Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О близости орбит точек плоскости Лобачевского 17
1. Вспомогательные сведения из теории равномерного распределения последовательностей 17
2. Случай рационального отношения координат точек плоскости 20
3. Случай иррационального отношения координат точек плоскости 26
Глава 2. О близости орбит точек трехмерного пространства Лобачевского 32
1. Случай рационального отношения координат точек пространства 32
2. Случай иррационального отношения координат точек пространства 40
Список литературы 56
- Случай рационального отношения координат точек плоскости
- Случай иррационального отношения координат точек плоскости
- Случай рационального отношения координат точек пространства
- Случай иррационального отношения координат точек пространства
Введение к работе
Одной из классических проблем аналитической теории чисел является проблема целых точек в областях евклидова пространства, т. е. задача нахождения асимптотической формулы для количества точек с целочисленными координатами, принадлежащих данным областям. Происхождение этой тематики исследований восходит к поставленному Гауссом вопросу о поведении средних значений арифметических функций.
Центральной проблемой теории целых точек является «проблема Гаусса о числе целых точек в круге». Гауссом для числа N(T) целых точек в круге х2 + у2 ^ Т было получено соотношение
N(T) = irT + R,R = 0(VT),
показывающее, что число целых точек внутри круга равняется площади круга с точностью до ошибки, не превосходящей по порядку длины окружности. Дальнейшие уточнения оценок остаточного члена были достигнуты применением элементарного метода, созданного Г. Ф. Вороным. В 1903 г. Г. Ф. Вороной [1] получил результат R = 0(Тз In Г).
Развитие аналитических методов исследования данной задачи содержится в работах Г. Ф. Вороного [2], Г. X. Харди и Дж. И. Литтлвуда [3], И. М. Виноградова [4], Л. К. Хуа [11]. Г. X. Харди и Дж. И. Литтлвудом установлена также ^-оценка R = fi(T?(lnT)2). Последние достижения в проблеме круга приведены в монографии М. Н. Хаксли [12].
Для числа N'(T) целых точек в трехмерном шаре x2+y2+z2 ^ Т И. М. Виноградов, применяя созданный им метод тригонометрических сумм [5]—[10], получил результат
N'(T) = |тгТІ + Я', R' = 0(тЦ\пТ)6).
Ф. Чамизо и Г. Иванцом [14] установлена оценка В! = 0(7). Известно, что улучшить оценку В! = 0(Т21пТ) нельзя.
Для многомерных рациональных эллипсоидов евклидова пространства размерности m > 4 модификация аддитивного метода Харди-Литтлвуда позволила Э. Ландау и А. Вальфишу [15]—[22] получить неулучшаемые оценки остатка 0(Т"2"-1), в случае га = 4 известная оценка почти неулучшаема — 0(Т In Т).
Обобщением указанных проблем является проблема получения асимптотической формулы для числа точек решетки, соответствующей некоторой дискретной подгруппе движений в римановом пространстве, попадающих в шар растущего радиуса. Постановка задачи такова. Пусть d(z, z') — геодезическое расстояние между точками z и z' риманова пространства 91, Г — дискретная подгруппа движений 91, т. е. подгруппа, обладающая следующим свойством: для любой точки z Є 91 и любой последовательности {7n}n^i различных элементов из Г последовательность {7nz}n^i не имеет точек накопления в 9. Для точек zq Є 91 и z Є 91 рассмотрим множество
S{T;z0,z) = ы7 є г, фо,7*) ^ Т},
где Т — большое положительное число. Предметом исследования является асимптотическое поведение при Т ч- со величины
N(T;zQ,z) = \S{T-Zbz)\,
равной числу точек решетки в шаре радиуса Т, если z не является неподвижной точкой Г, и равной этому числу, умноженному на порядок стабилизатора -г в Г, если z — неподвижная точка Г.
Впервые функция N(T; zq, z) для случая пространства Лобачевского была введена Ж. Дельсартом в 1942 г. [23]—[24]. Фундаментальной областью # С 91 подгруппы Г будем называть область, удовлетворяющую двум условиям:
1) V 71,72 Є Г, 71 ф 72, тії П 72ff = 0;
2)IRff = 9t.
Ж. Дельсартом был получен следующий результат: для N(T; zq, z) справедливо представление
N(T; z0, z) = ttw ^T FI an, (3n; 2, ~ j
n=0 ^ '
где w = 2a21 ch-^- — 1], —tj — кривизна плоскости Лобачевского,
F(a, 6; с, t) обозначает классическую гипергеометрическую функцию Гаусса, определяемую выражением
Г(с) Т(а + к)Г(Ь + к)л Г(а)Г(Ь)-< Г(с + *)Г(* + 1)
F(a b-ct)- Кч У ^1Щ1^** _C^N і* [а, о, с, t; - гыгш 2^ г^ 4- МТУ* -і-1И ' с ^ *'
*=0
^пС^) — собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа, который в общем случае m-мерного пространства с метрикой
m і,к=1
может быть определен как
на компактной фундаментальной области плоскости Лобачевского при авто-морфных граничных условиях (т. е. порождаемом условием автоморфности соотношением между значениями непрерывной функции в паре граничных для фундаментальной области точек, переводимых друг в друга преобразованием подгруппы; в случае дифференцируемой функции условие автоморфности влечет за собой соответствующее соотношение между первыми производными функции в такой паре граничных точек), Ап — соответствующие им собственные значения, a„,/3n — корни квадратного уравнения
А2 - А - Ana2 = 0.
Ж. Дельсартом было также показано, что в пределе при кривизне пространства, равной нулю, данная формула превращается в классическую формулу Вороного для числа целых точек в круге.
X. Хубером [25]—[27] был исследован случай фуксовых подгрупп с компактной фундаментальной областью. В работе [26] доказано следующее соотношение:
при Г -> оо, д > 1 — род гиперболического пространства в модели Клейна как ориентируемого замкнутого многообразия.
Аналогичная задача при предположении о конечности кообъема фундаментальной области в гиперболическом пространстве произвольного количества измерений изучалась А. Сельбергом [28]—[30]. Его работа содержит также оценку остаточного члена асимптотической формулы. Метод исследования использует специальный класс интегральных операторов, коммутирующих с неевклидовыми движениями.
На основании идей X. Хубера Ф. Фрикером [31] в случае трехмерного гиперболического пространства в модели Пуанкаре был получен следующий результат. Пусть группа Г является кокомпактной, т. е. обладает компактной фундаментальной областью #. Для каждого собственного значения Л трехмерного оператора Бельтрами-Лапласа рассмотрим ортонормированный базис {<^/}"=і в конечномерном пространстве собственных функций, соответствующих этому собственному значению. Обозначим через K\(z) выражение
i=i Тогда при Т -> оо для величины N(T, z) = N(T\ z, z) справедлива асимптотическая формула
где ffl — кообъем фундаментальной области #.
Л. Берар-Бержери [32]—[33] выделил главный член асимптотики в более общем случае, чем X. Хубер, а именно для всех дискретных кокомпактных групп движений гиперболического пространства без кручения.
П. Гюнтер обобщил результат Ф. Фрикера на случай произвольной размерности [34]—[35].
П. Тернер [36]—[37] для случая трехмерного пространства Лобачевского получил следующие результаты. Пусть группа Г кокомпактна. Рассмотрим суммы Рисса
Nk(T; zo,z)= ]Г (T-d(7z,z0))\ k > 0.
Определяя т из условия Лг_1 ^ 1 < Аг, положим
ап —
(1 - Лп)2 ^ 0 для п <т,
(1 - \п)2 = ІД», Рп ^ /Зг > 0 для п ^ г.
Обозначим
g'(r;,^)-r(HDi:^!ieKtl,r+
А„<1
an(an +1)' + 2тгГ(Аг + 1)ег(Г - к - 1) РпМЙК
А„=1
Тогда для величины
Rk(T; 2b, z) = iVfe(T; *ь, г) - Qfc(T; z0, z),k^0, справедливы следующие оценки:
Д*(Т; zo,z) =
(3-к)Т
0(Г*с^), 0 < А < 1, 0(ет), * > 1,
равномерные при (z, 2) Є # х #. Отметим также полученную П. Тернером оценку Г2-типа, составляющую гипотезу о правильном порядке остаточного члена для числа точек в шаре гиперболического пространства:
Rk(T]z0,z) = n±(eT), к ^0.
При этом, если
Rk(T;z0,z) = O(e^T)
для любого є > 0, то
liminf——^ = -оо, 0 ^ к ^ 1.
Г-к» е1
Число перемен знака функции Rk{X\ zq, z) на интервале 0 ^ X ^ Т, обозначаемое через Wk(T; zq, z), стремится к оо при Т -> оо, а именно
Wk{T;zo,z)Z^T-dk, к >0,
dk — некоторые величины, не зависящие от Т. П. Тернером доказано также следующее утверждение: для почти всех (по мере, индуцированной метрикой гиперболического пространства) точек z Є $ и произвольного положительного 5 справедливы оценки
В работе П. Д. Лакса и Р. С. Филлипса [38] рассмотренные выше результаты распространены на случай фундаментальной области бесконечного ко-объема с конечным геометрическим свойством, т.е. области, допускающей полигональное представление с конечным числом сторон. Авторами работы доказана следующая теорема.
ТЕОРЕМА I. Положим
1\ 2
т — 1
\j — собственные значения оператора Бельтрами-Лапласа. Определим T,(T;z,zo) формулой
Е(Т; z, z0) =
cjm — площадь поверхности сферы радиуса 1. Тогда при Т -> оо
\N(T;z,z0) - Е(Г; *,;*,) | = О (Tsfee^ft+sfr)*')
для m > 2,
|iV(T; z, z0) - E(T; z, z0)| = О (тe«+f )r)
для m = 2.
()2.о)
точек только дискретного
Оценка остаточного члена в асимптотической формуле для N(T] zo, z) основывается на принципе сохранения энергии для волнового уравнения. Другим результатом работы П. Д. Лакса и Р. С. Филлипса является дока-
зательство наличия на промежутке
спектра в том случае, когда фундаментальная область обладает конечным геометрическим свойством. В [38] приведен также евклидов аналог для кристаллографических групп.
ТЕОРЕМА II. Пусть Г — кристаллографическая группа. Для m > 2 число точек решетки N(T; z, zq) в m-мерном шаре радиуса Т с центром в точке zq равно
N(T;z,z0) = Vm(T) + O(T^)
Для m = 2
N(T;z,zo) = ^ + 0(Tl(lnT)l).
На основании метода Ж. Дельсарта и оценки спектральной функции эллиптического оператора Б. М. Левитаном для случая, когда фундаментальная область имеет конечный кообъем (коконечной группы), были получены следующие результаты [41].
Теорема III. Обозначим через
1\ 2 гп — 1 \
= А0 < Ai < А2 < ^ Хм < О
V 2 собственные значения оператора Бельтрами-Лапласа
л/ 2(д2 д2 З2 \ 2д _т+2д (т-\\2
на интервале - (21^) , 0) и через (pj(z), О ^ j ^ N, — соответствующие им нормированные собственные функции. Далее, положим
А(Т- *, z) = **? ^е(«^Ый W,
где fj,j = y/\Xj\. Тогда имеет место следующая асимптотическая формула N(T; z0, z) = А{Т- z0, z) + 0 (е2^) .
В работе [41] приведено также обобщение формулы Ж. Дельсарта на случай m-мерного пространства Лобачевского, кривизна которого выбирается равной — 1. Пусть 0(zo, z\ А) — спектральная функция оператора Бельтрами-Лапласа на фундаментальной области пространства Лобачевского, при авто-морфных граничных условиях, по определению равная выражению
0(zo,z;X) = ^2
А„<А
сумма в котором распространена на собственные значения оператора Бельтра-ми-Лапласа. Асимптотическая формула в данном случае принимает следующий вид:
m
где w = 2(chT — 1), F(a, b; с, t) — гипергеометрическая функция Гаусса.
С проблемой оценок остаточного члена в асимптотической формуле для числа точек решетки, образованной дискретной подгруппой движений, внутри шара растущего радиуса тесно связана задача получения оценок первого собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа. Для случая двумерной плоскости Лобачевского оценка Ai ^ — 4* была анонсирована А. Сельбер-гом в 1965 г. ([30], [43]). Напомним определения копгруэнц-подгрупп полной модулярной группы SLi2(Z). Пусть q — положительное целое число. Положим
Чя) = { , Є SL2(Z)
a = d= l(mod q) ,b = c = 0 (mod q)
Подгруппа T(q) называется главной конгруэнц-подгруппой уровня q. Подгруппа полной модулярной группы называется конгруэнц-подгруппой уровня q, если она содержит T(q). Подгруппа полной модулярной группы называется конгруэнц-подгруппой, если существует такое целое положительное q, что эта подгруппа является конгруэнц-подгруппой уровня q. А. Сельберг в работе [30] также выдвинул гипотезу об отсутствии исключительных собственных значений для группы PSL/2(Z) и всех ее конгруэнц-подгрупп, т. е. о выполнении оценки Ai ^ 0.
В. Рёльке [49] и Ж.-М. Дезуйе и Г. Иванец [50] показали справедливость гипотезы Сельберга для полной модулярной группы. Для конгруэнц-подгрупп
ГоЙ) = {[ \ Є PSL2(Z)
с = 0 (mod q)
гипотеза Сельберга доказана М. Н. Хаксли [13] при q ^ 17.
К. Моззочи [51] показал, что при условии справедливости гипотезы Сельберга имеет место неравенство
log q
Для групп PSI^fflv^) гипотеза Сельберга доказана Ф. Грюневальдом, Й. Меннике и Ю. Эльстродтом [47].
В случае групп PSL,2(Q), где О — кольцо целых мнимого квадратичного поля, П. Сарнаком [52] было доказано, что Лі ^ —4.
Г. И. Архиповым и В. Н. Чубариковым ([53], [54]) был найден ряд новых подходов к решению задач рассматриваемой проблематики, созданных на основе методов аналитической теории чисел. Разработанная техника оценок первого собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа базируется на сочетании элементарных методов и метода тригонометрических сумм И. М. Виноградова.
Использование данных приемов дало возможность М. Суги [55] получить новые асимптотические формулы для числа точек решетки в круге растущего радиуса на плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре под действием конгруэнц-подгрупп Го(), определенных выше, и конгруэнц-подгрупп
Гі(ї) = < I " \ І є ГоМ
a = d = 1 (mod q)
М. Суги показано, что для величин
N0(T;z,z0;q) = \{>yz\j Є ВДДгоЛ*) < Т}\
Ni(T;z,zo;q) = |{7ф Є Гі(д),фь,7*) ^ Т}\
справедливы следующие соотношения:
No(T; z, z0; q) = ^- + 0{Т3е^ + т^а.Мд^тЩ,
ЩТ; z, z0; q) = ^- + 0(Т^ф)д~^ + Т3е"). ч.
Настоящая работа также посвящена исследованию свойств распределения орбит точек под действием целочисленных матриц в двумерном и трехмерном пространстве Лобачевского в модели Пуанкаре. Устанавливаемые нами утверждения относятся к количественной характеристике обнаруживаемого эффекта близости орбит точек под действием целочисленных матриц больших по абсолютной величине определителей. В определенном смысле наши предложения описывают свойство плотности орбит точек в пространстве.
Постановка задачи принадлежит Е. В. Подсыпанину. Изучение рассматриваемой проблематики и аналогичных вопросов начато в работе [56].
Пусть Ш обозначает плоскость Лобачевского в модели Пуанкаре, т. е. верхнюю полуплоскость комплексной плоскости
m = {z = x + iyeC\y>0}
с метрикой
У1 Группа собственных движений SO+(l, 2) на плоскости Лобачевского изоморфна группе
PSL2(M) = SL2(M)/{±I}.
Действие элемента 7 = ( І Є SlVR) на точку z Є И определяется
\ с d
формулой
az + b
JZ= : .
cz + d Расстояние между точками z\ и z2 может быть выражено формулой
u{zh z2) + 2 + y/u2(z!, z2) + 4u(zhz2)
d{zh z2) = In
где функция u(zi, z-i) (фундаментальный инвариант пары точек на плоскости Лобачевского), определяемая выражением
является инвариантной относительно группы движений PSLi2(R), т. е. для любого элемента у Є SL^M) имеем w(7^i, 7) = u(zi, ^2)- Метрика пространства Н порождает меру
. dxdy
d^z) = -jr >
также инвариантную относительно группы движений PSL2 Пусть точки z\ и 22 принадлежат її, и символ
а, Ь, с, d Є Z; ad — be = q ^ 1
обозначает множество целочисленных матриц заданного определителя q. Е. В. Подсыпаниным было установлено, что
min 1/(721,) <ZuZ2 д"ї.
7ЄД,
Одним из известных приложений данной задачи является исследование аппроксимаций гексагональной решетки на плоскости целочисленными решетками. Использование результатов спектральной теории автоморфных функций позволило В. А. Быковскому [57] применить оценку порядка сближения орбит точек под действием целочисленных матриц на двумерной плоскости Лобачевского для получения оценки определителя решетки, служащей для решения прикладных задач теории вычислительной математики. Были получены следующие результаты.
1. Справедлива оценка
mmu{yzhz2) <,zi,z2 Я~"+є,
7ЄА,
є > 0 — любое фиксированное число.
2. Пусть имеет место оценка
Из(п) < пє,
где Hj(n) — собственные значения операторов Гекке, действие которых на функцию f(z) определяется следующим образом
az + bs
. d
ad=n,a>0 6(mod d)
при п = 1,2,... . Тогда
mmu(-yzhZ2)<tZl,Z2q *+є,
є > 0 — любое фиксированное число.
М. Суги, используя новый, элементарный метод, установил оценку
minu(7«',«) ^ ІЗ*?".
7ЄА,
Предлагаемый для решения данной задачи метод является обобщением метода, применяемого в работе М. Суги [55]. Наш подход основывается на реализации следующих двух идей. Первая — использование явной формулы для функции u(,yzi,Z2) и решение двухпараметрической задачи геометрии чисел в классической формулировке [72]. Вторая — применение алгоритма приближений заданного числа двумя квадратами целых чисел.
Перейдем к формулировке основных результатов работы. В первой главе содержатся элементарные доказательства следующих оценок.
ТЕОРЕМА 1. Пусть z\, z^ Є Н; О 2( Є Q. Тогда справедлива оценка
minu(72i,22)<2bz2g~2.
7ЄД,
Иррациональное число ш будем называть числом типа < Ф, если неравенство
v\\vw\\ >
справедливо при всех положительных целых v,ip(v) — неубывающая положительная функция, определенная по меньшей мере для всех положительных целых аргументов.
ТЕОРЕМА 2. Пусть z\, zi Є Н, є > 0 — любое фиксированное, ш = <>У 2( — иррациональное число типа < с{ш) 1п1+ 2г/, где с(ш) — положительная посто-
янная, зависящая от и. Тогда
min u(yzh z2) <,zl>Z2 q~* lns q
7ЄД,
для любого S > I (2 + є).
В случае трехмерного пространства Лобачевского получены аналогичные результаты. Пусть Н3 обозначает трехмерное пространство Лобачевского в модели Пуанкаре, т. е. верхнее полупространство
fP = {z = {xhx2,y)eR*\y>0}
с метрикой
2 dx\ + dx\ + dy2
dsz = —± f , у > 0.
Г Группа собственных движений SO+(l, 3) в пространстве Н3 изоморфна группе
PSL2(C) = SL2(C)/{±I},
действующей над телом кватернионов. Действие элемента группы движений
7=1 І Є SL^C) на точку z = х\ + Х2% + yj + 0 к определяется
формулой
jz = (az + b)(cz + d)_1.
Расстояние между z\ — х\\ + Х2\і + у\і и Z2 = х\2 + #22« + У23 может быть выражено формулой
,, х , Фъ 22) + 2 + y/u2(zh z2) + 4w(zb z2)
d[zh z2) = In ?-—
(я?и - xn)2 + (x2i - ж22)2 + (Уі - Уї)2
U = U[Zh Z2) =
2/12/2
Метрика пространства И3 порождает меру
dx\dx2dy
dfi(z) =
также инвариантную относительно группы движений PSL^C).
Пусть точки z\ и z2 принадлежат И3, и символ
a,b,c,d eG;ad — bc = q,q^ 1
обозначает множество матриц заданного определителя q, коэффициентами которых являются элементы кольца G целых гауссовых чисел. Во второй главе устанавливаются следующие оценки.
ТЕОРЕМА 3. Пусть z\ = хп + x2\i + yij, z2 = xi2 + х22г + y2j Є H3; Щ Є Q.
Тогда справедлива оценка
mmu(yzhz2)<Zl,Z2q *.
7ЄД,
ТЕОРЕМА 4. Пусть z\ = xu + x2\i + yij,z2 — xi2 + x22i + y2j Є H3, є > 0 — любое фиксированное, и; = Щ — иррациональное число типа < с(ш) ln1+e 2v, где с(и) — положительная постоянная, зависящая от ш. Тогда
min u(jzh z2)
для любого S > I (2 + є).
В заключение автор приносит глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В. Н. Чубарикову и доктору физико-математических наук, профессору Г. И. Архипову за постоянное внимание и помощь в работе.
Случай рационального отношения координат точек плоскости
Для многомерных рациональных эллипсоидов евклидова пространства размерности m 4 модификация аддитивного метода Харди-Литтлвуда позволила Э. Ландау и А. Вальфишу [15]—[22] получить неулучшаемые оценки остатка 0(Т"2"-1), в случае га = 4 известная оценка почти неулучшаема — 0(Т In Т). Обобщением указанных проблем является проблема получения асимптотической формулы для числа точек решетки, соответствующей некоторой дискретной подгруппе движений в римановом пространстве, попадающих в шар растущего радиуса. Постановка задачи такова. Пусть d(z, z ) — геодезическое расстояние между точками z и z риманова пространства 91, Г — дискретная подгруппа движений 91, т. е. подгруппа, обладающая следующим свойством: для любой точки z Є 91 и любой последовательности {7n}n i различных элементов из Г последовательность {7nz}n i не имеет точек накопления в 9. Для точек ZQ Є 91 и z Є 91 рассмотрим множество где Т — большое положительное число. Предметом исследования является асимптотическое поведение при Т ч- со величины равной числу точек решетки в шаре радиуса Т, если z не является неподвижной точкой Г, и равной этому числу, умноженному на порядок стабилизатора -г в Г, если z — неподвижная точка Г. Впервые функция N(T; ZQ, Z) для случая пространства Лобачевского была введена Ж. Дельсартом в 1942 г. [23]—[24]. Фундаментальной областью # С 91 подгруппы Г будем называть область, удовлетворяющую двум условиям: Ж. Дельсартом был получен следующий результат: для N(T; ZQ, Z) справедливо представление пС ) — собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа, который в общем случае m-мерного пространства с метрикой m і,к=1 может быть определен как на компактной фундаментальной области плоскости Лобачевского при авто-морфных граничных условиях (т. е. порождаемом условием автоморфности соотношением между значениями непрерывной функции в паре граничных для фундаментальной области точек, переводимых друг в друга преобразованием подгруппы; в случае дифференцируемой функции условие автоморфности влечет за собой соответствующее соотношение между первыми производными функции в такой паре граничных точек), Ап — соответствующие им собственные значения, a„,/3n — корни квадратного уравнения Ж. Дельсартом было также показано, что в пределе при кривизне пространства, равной нулю, данная формула превращается в классическую формулу Вороного для числа целых точек в круге. X. Хубером [25]—[27] был исследован случай фуксовых подгрупп с компактной фундаментальной областью.
В работе [26] доказано следующее соотношение: при Г - оо, д 1 — род гиперболического пространства в модели Клейна как ориентируемого замкнутого многообразия. Аналогичная задача при предположении о конечности кообъема фундаментальной области в гиперболическом пространстве произвольного количества измерений изучалась А. Сельбергом [28]—[30]. Его работа содержит также оценку остаточного члена асимптотической формулы. Метод исследования использует специальный класс интегральных операторов, коммутирующих с неевклидовыми движениями. На основании идей X. Хубера Ф. Фрикером [31] в случае трехмерного гиперболического пространства в модели Пуанкаре был получен следующий результат. Пусть группа Г является кокомпактной, т. е. обладает компактной фундаментальной областью #. Для каждого собственного значения Л трехмерного оператора Бельтрами-Лапласа рассмотрим ортонормированный базис { /}"=і в конечномерном пространстве собственных функций, соответствующих этому собственному значению. Обозначим через K\(z) выражение
Случай иррационального отношения координат точек плоскости
Тернером оценку Г2-типа, составляющую гипотезу о правильном порядке остаточного члена для числа точек в шаре гиперболического пространства: Число перемен знака функции Rk{X\ ZQ, Z) на интервале 0 X Т, обозначаемое через Wk(T; dk — некоторые величины, не зависящие от Т. П. Тернером доказано также следующее утверждение: для почти всех (по мере, индуцированной метрикой гиперболического пространства) точек z Є $ и произвольного положительного 5 справедливы оценки В работе П. Д. Лакса и Р. С. Филлипса [38] рассмотренные выше результаты распространены на случай фундаментальной области бесконечного ко-объема с конечным геометрическим свойством, т.е. области, допускающей полигональное представление с конечным числом сторон. Авторами работы доказана следующая теорема. \j — собственные значения оператора Бельтрами-Лапласа.
Определим T,(T;z,zo) формулой точек только дискретного Оценка остаточного члена в асимптотической формуле для N(T] zo, z) основывается на принципе сохранения энергии для волнового уравнения. Другим результатом работы П. Д. Лакса и Р. С. Филлипса является дока- зательство наличия на промежутке спектра в том случае, когда фундаментальная область обладает конечным геометрическим свойством. В [38] приведен также евклидов аналог для кристаллографических групп. ТЕОРЕМА II. Пусть Г — кристаллографическая группа. Для m 2 число точек решетки N(T; z, На основании метода Ж. Дельсарта и оценки спектральной функции эллиптического оператора Б. М. Левитаном для случая, когда фундаментальная область имеет конечный кообъем (коконечной группы), были получены следующие результаты [41]. В работе [41] приведено также обобщение формулы Ж. Дельсарта на случай m-мерного пространства Лобачевского, кривизна которого выбирается равной — 1. Пусть 0(zo, z\ А) — спектральная функция оператора
Бельтрами-Лапласа на фундаментальной области пространства Лобачевского, при авто-морфных граничных условиях, по определению равная выражению сумма в котором распространена на собственные значения оператора Бельтра-ми-Лапласа. Асимптотическая формула в данном случае принимает следующий вид: где w = 2(chT — 1), F(a, b; с, t) — гипергеометрическая функция Гаусса. С проблемой оценок остаточного члена в асимптотической формуле для числа точек решетки, образованной дискретной подгруппой движений, внутри шара растущего радиуса тесно связана задача получения оценок первого собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа. Для случая двумерной плоскости Лобачевского оценка Ai — 4 была анонсирована А. Сельбер-гом в 1965 г. ([30], [43]). Напомним определения копгруэнц-подгрупп полной модулярной группы SLi2(Z). Пусть q — положительное целое число. Положим Подгруппа T(q) называется главной конгруэнц-подгруппой уровня q. Подгруппа полной модулярной группы называется конгруэнц-подгруппой уровня q, если она содержит T(q). Подгруппа полной модулярной группы называется конгруэнц-подгруппой, если существует такое целое положительное q, что эта подгруппа является конгруэнц-подгруппой уровня q. А. Сельберг в работе [30] также выдвинул гипотезу об отсутствии исключительных собственных значений для группы PSL/2(Z) и всех ее конгруэнц-подгрупп, т. е. о выполнении оценки Ai 0.
Случай рационального отношения координат точек пространства
Подгруппа T(q) называется главной конгруэнц-подгруппой уровня q. Подгруппа полной модулярной группы называется конгруэнц-подгруппой уровня q, если она содержит T(q). Подгруппа полной модулярной группы называется конгруэнц-подгруппой, если существует такое целое положительное q, что эта подгруппа является конгруэнц-подгруппой уровня q. А. Сельберг в работе [30] также выдвинул гипотезу об отсутствии исключительных собственных значений для группы PSL/2(Z) и всех ее конгруэнц-подгрупп, т. е. о выполнении оценки Ai 0. В. Рёльке [49] и Ж.-М. Дезуйе и Г. Иванец [50] показали справедливость гипотезы Сельберга для полной модулярной группы. Для конгруэнц-подгрупп гипотеза Сельберга доказана М. Н. Хаксли [13] при q 17. К. Моззочи [51] показал, что при условии справедливости гипотезы Сельберга имеет место неравенство Для групп PSI fflv ) гипотеза Сельберга доказана Ф. Грюневальдом, Й. Меннике и Ю. Эльстродтом [47]. В случае групп PSL,2(Q), где О — кольцо целых мнимого квадратичного поля, П. Сарнаком [52] было доказано, что Лі —4. Г. И. Архиповым и В. Н. Чубариковым ([53], [54]) был найден ряд новых подходов к решению задач рассматриваемой проблематики, созданных на основе методов аналитической теории чисел. Разработанная техника оценок первого собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа базируется на сочетании элементарных методов и метода тригонометрических сумм И. М. Виноградова. Использование данных приемов дало возможность М. Суги [55] получить новые асимптотические формулы для числа точек решетки в круге растущего радиуса на плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре под действием конгруэнц-подгрупп Го(), определенных выше, и конгруэнц-подгрупп Настоящая работа также посвящена исследованию свойств распределения орбит точек под действием целочисленных матриц в двумерном и трехмерном пространстве Лобачевского в модели Пуанкаре.
Устанавливаемые нами утверждения относятся к количественной характеристике обнаруживаемого эффекта близости орбит точек под действием целочисленных матриц больших по абсолютной величине определителей. В определенном смысле наши предложения описывают свойство плотности орбит точек в пространстве. Постановка задачи принадлежит Е. В. Подсыпанину. Изучение рассматриваемой проблематики и аналогичных вопросов начато в работе [56]. Пусть Ш обозначает плоскость Лобачевского в модели Пуанкаре, т. е. верхнюю полуплоскость комплексной плоскости где функция u(zi, z-i) (фундаментальный инвариант пары точек на плоскости Лобачевского), определяемая выражением является инвариантной относительно группы движений PSLi2(R), т. е. для любого элемента у Є SL M) имеем w(7 i, 7) = u(zi, 2)- Метрика пространства Н порождает меру также инвариантную относительно группы движений PSL2 Пусть точки z\ и 22 принадлежат її, и символ обозначает множество целочисленных матриц заданного определителя q. Е. В. Подсыпаниным было установлено, что Одним из известных приложений данной задачи является исследование аппроксимаций гексагональной решетки на плоскости целочисленными решетками. Использование результатов спектральной теории автоморфных функций позволило В. А. Быковскому [57] применить оценку порядка сближения орбит точек под действием целочисленных матриц на двумерной плоскости Лобачевского для получения оценки определителя решетки, служащей для решения прикладных задач теории вычислительной математики. Были получены следующие результаты.
Случай иррационального отношения координат точек пространства
Предлагаемый для решения данной задачи метод является обобщением метода, применяемого в работе М. Суги [55]. Наш подход основывается на реализации следующих двух идей. Первая — использование явной формулы для функции u(,yzi,Z2) и решение двухпараметрической задачи геометрии чисел в классической формулировке [72]. Вторая — применение алгоритма приближений заданного числа двумя квадратами целых чисел. Перейдем к формулировке основных результатов работы. В первой главе содержатся элементарные доказательства следующих оценок. Иррациональное число ш будем называть числом типа Ф, если неравенство справедливо при всех положительных целых v,ip(v) — неубывающая положительная функция, определенная по меньшей мере для всех положительных целых аргументов. В случае трехмерного пространства Лобачевского получены аналогичные результаты.
Пусть Н3 обозначает трехмерное пространство Лобачевского в модели Пуанкаре, т. е. верхнее полупространство обозначает множество матриц заданного определителя q, коэффициентами которых являются элементы кольца G целых гауссовых чисел. Во второй главе устанавливаются следующие оценки. положительная постоянная, зависящая от ш. Тогда В заключение автор приносит глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В. Н. Чубарикову и доктору физико-математических наук, профессору Г. И. Архипову за постоянное внимание и помощь в работе. Настоящая глава посвящена оценке минимума расстояния между элементами орбит двух точек на плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре под действием целочисленных матриц с фиксированными значениями определителей. В отличие от тривиального аналога в случае евклидовой плоскости, данная задача является содержательной и служит основой для получения результатов в вопросах аппроксимации гексагональной решетки на плоскости целочисленными решетками. Вспомогательные сведения из теории равномерного распределения последовательностей Обозначим через xi,...,xn,... заданную последовательность вещественных чисел. Построим последовательность их дробных частей {х\}, ... , {хп},.... Для целого ф 1и0 а /3 1 введем счетчик F(Q;a,fi), по определению равный количеству членов последовательности {xk}, для которых к Q и а {хк} /3. Будем говорить, что последовательность вещественных чисел xi,...,xn,... равномерно распределена по модулю 1, если для любой пары а и /3, для которых 0 а При проведении дальнейших рассуждений нам потребуются следующие утверждения [68]. Критерий Г. Вейля).
Последовательность х\,...,хп,... равномерно распределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для всех целых h O. чисел при любом целом положительном т существует абсолютная постоянная С такая, что (о разложении последовательности на несколько подпоследовательностей с малыми отклонениями). Пусть хк% — последовательность, состоящая из Qi вещественных чисел, отклонение которой DQ.(X ) известно; 1 $С г т. Обозначим через ж& суперпозицию последовательностей хк ,..., хк , т. е. последовательность, полученную из всех элементов всех хк, перенумерованных в любом порядке. Пусть Q = Q\ + ... + Qm количество элементов Xk- Тогда
