Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О жизненном пути академика и.м.виноградова, создателя метода тригонометрических сумм 32
1.1 Жизнь и общественная деятельность И.М.Виноградова 34
Глава 2. Об истоках формирования метода тригонометрических сумм 48
Глава 3. Об основных направлениях математических исследований академика И.М.Виноградова 63
3.1 Распределение целых точек в областях евклидова пространства. Формула обращения для замены тригонометрической суммы на другую с меньшим промежутком суммирования 66
3.2 Оценка сумм характеров и рациональных тригонометрических сумм с заданным свойством индекса переменной суммирования .68
3.3 Аддитивные проблемы варинговского типа 69
3.4 Распределение дробных долей арифметических функций 71
3.5 Оценки тригонометрических сумм вейля 73
3.6 Оценки линейных тригонометрических сумм с простыми числами. Проблема Гольдбаха 76
3.7 Суммы г. Вейля с простыми числами и проблема варинга-гольдбаха 78
3.8 Суммы характеров дирихле по сдвинутым простым числам 80
Глава 4. Проблемы распределения целых точек в областях 82
4.1. О начальном периоде исследований по классическим проблемам распределения целых точек в плоских областях 82
4.2 Проблемы распределения целых точек в областях в работах и.м.виноградова 99
Глава 5. О проблеме варинга в простых числах 145
Заключение 163
Список литературы 164
- Жизнь и общественная деятельность И.М.Виноградова
- Распределение целых точек в областях евклидова пространства. Формула обращения для замены тригонометрической суммы на другую с меньшим промежутком суммирования
- Оценки линейных тригонометрических сумм с простыми числами. Проблема Гольдбаха
- О начальном периоде исследований по классическим проблемам распределения целых точек в плоских областях
Введение к работе
Изучение развития аналитической теории чисел следует рассматривать как составную часть> исследований по истории математики XX века. К числу наиболее ярких ее-достижений вообще и теории чисел в частности, следует отнести создание метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова.
Настоящая* диссертация посвящена, в основном, истории разработки И.М.Виноградовым той части его метода, которая касается проблем распределения точек целочисленной решетки в трехмерном евклидовом пространстве. При этом впервые рассматривается вопрос о классификации его математических работ по отдельным научным направлениям.
Самостоятельным научным результатом данной диссертации, относящегося к аналитической теории чисел, является теорема о том, что1 последовательность, порожденная фиксированной степенью простых чисел, образует базис конечного порядка во< всем множестве натуральных чисел. Данную теорему можно рассматривать, как некоторый шаг в, развитии* исследований'И.М.Виноградова по знаменитой проблеме Варинга-Гольдбаха.
Диссертация'состоит из введения, пяти глав и заключения.
В первой главе диссертации дан краткий очерк жизни и деятельности-И.М.Виноградова. Следует отметить, что изучение биографических материалов о нем в настоящее время является предметом исследований научного коллектива сотрудников мемориального дома-музея И.М.Виноградова в городе Великие Луки. Эта информация носит вводный характер,- и здесь не^ ставится задача рассмотрения вопросов, имеющих существенное научно-историческое значение.
Сведения, приводимые в, ней, опираются в. основном' на^ юбилейные статьи и воспоминания Б.Н.Делоне, А.А.Карацубы, И.Я.Кочиной, Ю.В'.Линника, К.К.Марджанишвилщ Е.П.Ожиговой, А.Г.Постникова' а также на материалы исторического характера, опубликованные в-научных журналах. Они дают определенные представления* о формировании личности
5 И.М.Виноградова, его научных интересов, стилей его научной и педагогической деятельностей. В них выделен ряд существенных моментов, важных для характеристики его творчества и приоритетности научных исследований.
Так, приводимая нами информация о том, что знаменитая оценка неполных сумм характеров Дирихле, полученная Иваном Матвеевичем в его дипломной работе, позволяет утверждать, что данная оценка была, выведена не позднее весны 1914 года, то есть, по крайней мере, на три года раньше, чем считается сейчас на основании его печатных работ. Эта оценка носит в научной литературе название «оценка Виноградова-Пойа» по имени венгерского- математика. Д.Пойа, получившего ее независимо от И.М.Виноградова в* 1918 году в работе «Uber die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste» [1], что доказывает приорететность Ивана Матвеевича в решении1 этой задачи.
Другим важным вопросом, рассматриваемым нами в- диссертации, являются основные биографические сведения о научном руководителе Ивана Матвеевича - академике Я.В.Успенском. Это связано с тем обстоятельством, что темы всех своих исследований в области аналитической теории чисел И.М. Виноградов получил именно от Якова Викторовича. Интересен и тот факт, что его учениками были и другие выдающиеся математики (Б.А. Венков, А.А. Фридман, H.G. Кошляков и другие).
Среди них особый интерес для нас представляет профессор Б.А.Венков (1900-1962). Его исследования по теории квадратичных форм, начатые в работе «Об арифметике кватернионов» [2] стали исходными^для.разработки академиком Ю.В.Линником дискретного эргодического метода' в, вопросе о целочисленном представлении чисел положительными тернарными квадратичными формами. Можно сказать, что8 и другие темы его' работ в значительной степени порождены научными-исследованиями Б.А. Венкова.
Академик Ю.В.Линник является создателем знаменитой ленинградской школы теории чисел, обогатившей мировую науку открытиями таких
выдающихся ученых, как А.Н.Андрианов, Б.М.Бредихин, А.И.Виноградов, А.В.Малышев, Б.Ф.Скубенко, венгерского академика А.Реньи, литовские академики Й.П.Кубилюс и В.А.Статулявичус.
Во второй главе диссертации исследованы, вопросы, связанные с историей формирования метода тригонометрических сумм - как мощного инструмента для исследования в области аналитической теории чисел.
Основной целью изложения данной главы является обзор публикаций о математическом творчестве И.М.Виноградова; об оценке их научной значимости и роли в развитии аналитической теории чисел вообще и метода тригонометрических сумм в частности.. Отмечено; что в них обычно приводится лишь формулировка рассматриваемых результатов в сопоставлении с таковыми, полученными ранее другими авторами. В-то же время' серьезный анализ развития* методов: и технических приемов' исследования обычно не производился, вероятно, потому что они рассчитаны в основном на широкий круг читателей, а не на узких специалистов, и историков-математики. Кроме того, мнения, высказываемые различными, авторами, как правило, не объединены общим взглядом на предмет изложения и несут в себе их субъективные представления, отражающие порой противоречивые точки зрения.
Переходя к истории разработки метода тригонометрических сумм, следует отметить, что в его основе лежат метод производящих функций Эйлера и метод разложения периодических функций в тригонометрический-ряд Фурье. Технические приемы, основанные на этих методах и применяемые в теории чисел на протяжении долгого времени практически никак не сочетались и только в работах И.М.Виноградова они стали использоваться одновременно и с большой эффективностью: Это обстоятельство; является одним из аргументов в пользу возможности отождествления* терминов «метод тригонометрических сумм» и «метод И.М.Виноградова», понимаемый в широком смысле.
7 Обратимся к истории метода Эйлера и метода тригонометрических рядов Фурье.
Исследуя вопрос о числе решений линейных уравнений вида
а1Х1+а2Х2+... + атХт=п, (1)
где аь..., ат — натуральные числа, в целых неотрицательных числах Xi,...,Xm, Л.Эйлер построил производящую функцию F(z) от переменной z,
коэффициенты которой при разложении по степеням z равняются числу решений указанного уравнения.
Производящей функцией последовательности {ап} называется формальный степенной ряд, представляющей собой вспомогательную функцию F(z) вида
F(z) = а0+ axz + a2z2 +... = T^a„z" .
Переход от последовательностей к их производящим функциям позволяет заменить операции над последовательностями операциями над их производящими функциями. Можно использовать то, что сумме двух последовательностей соответствует сумма их производящих функций, произведению последовательности на число - произведение ее производящей функции на это же число, и, что особенно замечательно, свертке двух последовательностей соответствует произведение производящих функций этих последовательностей. Напомним, что сверткой двух последовательностей {ап} и {bn} называется последовательность {сп}, общий член которой равен
сп = аФп + а\К-\ +- + акК-к + - + anh
Идея метода производящих функций состоит в том, что рекуррентное соотношение, определяющее последовательность {ап}, переписывают как уравнение для ее производящей функции, это уравнение решают и по
8 найденной производящей функции получают зависимость общего члена последовательности \ап } от п.
Впервые метод производящей функции был применен П. Лапласом для решения некоторых проблем теории вероятностей.
Л.Эйлер назвал вопрос о числе решений линейного уравнения задачей о разбиение числа и решил ее. И именно он дал первое применение его в теории чисел.
Метод производящих функций Эйлера послужил истоком кругового метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана, существо которого состоит в следующем.
Рассмотрим задачу о представлении растущего натурального числа п в виде суммы
Xi+X2+..-+Xm =п,
где числа Х1,...,Хт пробегают все значения из некоторой последовательности натуральных чисел X' = а^а^а-^,... Например, в качестве X можно рассматривать совокупность простых чисел натурального ряда. Тогда число решений J{n), приведенного выше диофантова уравнения, можно записать в
виде
-/(/0=- \F{z)z-"-ldz . (2)
Они научились исследовать J(n) пользуясь формулой (2) не только для случая линейных задач (1), но также для случая проблемы Варинга, проблемы Гольдбаха и других аддитивных проблем. Для этого дуга окружности интегрирования в (2) разбивалась ими на «большие» и «малые» дуги. На больших дугах выделяли предполагаемый главный член асимптотической формулы, выражающей число решений уравнения, и если удавалось доказать,
9 что интеграл по «малым» дугам меньше главного члена, то получалась асимптотическая формула для числа решений исследуемого уравнения.
При оценке интегралов по «малым» дугам Г. Харди и Дж. Литтлвуду в проблеме Гольдбаха потребовалась расширенная гипотеза Римана. Но уже в 1922 году И.М.Виноградов нашел новый способ [3]. Он вместо бесконечных производящих рядов стал рассматривать конечные тригонометрические суммы. Основой этого метода послужило очевидное тождество
1 Ґ1 т = О-
Г 2тат т \1>"1 из
\e"aamdcc = -
о 10, т Ф О, т — целое.
Его метод не требует применения развитой теории функций комплексного переменного и обходится сравнительно простыми вычислениями. Целые числа расположены среди вещественных чисел периодически. Простейшие тригонометрические функции - синус и косинус, являясь периодическими с периодом 271, дают возможность тем самым аналитически выделять целые числа из множества всех вещественных чисел. Тригонометрические суммы - это конечные суммы синусов и косинусов, аргументами которых являются действительные целочисленные функции. С помощью интегралов от таких сумм достаточно просто записываются формулы, выражающие число решений произвольного уравнения в целых числах.
К. Гаусс в 1811 году первым стал рассматривать простейшие тригонометрические суммы и показал пользу этих сумм как средства решения задач теории чисел. В частности, он исчерпывающим образом исследовал свойства носящей его имя - «суммы Гаусса»
п .ах
,ах2 Р 2т
5(=-)= Те Р ,(а,Р)=1
Р х=1
10 и, используя эти свойства, построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.
В дальнейшем тригонометрические суммы, правда, более общего вида, стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основой в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки (то есть, возможно, более точной верхней границы их модуля).
Для суммы Гаусса эта проблема была полностью решена самим Гауссом. Он нашел точные выражения для модуля этой суммы.
Сумма Гаусса является частным случаем более общей «рациональной тригонометрической суммы», которая имеет вид
где д){х)-апхп+... + а\х - многочлен степени п>1, с условием (аь...,ап,р) = 1[4].
Применение тригонометрических сумм Гауссом не было связано напрямую с числом решений уравнений, для которых разрабатывался метод производящих функций. Использование его аппарата показывает, что метод вспомогательных функций шире, чем задача, рассмотренная Эйлером. С тех пор метод производящих функций рассматривается в более широкой трактовке. По мнению Б.Н. Делоне, это был первый период развития метода тригонометрических сумм [5].
В 1914 году были сделаны две очень разные работы, с которых началось неожиданно мощное дальнейшее развитие метода тригонометрических сумм в теории чисел.
Одна из них стала работа Г. Вейля «Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins» [6], в которой была оценена абсолютная величина суммы
v"1 2m[anxn +an_\x +...+cc\x J x=l где ап,ап-.і,...,а\ - заданные действительные числа, причем хотя бы одно из
них иррациональное, и дипломная работа И.М.Виноградова о распределении квадратичных вычетов (1914), о которой говорится в статье А.А.Карацубы [7]. Хотя оценка Г.Вейля лишь немного лучше тривиальной, однако, и она уже ведет к замечательным приложениям.
С развитием идей работы «Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins» [6] связаны крупнейшие успехи аналитической теории чисел в XX веке, включая новое решение в 1920 году Г. Харди и Дж. Литтлвудом «проблемы Варинга» [8], утверждающей возможность представления любого целого положительного числа в виде суммы некоторого числа т к-х степеней натуральных чисел, где т = т(к) зависит от фиксированного целого
положительного числа к . В 1909 году Д. Гильберт первый доказал существование т(к) [9]. Утверждение о том, что т(2) = 4 было доказано еще
Ж. Л. Лагранжем. И, наконец, решение в 1937 году И.М.Виноградовым «проблемы Гольдбаха» о том, что всякое достаточно большое нечетное натуральное число может быть представлено в виде суммы трех простых чисел.
Применение метода тригонометрических сумм также оказалось весьма полезным в двух знаменитых проблемах теории чисел, а именно в проблеме круга и проблеме делителей Дирихле.
К. Гаусс и Л. Дирихле в первой половине XIX века первыми стали рассматривать проблему о количестве целых точек в областях на плоскости. К. Гаусс доказал, что число целых точек в круге
Xі + Y2 < N равно nN + 0(-jN).
А Л. Дирихле доказал, что число целых точек с положительными координатами под гиперболой
12:
xy = N равно Щ1п'М +2/-1) +ЩІ^Ш),
где у — постоянная. Эйлера: Обобщения? этих двух предложений; а также нахождение возможных наилучших остатков* в написанных формулах (проблема целых точек в і круге: Faycca и проблема делителеш Дирихле)? послужили источником большойтлавытеориючисел [9]I
В? 1903 году F. Ф. Вороной разработал метод, с помощью которого' доказал, что остаточный- член в; асимптотической, формуле Дирихле- не превосходит по порядку корня кубического.* из главного члена [;10]i Метод; F. Ф;1 Вороного с: аналогичным результатом был- перенесен: В'.Серпинским*'на: проблему Гаусса;
И;М;Виноградов; рассмотрел наиболее общую.' проблему - проблему нахождения асимптотических: формул длячисла целых точек- в произвольных плоских областях (1917) [11];
Сначала он разработал новыш арифметический метод, сі помощью-: которого доказал теорему о числе: целых точек в плоских* областях. Эти; области-могут быть составлены из конечного1 числа-криволинейных:трапеций? вида x=a, x=b, у=0, y=f(x), от f(x) требуется только, чтобы f"(x) была
непрерывной и удовлетворяла определенному порядку ростапрш а<х<Ъ.,
Независимо*от И.МіВиноградова аналогичными вопросами* занимались, за;; границей; Это были Г..Вейль, F. Харди и? Дж; Литтлвуд № другие; Подробнее эти исследования будут изложены ниже.
Период, начавшейся в 1914 году с работ F: ВешшиШ Мі Виноградова и: по> 1934 год, Б.Н.Делоне называет вторым*, этапом? развития.! тригонометрических сумш в теоришчисел [5]t По? мнению іШ Ml Виноградова; характерными чертами этого; периода: были: следующие:: 1ф отказ; от нахождениям точных значений' сумм? и-: переход; к их оценкам; но« зато-2) освобождение от требования, чтобы высказывания; при: их помощи получаемые, относились только к полной системе вычетов.- Однако
13 сохранялось условие, чтобы суммирование производилось по отрезку чисел натурального ряда, взятых подряд.
По мнению Б.Н.Делоне, характерной чертой третьего этапа, начавшегося- работой «О некоторых новых проблемах теории чисел» И. М. Виноградова (1934), является освобождение от требования, чтобы суммирование проводилось по всем натуральным числам некоторого отрезка подряд. Благодаря этой работе стало, например, возможно суммировать, по простым числам или по числам, имеющим не более чем фиксированное количество > простых множителей и т. д. И.М.Виноградов указал метод, позволяющий1 получить хорошие оценки двойных сумм
YJ?e2mf(x,y)
по различным областям, где jc и у пробегают достаточно густые независимые одна- от другой последовательности целых чисел, и функция* f(x,y) не разлагается в сумму двух функций от одной переменной каждая. Это*способ оказался очень сильным, при помощи него И. М. Виноградов получил свою более тонкую оценку суммы Г. Вейля и оценки сумм, при помощи которых он решил теорему Гольдбаха.
Современный метод тригонометрических сумм, давший столько-глубоких теорем теории чисел, далеко ушел за рамки того, что дал Гаусс, но все же, по мнению Б. Н. Делоне [5], у его истоков стоит работа К. Гаусса 1811 года «Суммирование некоторых рядов особого вида».
Основной задачей, решаемой в третьей главе диссертации, является изложение новой классификации математических работ И.М:Виноградова, основанной на их научной тематике.
Как уже было отмечено, жизнь и* научную1 деятельность И.М.Виноградова - освещали многие известные математики;, в том числе академики Я.В.Успенский, Ю.В.Линник, К.К.Марджанишвили, член-корреспондент АН СССР Б.Н.Делоне, А.А.Карацуба,. А.Г.Иостников,
14 В.И.Нечаев, Б.И.Сегал, А.Б.Шидловский, А.П.Юшкевич и другие. Кроме того многие известные ученые и знаменитые люди посвятили страницы своих воспоминаний И.М.Виноградову. Однако эти статьи, освещавшие его математическую деятельность, носят в основном ознакомительный характер и касаются лишь некоторых ее сторон. Сам Иван Матвеевич во введениях к своим монографиям «Метод тригонометрических сумм в теории чисел» [4] и «Особые варианты метода тригонометрических сумм» [12] тоже дал только очень краткую характеристику своих научных исследований.
Начало систематического подхода к изучению математического творчества И. М. Виноградова было положено в работе Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова «On some applications of Vinogradov's method» [13] . В этой статье выделены 11 научных направлений в области аналитической теории чисел, в развитие которых внес свой вклад И.М.Виноградов. Там же дана краткая характеристика тех оригинальных научных идей, которые позволили ему сделать новые открытия в математике. При этом главное внимание было уделено именно идейной стороне и приоритетности исследований И.М.Виноградова, подтвержденные новизной полученных им результатов.
В диссертации дается другая классификация направлений математической деятельности, непохожая на предложенную в статье [13]. Она основана на систематическом подходе к классификациям в отличие от методологического принципа работы [13].
При этом следует принимать во внимание тот факт, что при классификации всякой научной работы необходимо учитывать как научную проблему, которая в ней рассматривается, так и применяемый метод. Дело в том, что с одной стороны одна и та же проблема может исследоваться разными методами, а с другой стороны, один и тот же метод может применяться к решению разных проблем. Следует также подчеркнуть, что само понятие метода может трактоваться как в узком, так и в очень широком смысле. В частности, такое расширенное понимание метода позволяет говорить о том, что все научные труды И.М.Виноградова по теории чисел
15 находятся в рамках метода тригонометрических сумм, который еще называют «методом Виноградова». Подчеркнем, что в основу классификации, которую мы далее приводим, положена научная тема исследования, в то время как в статье [13] классификация идет, в основном, по применяемым методам.
1.Распределение целых точек в областях евклидова пространства. Формула обращения для замены тригонометрической суммы на другую с меньшим промежутком суммирования.
К данному направлению можно отнести следующие работы [11], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25].
Цикл работ И. М. Виноградова, относящийся к данному направлению, открывается первой опубликованной его работой по теории чисел «Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций» [11], в которой получено доказательство асимптотической формулы Гаусса для суммы числа классов чисто коренных квадратичных форм отрицательного дискриминанта. Тем самым была решена проблема, стоявшая почти целое столетие. В последующих работах этого направления И.М.Виноградов улучшал оценку остатка в данной проблеме, а также в проблеме шара. Эти результаты были улучшены только в 1995 году в статье Ф. Чамизо и X. Иванца [26], в которой была получена новая оценка остаточного члена в проблеме шара.
2. Оценка сумм характеров и рациональных тригонометрических сумм с заданным свойством индекса переменной суммирования.
К этому направлению относятся работы И. М. Виноградова [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46].
Наиболее известными результатами, относящимися к данному направлению, является оценка суммы характеров Дирихле, когда переменная суммирования пробегает сплошной промежуток, а так же оценка верхней границы наименьшего квадратичного невычета по простому модулю. Первый из этих результатов сейчас носит название «оценка Виноградова-Пойа». Она
16- ".''
до сих пор никем? не улучшена. Тематика второго результата в настоящее время носит название «проблема Виноградова о наименьшем невычете».
Ъ. Аддитивные проблемы варинговского типа.
Вщикл работ поданному направлению мы относим публикации^ И. М; Виноградова [3],[47], [48], [49], [50], [51], [19]; [52]= -[53],.'.[54],.[55]; [56], [57],[58],[59],[60]„[61],[62],[63].
Среди научных результатовїИ.М.Виноградова; содержащихся в работах, включенных в данный цикл,., наибольшей известностью: пользуется оценка* функции G(n) в проблеме Варинга. Эта функщшобозначает порядок базиса по . сложению; порожденного; и-ми степенями натуральных чисел на. некотором отрезке натурального ряда. Как известно; при растущих: т до- исследований-. И.МШиноградова наилучшим был. знаменитый! результат Е.Харди; и Дж.
Литтлвуда, которые получили оценку G{n)«n2n. Начиная* с 1934 года; Иван; Матвеевич неоднократно улучшал оценку функции- G(n), доведя:; ее? до-неравенства вида
G(n)<2n(l + o(l))\nn.
Другим замечательным научным открытием;, полученным? в? работах данного цикла, является знаменитая «теорема о . среднем И.М.Виноградова», то есть теорема о среднем значении модуля тригонометрической суммы Г.Вейля- Эта теорема содержит в? себе асимптотически точную оценку момента: высокого порядка, этой суммы; который одновременно выражает количество решений системы диофантовых уравнений в проблеме Терри. Теорема о среднем, является- неотъемлемой частью метода И;М.Виноградова оценок сумм F. Вейля.
^Распределениедробныхдолей;арифметическихфункций;
К этому циклу относятся работы И. М; Виноградова [64]; [65];[66];[67],. [68];. [69]; [70], [71], [72], [73];. [74], [75], [76]; [77]; [78], [79]; [80]; [81];[82], [84], [85]; [86], [87], [88];[89]; [90]; [91], [92], [93];.[94]V
Жизнь и общественная деятельность И.М.Виноградова
По мнению Б.Н.Делоне, характерной чертой третьего этапа, начавшегося- работой «О некоторых новых проблемах теории чисел» И. М. Виноградова (1934), является освобождение от требования, чтобы суммирование проводилось по всем натуральным числам некоторого отрезка подряд. Благодаря этой работе стало, например, возможно суммировать, по простым числам или по числам, имеющим не более чем фиксированное количество простых множителей и т. д. И.М.Виноградов указал метод, позволяющий1 получить хорошие оценки двойных сумм по различным областям, где JC И у пробегают достаточно густые независимые одна- от другой последовательности целых чисел, и функция f(x,y) не разлагается в сумму двух функций от одной переменной каждая. Это способ оказался очень сильным, при помощи него И. М. Виноградов получил свою более тонкую оценку суммы Г. Вейля и оценки сумм, при помощи которых он решил теорему Гольдбаха.
Современный метод тригонометрических сумм, давший столько-глубоких теорем теории чисел, далеко ушел за рамки того, что дал Гаусс, но все же, по мнению Б. Н. Делоне [5], у его истоков стоит работа К. Гаусса 1811 года «Суммирование некоторых рядов особого вида».
Основной задачей, решаемой в третьей главе диссертации, является изложение новой классификации математических работ И.М:Виноградова, основанной на их научной тематике.
Как уже было отмечено, жизнь и научную1 деятельность И.М.Виноградова - освещали многие известные математики;, в том числе академики Я.В.Успенский, Ю.В.Линник, К.К.Марджанишвили, член-корреспондент АН СССР Б.Н.Делоне, А.А.Карацуба,. А.Г.Иостников, В.И.Нечаев, Б.И.Сегал, А.Б.Шидловский, А.П.Юшкевич и другие. Кроме того многие известные ученые и знаменитые люди посвятили страницы своих воспоминаний И.М.Виноградову. Однако эти статьи, освещавшие его математическую деятельность, носят в основном ознакомительный характер и касаются лишь некоторых ее сторон. Сам Иван Матвеевич во введениях к своим монографиям «Метод тригонометрических сумм в теории чисел» [4] и «Особые варианты метода тригонометрических сумм» [12] тоже дал только очень краткую характеристику своих научных исследований.
Начало систематического подхода к изучению математического творчества И. М. Виноградова было положено в работе Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова «On some applications of Vinogradov s method» [13] . В этой статье выделены 11 научных направлений в области аналитической теории чисел, в развитие которых внес свой вклад И.М.Виноградов. Там же дана краткая характеристика тех оригинальных научных идей, которые позволили ему сделать новые открытия в математике. При этом главное внимание было уделено именно идейной стороне и приоритетности исследований И.М.Виноградова, подтвержденные новизной полученных им результатов.
В диссертации дается другая классификация направлений математической деятельности, непохожая на предложенную в статье [13]. Она основана на систематическом подходе к классификациям в отличие от методологического принципа работы [13].
При этом следует принимать во внимание тот факт, что при классификации всякой научной работы необходимо учитывать как научную проблему, которая в ней рассматривается, так и применяемый метод. Дело в том, что с одной стороны одна и та же проблема может исследоваться разными методами, а с другой стороны, один и тот же метод может применяться к решению разных проблем. Следует также подчеркнуть, что само понятие метода может трактоваться как в узком, так и в очень широком смысле. В частности, такое расширенное понимание метода позволяет говорить о том, что все научные труды И.М.Виноградова по теории чисел находятся в рамках метода тригонометрических сумм, который еще называют «методом Виноградова». Подчеркнем, что в основу классификации, которую мы далее приводим, положена научная тема исследования, в то время как в статье [13] классификация идет, в основном, по применяемым методам.
1.Распределение целых точек в областях евклидова пространства. Формула обращения для замены тригонометрической суммы на другую с меньшим промежутком суммирования.
К данному направлению можно отнести следующие работы [11], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25]. Цикл работ И. М. Виноградова, относящийся к данному направлению, открывается первой опубликованной его работой по теории чисел «Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций» [11], в которой получено доказательство асимптотической формулы Гаусса для суммы числа классов чисто коренных квадратичных форм отрицательного дискриминанта. Тем самым была решена проблема, стоявшая почти целое столетие. В последующих работах этого направления И.М.Виноградов улучшал оценку остатка в данной проблеме, а также в проблеме шара. Эти результаты были улучшены только в 1995 году в статье Ф. Чамизо и X. Иванца [26], в которой была получена новая оценка остаточного члена в проблеме шара. Оценка сумм характеров и рациональных тригонометрических сумм с заданным свойством индекса переменной суммирования. К этому направлению относятся работы И. М. Виноградова [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45], [46].
Распределение целых точек в областях евклидова пространства. Формула обращения для замены тригонометрической суммы на другую с меньшим промежутком суммирования
Иван Матвеевич родился, 14 сентября 1891 года в селе с лирическим и необычным названием Милолюб, вблизи Великих Лук (ныне Псковская область), в семье сельского священника, «отца Матфея», - образованного и j развитого человека. Мать, Александра Федоровна, окончила Псковскую 1 гимназию. Она хорошо успевала по математике и считала, что передала сыну J свои способности. Отец учил сына: «То, что отличает человека от животного; - это мозг. Ваня учись и не гонись за деньгами». И.М.Виноградов говорил, что-складом ума он похож на отца.
Иван Матвеевич в возрасте трех лет, научился грамоте, ОН уговорил домработницу Пелагею научить его- читать и писать тайно от родителей, считавших вредным раннее обучение [9]. В первый день, занятий Пелагея показала и назвала букву «а», «А» и заставила- подчеркнуть все эти буквы в газете; во-второй день занятий то же самое было проделано с буквой-«м», «М», в третий - с буквой «п», «П». На четвертый день- она написала и прочитала слово «мама». Этого оказалось уже достаточным, чтобы маленький Ваня понял, как пишутся и читаются слова; тут же он написал и прочитал «папа». В последующие дни он получал подобным образом ровно по одной букве (хотя и просил дать сразу несколько, но безуспешно); уже сам составлял слова и через месяц мог читать и писать.
Этот эпизод подобен научному творчеству И.М.Виноградова. Опираясь на небольшое количество математических понятий и фактов; он настолько глубоко проникал в, сущность стоящей проблемы, что давало ему возможность и создать необходимый аппарат для ее решения.
С детства Ваня рос крепышом, увлекался, рисованием. Поэтому родители отдали его не в духовное училище, как это было- в обычае духовенства, а в реальное училище города Великие Луки, где он увлекся математикой. Он мечтал об университете. Мечта сбылась, и в 1910 году он поступил в Петербургский университет на физико-математический факультет, который успешно окончил через четыре года. Будучи студентом, он заинтересовался теорией чисел. Следует заметить, что при обучении в университете Иван Матвеевич с большим интересом занимался теорией вероятностей, которую им читал А. А. Марков, и «знал курс Маркова наизусть» [167].
Как пишет Ю.В.Линник [168], что как-то к профессору Я.В.Успенскому пришел студент, взял тему по теории чисел и исчез. Через год он появился, принеся полное решение труднейшей задачи. Это был Иван Виноградов.
Руководитель дипломной работы, академик Я.В:Успенский поставил перед Виноградовым задачу: дать простое изложение одного из доказательств квадратичного закона взаимности Гаусса. Занимаясь этой задачей, Иван Матвеевич придумал свое, новое, решение которое открыло новые темы для исследований, а полученная при этом, оценка суммы символов Лежандра оказалась весьма полезной во многих вопросах теории чисел и алгебрьг (эта оценка, доказана в 1918 году также Пойя, носит название оценки- сумм характеров Виноградова или Виноградова-Пойя, о которой будет сказано ниже):
За работу по распределению квадратичных вычетов и невычетов он был оставлен при университете для подготовки к профессорской деятельности. По инициативе В . А. Стеклова в 1915 году ему была назначена стипендия.
Работая над подготовкой к сдаче весьма обширных магистерских экзаменов» и успешно сдавая их, И.М.Виноградов принялся за решение труднейших задач по теории чисел. Работы, выполненные в 1914-1918 годах, поставили"его вряд с крупнейшими специалистами в области теории чисел. Однако далеко не все из первых работ Иван Матвеевича были своевременно опубликованы. К тому же в первые послереволюционные годы, связь советских ученых с зарубежными коллегами прервалась, заграничные научные журналы не получались советскими учеными, а за границей не знали о достижениях советских математиков. Правда, некоторые из работ И.М.Вйноградова окольными путями все же попадали; на:запад. Как было сказано выше, - так получилось, например, с работой о числе целых: точек в областях: на плоскости и в пространстве, опубликованной в 1918 году Харьковским: математическим обществом. Оттиски этой работы, были изготовлены в 1917 году (с указанием этого года) и, как выяснилось, были затем направлены: Я-ВІУспенским: за границу,, в частности, в Геттинген профессору Э.Ландау. .Поэтому Я ВіУспенский сыграл важную: роль на ранних этапах научной деятельности И.МіВиноградова8 [9];
ВЦ918-1920тодах Иван Матвеевич работает в Перми сначала доцентом; а потом: профессором? Пермского? государственного университета. В: конце 1920 года он1; возвращается; в Петроград и: становится профессором Политехнического- института, а несколько позднее, и профессором Петроградского государственного- университета: Bf Политехническом институте ИіМ.Виноградов читает оригинально .построенный: курс: высшей математики, а в университете - курс теории чисел, на базе которого возник известившего учебник «Основытеории чисел» [160]. Этот учебник (переводы которого: изданы; в ряде стран) при очень небольшом объеме не только знакомит читателя с элементами теории чисел, начиная действительно с основ -с определения делимости одного целого числа на другое, но и содержит задачи (с указанными путями решения), которые вплотную подводят к сложным вопросам современной науки. Одновременно с профессорской деятельностью Иван Матвеевич ведет интенсивную научную работу. В? частности, он разрабатывает методы, позволяющие получать решение;новых аддитивных задач теории.чисел, дает оценки тригонометрических сумм, более общих, чем: суммы- Е. Вешщ и решает некоторые другие задачи;
Оценки линейных тригонометрических сумм с простыми числами. Проблема Гольдбаха
Я.В.Успенский подготовил научно-популярные книги - «Введение в неевклидову геометрию» (1922) и «Очерк истории логарифмов» (1923). В 1921 году было организовано Петраградское физико-математическое общество, которое в 1923 году возглавлял профессор Н.М.Гюнтер. Яков Викторович стал его ближайшим соратником по Обществу и пользовался большим авторитетом среди ленинградских математиков. Когда в 1926 году по инициативе В.А.Стеклова был основан «Журнал Ленинградского физико-математического общества», Я.В.Успенский стал его ответственным редактором.
Он принемал участие в Международном конгрессе математиков, проходившем 10-18 августа 1924 года в Торонто (Канада), где вместе со своим учеником Б.А.Венковым (впоследствии профессором и известным специалистом по теории чисел), выступил с докладом. Затем последовала поездка по США, которая продолжалась с июля по ноябрь 1924 года, во время которой Я.В.Успенский ездил в Чикаго и прочитал в Мичиганском университете 3 лекции, посвященные достижениям русских ученых в области теории чисел. Следующая поездка Яков Викторовича в Америку состоялась в 1926 году. В течение года он преподавал в Карлтонском колледже (Мортфилд, штат Миннесота), а в 1927 году прочитал небольшие циклы лекций в Станфордском университете и Калифорнийском университете.
Вернувшись в СССР, Я.В.Успенский приступил к своим многочисленным обязанностям. Однако летом 1929 года он снова уехал в командировку в США, на родину он больше не вернулся. Решение эмигрировать было вызвано различными причинами. Одной их них было то, что во время своей второй поездки в Америку Яков Викторович женился, а жена категорически отказывалась жить в СССР. Вместе с тем резко ухудшилась обстановка в математической жизни страны - шло усиленное внедрение марксизма в математику, сопровождавшееся травлей ученых, в том числе Н.М.Гюнтера. В США Я.В.Успенский сначала читал лекции- в Миннесотском университете, а затем был приглашен в Станфордский университет, в котором проработал в должности профессора-до конца жизни.
От академического звания в СССР Я:В.Успенский отказалсяг На Общем- собрании Академии наук 29 ноября 1930 года было- зачитано его письмо, в котором он изложил свою просьбу считать его выбывшим в США на постоянное место жительства.-Просьба была удовлетворена.
Яков Викторович — автор шести монографий (4 вышли в России) и более 50-ти статей, опубликованных в научных журналах различных стран. В своих трудах и лекциях он всегда отдавал должное русским ученым. В его книге «Введение в математическую теорию вероятностей» часто встречаются, фамилии П.Л.Чебышева, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова, А.Н:Колмогорова и других русских математиков. Его работы отличаются не- только высоким научным уровнем, в них проявляется педагогическое мастерство автора. Книга «Элементарная теория чисел», написанная в соавторстве с американским математиком М.А.Хислетом, явилась итогом»- научной и педагогической деятельности Я.В.Успенского в этой области. В! этой книги добавлены главы о методах Лиувилля, где сконцентрированы, результаты исследований Я.В.Успенского и приведены новые приложения- еп методов. Его ученик Б.А.Венков писал о нем: «Заслуга воссоздания арифметических методов Лиувилля принадлежит Успенскому; он не только доказал все тождества и упомянутые выше результаты Лиувилля, но нашел много новых подобного рода формул и применил их к доказательству результатов, найденных разными авторами (Клейном, Гистером, Гумбертом) с помощью аналитических методов» [174].
В теории чисел Я.В.Успенский занимался по следующим направлениям: представление чисел квадратичными формами, асимптотические выражения числовых функций в вопросах разбиения чисел на слагаемые и теория целых алгебраических чисел.
Глубокие познания в различных областях математики и истории науки создали Я.В.Успенскому международную репутацию. Последние 10 лет жизни он участвовал в семинаре по прикладной механике, где неоднократно выступал с интересными докладами, а также консультировал физиков и инженеров, помогая им в решении прикладных задач. Хорошо знавшие его математики Д.Пойя, Д.Сеге и Д.Х.Янг писали, что в преподавании Я.В.Успенский «следовал классическому стилю и идеалам», что «его изложение материала, как устное, так и письменное, было ясным, простым, логичным и элегантным». Отмечалась большая эрудиция не только в области математики, но также и гуманитарных дисциплинах, в том числе в литературе и истории. Особенно хорошо он знал греческих и латинских классиков. В течение 3-х лет он изучил испанский язык и писал научные статьи на этом языке.
До болезни, которая оборвала его жизнь (27 января 1947 год Сан-Франциско, штат Калифорния, США), Я.В.Успенский продуктивно работал. Свою последнюю книгу он закончил незадолго до смерти.
О начальном периоде исследований по классическим проблемам распределения целых точек в плоских областях
Я.В.Успенский подготовил научно-популярные книги - «Введение в неевклидову геометрию» (1922) и «Очерк истории логарифмов» (1923). В 1921 году было организовано Петраградское физико-математическое общество, которое в 1923 году возглавлял профессор Н.М.Гюнтер. Яков Викторович стал его ближайшим соратником по Обществу и пользовался большим авторитетом среди ленинградских математиков. Когда в 1926 году по инициативе В.А.Стеклова был основан «Журнал Ленинградского физико-математического общества», Я.В.Успенский стал его ответственным редактором.
Он принемал участие в Международном конгрессе математиков, проходившем 10-18 августа 1924 года в Торонто (Канада), где вместе со своим учеником Б.А.Венковым (впоследствии профессором и известным специалистом по теории чисел), выступил с докладом. Затем последовала поездка по США, которая продолжалась с июля по ноябрь 1924 года, во время которой Я.В.Успенский ездил в Чикаго и прочитал в Мичиганском университете 3 лекции, посвященные достижениям русских ученых в области теории чисел. Следующая поездка Яков Викторовича в Америку состоялась в 1926 году. В течение года он преподавал в Карлтонском колледже (Мортфилд, штат Миннесота), а в 1927 году прочитал небольшие циклы лекций в Станфордском университете и Калифорнийском университете.
Вернувшись в СССР, Я.В.Успенский приступил к своим многочисленным обязанностям. Однако летом 1929 года он снова уехал в командировку в США, на родину он больше не вернулся. Решение эмигрировать было вызвано различными причинами. Одной их них было то, что во время своей второй поездки в Америку Яков Викторович женился, а жена категорически отказывалась жить в СССР. Вместе с тем резко ухудшилась обстановка в математической жизни страны - шло усиленное внедрение марксизма в математику, сопровождавшееся травлей ученых, в том числе Н.М.Гюнтера. В США Я.В.Успенский сначала читал лекции- в Миннесотском университете, а затем был приглашен в Станфордский университет, в котором проработал в должности профессора-до конца жизни.
От академического звания в СССР Я:В.Успенский отказалсяг На Общем- собрании Академии наук 29 ноября 1930 года было- зачитано его письмо, в котором он изложил свою просьбу считать его выбывшим в США на постоянное место жительства.-Просьба была удовлетворена.
Яков Викторович — автор шести монографий (4 вышли в России) и более 50-ти статей, опубликованных в научных журналах различных стран. В своих трудах и лекциях он всегда отдавал должное русским ученым. В его книге «Введение в математическую теорию вероятностей» часто встречаются, фамилии П.Л.Чебышева, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова, А.Н:Колмогорова и других русских математиков. Его работы отличаются не- только высоким научным уровнем, в них проявляется педагогическое мастерство автора. Книга «Элементарная теория чисел», написанная в соавторстве с американским математиком М.А.Хислетом, явилась итогом»- научной и педагогической деятельности Я.В.Успенского в этой области. В! этой книги добавлены главы о методах Лиувилля, где сконцентрированы, результаты исследований Я.В.Успенского и приведены новые приложения- еп методов. Его ученик Б.А.Венков писал о нем: «Заслуга воссоздания арифметических методов Лиувилля принадлежит Успенскому; он не только доказал все тождества и упомянутые выше результаты Лиувилля, но нашел много новых подобного рода формул и применил их к доказательству результатов, найденных разными авторами (Клейном, Гистером, Гумбертом) с помощью аналитических методов» [174].
В теории чисел Я.В.Успенский занимался по следующим направлениям: представление чисел квадратичными формами, асимптотические выражения числовых функций в вопросах разбиения чисел на слагаемые и теория целых алгебраических чисел.
Глубокие познания в различных областях математики и истории науки создали Я.В.Успенскому международную репутацию. Последние 10 лет жизни он участвовал в семинаре по прикладной механике, где неоднократно выступал с интересными докладами, а также консультировал физиков и инженеров, помогая им в решении прикладных задач. Хорошо знавшие его математики Д.Пойя, Д.Сеге и Д.Х.Янг писали, что в преподавании Я.В.Успенский «следовал классическому стилю и идеалам», что «его изложение материала, как устное, так и письменное, было ясным, простым, логичным и элегантным». Отмечалась большая эрудиция не только в области математики, но также и гуманитарных дисциплинах, в том числе в литературе и истории. Особенно хорошо он знал греческих и латинских классиков. В течение 3-х лет он изучил испанский язык и писал научные статьи на этом языке.
До болезни, которая оборвала его жизнь (27 января 1947 год Сан-Франциско, штат Калифорния, США), Я.В.Успенский продуктивно работал. Свою последнюю книгу он закончил незадолго до смерти.
Похожие диссертации на История формирования метода тригонометрических сумм в работах И.М.Виноградова по распределению целых точек в областях трехмерного пространства
