Введение к работе
Актуальность темы.
В построении многих геометрий удобной оказалась векторная аксиоматика Г. Вейля. Эта система аксиом была предложена в начале прошлого века , легла в основу аффинной геометрии, евклидовых геометрий и римановой геометрии . Линейное и векторные пространства, на которые опирается аксиоматика Г. Вейля, являются коммутативными структурами. Получаемые на них геометрии также коммутативны.
В конце прошлого века, в 1977 году, Л.В. Сабинин обобщил понятие модуля (в частности, линейного пространства) на произвольную алгебраическую структуру с внутренней бинарной операцией, определив одули над кольцом К , введя внешнюю операцию на структуре - операцию умножения элементов структуры на скаляры из кольца К. Одули на
квазигруппах и лупах нашли применение в геометрических исследованиях . В одулярной тематике работает большое число математиков. Имеется несколько сотен публикаций, где исследуются свойства и приложения одулей на гладких квазигруппах и лупах.
Автор впервые определил одули Ли, задав внешние операции на группах Ли - умножение элементов групп Ли на действительные числа. Линейное пространство является коммутативным оду лем Ли. Первым из некоммутативных одулей Ли определен растран в работе соискателя за 1986 год. Растран есть о дуль на основной аффинной группе - группе параллельных переносов и гомотетий. При замене линейного пространства одулем Ли в векторной аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, получены вейлевские одулярные пространства - ВО-пространства.
Большой интерес представляет геометрия некоммутативных ВО-пространств, т.е. некоммутативный аналог аффинной геометрии.
Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 456 с.
Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. - 664 с.
Сабинин Л.В. Одули как новый подход к геометрии со связностью // ДАН СССР. 1977. N5. С.800-803.
Сабинин Л.В., Михеев П.О. Гладкие квазигруппы и геометрия// Проблемы геометрии, т. 20. ВИНИТИ, М., 1988. - С. 75 - ПО.
Sabinin L.V., Miheev P.O. Quasigroups and Differennial Geometri. In Quasigroups and Loops: Theory and Applications. (O.Chein, H. Pflugfelder and J.D.H. Smith, eds.), Heldermann Verlag. Berlin, 1990, Ch XII, pp. 357 - 430. MR 93g: 20133 (English)
Sabinin L.V. Smooth Quasigroups and Loops.- Kluwer Academie Publishers. Dordrecht. Nttherland, 1999, xvi + 250 (English)
Вводя норму на одуле Ли, получаем некоммутативную геометрию ВО-пространств с метрикой - аналог евклидовых геометрий и дифференциальную геометрию ВО-пространств. Соискатель ввел на одуле Ли галилееву норму и в основном построил некоммутативную галилееву геометрию 3-мерных одулярных пространств.
Интересны следующие ключевые вопросы научного и методологического характера.
Проблема 1. Аффинные свойства некоммутативных ВО-пространств. Связи одулярной геометрии с классическими аффинной и евклидовыми геометриями.
Проблема 2. Какими свойствами обладают кривые и поверхности ВО-пространств? Насколько далеко простирается аналогия с дифференциальной геометрией евклидова пространства? Определяется ли кривая 3-мерного ВО-пространства функциями кривизны и кручения, каковы кривые постоянных кривизн? Насколько существенна для поверхности нормальная кривизна, какую можно дать классификацию обыкновенных точек поверхности? Какова роль символов Кристоффеля, какими свойствами обладают геодезические линии на поверхности, что представляет собой внутренняя геометрия поверхности? Существуют ли аналоги формул Гаусса-Петерсона-Кодацци?
Поставленные проблемы решены в диссертации.
Имеется пять видов 3-мерных действительных разрешимых о дул ей Ли: линейное пространство, растран, сибсон, диссон и осцилляторный одуль.
Одули Ли определены операциями на многообразиях R . Внутренние операции на всех указанных одулях определены в работах СП. Гаврилова и использованы в хроногеометрии А.В. Левичевым . Внешние операции определены соискателем, см. монографию за 2005 год.
Аффинные преобразования аффинной плоскости составляют аффинный одуль Ли. Все перечисленные одули Ли представляются по до дулями аффинного о дуля Ли. Линейное пространство есть коммутативный одуль Ли параллельных переносов, однородный растран -одуль Ли на основной аффинной группе, другой вид растрана - одуль Ли движений псевдоевклидовой плоскости; сибсон есть одуль Ли движений галилеевой плоскости, осцилляторный одуль Ли - одуль движений евклидовой плоскости. Диссон и сибсон являются различными расширениями мультипликативного линейного пространства дуальных чисел.
Оказалось, что в некоммутативных ВО-пространствах существует два вида параллельности прямых. Всякие две точки определяют единственную прямую. Имеется только два вида одулярных плоскостей: аффинные плоскости и ЛМ-плоскости - это 2-мерные пространства с растраном. Только в аффинном пространстве и ЛМ-пространстве всякие три неколлинеарные
Левичев А.В. Однородная хроногеометрия. I. - Новосибирск: НГУ, 1991. - 52 с.
точки определяют плоскость; в остальных ВО-пространствах существуют неколлинеарные точки, которые не определяют плоскость.
В одулях Ли естественно определяется галилеева норма. Свойства ее отличны от свойств евклидовой нормы. Например, не выполняется неравенство треугольника. Норма одуляров (элементов одулей) определяет расстояние между точками ВО-пространств и каждое ВО-пространство является одулярным галилеевым пространством-временем. Каждое событие ВО-пространства имеет времениподобную и пространственноподобную составляющие.
Выделены кривые и поверхности с изменяющейся времениподобной составляющей. Они могут быть заданы в естественной параметризации; естественный параметр кривой и один из естественных параметров поверхности имеет смысл времени.
Галилеевы ВО-пространства содержат только следующие плоскости: евклидовы, галилеевы и ЕМ-плоскости. В пространстве с сибсоном существуют только евклидовы и галилеевы плоскости.
Для одулярных функций установлены формулы дифференцирования, превращающиеся в коммутативном случае в формулы дифференцирования векторных функций. Функции со значениями в осцилляторном одуле Ли не обладают производными. В ВО-пространствах с дифференцируемыми одулями Ли определено касательное отображение в одуль Ли. В пространстве с диссоном положение касательной к кривой зависит от параметризации кривой, в остальных ВО-пространствах - не зависит.
Так как осцилляторные функции недифференцируемы, то не существует дифференциальной геометрии ВО-пространства с осцилляторным одулем.
Из всех одулярных галилеевых пространств выделяется классическое пространство с коммутативной геометрией. Мы его выделяем и названием, используя известный термин: пространство Галилея.
Поверхности в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве обладают касательными плоскостями, в остальных ВО-пространствах не существует касательных плоскостей к поверхностям.
Полная кривизна поверхности в пространстве Галилея и ЕМ-пространстве относится к внутренней геометрии поверхности, в остальных ВО-пространствах - не относится.
В ВО-пространствах, обладающих дифференциальной геометрией, введены аналоги основных понятий евклидовой геометрии, изучены их свойства. Какие-то из них совпадают с соответствующими свойствами евклидовых понятий, какие-то не совпадают.
Книга Б.А. Розенфельда по геометрии групп Ли за 2003 год посвящена построению геометрии в аксиоматике Г. Вейля: рассмотрены геометрии на коммутативных алгебрах, кватернионах и октавах. По
Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. - М.: МЦНМО, 2003.- 560с.
некоммутативной геометрии в указанной книге результатов не содержится. Это придает работе соискателя актуальность в развитии геометрии некоммутативных групп Ли в концепции Б.А. Розенфельда, отличающейся от классической, Картановской.
Геометрия ВО-пространств принципиально отличается от геометрии групп Ли объектами исследования и методами исследования. В геометрии групп Ли существенно используется касательное отображение группового пространства в алгебру Ли - векторное пространство с дополнительными свойствами. Производится дифференцирование векторных функций. Специфика каждой группы Ли учитывается на основе свойств векторных полей соответствующей алгебры Ли. На одулях Ли производится дифференцирование одулярных функций на основе внутренней и внешней операций на одуле Ли, как, в частности, в коммутативном случае, происходит дифференцирование векторных функций. Специфика каждого одуля учитывается непосредственно при дифференцировании одулярных функций. Используется одулярный, а не векторный анализ. Для каждого одуля Ли получаются свои формулы дифференцирования. При дифференцировании функций, задающих кривые одулярных пространств, осуществляется касательное отображение в соответствующий одуль Ли. Таким образом, для изучения геометрии одулярных пространств созданы новые методы.
Одно из принципиальных отличий одулярной геометрии от геометрии групп Ли состоит в том, что дифференциальными одулярными методами изучаются не все одулярные пространства на группах Ли. Пространство с осцилляторным одулем не обладает дифференциальной геометрией. В геометрии групп Ли строится общая теория для всех групп Ли без исключений, при этом в качестве касательных пространств используются алгебры Ли групп Ли. Но теряется и индивидуальность геометрий отдельных групп Ли.
Поверхности многих известных пространств, в том числе аффинного и евклидовых, являются поверхностями траекторий преобразований этих пространств, составляющих одуль Ли. Методы исследования таких поверхностей являются одулярными. Поэтому одулярную геометрию, обобщающую классическую, можно рассматривать и как часть классической.
Цель работы - построение дифференциальной геометрии галилеевых разрешимых одулярных пространств; выявить свойства основных понятий классической геометрии в некоммутативном случае.
Основные задачи исследования.
-
Изучение аффинных свойств 3-мерных одулярных пространств.
-
Построение одулярной теории кривых, установление связей с евклидовой теорией. Получение кривых с постоянными кривизной и кручением.
-
Нахождение траекторий движений по векторному полю ускорений движения (задача Ньютона).
-
Построение одулярной теории поверхностей, установление зависимостей с евклидовой теорией поверхностей. Развитие альтернативных методов (одулярных) в исследовании поверхностей известных пространств.
-
Построение одулярной теории геодезических линий.
Методы исследования.
Геометрия одулярных галилеевых пространств является новой, она создана в работах соискателя. Методы исследований также созданы соискателем. Это одулярные методы, радикально связанные со спецификой изучаемых пространств и галилеевой метрики в этих пространствах. Применяемые методы позволяют использовать некоторые свойства евклидовых подпространств одулярных пространств.
Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность.
Новой является идея построения одулярной некоммутативной геометрии в аксиоматике Г. Вейля. В процессе осуществления идеи зародился новый раздел геометрии. Все полученные в диссертации являются новыми. Одулярные галилеевы пространства изучает только соискатель. Применен новый, одулярный метод исследований. Получено новое направление в геометрии, изучающее пространства с некоммутативными одулями Ли, соединяющее в себе новые методы и аналоги классических результатов. Используется одулярный анализ, превращающийся в векторный в коммутативном случае. В новой геометрии исследованы основные свойства кривых и поверхностей, изучены те же вопросы, что и в классической геометрии, хотя результаты не всегда совпадают с классическими.
Работа носит теоретический характер. В ней построена нелинейная и некоммутативная 3-мерная одулярная галилеева геометрия; заложены основы для изучения геометрии ВО-пространств размерности больше 3 и основы для построения одулярной римановой геометрии.
Одним из приложений является использование галилеевых методов в евклидовой геометрии. Имеются и практические приложения. Построены арифметическая и физическая модели гиперболической галилеевой гиперболической плоскости. Последнее означает, что геометрия окружающего нас пространства является гиперболической галилеевой.
Решена задача И. Ньютона для движений с двумя степенями свободы, в которой требуется отыскать траекторию движения, если задано поле ускорений движения. По поводу этой задачи В.И. Арнольд в , с. 26, написал, что современная математика бессильна в решении настоящей проблемы. Решение найдено в галилеевых геометриях, развиваемых соискателем, а ранее его искали методами других геометрий.
Арнольд В.И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1989. -472с.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Изучение свойств одулей Ли с галилеевой нормой. Порождаемость одулей Ли. Введение дифференцирования одулярных функций. Изучение элементов одулярного анализа.
-
Определение вейлевских одулярных пространств - ВО-пространств -пространств с одулями Ли в аксиоматике Г. Вейля. Определение одулярного 3-мерного галилеева пространства-времени. Прямые и плоскости одулярных пространств, их определяемость, свойства, взаимное расположение. Некоммутативность и нелинейность геометрии ВО-пространств.
-
Изучение регулярных кривых ВО-пространств. Касательное отображение в одуль Ли, касательное расслоение. Кривые с галилеевыми касательными одулярами и евклидовы проекции кривых. Времениподобные и пространственноподобные составляющие кривых. Евклидова проекция кривой. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе. Кривые, имеющие постоянную кривизну и постоянное кручение.
-
Изучение регулярных поверхностей ВО-пространств. Поверхности с галилеевыми касательными одулярами и евклидовы проекции поверхностей. Существование касательных плоскостей. Времениподобные и пространственноподобные составляющие поверхности. Евклидова проекция поверхности как векторное поле евклидовой плоскости. Нормальная кривизна поверхности. Полная и средняя кривизна. Классификация точек. Поверхности с постоянной нормальной кривизной.
-
Символы Кристоффеля. Деривационные формулы поверхности. Основные уравнения теории поверхностей. Геодезическая кривизна поверхности. Геодезические линии. Геодезические координаты. Связь с внутренней геометрией поверхности.
6. Одули Ли преобразований, траектории точек в преобразованиях,
поверхности траекторий. Одулярная определяемость траекторий.
Траектории и геодезические. Собственная геометрия поверхности.
Одулярная геометрия как обобщение обычной геометрии и как ее
часть.
7. Построение гиперболических галилеевых плоскостей. Геометрия
гиперболического галилеева пространства как геометрия окружающего
пространства. Методы галилеевой геометрии в решении задачи И.
Ньютона о получении уравнений траекторий механических движений
по полям ускорений.
Апробация работы.
Результаты работы сообщались на Международных, Всесоюзных, Всероссийских и других конференциях и семинарах, в семинарах различных
университетов и известных ученых. Опубликованы тезисы сообщений, см. в списке публикаций соискателя, позиции 12-30.
1984 - 1990 гг. ежегодные Герценовские чтения в Российском педагогическом университете, Ленинград, С-Петербург. Геометрический семинар в Красноярском государственном педагогическом университете.
1988 г. IX Всесоюзная геометрическая конференция, Кишинев.
Семинар по геометрии профессора Б.А. Розенфельда.
-
г. Международная конференция по алгебре памяти А.И. Ширшова, Новосибирск.
-
г. Международная научная конференция «Лобачевский и современная геометрия», Казань.
1993 г. Третья Международная конференция по алгебре памяти М.И.
Каргаполова, Красноярск.
Международная математическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского, Минск.
1996 г. Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В.
Ефимова, Ростов-на-Дону.
1997 г. Международный геометрический семинар им. Н.И.
Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей», Казань.
1998г. Третья Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Саранск.
Міжнародная наукова конференция, Чернівці.
Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Ростов-на Дону.
1999. Научно-практическая конференция, посвященная 60-летию
Пензенского педагогического университета, Пенза.
Школа-конференция, посвященная 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова, Казань.
2000. Международная конференция «Актуальные проблемы
математики и механики», Казань.
Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В. Ефимову, Ростов-на-Дону.
2001. Второй Всероссийский геометрический семинар, Псков.
Научный семинар математических кафедр Красноярского
государственного университета.
2004. Всероссийская научно-методическая конференция «Геометрия «в
целом». Преподавание геометрии в вузе и школе.» Великий Новгород.
2005. XIV Международная конференция «Проблемы теоретической
кибернетики», Пенза.
Научный семинар кафедры геометрии Казанского государственного университета.
2006. 2008. Международная школа-семинар по геометрии и анализу,
Южный Федеральный Университет, Лиманчик.
2009. Семинар А.С. Мищенко по некоммутативной геометрии, МГУ. Семинар И.Х. Сабитова по геометрии, МГУ.
Структура и объем.
Работа состоит из предисловия, 10 глав, заключения и приложения; содержит 360 страниц; библиография содержит 68 наименований. По теме диссертации соискателем опубликовано 73 работы.
