [RSS93, ReSk95, RSS96, RSS97]. В них доказана характеризация гладко вложенных подмногообразий посредством условия гладкой объемлемой однородности. Следствием (принадлежащим Д. Реповшу и Е. В. Ще-пину) является новое простое доказательство гипотезы Гильберта-Смита для действий диффеоморфизмами, ранее доказанной Монтгомери и Циппиным.
В проблемах вложимости и изотопии пространство Жт может быть заменено на другое пространство Y. Случаи, когда Y - многообразие или произведение деревьев были наиболее широко рассмотрены [Hud69, 11, GiRo92, Zho94, GMR94]. О вложениях с точностью до ко бордизма см. [Bro71, Liu75]. О вложениях с точностью до гомотопии см. [Sta, Wal66, Сооб9, Wal70, 11, Hud70T, CoWi78, Hab84]. О базисных вложениях см. [Ste89, Sko95, ReSk99, 5] (результаты работ [Sko95, ReSk99, 5] не включены в докторскую диссертацию, поскольку относятся к кандидатской).
План диссертации.
В первой главе формулируются проблемы, которым посвящена диссертация, излагается история вопроса и приводятся результаты диссертации. При этом в каждом параграфе присутствуют как классические, так и полученные в диссертации результаты, но они четко отделены друг от друга.
В начале первой главы напоминаются основных определения и обозначения (1.2). Далее формулируются и обсуждаются классические результаты о классификации зацеплений и основной результат диссертации о классификации заузленных торов (1.3). Затем приводится список большинства других конкретных результатов о вложениях, многие из которых являются следствиями полноты инварианта Хефлигера-Ву (1.4). Здесь же (а также в 2.1) приводятся исторически предшествовавшие инварианту Хефлигера-Ву его частные случаи — препятствия Ван Кампена и Уитни. После этого определяется инвариант Хефлигера-Ву (1.5). Далее приводятся результаты о полноте и неполноте инварианта Хефлигера-Ву (1.6). В частности, формулируются и обсуждаются основные результаты диссертации о полноте инварианта Хефлигера-Ву вложений для многообразий с заданными размерностью и порядком связности при более слабом размерностном ограничении, чем ме-тастабильное (в кусочно-линейной категории), а также о его неполноте при отсутствии этого размерностного ограничения. Затем приводятся результаты о полноте и неполноте инварианта Хефли-гера-Хирша погружений (1.7). В частности, формулируется и обсуждается основной результат диссертации о полноте инварианта Хефлигера-Хирша погружений для многообразий с краем при более слабом размерностном ограничении, чем метастабильное (в кусочно-линейной категории). Там же формулируются результаты о связи вложений и погружений. После этого приводятся резуль таты о полноте и неполноте инварианта Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений (1.8). В частности, формулируется и обсуждается основной результат диссертации о полноте инварианта Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений, образованных произвольными полиэдрами. Результаты 1.4 доказаны в конце тогог же параграфа 1.4. Ссылки на доказательства остальных результатов диссертации приводятся в конце 2.0.
Вторая глава посвящена методу разведения и его применениям к доказательствам полноты (точнее, сюръективности) инвариантов Хефлигера-Ву, Хефлигера-Хирша и Масси-Рольфсена. На примере этих доказательств рассказывается о классических и полученных в работе методах геометрической топологии. Заметим, что эти методы применяются не только для изучения вложений. Так как эти методы недостаточно освещены в литературе, то для удобства читателя выбран исторический подход к их изложению, при котором основные шаги в развитии метода разведения сначала иллюстрируются на простейших частных случаях, и только потом этот метод применяется в полной мощи. Формально, можно начать изучение доказательств основных результатов сразу с 2.4, поскольку доказательства основных результатов не опираются на результаты 2.1-2.3. Однако, поскольку доказательства основных результатов являются обобщениями методов 2.1-2.3, разобрать их трудно без предварительного знакомства с частными случаями. Кроме того, изложение известных методов доказательств позволяет продемонстрировать новизну методов диссертации.
Вторая глава начинается с введения обозначений и соглашений и модификации известных результатов (2.0). Затем приводится конструкция препятствия Ван Кампена (2.1). Она позволяет продемонстрировать метод разведения в одном из простейших частных случаев — на примере доказательства теоремы Ван Кампена-Шапиро-Ву о полноте препятствия Ван Кампена (2.1). Эта конструкция также указывает на то, как идея взрезанного квадрата применяется к проблеме аппроксимации вложениями [ARS02, 4]. Дальнейшее усовершенствование метода разведения иллюстрируется путем доказательства теоремы Вебера, т. е. сюръективности в уже упомянутой теореме Хефлигера-Вебера для кусочно-линейного случая (2.2). При этом сначала разбирается простейший и очень наглядный случай т = 2п + 1. Далее приводится дальнейшее обобщение метода разведения, достаточное для доказательства основной теоремы о полноте инварианта Хефлигера-Ву в простейшем случае d 2 (2.3). Затем, наконец, приводится общая теорема о разведении (2.4). Из нее и основной теоремы о полноте инварианта Хеф-лигера-Хирша выводится основная теорема о полноте инварианта Хефлигера-Ву в общем случае (2.4). После этого приводятся версии метода разведения, необходимые для доказательства полноты инварианта Масси-Рольфсена (2.5 и 2.6). Вторая глава заканчивается доказательством основной теоремы о полноте инварианта Хефлигера-Хирша, использующим метод разведения (2.7).
Третья глава посвящена вычислениям инварианта Хефлигера-Ву (точнее, того множества, в котором он принимает значения) и их применениям к доказательству его полноты (точнее, инъективно-сти), а также к получению конкретных геометрических следствий этой полноты. Сначала вычисляется взрезанный квадрат (в смысле сингулярных зацеплений) произведения на отрезок и доказывается инъективность инварианта Масси-Рольфсена (3.1). Затем аналогично вычисляется взрезанный квадрат произведения на отрезок и доказывается инъективность инварианта Хефлигера-Ву (3.2). Далее вычисляется взрезанный квадрат цилиндра отображения и доказывается контролируемая версия теоремы Хефлигера-Вебера (3.3). После этого приводятся вычисления для заузленных торов и доказательства основного результата о них (3.4). Затем приводятся более глубокие результаты о заузленных торах, при помощи которых получаются примеры неполноты инварианта Хефлигера-Ву (3.5). Третья глава завершается вычислениями, дающими классическое доказательство теоремы Хефлигера-Хирша о погружениях и обсуждением трудностей, связанных с попытками аналогичного доказательства основного результата диссертации о погружениях (3-6).
Благодарности.
Автор благодарит своего научного консультанта проф. Ю. П. Соловьева, чл-корр. РАН В. А. Васильева, проф. П. М. Ахметьева, проф. А. В. Болсинова, проф. К. Вебера, проф. М. Крека, проф. М. М. Постникова, проф. А. Сюча, проф. А. Хефлигера, проф. Е. В. Щепина, д. ф. м. н. А. Ю. Воловикова, С. А. Мелихова и М. Б. Скопенкова за полезные обсуждения и замечания по теме работы, А. Мельниченко за приятный сюрприз и Российский Фонд Фундаментальных Исследований за предоставление грантов.
Вложения высокосвязных многообразий
Вложения в удвоенную размерность. Если m 2га +1, то полиэдр или многообразие N размерности п вложимы в IRm по соображениям общего положения (на самом деле, даже N х I вложимо в Rm [RSS95 ]). Если т 2га + 2, то любые два вложения га-мерного полиэдра или многообразия N в R2n+2 изотопны по соображениям общего положения. Итак, проблемы вло-жимости и изотопии интересны только для т 2гаит 2га + 1, соответственно. Теорема 1.4.1. Любой n-мерный полиэдр N с Hn(N) = О a) вложим в R2n (при га ф 2 кусочно-линейно, при га = 2 лишь топологически) [Wu58, Wu65, Hor71, Kir84]. b) PL незаузлен в Rw при m 2га + 1 [Ргібб]. Размерность 2га в теореме 1.4.2.а является неуменыпаемой для всех га. Все остальные теоремы этого параграфа наиболее интересны для замкнутых многообразий (хотя справедливы и для незамкнутых). Теорема 1.4.2. а) Любое п-многообразие вложимо в R2n [Kam32, Whi44]. b) Любое связное п-многообразие незаузлено в Rm при га 2n + 1 4 [Wu58]. Размерность 2га в теореме 1.4.2.а является неуменыпаемой для га = 2к (так как ШРП не вложимо в R2n_1) и может быть уменьшена для других га. Знаменитая и трудная гипотеза состоит в том, что любое замкнутое га-многобразие вложимо в О решении аналогичной гипотезы для погружений см. [Lan82, Coh85]. Заметим, что га-многообразие ШР2 г х х RP2 не вложимо в U.2n a(n\ Следующая теорема дает частичные результаты в направлении этой гипотезы. Теорема 1.4.3. а) Любое (для га = 2к — лишь любое ориентируемое) га-многообразие вложимо в R2n_1 [Nov61, НаНібЗ, Hir65, Roh65, Wal65, Web67, BoHa70, Don87, Fan94, Fan02]. b) Любое п-многообразие N с H\(N) — 0 вложимо в М.2п-2, если га 8 четно и га ф 2 (2 + 1) для любых целых &, h 2 [НаебЗ, Web67]. c) Любое PL 6-многообразие N с Hi(N) = 0 PL вложимо в Е10 [Sko97]. d) Любое гомологически 2-связное 7-многообразие вложимо в!11 [Sko97, Sko02]. e) Пусть N — замкнутое п-многообразие, п 7 и wn-i(N) = 0 для і 4 (это выполняется автоматически при a(n) Ъ). Тогда N вложимо в Е2п 2, если либо n = 0,1(4) и N ориентируемо, либо п = 2,3(4) и N неориентируемо [Ваи75, Theorem 45]. f) Любое замкнутое неориентируемое PL 6-многообразие N, для которого w2{N) = 0 и w3(N) = 0, PL вложимо в Е10 [Sko02]. Теоремы 1.4.3.cdf являются следствиями первого основного результата диссертации (сформулированного ниже). При этом ранее была известна вложимость BR11, R12 и Е11, соответственно (ср. теорему 1.4.5 ниже). По поводу теорем 1.4.3.cdf заметим, что любое многообразие размерности 7 сглаживаемо. Теорема 1.4.3.d независимо доказана П. М. Ахметьевым (не опубликовано). А. В. Жубр любезно указал, что теорема 1.4.3.с не может быть просто выведена из классификации 6-мерных многообразий [Zhu75, Zhu80, Zhu89]. Было бы интересно выяснить, справедлив ли гладкий аналог теорем 1.4.3.cf. Мы выдвигаем гипотезу, что существуют одно-связное шестимерное многообразие, не вложимое в Е9 и двусвязное семимерное многообразие, не вложимое в Е10. Вложения сфер и высокосвязных многообразий. Теорема 1.4.4. Сфера Sn, или даже любая гомологическая п-сфера a) PL вложима в En+1 при п ф 3 и гладко вложима в Е 3п/2 +2 [Наебі, Кег69]. b) незаузлена в Ет, если т п + 3 или m - + 2 для PL или DIFF категорий, соответственно [Zee60, Наебі, Sch77].
Теорема 1.4.4.b верна и для ТОР локально плоского случая при m n + 3 (предположение локальной ПЛОСКОСТНОСТИ здесь существенно) [Sta63, Glu63, Rus73]. Заметим, что размерностные ограничения существенны в теореме 1.4.4. В самом деле, в качестве примеров можно взять гомотопическую n-сферу, не вложимую гладко в Еп+3 [HLS65, Lev65], трехмерную сферу Пуанкаре, не вложимую даже кусочно-линейно в Е4 (частное сообщение П. М. Ахметьева и Э. Риса), а также PL и гладкие узлы [Нае62А, НаеббА]. Теорема 1.4.5. а) Любое гомологически (2га — т)-связное п-мно-гообразие вложимо в Rm, если т 2 [Наебі, PWZ61, Нае62В, НаебЗ, Web67]. а ) Любое гомологически (I — 1)-связное PL 21-многообразие PL вложимо в R3l+1 [PWZ61, Hir65, Sko02]. b) Любое гомологически (2га — га +1)-связное га-многообразие не-заузлено в R при га + 2 [Наебі, Zee62, Нае62В, НаебЗ, Zee66, Web67]. Теорема 1.4.5.а является следствием первого основного результата диссертации (сформулированного ниже). При этом для / 2 и для гомотопически (/ — 1)-связных многообразий теорема 1.4.5.а является известным результатом. Интересно было бы выяснить, справедлив ли гладкий аналог теоремы 1.4.5.а . При га Яр + 1 имеем 2п —га —1, поэтому любое гомологически (2п—га)-связное многообразие является гомологической сферой. Аналогично, при га 4р+2 имеем 2га —га+1 —1, поэтому любое гомологически (2га — га + 1)-связное многообразие является гомологической сферой. Значит, для этих случаев теорема 1.4.5 сводится к теореме 1.4.4. В теореме 1.4.5.Ь связностные ограничения точны как для PL, так и для гладкого случая [Hud63].
Теорема 1.4.6. Пусть N — ориентируемое п-многообразие и га га + 3. а) N вложимо в Rm, если N гомологически (2га — га — 1)-связно, Wm-n(N) = 0 ига tl или га Щ& для PL или DIFFкатегорий, соответственно [НаШбЗ, Web67, Sko97, Sko02]. а ) теорема 1.4.б.а верна для гладкой категории и (га, га) = (6к — 1,4/; — 1), а также для PL категории, m = Зга/2 и гомотопически (2га - га - 1)-связного N [Sko97, Sko02]. если N гомологически (2га — т)-связно ига тр + 1 или га пр+2 для PL или DIFF категорий, соответственно [Нае62В, НаШбЗ, НаебЗ, Web67, Hud69, ВоНа70, Вое71, Vra77, Sko02]. Определение класса Wrn—n(N) = 0 напомнено ниже. Теорема 1.4.б.а , а также случаи га 4р--1ит Зп+3 теорем 1.4.6.а и 1.4.6.Ь, соответственно (которые справедливы только в кусочно-линейной категории) являются следствиями первого основного результата диссертации (сформулированного ниже). Приведем отдельно их формулировку. При 1 3 гомологически (I — 2)-связное замкнутое PL 21 -многообразие N PL вложимо в Ш?1+1 тогда и только тогда, когда Wi+i(N) = 0. гомологически (I — 2)-связное замкнутое PL (21 — 1)-многообра-зие N PL вложимо в R3 -1 тогда и только тогда, когда Wi(N) = 0 (при I четном аналогичный результат справедлив также в гладкой категории). Emb iV) = Hi(N,Z{l)) для гомологически (I — 1)-связного замкнутого PL 21-многообразия N (это справедливо и для I = 21). Embp (iV) = Hi(N,Z(/+i)) для гомологически (I — 2)-связного замкнутого PL (21 — 1)-многообразия N. При этом случай т Зп+3 теоремы 1.4.6.Ь ранее был известен в предположении гомотопической связности. Интересно было бы выяснить, справедлив ли гладкий аналог теоремы 1.4.6.а при т Є {3n2+1, Зп2}- Гладкий случай теоремы 1.4.6 сформулирован в [НаНібЗ] с условием гомотопической связности, однако доказательство проходит и в предположении гомологической связности. Обобщения теоремы 1.4.6 см. в [Hud67, Нас68, Hud72, Gor72, Кеа79]. Для неориентируемых многообразий справедлив следующий аналог теоремы 1.4.6. Теорема 1.4.7. Пусть N — замкнутое неориентируемое п-много-образие. Тогда Заметим, что ошибка в вычислении для случая неориентируемых многообразий [Нае62В] исправлена в [Bau75, Vra77]. Препятствие и инвариант Уитни. Напомним определение (т — п)-го нормального класса Штифеля-Уитни гладкого многообразия N. Возьмем гладкое отображение / : N — Rm общего положения. Тогда
Когомологическое препятствие Ван Кампена
Поскольку любой n-мерный полиэдр вложим в R2n+1 (1.4), то первым нетривиальным случаем проблемы вложимости является исследование вложимости гс-полиэдров в евклидово пространство Ш.2п. Для п = 1 эта проблема решается критерием Понтрягина-Куратов-ского [КигЗО] (см. также [ReSk96, 2] и ссылки там). Однако для п 1 такого простого критерия не существует [Sar91T]. Не существует такого критерия и для вложимости поверхностей в R3: имеется бесконечное количество замкнутых неориентируемых 2-поверхностей, которые не вложимы в К3 и ни одна из которых не содержит другую (правда, для этого случая существует более простой критерий: ориентируемость). Примеры n-полиэдров, не вложимых в R2n, появились около 1930 г. (П. С. Александров говорил тогда, что он очень завидует Дж. Александеру, умеющему доказывать невложимость 2-остова 6-симп-лекса в R4). С полным доказательством эти примеры были опубликованы в [Kam32, Flo34]. В работе [Кат32] сделано большее: построено препятствие к вложимости n-полиэдров в R.2n при произвольном п и предприняты шаги к доказательству его полноты (см. теорему 2.1.1.а ниже и историческое замечание в конце этого параграфа). Хотя результаты диссертации формулируются без использования препятствия Ван Кампена, именно на примере доказательства его полноты удобно продемонстрировать простейший случай метода разведения — основного метода работы. Из теоремы полноты препятствия Ван Кампена при п 3 следуют теоремы 1.4.1 и 1.4.2 в PL категории [Wu65] (хронологически теорема 1.4.2 была доказана ранее теоремы 2.1.1.а). Идея препятствия Ван Кампена может быть применена для вычисления минимального т, для которого полиэдр, являющийся произведением графов, вложим в Em [Sko , ср. Gal92, ARS01]. Кроме того, именно та часть идеи взрезанного квадрата, которая соответствует препятствию Ван Кампена, активно применяется в последнее время в различных областях математики — теории вложений, аппроксимаций вложениями, рамсеевской теории зацеплений [Sac81, CoGo83, RTS95, Neg98] и даже геометрической теории групп [ВКК]. Рисунок 2.1. а приблизительно здесь Основные идеи. Чтобы объяснить идею построения препятствия Ван Кампена, приведем набросок доказательства непланарности графа К&, т.е. полного графа с 5 вершинами (рис. 2.1.а). Возьмем любое отображение общего положения / : К$ — R2. Для любых двух ребер сг, г пересечение fa П /г состоит из конечного числа точек. Пусть vj будет суммой по модулю 2 чисел / 7 П/т по всем неупорядоченным парам {сг, т} несмежных ребер графа К ,. Для отображения /, показанного на рис. 2.l.a, v/ = 1. Любое отображение общего положения / : Къ — R2 может быть преобразовано к любому другому такому изотопией плоскости R2 и движениями Райдемайстера для графов на плоскости, изображенными на рис. 2.1.2. Это утверждение доказывается аналогично теореме Райдемайстера для узлов. Мы не будем его доказывать, т.к. оно нужно нам только для пояснения идеи и не используется в строгих доказательствах. Ясно, что vj не меняется при первых четырех движениях Райдемайстера. Для каждого ребра графа К$ с вершинами а,Ь, граф К$ — {«,&}, полученный удалением из К$ вершин а, Ь и внутренностей ребер, выходящих из а, 6, есть окружность (это то самое свойство графа К$, которое необходимо для доказательства). Следовательно, V/ не меняется и при пятом движений Райдемайстера.
Значит, v/ = 1 для каждого отображения / : К$ — R2. Следовательно, К& непланарен. Теперь давайте обсудим некоторые обобщения этого доказательства, которые использованы в [FKT94, SSS98]. Из этого доказательства на самом деле получается более сильное утверждение. Пусть е — ребро графа Кь и Е — цикл в графе К&, образованный ребрами графа К$, несмежными с е. Обозначим через е внутренность ребра е. Тогда граф К$ — ё вложим в R2 (рис. 2.1.Ь). Из невложимости Къ в плоскость вытекает, что для любого вложения g : К$ — ё — R2, -образы концов ребра е (0-сферы) лежат по разные стороны от ?Е. Аналогично доказательству невложимости К$ в плоскость можно доказать, что граф Кзз (три дома и три колодца) не вложим в М2 и что 2-остов К б-симплекса не вложим в Ш.4. Кроме того, пусть е — некоторый 2-симплекс этого полиэдра К и Р — К — ё. Тогда Р вкладывается в R4 и содержит две такие непересекающиеся сферы Е2 и Е1 = де, что для любого вложения Р — R4 образы этих сфер зацеплены с ненулевым (конкретнее, равным ±1) коэффициентом зацепления [Flo34]. Простейший частный случай. Теперь мы в состоянии описать препятствие Ван Кампена v{N) для п = 1. В этом параграфе мы заменяем Т на N. Пусть N = N /Z2. Зафиксируем триангуляцию Т графа (т.е. одномерного полиэдра или конечного CW-комплекса) N. Для любого отображения / : N — R2 общего положения и любых двух несмежных ребер а, т из N пересечение fa П /г состоит из конечного числа точек. Пусть Тогда v/ Є C2(N ,Z2) (напомним, что C2(N ,Z,2) есть группа векторов (яі,..., Xk), компоненты х,- которых — элементы группы Z2, а индексы і — двумерные клетки полиэдра ЛГ , т.е. произведения непересекающихся ребер графа N без учета порядка множителей). Эта коцепь V/ не меняется, если отображение / модифицировать изотопиями плоскости Ш.2 и первыми четырьмя движениями Райдемайстера (рис. 2.1.I-IV). При пятом движении Райдемайстера (рис. 2.1.V) V/ изменяется на коцепь, которая принимает значение 1 на классе 2-клетки а х (3 для v Є сх и равна нулю на остальных 2-клетках. Полученная коцепь есть элементарная кограница 5[а х /3] (элементарной коцепи из C2(iV ,Z2), которая принимает значение 1 на классе ребра а х (3 и 0 на остальных ребрах; впрочем, предыдущее предложение можно рассматривать как определение элементарной кограницы 5[а х (3] независимо от а х /3, тогда группа В2 (N , Z2) определяется как подгруппа группы C2(N , Z2), порожденная всеми такими элементарными кограницами). Тогда класс не зависит от / (поскольку dimN = 2, то C2(iV ,Z2) = Z2(N ,Z2)). Приведем доказательство независимости [vf] от / без использования не доказанного здесь факта о движениях Райдемайстера , следуя [Sha57, Лемма 3.5]. Для заданных отображений /о,/і : N — R2 общего положения рассмотрим произвольную гомотопию f : N х I — Ш2 общего положения. Определим коцепь Тогда независимость v/ от / следует из легко проверяемого равенства VfQ — vtx = 6vf. Полученный класс когомологий v(N) и есть препятствие Ван Кампена для вложимости N в R2 (точнее, его аналог mod 2). Понятно, что v(N) = 0 для любого планарного графа N. Общее препятствие Ван Кампена. Аналогично определяется mod 2 препятствие Ван Кампена v(N) Є H2n(N ,Z2) к вложимости п-полиэдра N в R2n. Препятствие Ван Кампена V(N) с целыми коэффициентами строится так. Зафиксируем триангуляцию полиэдра N и определим N и N как и выше. Выберем ориентацию в Ш2п и на п-симплексах N. Для любого отображения / : N - R2n общего положения и любых двух несмежных ориентированных n-симплексов а, г из N пересечение fa П /г состоит из конечного числа точек. Определим коцепь Vj Є C2n(N) (индекс пересечения) формулой где signP = +1, если n-реперы, задающие ориентации образов fa и /г (в этом порядке), составляют 2п-репер, определяющий ориентацию пространства Е2п, и signP = —1 в противном случае. Очевидно, Vj(a,r) = (—l)nV/(r, а). Поэтому V/ находится в подгруппе C2n(N) группы C2n(N) коцепей, принимающих на 2п-клетках а хт и т х а равные значения для четных п и противоположные значения для нечетных п. Класс когомологий (подобно v(N), тоже не зависящий от /) называется препятствием Ван Кампена для вложимости полиэдра N в R2n. Заметим, что H2n(N) S H2n{N ) для четного п [FKT94]. Нетрудно показать, что V(N) зависит от выбора ориентации в R2n и на п-симплексах полиэдра N лишь с точностью до некоторых автоморфизмов группы H2n(N). Предыдущие построения могут быть обобщены различными путями. Для подполиэдра А полиэдра N мы можем аналогично определить препятствие к продолжению вложения А —» дВт до вложения N - Вт [FKT94]. Аналогично для вложения / : N - R2n+1 можно построить инвариант By, который можно эквивалентно определить следующим образом:
Леммы о разведении и реализации
Имеем р q га — 2, и шары Dm, Dp и Dq строятся так же, как это делалось выше, и имеют свойства (а) и (Ь), причем (а) выполнено также для Dq (заметим, что х q). Построим гомотопию ht как в первой части доказательства, зависящую от некоторого элемента у Є 7rq(Sm p 1). Предположим, что h+ : Dp U Dq -» Dm — такое отображение, что Зададим отображение правилом dhh+\D4.= h и d +lD4 — n+- По свойству (a), Для каждого г/ Є 7гд(5т_г _1) мы можем построить отображение h+ такое, что dhh+ = У- Тогда аналогично первой части доказательства может быть построена гомотопия ht такая, что hi\pq и h+\p4 гомотопны в Dm — h\Dp, и выполняется свойство 2.4.1.1. (Единственное различие имеет место в построении гомотопии ht в случае тхт С Ео и q = гп — 2, который, однако же, не используется при доказательстве теоремы 1.6.3. В этом случае мы можем считать, что р + q гп — 1, иначе свойство 2.4.1.2 выполняется по соображениям общего положения. Из р + 2д 2га — 3 следует, что р = 1. Тогда аналогично [MaRo86, Утверждение 7.1] можно считать, что h+ является вложением, изотопным стандартному посредством объемлющей изотопии, так что требуемая изотопия gt строится без использования [PWZ61, Irw65].) Теперь выберем у такое, что выполняется свойство 2.4.1.2. Для любых отображений fo, pi : Dp х Dq - 5m_1 и гомотопии зададим отображение Тогда Здесь через Ф, /і и hi обозначены ограничения этих отображений на Dp х Dq, а через Ф = Ф и ht — ограничения этих отображений на d(Dp х Dq). Второе равенство выполняется в силу [Web67, лемма 1] (ясно, что предположение т — р 3 в [Web67] может быть заменено на (а)). Поскольку q 2(m — р — 1) — 1, из теоремы Фрейденталя о надстройке следует, что мы можем выбрать такой у Є 7rq(STn p 1), что [ЯффД] ± Е"у = 0, т.е. [Нф7г ] = 0. Тогда гомотопия ht на d(Dp х Dq) продолжается до гомотопии между Ф и h\ на Dp X Dq. Значит, выполняются свойства 2.4.1.1 и 2.4.1.2. Г Для доказательства основной теоремы 1.8.3 нам понадобятся две леммы, являющиеся обобщениями трюка Уитни и пальцевых движений Ван Кампена, а с другой стороны — версиями теоремы 1.8.3 (и нижеследующей теоремы 2.6.1). Лемма 2.5.1 о разведении.
Предположим, что р q m — 2, Ар 1 и f : Dp U Dq — Dm является таким кусочно-линейным отображением, что выполнены следующие условия: (2.5.1.1) /\DP есть собственное незаузленное вложение в Dm; (2.5.1.2) fDq С Ьш и fdDq П fDp = 0; (2.5.1.3) отображение f\d(Dpy.Di) нуль-гомотопно. Тогда существуети такое кусочно-линейное сингулярное зацепление Лемма 2.5.2 о разведении. Пусть Q есть некоторый q-полиэдр, К = (Dp U D,Dq U Q ) и f : \K\ - Dm — такое кусочно-линейное отображение, что J\DPUD является собственным вложением, выполнены условия (2.5.1.1)-(2.5.1.3) и Тогда существует такое кусочно-линейное сингулярное зацепление /i : \К\ -» D, что Пусть кусочно-линейное отображение /о : Dp U Dq —ї Dm удовле творяет условию (2.5.1.1) и при этом Ф : Dp х Dq — 5т-1 является продолжением отображения /oa(DPxD4)- Тогда существует такая гомотопия (не сингулярная!) ft rel Dp U dDq, что Д есть сингулярное зацепление и гомотопия ft на множестве d(Dp х Dq) продолжается до гомотопии между Ф я /і на множестве Dp х Dq. Комментарии к доказательству: для р т-3и Ар 1 лемма 2.5.1 о разведении и лемма 2.5.3 о реализации были фактически доказаны в [Web67, Предложение 3], см. также [Нагб9, 3, Предложения 1, 2]. В работе [SpTo91] было показано, как ослабить условие q тп — 3 до q m — 2 в обеих леммах. Лемма 2.5.2 о разведении была доказана в [SpTo91, Предложение 1.3] (для q = 2 с использованием идеи [DRS91, 5]). Наше доказательство отличается в деталях, а также, в случае р = д = 2ит = 4, проще, чем приведенное в [SpTo91]. Заметим, что часть доказательства теоремы 1.8.3, которая использует этот случай, можно заменить на ссылку на элементарный набросок доказательства в 1.8. Размерностные ограничения в лемме о разведении 2.5.1.а и лемме о реализации 2.5.3 могут быть ослаблены до соответственно. Для случая, когда /D является вложением, для Ар 1ир т-3 мы можем получить, что /D объемлемо изотопно /ix)9. Но если либо q = m — 2, либо Ар = 0, то уже не можем (так как не удовлетворяются размерностные предположения для применения теоремы Пенроуза-Уайтхеда-Зимана-Ирвина о вложениях). Заметим, что из примера колец Борромео и его обобщений [Mas90, Предложение 8.3] следует, что при q = 2m — 2р — 2 ф 2,6,14 в лемме о разведении 2.5.1 мы не можем получить равенства fi=f на множестве Dp U D . Доказательство леммы о разведении 2.5.1.а. Согласно условию называется коэффициентом пересечения отображений /\DP И /D«« Из условию (2.5.1.2) следует, что отображение / : d(Dp х Dq) — 5m_1 определено корректно. Согласно результату [Web67, Предложение 1] (условие коразмерность 3 можно ослабить до (2.5.1.1)), Тогда из условия (2.5.1.3) мы получаем, что Ер/(/І Р,/І ч) = [/] = 0. Так как Ар 1, то по теореме Фрейденталя о надстройке /(//Эр,/и«) = 0, т. е. отображение /э ч продолжается до отображения fl:Dq- Drn- fDp. Доказательство леммы о разведении 2.5.2. Обозначим Будем доказывать лемму следующим образом. Сначала покажем, что a = [/ : dDq — X] Є irq i(X) является суммой произведений Уайтхеда (для г = 1, произведением коммутаторов). Потом возьмем набор сфероидов {S[}, порождающий 7ГГ(Х). Наконец, с помощью пальцевых движений превратим J\DPUD В такое собственное кусочно-линейное отображение /i
Инъективность инварианта Хефлигера-Ву
Изотопические версии теорем о вложимости сводятся к их граничным версиям (но не к относительным версиям, как написано в [Web67]), используя Теорему Конкордантность Влечет Изотоп-ность (1.2). Для иллюстрации идеи приведем следующее рассуждение. Редукция PL случая теоремы 1.4-5.Ь к доказательству теоремы 1.4-б.а. Рассмотрим вложения f,g : Nn — Rm. Возьмем гомотопию Н : N х I — Rm х I общего положения между / и д. Используя доказательство теоремы 1.4.5.а (см., например, [ReSk99, 8]), модифицируем отображение Н во вложение. Поскольку fug — вложения, то Н — вложение в некоторой окрестности оснований N х О U N х 1. Поэтому мы можем совершать пертрубации отображения Н, необходимые для доказательства теоремы 1.4.5.а, во внутренности цилиндра N х /, чтобы получить вложение Н , совпадающее с Н на N х {0,1}. Это вложение Н : N х I - Rm х I — конкордантность между / = i/ lyvxo и д = Н \ хі. Значит, / и д изотопны по теореме Конкордантность Влечет Изотопность . Доказательство инъективности в PL случае теоремы 1.6.1. Возьмем гомотопию Н : Nxl — Rm х/ общего положения между fug. Применяя лемму о цилиндре 3.2.1 для Е = (N х {0,1}) , получим такое эквивариантное отображение Применяя PL случай граничной версии теоремы 1.6.1 (теорему 3.2.0) к К = N х I и Л = N х {0,1}, получаем конкордантность между / и д. Значит, fug изотопны по теореме Конкордантность Влечет Изотопность . Теорема 3.2.0. Пусть К — п-полиэдр и га — подполи-эдр полиэдра К, В171 — PL т-шар, g : К — Вт — PL отображение, такое что д\л — вложение в дВш и д(К — А) С В. Если эквивариантное отображение д : А — gm_1 гомотопически продолжается до эквивариантного отображения Ф : К — 5m_1, то существует такое вложение 114 Теорема 3.2.0 доказывается аналогично сюръективности в теореме 1.6.1. Введем обозначение SX = xxixx(-i) Вложим пространство X в ЕХ как X х 0. Лемма о цилиндре 3.2.1. [ср. Web67, Лемма 7.1] (3.2.1 .а) Для любого полиэдра N существует эквивариантное сюръ ективное отображение р : N х I — Е(ЛГ х /) такое, что его единственными нетривиальными прообразами являются прообразы вершин надстройки, которые гомотопически эквивалентны пространству N х Более того, пусть Я : N х I — Rm х I С Rrn+1 — сохраняющее уровни отображение, Е Ceq N х I х N х I — подполиэдр и р : N х diag/ —У 5ТО-1 —эквивариантная гомотопия между отображениями Ядгж0 иЯ Х1 такая, что (3.2.1./3) То же, что и выше, с заменой N на SN, N х I HaS(NxI) и N х N на N. Доказательство утверждения 3.2.1.а. [cf. Web67, 7.1, Sko97, 3.3, SkoOO, 3.1] Возьмем метрику на JV, для которой diamiV 1. Определим отображение р формулой См. [Sko97, Figure 1 and idea of proof of Lemma 3.3] и рис. 3.2.a. Легко видеть, что р корректно определено, эквивариантно, сюръ-ективно и что нетривиальные р-прообразы имеют только вершины надстройки и эти прообразы есть NXNXOXIHNXNXIXO.
Для доказательства части более того заметим, что Ф(х, t, у, t) = tp(x,y,i). Значит Ф = Я на ЕП (N х diag/). Для обе точки Ф(х, s, у, t) и Н(х, s, у, і) лежат в северной (южной) открытой полусфере, и не являются антиподальными. Поэтому Ф е ? Н на Е П NxJf. П Доказательство утверждения 3.2.1.(3. Возьмем такое малое є О, что Зададим отображение (рисунок 3.2.b). Нетрудно доказать корректность определения отображения р и проверить его свойства (нетривиальные прообразы — пространства Доказательство инъективности в теореме 1.6.7.с\. Рассмотрим PL вложения /о, /і : N — Шт и эквивариантную гомотопию р : N х I — 5m_1 между отображениями /о и /і. Возьмем линейную гомотопию G : N х I —» Em х J между /о и /і и какую-либо триангуляцию Ті полиэдра N х I. Пусть i = (N х {О,1}) . Поскольку мы можем применить лемму о цилиндре 3.2.1.а и получить такое эквивариантное отображение Пусть К обозначает объединение полиэдра N х {0,1} с (п — семерным остовом двойственного к триангуляции Ті клеточного разбиения. Можно считать, что К П (T2(d) Г) ЛГ х 0) х \ = 0. Используя сюръективность в теореме 1.7 А(3д для случая многообразий с краем [ср. Sko97, теоремы 1.1.с и 1.1.с] (или теорему 1.7.3./3д, если N, /о и Продолжим отображение ho до отображения N х J — Em х /. Рассмотрим новую триангуляцию Т полиэдра N х І, в которую К входит как подкомплекс, и для Д(Ло)П о=0 и h0 eq Ф, более того, h0 = Ф на Е0ПТ. Поскольку п + 1 + 2(п — с?) 2(т + 1) — 3, мы можем применить теорему 2.4.1 о разведении для случая Поскольку A(hx) замкнуто, из 2.4.1.1 следует, что существует такая регулярная окрестность Тогда Поскольку N ХІявляется d-связным, по лемме о поглощении [Irw65, теоремы 2.1 и 2.3] получаем, что пространство (T-f П ЛГ х 0) х о содержится в некотором PL n-шаре в N х L Следовательно, из теоремы о единственности регулярной окрестности заключаем, что пространство V также содержится в некотором (возможно, другом) PL n-шаре Вп С N х I. Имеем E(/ii) С V С Вп, следовательно, /гх является квазиконкордантностью. П Доказательство инъективности в теореме 1.7.8 для PL случая. Рас смотрим PL вложения /о, /і : N — Ш.т и эквивариантную гомото-пию (р : N х I — 5т-1 между отображениями /о и Д. Рассмотрим PL регулярную гомотопию ho : N х I — Rm между отображениями /о и /і такую, что Зафиксируем триангуляцию Т полиэдра N х I такую, что A(ho) П T(N х I) = 0. Продолжим отображение 9? : 5JV х diag/ — 5m_1 на пространство N х 0 х 0 посредством /о и на пространство N х 1 х 1 посредством /і. Пусть Е = (N х {0,1}) UT(N х I). Тогда h0 eq у?, более того, 7 = р на E nfiVxdiag/) = SJV х diag/U VV х 0 х OUiVx 1 х 1. Следовательно, мы можем применить лемму о цилиндре 3.2Л.а и получить такое эквивариантное отображение Инъективность в теореме 1.7.8.а//3 доказывается теперь так же, как в теореме 1.6.7.6 (К = T(n-rf) UN х {0,1}, а Ті — клеточное разбиение, двойственное триангуляции Т, при этом К П (If П 7V х 0) х і = 0). Инъективность в теореме 1.7.8.а/(3 доказывается применением теоремы 2.4.1 о разведении к полиэдру N х I и Для того, чтобы доказать инъективность в теореме 1.7.8.а//3д, предположим, что объединение К полиэдра N X {0,1} с произведением (п — d— 1)-мерного спайна на отрезок / является подкомплексом триангуляции Т. Поскольку 3(гс — d) 2(т + 1)-3, мы можем применить теорему о разведении 2.4.1 к полиэдру N х I и Тогда утверждение теоремы следует из того, что hi\nNxI(K) является вложением для некоторой окрестности RJVXJ(K) такой, что 118 Теорема 3.2.2. (3.2.2.а) Если PL вложения /0,/i : N - Rm n-мерного полиэдра N топологически квазиконкордантны и m п+2, то ac{fo) = «G(/I) (ДЛЯ любой группы G). (3.2.2 (3) Если PL погружения h0,hi : N — Rm n-мерного полиэдра N топологически регулярно конкордантны и m п + 2, то Аз( о) = @G(hi) (для любой группы G). Доказательство, [ср. SkoOO, лемма 1.0] Мы докажем лишь утверждение 3.2.2.о; и только для группы G = 5г (для утверждения 3.2.2./3 и в случае произвольной G доказательства аналогичны). Рассмотрим топологическую квазиконкордантность F : N х I — Rm х / между отображениями /о и Д. Выберем триангуляцию Т полиэдра N такую, что 12(F) содержится в звезде некоторой точки в N. Пусть ТхІ — клеточное подразделение полиэдра Nх 7, полученное умножением триангуляции Т на отрезок. Поскольку образы лежат в северной и южной открытых полусферах сферы Sm, существует отображение Ф : Т х I — 5т, гомотопное relTxOxOUTx 1x1 отображению F :Т х I — S171 и такое, что образы являются северным и южным полюсами сферы 5т, соответственно. Теперь нам требуется симплициальная версия леммы о цилиндре 3.2.1.а. В следующей лемме для полиэдра N с фиксированной триангуляцией Т мы отождествляем Т и N (это не приведет к неудобствам). Симплициальная Лемма о Цилиндре 3.2.1 . Если полиэдр N имеет фиксированную триангуляцию и N X I имеет клеточное подразделение произведения, то
