Содержание к диссертации
Введение
1 Строение и геометрические свойства структурной группы G 12
1.1 Тождество альтернативности 13
1.2 Изоморфизмы градуированных алгебр 15
1.3 Форма Киллинга 22
1.4 Алгебра Ли д% 24
1.5 Обобщенная алгебра 30
2 Кривые в псевдооктавном пространстве 45
2.1 Неизотропные кривые псевдооктавного пространства . 46
2.2 Кривые псевдооктавного пространства с изотропными касательными 59
2.3 Изотропные кривые псевдооктавного пространства с вполне изотропными соприкасающимися плоскостями 70
3 Гиперповерхности в псевдооктавном пространстве 87
3.1 Шестимерные подмногообразия с положительно определенной нормалью 88
3.2 Шестимерные подмногообразия с отрицательно определенной нормалью 102
3.3 Погружение, задающее поверхность с положительно определенной нормалью 108
3.4 Погружение, задающее поверхность с отрицательно определенной нормалью 120
Список литературы 129
Приложения 137
- Изоморфизмы градуированных алгебр
- Кривые псевдооктавного пространства с изотропными касательными
- Шестимерные подмногообразия с отрицательно определенной нормалью
- Погружение, задающее поверхность с отрицательно определенной нормалью
Введение к работе
Еще в начале XIX века возникла идея о классификации геометрических дисциплин не только по типу исследуемых объектов или по аппарату исследования, но и по подлежащим изучению свойствам геометрических объектов. Однако точную формулировку эта идея получила лишь в так называемой Эрлангенской программе"Ф. Клейна, в которой устанавливается, что в каждой геометрической дисциплине должны изучаться те свойства фигур, которые инвариантны относительно соответствующей группы преобразований. Первоначально эта программа рассматривалась как основная программа развития дифференциальной геометрии. Но идеи Ф. Клейна не смогли охватить всех аспектов развития геометрии.
В своей знаменитой лекции О гипотезах, лежащих в основании геометрии" немецким математиком Б. Риманом была предложена плодотворная идея многообразия . Этим было положено начало новой геометрии. Сейчас риманова геометрия является очень важной и достаточно разработанной частью дифференциальной геометрии многообразий. Дифференциальная геометрия многообразий изучает различные инфи-нитезимальные структуры на многообразии и их связи со структурой самого многообразия.
Работами С. Ли и В. Киллинга было положено новое перспективное направление в исследовании римановых пространств. Предметом исследования этих пространств становится изучение группы Ли, которая является группой движений этих пространств. Римановы пространства часто обладают достаточно богатой группой движений, и это оказывается очень полезным при их исследовании. Если группа движений действует транзитивно, то изучение геометрии этих пространств можно свести к вопросам теории групп Ли. В свою очередь, описание группы Ли в значительной части сводится к изучению соответствующей алгебры Ли инфинитезимальных движений, определяемых как поля скоростей однопараметрических подгрупп этой группы.
Хотя идея Ф. Клейна, когда рассматривается G-пространство, то есть множество вместе с заданной группой G его преобразований, оказалась недостаточно полной для описания различных геометрий - но она, в свою очередь, сыграла важную роль в дифференциальной геометрии многообразий. Если группа G действует транзитивно на каком-то множестве, то возникает однородное пространство. Изучение геометрии таких пространств, наиболее богатых различными геометрическими инвариантами, сводится к всестороннему описанию соответствующей группы Ли. Многие инфинитезимальные структуры на многообразиях, такие как тензорные поля различного типа, появились как инварианты группы движений того или иного однородного пространства.
Основы алгебраической теории групп Ли были заложены Э. Карта-ном, который построил теорию представлений полупростых групп Ли, еще теснее связал группы Ли с дифференциальной геометрией, создав так называемый метод внешних форм, который позволил ему разрешать проблему совместности уравнений Пфаффа. В дифференциальной геометрии многомерных пространств им дан метод подвижного репера, который в соединении с методом внешних форм является эффективным и в определенном смысле универсальным средством решения проблем локальной дифференциальной геометрии. Вопрос о существовании решения систем уравнений, рассмотренных Картаном, играет ключевую роль при доказательстве основных теорем, описывающих различные классы геометрических объектов.
Можно сказать, что развитие локальной дифференциальной геометрии пространств происходит уже около трехсот лет. В процессе ее развития усложняются изучаемые в ней геометрические объекты, совершенствуются ее методы. На ее основе путем обобщений и аналогий построены и современная "геометрия в целом", и, так называемая, глобальная геометрия. Глобальная геометрия изучает не только пространства произвольной размерности и многооборазия весьма сложного устройства, но и, более того, в ней происходит разрыв с принятым ранее соглашением ограничиться рассмотрением свойств пространств в достаточно малой окрестности точки (локальность). "Геометрия в целом" сводит до минимума требования гладкости, то есть дифференци-руемости функций, которыми она оперирует.
Тем не менее, классическая дифференциальная геометрия сохраняет большое значение и как отправная точка для обобщений и аналогий, и как объект для апробирования новых методов, поскольку она теснейшим образом связана с многочисленными прикладными проблемами. Вот почему и сейчас многие геометры во всем мире прразработку проблем локальной дифференциальной геометрии.
При решении проблем локальной дифференциальной геометрии используется метод внешних форм Картана. Это метод, созданный Э. Кар-таном [35], [36], [37], [38], включает в себя использование внешних форм в теории подвижного репера. С. П. Фиников подробно описал его в своей монографии [75]. Эта монография и сейчас популярна среди геометров, использующих метод внешних форм Картана в своей работе. Позднее было предложено более современное изложение этого метода. Многие авторы, например, А. М. Васильев [10], [11], М. Haimovici [95], выделяли алгебраическую основу метода, другие, например, Г. Ф. Лаптев [52], [53], [54], расспространяя его на весьма общие геометрические теории, отказались при этом от первоначальной идеи - полной канонизации репера, немедленно приводящей к полной системе инвариантов, ограничились разысканием систем величин (геометрические объекты, тензоры и так далее), не являющихся инвариантами, но позволяющих конструировать последние, не проводя до конца канонизацию репера.
К сожаления эти исследования так и не получили монографического оформления.
Следует отметить, что наиболее полное и доступное изложение этой темы приведено в работах Р. Н. Щербакова [82], [83], [85], которые, с одной стороны, содержат более современное и более простое изложение основных идей метода Картана, а с другой - показывают его применение на сравнительно простом геометрическом материале.
В данной диссертационной работе метод внешних форм Э. Картана используется при канонизации репера наиболее важных геометрических образов - кривых и гиперповерхностей в семимерном пространстве, структурной группой которого является группа G? . Группа G\ является особой простой некомпактной группой Ли (нормальной формой комплексной группы Ли G).
Вообще говоря, интерес к структурным группам Gi проявляют во всем мире. В большинстве случаев &2-структуры рассматриваются на семимерных римановых многообразиях. Например, в работах Th. Fried-rich и его соавторов [92], а также в работах F. М. Cabrera [88], [89], D. Joyse [97], [98], A. Gray [91]. Значительно реже эти структуры рассматриваются на псевдоримановых многообразиях. Тем не менее в работе I. Kath [99] изучаются почти параллельные ?2-стРУктУРЫ на псевдоримановых многообразиях сигнатуры (3,4).
В семимерном пространстве эта геометрия наиболее подходящая для исследования, так как в случае структурных групп малой размерности касательные пространства многообразий и подмногообразий чрезмерно неизотропны. В то же время в случае большой структурной группы, например 5Х(7), имеется мало инвариантов и геометрия оказывается малосодержательной. В случае произвольной размерности ортогональная и конформная группы наиболее оптимальны в этом смысле. Но в семимерном пространстве исключительное значение имеют компактная форма и нормальная некомпактная форма группы Ли (?2- Эта группа удобна также с точки зрения использования необходимых компьютерных вычислений потому, что другие особые группы (такие как F размерности 52 со стандартным представлением размерности 26) требуют значительно более долгих и сложных вычислений.
Поэтому вполне естественным является интерес к углубленному изучению пространств не только со структурной группой С?2, но и со структурной группой G\ Целью диссертационной работы является изучение геометрии подмногообразий в семимерном пространстве, структурной группой которого является особая некомпактная группа Ли G% (нормальная форма комплексной группы Ли G ) Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложений.
В первой главе рассматривается алгебра октав, элементами которой являются гиперкомплексные числа (числа Кэли). Известно, что алгебра октав является альтернативной алгеброй с единицей и без делителей нуля; она неассоциативна и некоммутативна. Группа автоморфизмов этой алгебры есть особая компактная группа Ли G 2, размерность которой равна четырнадцати.
Алгебру октав можно представить в виде прямой суммы: R • 1 0 V, где V - ортогональное дополнение к единице. Тогда V = R7 является антикоммутативной алгеброй без единицы. При этом, в V существует базис {еі,... ,ej} с таблицей умножения классической алгебры Кэли. В дальнейшем будем называть именно пространство V алгеброй Кэли.
Подобно тому, как, расщепив алгебру кватернионов, получают векторную алгебру, являющуюся базисом к изучению трехмерной евклидовой геометрии, подобное расщепление алгебры октав дает средства для исследования аналогичной, но более содержательной геометрии в семимерном пространстве. Ее содержательность вызвана отчасти высокой размерностью, но в большей степени редукцией структурной группы О(7) к подгруппе Gi.
Основные результаты первой главы состоят в следующем.
1) Допускаем некоторый произвол в таблице умножения алгебры Кэ-ли, то есть варьируем знаки произведений, сохраняя предположение об антикоммутативности и справедливости векторных тождеств, вытекающих из альтернативности. В этом случае получаем две неизоморфные алгебры. Первая из них является классической алгеброй Кэли. Вторая же менее известна. Это алгебра Кэли-Диксона. Умножение в этой алгебре индуцирует векторные и скалярные произведения в семимерном псевдооктавном векторном пространстве, то есть получаем псевдоок-тавную геометрию. Наличие изотропных векторов и вполне изотропных подпространств делает эту геометрию еще более содержательной и интересной для изучения, чем геометрия с компактной структурной группой. Поэтому нас будет интересовать преимущественно алгебра Кэли-Диксона. Группой её автоморфизмов является действительная некомпактная форма С???, размерности 14. Ей соответсвует алгебра Ли д -Рассматриваем матричную реализацию этой алгебры как в ортогональном, так и в изотропном базисах в зависимости от ситуации.
2) Матричную реализацию алгебры д% в изотропном базисе обозначим #2- Доказана теорема о том, что алгебра Ли д2 может быть представлена тройками (В, А, /І) такими, что А, ц принадлежат трехмерному пространству, В Є. sl(3), с соответствующим законом умножения.
3) Выясняем, как далеко можно обобщить эту конструкцию в случае произвольного нечетномерного пространства.
Рассматривается (2п-Ы)-мерное пространство V, которое разлагается в прямую сумму подпространств V = U © R 0 /" , /7, U - две копии n-мерного пространства с невырожденной симметричной билинейной формой (,). R- одномерное пространство. Элемент пространства V представляет собой тройку элементов (и, t, v), где и Є U, t Є R, v EU . Предполагаем, что оператор V действует на элементы пространства V следующим образом:
(В А -айц у
Qff CTrB RXT .
adx ц -Вт }
где Q, Я, С - некоторые константы, В - эндоморфизм линейного пространства U, A, fi - линейные функции на U.
Доказана теорема о том, что множество таких матриц, в котором
векторы Л, // пробегают все пространство U, а матрица В пробегает некоторое подмножество В, образует алгебру Ли только в четырех конкретных случаях.
Во второй и третьей главах, развивается теория подмногообразий различных размерностей в семимерном пространстве со структурной группой G%. Дифференциальная геометрия семимерных многообразий и различных подмногообразий (кривых, поверхностей, гиперповерхностей и так далее) в пространствах с такой структурной группой очень богата по сравнению даже с обычной октавной геометрией. Это связано с тем, что стандартное семимерное представление этой группы имеет более сложную структуру пространства орбит из-за наличия изотропных векторов и изотропных подпространств. Тем более это относится к линейным многообразиям различных размерностей. Например, к трехмерным подмногообразиям, касательные пространства которых образуют подалгебры. Также имеются двумерные подмногообразия, чьи касательные пространства вполне изотропны. Конечно, простейший случай - это одномерный случай (теория кривых).
Теория кривых излагается во второй главе. Рассматриваются различные типы кривых: неизотропные кривые; кривые, касательные к которым изотропны; изотропные кривые с вполне изотропными соприкасающимися двумерными и трехмерными плоскостями.
При исследовании кривых используется метод внешних форм Кар-тана и производится фиксацию репера. Далее находятся инварианты, определяющие кривую, даются вычислительные формулы. Рассматриваются проекции пространственных кривых в трехмерное соприкасающееся подпространство для того, чтобы охарактеризовать некоторые инварианты в классических терминах. Доказываются основные теоремы для различных типов кривых об определении кривой по заданным кривизнам с точностью до изоморфизма.
Эта теория представляет определенный интерес сама по себе, а также важна для исследования кривых, принадлежащих геометрическим образам более высокой размерности для интерпретации их инвариантов в терминах различных кривизн.
В третьей главе излагается теория гиперповерхностей. Рассматриваются шестимерные многообразия, скалярный квадрат нормали которых всюду положителен, либо всюду отрицателен.
Компактная группа G-2 действует транзитивно на векторных пространствах размерностей 1, 2, 5 и б, но это неверно для размерностей 3, 4. Таким образом, трех- и четырехмерные подмногообразия играют особую роль. Например, можно выбрать трехмерное подмногообразие такое, что касательное пространство будет подалгеброй. Также можно выбрать четырехмерное многообразие так, что ортогональное дополнение к касательному пространству будет подалгеброй.
В работе используется понятие полурепера, который состоит из трех векторов. Этих векторов достаточно для получения октавного репера, используя их перемножение. Концепция полурепера очень полезна, например, при фиксации канонического репера, отнесенного к некоторому геометрическому объекту. Нам достаточно зафиксировать полурепер, чтобы определить репер однозначно.
Используя метод внешних форм Картана, производится фиксация репера, дается его описание.
Основные результаты работы содержатся в этой главе и состоят в следующем.
1) В первом рассмотренном нами случае, когда скалярный квадрат вектора нормали положителен, выбор нормали задает эндоморфизм Jx = [JV, х], при х Є Т\[, касательного пространства такой, что J2 = —1. Поэтому на гиперповерхности можно ввести почти комплексную структуру. Более того, поскольку эндоморфизм сохраняет метрику, на гиперповерхности реализуется псевдоэрмитова геометрия.
Доказаны утверждения о том, что кривизна нормального сечения шестимерной гиперповерхности двумерной плоскостью вдоль фиксированного базисного вектора выражается через инварианты гиперповерхности; классические инварианты двумерной поверхности, являющейся сечением шестимерной гиперповерхности трехмерной евклидовой плоскостью, выражаются через инварианты гиперповерхности. Рассматривается векторное поле, определяемое вектором Є2 канонического репера. В этом случае доказано утверждение, что при проектировании интегральной кривой из семимерного псевдоевклидова пространства в трехмерное евклидово подпространство получаем кривую такую, что её инварианты: кривизна, кручение и репер Френе, выражаются через коэффициенты дифференциальных форм. Эти утверждения характеризуют инварианты гиперповерхности через ранее описанные инварианты кривых.
Вычислен тензор Нейенхейса и доказано утверждение о том, при каких условиях почти комплексная структура на гиперповерхности S является комплексной.
2) Во втором случае, когда скалярный квадрат вектора нормали отрицателен, вводится изотропный базис псевдооктавного пространства и производится канонизация репера. ч Вектор нормали задает эндоморфизм Jx = [iV, х], при х Є Тм, касательного пространства такой, что J2 = 1. Тогда /тг = тг, Jm +l = —ті+г, где т, - изотропный базис, і = 1,3. Так как касательное пространство распадается на два трехмерных подпространства: Тх = Р+ © Р_, где Р+ = {z Є Tx\Jz = z}, P_ = {z Є Tx\Jz = —z}, то эндоморфизм Jx = [iV, x] определяет структуру почти произведения на шестимерной гиперповерхности.
Вычислен тензор Нейенхейса и доказано утверждение о том, при каких условиях структура почти произведения на гиперповерхности S является интегрируемой.
3) Векторное произведение и скалярное произведение в семимерном пространстве образуют смешанное произведение, которое определяет антисимметричную трилинейную форму. Ограничение на касательное подпространство любой гиперповерхности является также трилинейной формой. Мы называем ее первой внешней фундаментальной формой гиперповерхности.
Более того, как только мы фиксируем нормальный вектор, используя ориентацию гиперповерхности, то получаем некоторую билинейную внешнюю форму на касательном пространстве. Мы называем ее второй фундаментальной внешней формой гиперповерхности.
Конечно, это не квадратичные формы. Коэффициенты этих форм связаны структурными уравнениями, которые являются слишком сложными для приведения их в явном виде.
В работе доказывается аналог теоремы Бонне для шестимерных гиперповерхностей. Классическая теорема Бонне утверждает, что гиперповерхность в евклидовом пространстве определяется с точностью до изоморфизма двумя квадратичными формами, если только их коэффициенты удовлетворяют структурным уравнениям (уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци). Своебразие рассматриваемой геометрии связано с наличием конструкций, отсутствующих в обычной римановой геометрии. В нашем случае две внешние дифференциальные формы второй и третьей степени определяют погружение шестимерного многообразия в семимерное пространство с псевдооктавной структурой.
При доказательстве локальной теоремы приходится иметь дело с системой линейных алгебраических уравнений достаточно высокого порядка, для решения которой использовались возможности символьных вычислений в математическом компьютерном пакете " Mathematica 3.0", а также и в пакете "Maple V". Решения получены аналогичные. і Основные результаты диссертации опубликованы в работах: [21], [22], [23], [24], [25], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50], [93], [94], [100], и докладывались на Всероссийской молодежной научной школе-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре (Казань, 1998), на вузовской конференции "Студент и научно - технический прогресс" (Ир- кутск, 1998), на Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе (Иркутск, 1999), на Международном конгрессе по дифференциальной геометрии памяти Альфреда Грея (Spane, Bilbao, 2000), на Все-сибирском конгрессе женщин-математиков ( к 150-летию со дня рождения СВ. Ковалевской) (Красноярск, 2000), на международной конференции "Математика в Восточных регионах Сибири: социокультурный аспект, ведущие тенденции развития, научные коммуникации и подготовка кадров" (Улан-Удэ, 2000), на четвертом Международном математическом симпозиуме "Symbolic computations. New horizons"(Japan, Токіо, 2001), на международной конференции по геометрии и топологии (Украина, Черкассы, 2001), на Международном конгресс математиков (China, Beijing, 2002), на II Всесибирском конгрессе женщин- математиков ( в день рождения СВ. Ковалевской) (Красноярск, 2002), на международной конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (Новосибирск, 2002), на Второй Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе (Иркутск, 2003).
Автор благодарит научного руководителя профессора П. Я. Грушко за постоянное внимание к работе и помощь, выражает признательность за полезные советы.
Изоморфизмы градуированных алгебр
Основы алгебраической теории групп Ли были заложены Э. Карта-ном, который построил теорию представлений полупростых групп Ли, еще теснее связал группы Ли с дифференциальной геометрией, создав так называемый метод внешних форм, который позволил ему разрешать проблему совместности уравнений Пфаффа. В дифференциальной геометрии многомерных пространств им дан метод подвижного репера, который в соединении с методом внешних форм является эффективным и в определенном смысле универсальным средством решения проблем локальной дифференциальной геометрии. Вопрос о существовании решения систем уравнений, рассмотренных Картаном, играет ключевую роль при доказательстве основных теорем, описывающих различные классы геометрических объектов. Можно сказать, что развитие локальной дифференциальной геометрии пространств происходит уже около трехсот лет. В процессе ее развития усложняются изучаемые в ней геометрические объекты, совершенствуются ее методы. На ее основе путем обобщений и аналогий построены и современная "геометрия в целом", и, так называемая, глобальная геометрия. Глобальная геометрия изучает не только пространства произвольной размерности и многооборазия весьма сложного устройства, но и, более того, в ней происходит разрыв с принятым ранее соглашением ограничиться рассмотрением свойств пространств в достаточно малой окрестности точки (локальность). "Геометрия в целом" сводит до минимума требования гладкости, то есть дифференци-руемости функций, которыми она оперирует. Тем не менее, классическая дифференциальная геометрия сохраняет большое значение и как отправная точка для обобщений и аналогий, и как объект для апробирования новых методов, поскольку она теснейшим образом связана с многочисленными прикладными проблемами. Вот почему и сейчас многие геометры во всем мире продолжают разработку проблем локальной дифференциальной геометрии. При решении проблем локальной дифференциальной геометрии используется метод внешних форм Картана. Это метод, созданный Э. Кар-таном [35], [36], [37], [38], включает в себя использование внешних форм в теории подвижного репера. С. П. Фиников подробно описал его в своей монографии [75]. Эта монография и сейчас популярна среди геометров, использующих метод внешних форм Картана в своей работе. Позднее было предложено более современное изложение этого метода.
Многие авторы, например, А. М. Васильев [10], [11], М. Haimovici [95], выделяли алгебраическую основу метода, другие, например, Г. Ф. Лаптев [52], [53], [54], расспространяя его на весьма общие геометрические теории, отказались при этом от первоначальной идеи - полной канонизации репера, немедленно приводящей к полной системе инвариантов, ограничились разысканием систем величин (геометрические объекты, тензоры и так далее), не являющихся инвариантами, но позволяющих конструировать последние, не проводя до конца канонизацию репера. К сожаления эти исследования так и не получили монографического оформления. Следует отметить, что наиболее полное и доступное изложение этой темы приведено в работах Р. Н. Щербакова [82], [83], [85], которые, с одной стороны, содержат более современное и более простое изложение основных идей метода Картана, а с другой - показывают его применение на сравнительно простом геометрическом материале. В данной диссертационной работе метод внешних форм Э. Картана используется при канонизации репера наиболее важных геометрических образов - кривых и гиперповерхностей в семимерном пространстве, структурной группой которого является группа G? . Группа G\ является особой простой некомпактной группой Ли (нормальной формой комплексной группы Ли G). Вообще говоря, интерес к структурным группам Gi проявляют во всем мире. В большинстве случаев &2-структуры рассматриваются на семимерных римановых многообразиях. Например, в работах Th. Fried-rich и его соавторов [92], а также в работах F. М. Cabrera [88], [89], D. Joyse [97], [98], A. Gray [91]. Значительно реже эти структуры рассматриваются на псевдоримановых многообразиях. Тем не менее в работе I. Kath [99] изучаются почти параллельные ?2-стРУктУРЫ на псевдоримановых многообразиях сигнатуры (3,4). В семимерном пространстве эта геометрия наиболее подходящая для исследования, так как в случае структурных групп малой размерности касательные пространства многообразий и подмногообразий чрезмерно неизотропны. В то же время в случае большой структурной группы, например 5Х(7), имеется мало инвариантов и геометрия оказывается малосодержательной. В случае произвольной размерности ортогональная и конформная группы наиболее оптимальны в этом смысле. Но в семимерном пространстве исключительное значение имеют компактная форма и нормальная некомпактная форма группы Ли (?2- Эта группа удобна также с точки зрения использования необходимых компьютерных вычислений потому, что другие особые группы (такие как F размерности 52 со стандартным представлением размерности 26) требуют значительно более долгих и сложных вычислений. Поэтому вполне естественным является интерес к углубленному изучению пространств не только со структурной группой С?2, но и со структурной группой G\ Целью диссертационной работы является изучение геометрии подмногообразий в семимерном пространстве, структурной группой которого является особая некомпактная группа Ли G% (нормальная форма комплексной группы Ли G )
Кривые псевдооктавного пространства с изотропными касательными
Вычислен тензор Нейенхейса и доказано утверждение о том, при каких условиях структура почти произведения на гиперповерхности S является интегрируемой. 3) Векторное произведение и скалярное произведение в семимерном пространстве образуют смешанное произведение, которое оп Петерсона-Кодацци). Своебразие рассматриваемой геометрии связано с наличием конструкций, отсутствующих в обычной римановой геометрии. В нашем случае две внешние дифференциальные формы второй и третьей степени определяют погружение шестимерного многообразия в семимерное пространство с псевдооктавной структурой. При доказательстве локальной теоремы приходится иметь дело с системой линейных алгебраических уравнений достаточно высокого порядка, для решения которой использовались возможности символьных вычислений в математическом компьютерном пакете " Mathematica 3.0", а также и в пакете "Maple V". Решения получены аналогичные. і Основные результаты диссертации опубликованы в работах: [21], [22], [23], [24], [25], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50], [93], [94], [100], и докладывались на Всероссийской молодежной научной школе-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре (Казань, 1998), на вузовской конференции "Студент и научно - технический прогресс" (Ир- кутск, 1998), на Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе (Иркутск, 1999), на Международном конгрессе по дифференциальной геометрии памяти Альфреда Грея (Spane, Bilbao, 2000), на Все-сибирском конгрессе женщин-математиков ( к 150-летию со дня рождения СВ. Ковалевской) (Красноярск, 2000), на международной конференции "Математика в Восточных регионах Сибири: социокультурный аспект, ведущие тенденции развития, научные коммуникации и подготовка кадров" (Улан-Удэ, 2000), на четвертом Международном математическом симпозиуме "Symbolic computations. New horizons"(Japan, Токіо, 2001), на международной конференции по геометрии и топологии (Украина, Черкассы, 2001), на Международном конгресс математиков (China, Beijing, 2002), на II Всесибирском конгрессе женщин- математиков ( в день рождения СВ. Ковалевской) (Красноярск, 2002), на международной ределяет антисимметричную трилинейную форму. Ограничение на касательное подпространство любой гиперповерхности является также трилинейной формой. Мы называем ее первой внешней фундаментальной формой гиперповерхности. Более того, как только мы фиксируем нормальный вектор, используя ориентацию гиперповерхности, то получаем некоторую билинейную внешнюю форму на касательном пространстве.
Мы называем ее второй фундаментальной внешней формой гиперповерхности. Конечно, это не квадратичные формы. Коэффициенты этих форм связаны структурными уравнениями, которые являются слишком сложными для приведения их в явном виде. В работе доказывается аналог теоремы Бонне для шестимерных гиперповерхностей. Классическая теорема Бонне утверждает, что гиперповерхность в евклидовом пространстве определяется с точностью до изоморфизма двумя квадратичными формами, если только их коэффициенты удовлетворяют структурным уравнениям (уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци). Своебразие рассматриваемой геометрии связано с наличием конструкций, отсутствующих в обычной римановой геометрии. В нашем случае две внешние дифференциальные формы второй и третьей степени определяют погружение шестимерного многообразия в семимерное пространство с псевдооктавной структурой. При доказательстве локальной теоремы приходится иметь дело с системой линейных алгебраических уравнений достаточно высокого порядка, для решения которой использовались возможности символьных вычислений в математическом компьютерном пакете " Mathematica 3.0", а также и в пакете "Maple V". Решения получены аналогичные. і Основные результаты диссертации опубликованы в работах: [21], [22], [23], [24], [25], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50], [93], [94], [100], и докладывались на Всероссийской молодежной научной школе-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре (Казань, 1998), на вузовской конференции "Студент и научно - технический прогресс" (Ир- кутск, 1998), на Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе (Иркутск, 1999), на Международном конгрессе по дифференциальной геометрии памяти Альфреда Грея (Spane, Bilbao, 2000), на Все-сибирском конгрессе женщин-математиков ( к 150-летию со дня рождения СВ. Ковалевской) (Красноярск, 2000), на международной конференции "Математика в Восточных регионах Сибири: социокультурный аспект, ведущие тенденции развития, научные коммуникации и подготовка кадров" (Улан-Удэ, 2000), на четвертом Международном математическом симпозиуме "Symbolic computations. New horizons"(Japan, Токіо, 2001), на международной конференции по геометрии и топологии (Украина, Черкассы, 2001), на Международном конгресс математиков (China, Beijing, 2002), на II Всесибирском конгрессе женщин- математиков ( в день рождения СВ. Ковалевской) (Красноярск, 2002), на международной конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (Новосибирск, 2002), на Второй Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе (Иркутск, 2003). Автор благодарит научного руководителя профессора П. Я. Грушко за постоянное внимание к работе и помощь, выражает признательность за полезные советы.
Шестимерные подмногообразия с отрицательно определенной нормалью
Пусть S С V - ориентированное подмногообразие (гиперповерхность) в пространстве V = R7. Рассмотрим второй случай, когда w2 0 для всякого ненулевого вектора w Є W. Тогда ограничение метрики на касательную гиперплоскость Тм также невырождено и V = R N Тм в каждой точке М гиперповерхности, где N Є W - неизотропный вектор нормали, N2 = -1.
В данном случае удобнее пользоваться другой матричной реализацией группы G . Через {тг} обозначаем изотропный репер в пространстве V в том смысле, что т2 = 0, при г ф 4. При этом, т\ = —1, (mi, ms) = 2, (m2, TUQ) = 2, (тз, mi) = 2, остальные произведения равны нулю. Согласно 1.5 векторное произведение [,] в базисе {mi,..., 7717} задаётся таблицей умножения (1.19). Для того, чтобы присоединить канонический репер к гиперповерхности S, воспользуемся методом внешних форм Картана. Обозначим через г = г(щ,... ,щ) вектор-функцию, задающую шестимерную гиперповерхность 5. Деривационные формулы подвижного репера: где ш \ и ] - формы Пфаффа от шести главных и 14 вторичных параметров, i,j, к = 1,7. Формы Пфаффа от вторичных параметров обозначим через тг1, тг у Матрицы форм ш j, тг удовлетворяют линейным соотношениям, определяющим алгебру 2п в изотропном базисе. В качестве вектора гщ выбираем единичный вектор нормали JV. Его направление определяется ориентацией нормали поверхности. Следова тельно, Ш4 = N. Тогда касательная гиперплоскость Тм натянута на ВеКТОрЫ: 77І1, Г712, Ш3, Ш ,, ГП$, Vfl j. Поместив начало репера в точку поверхности, получим: Формы а г стали главными и зависят только от главных параметров. Осталось зафиксировать четырнадцать вторичных форм. В силу выбора касательной плоскости: Дифференцируя внешним образом последнее соотношение, получаем: На основании леммы Картана: где Скг - некоторые функции, зависящие как от главных, так и от вторичных параметров, и Скг — С4к. Следовательно, 7г = 0, где к = 1,2,3,5,6, 7. Осталось зафиксировать восемь вторичных параметров. Дифференцируя выражение (3.10), получим: Преобразуем последние выражения, используя соотношения (3.10):
Выполняются следующее условие на вторичные форм: Запишем эту систему в развернутом виде с учетом того, что часть вторичных форм обнулилась: Полагаем ( = 0, С43 = О, С\ъ = О, С546 = О, С7 = О, С647 = 0. Тогда с учетом соотношений на вторичные формы последние шесть уравнений этой системы можно записать в виде: Получена однородная система линейных уравнений, которая имеет только нулевое решение при условии, что определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то есть /s-iA Ґ І\ s i4 Ґ І\ \//" 4 Ґ ІА /-ч4 ҐІА \ґ/ іА / ІА si4 ҐЧА \ і п (п -і о\ V22u66 011055А03377 11 55 1 22 66 "" 03377 Т и- {0.i.Z) Таким образом, зафиксировано шесть вторичных параметров. Осталось зафиксировать два параметра. В оставшихся уравнениях системы (3.11) положим С42 = С42 = Сз-Следовательно, Так как 71 +71 +7 = 0, то 7г\ = 7г = 7г = 0. Оставшиеся два вторичных параметра зафиксированы. Условие (3.12) в этом случае примет вид: то есть С\х ф 0, а коэффициенты С55, сб, с77 попарно не равны между собой. Итак, мы получили, что С\2 = 0, С43 = 0, С з = 0, С46 = 0, С47 = 0, С7 = 0. Остальные инварианты С%г - функции главных параметров иг. Тем самым, построен канонический репер. Формы ui \ главные и имеют следующий вид: Так как касательное пространство распадается на два трехмерных подпространства: Тх = Р+ ф Р_, где Р+ = {z Є Tx\Jz = z}, P_ = {z Є TrJ = —2}, то эндоморфизм Jx = [iV, z] определяет структуру почти произведения на шестимерной гиперповерхности S. Тензор Нейенхейса Вычислим тензор Нейенхейса для шестимерной гиперповерхности в этом случае. Касательное пространство разбивается на два подпространства U и W. Базисные векторы подпространства U обозначим через mi, rri2, шз, подпространства W - через т , т у mj. Справедливы соотношения (3.16) и умножение Jx = [N, х], где х принадлежит касательному пространству Тм гиперповерхности S в точке М, определяет структуру почти произведения на S. Выясним, будет ли структура почти произведения интегрируема. Тензор Нейенхейса: X,Y - векторные поля, принадлежащие касательным пространствам Тм на гиперповерхности. Касательный вектор: dr = ш гт1-\-ш 1+4тг+4? где г = 1,3. Справедливо соотношение: и гт3 = 5г, i,j = 1,2,3,5,6,7. Аналогично первому случаю, рассмотрим компоненты тензора Нейенхейса: с учетом того, что \ш ([X,Y]) = -waAwJnw kQ(X) = C X13, a,(3,k = Достаточно рассмотреть три случая: В первом случае, с учетом формул (3.16), компоненты тензора Нейенхейса имеют вид: Следовательно, гдег , ,р = 1,3. Во втором случае, с учетом формул (3.16), компоненты тензора Нейенхейса имеют вид: вычислим: В третьем случае, с учетом формул (3.16), компоненты тензора Ней-енхейса имеют вид: Следовательно, тензор Нейенхейса имеет вид: Структура почти произведения интегрируема, если тензор Нейенхейса равен нулю. Следовательно, справедливо Утверждение 5. Структура почти произведения на гиперповерхности S является интегрируемой, если выполняются условия lyjiP — 1,3, для коэффициентов построенного выше канонического репера. Положим Q(x,y,z) = ([x,y],z]. Тогда О - единственная с точностью до скалярного множителя внешняя форма О Є Л3і?7 такая, что G — {А Є GL(7)\AQ = Щ является особой некомпактной группой Ли G% (нормальной формой комплексной группы Ли G ) Пусть U С R6 - область и / : U — V погружение такое, что S = f{U) - гиперповерхность. Дифференциал df индуцирует внешние дифференциальные формы ф, h второй и третьей степени на U, такие что Напомним, что Ф - кососимметричная компонента эрмитовой метрики. Будем называть форму h(du,du ,du"), которая является ограничением формы Q на касательное пространство гиперповерхности, первой внешней фундаментальной формой третьей степени. Форму ijj(du,du )i которая возникает после фиксации нормального вектора путем выбора ориентации гиперповерхности, а также ее прототип на S будем называть второй внешней фундаментальной формой второй степени.
Погружение, задающее поверхность с отрицательно определенной нормалью
Матрицы В и С связаны уравнением: С = —BG l, где коэффициентами матрицы G являются д%) — (/г,Д). При этом, матрицы В и С симметричны, матрица С не является симметричной. Рассматриваем систему уравнений: Второй случай, когда репер {mi,...,m j} - некоторый изотропный репер (неканонический) в произвольной выбранной точке М такой, что вектор нормали N совпадает с вектором ттц. Обозначим также как в первом случае h jk = Q(mt,mj,mk), ф = Ф(тг,т;), где г, j, к ф 4. Из таблицы умножения векторов шг-, константы Ь?г:)к Є Л3І?6 , фц Є A2RQ определены единственным образом: 123 = 4 567 = 4 15 = 2 26 = 2 37 = 2, a htjk, я не связанные условием кососимметричности, нулевые. Векторы {N = тпіі/г} образуют репер (неканонический, неоктавный) в точке гиперповерхности S. Также вводится матрица р = (pJt) Є GL(6) такая, что /, = р?та і, а = 1,2,3,5, б, 7. Следовательно, аналогично первому случаю, можно записать: Отображение р : U- GL(6) такое, что h(u) = (h) u\ ф(и) = (ф0)? в каждой точке и поверхности S. Группа GL(6) действует естественным образом в пространстве Л3І?6 Л2і?6 , размерность которого равна 35. Рассмотрим действие алгебры д2 в пространстве V = R7 и найдем стабилизатор подпространства W = RQ = {ті,гп2,тз,т ,те,т7}. В этом случае, согласно (1.20), следующие элементы матрицы V Є д2 раВНЫ Нулю: d14 = 0, d2\ = 0, 34 = 0, (I54 = 0, С?64 = 0, (І74 = 0. В результате вычеркивания нулевых четвертой строки и четвертого столбца из матрицы V получаем матрицу вида: где матрица А Є 5/(3), 0 - нулевая матрица. Таким образом, стабилизатором подпространства W = R6 = {гпі,т2,тз,т5,ше, mj} в группе G\ является подгруппа 5Х(3), действующая в пространстве Л3 І?3 . Так как группа G% сохраняет форму Q Є Л3І?7 , то есть G\ = {А Є GL(7)\AQ = П}, то подгруппа SL(3) - стабилизатор подпространства W, сохраняет формы h и ф. Следовательно, стационарной подгруппой, сохраняющей пару форм (Л, ф), является группа SL(3), действующая в пространстве Д3Д3 . Так как размерность группы SX(3) равна восьми, то размерность орбиты пары (/Ї,-0) равна 36-8=28. Как показано выше, если рассматривать пару форм h и ф во всех точках гиперповерхности, то получим множество, содержащееся в некоторой орбите группы GL(Q) так, что h = /ig, ф = ф%.
Таким образом, матрица р определяется с точностью до произвольного множителя вида (3.37). Нам желательно избавиться от произвола в выборе матрицы р. Для этого нужно задать правило выбора представителя в каждом классе смежности группы GL(6) по подгруппе SL(3). Построим алгоритм разложения группы GL(6) в окрестности единицы в произведение так, чтобы одной из компонент соответствовала подгруппа Ли (3.37). На первом этапе рассмотрим автоморфизм w группы GL(Q) такой, что Множество матриц X из группы GL{6), удовлетворяющих условию wX J lXTJ = X l, образует подгруппу Ли Sp(3). Таким образом, матрица X = I _ ] принадлежит подгруппе Ли Sp(3), если выполняются следующие условия: СТА = АТС, где A,B,C,D - матрицы третьего порядка. Дополнением к группе Sp(S) является множество неподвижных точек автоморфизма wX = J 1(XT) lJ : где G - произвольная матрица третьего порядка, К\, Кч - кососимме-тричные матрицы третьего порядка. Выясним, как можно представить матрицу р Є GL(6) в виде произведения: р — XY, где матрица X удовлетворяет условию (3.39), то есть автоморфизм w(X) = X, а матрица У принадлежит 5р(3), то есть автоморфизм w(Y) = Y l. Используем тот же стандартный способ. По свойству автоморфизма: w(XY) = w(X)w(Y). Тогда, Следовательно, Таким образом, получили разложение р = XY, где Y = y/iv l(p)p: X = pY l.
