Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Двойные госледовательности и их матричные преобразования
1.1. Некоторые классы двойных последовательностей 20
1.2. Матричные преобразования двойных последовательностей 25
1.3. Критерий консервативности и регулярности матричных преобразований некоторых классов двойных последовательностей 31
1.4. Матричные методы, порождающие сходимость 42
ГЛАВА 2. Структурные вопросы матричных мегодоь узкого суммирования двойных последовательностей
2.1. Об ограниченной совместности методов узкого суммирования двойных последовательностей 47
2.2. Усечение регулярных матричных преобразований некоторых классов неограниченных двойных последовательностей 55
2.3. Принцип "подражающих последовательностей" и его применение для доказательства теорем теории суммирования 62
2.4. О полях сходимости (ар) - регулярных матричных методов суммирования двойных последовательностей 67
2.5. Корегулярные и конулевые матричные методы и некоторые свойства их полей сходимости 76
2.6. Равномерно с - суммируемые двойные последовательности 83
2.7. Доля ограниченной с - сходимости множества матриц 92
2.8. О включении методов суммирования 104
2.9. Границы обобщенных пределов последовательностей 108
Литература 114
- Матричные преобразования двойных последовательностей
- Критерий консервативности и регулярности матричных преобразований некоторых классов двойных последовательностей
- Усечение регулярных матричных преобразований некоторых классов неограниченных двойных последовательностей
- О полях сходимости (ар) - регулярных матричных методов суммирования двойных последовательностей
Введение к работе
Последовательности и ряды - это один из наиболее часто применяемых аппаратов решения задач» одно из наиболее сильных средств классического и современного анализа» При этом нередко оказывается, что ряды, с которыми приходится иметь дело при решении как различных теоретических вопросов, так и задач прикладного характера, являются расходящимися*
В самостоятельную главу анализа теория расходящихся рядов развилась сравнительно недавно* Изучению прежде всего подверглись одномерные ряды и последовательности, и, если к настоящему времени об их суммируемости имеется обширная литература, то вопросы суммирования кратных рядов и последовательностей до сих пор остаются еще мало исследованными. Вместе с тем заслуживает внимания высказывание А* Зигмунда в предисловии к его монографии "Тригонометрические ряды" относительно теории кратных рядов: "Эта область громадна и многообещающа, и в настоящее время мы, возможно, не представляем себе сферы ее проблем, хотя результаты здесь могут оказаться даже более важными для приложений, чем в случае одного переменного".
Вопросы суммирования кратных рядов представляют определенный интерес еще и потону, что переход от одномерных рядов к рядам кратным вносит в теорию суммирования значительное своеобразие, выдвигает множество новых проблем. Установлено, что в области кратных рядов многие методы суммирования утрачивают регулярность, обычные взаимосвязи между собой и другие свойства, которые характеризуют их в одномерном случае. Эти особенности достаточно полно проявляются уже при рассмотрении двойных последовательностей. По замечанию Челидзе В.Г.[34], при переносе понятий и исследований, относящихся к простым последовательно- стям, на двойные результаты иногда кажутся наперед ясными по аналогии с одномерным случаем, но фактическое установление даже угаданных результатов часто требует большого и кропотливого труда. Кроме того, во многих случаях упомянутая аналогия весьма ограничена. В связи с этим возникают новые понятия: ограниченной сходимости, узкой сходимости, регулярной сходимости и суммируемости и т.д.
Изучение двойных последовательностей и рядов впервые было начато Црингсхеймом [57] Он дал определения различных видов сходимости двойных рядов (сходимость по квадратам, прямоугольникам, треугольникам, кругам). Уже на этом начальном этапе развития теории кратных рядов проявилось ее отличие от одномерной теории, где существует одно определение сходимости ряда. Единственным образом определяется в одномерном случае и сходимость последовательностей. При изучении двойных последовательностей наряду с прингсхейновской сходимостью, являющейся аналогом одномерного случая, рассматривается целый ряд других определений сходимости, получающихся путем наложения различных ограничений на изменение индексов і и к последовательности ( Цк) (см., например, [37], [39] , J42]). Наибольшего внимания, по-видимому, заслуживает рассмотрение "узкой сходимости11 двойных последовательностей.
Определение (а) Последовательность (ItK) называется сходящейся к числу t (в смысле (а), или по Прингсхейму), если для V&>0 3^е>0: V4k*J\)
Следуя Тиману М.Ф. ([29])» последовательность (t{V) назо вем 0 - сходящейся к t , если для \/&>0 V\>\ Зл16Л>0- V4 к ^ Jvl. , (t,K)<= & выполняется неравенство ltiK-tl<«.
Здесь и в дальнейшем под 0 и ( понимаются соответственно обла сти 0(K)d,40(K) И -j^g/KHi 4А02(К) , где Cj^(K) и о (К) - некоторые неубывающие неограниченные функции
Последовательность (tjK) назовем с - сходящейся к t , если \/е>0 ЗА6>0: Уі,к*ічІ; (і,к)єб:
It- -tl<6.
Первые обращения к "узкой" сходимости мы находим у мура [50]. Ее дальнейшему изучению, параллельно с прннгсхеймовской сходимостью, посвящены работы Челидзе В.Г., Тимана М.Ф., Огиевецкого И.И. и др. (см.[5], [бЗ]). Использование узкого предельного перехода оказывается эффективным в изучении различных вопросов теории функций двух переменных, в частности, при решении задачи о восстановлении интегрируемой в смысле Лебега функции многих переменных по ее ряду Фурье ([13] ) Важное применение понятие узкой сходимости получило в работах Челидзе при исследовании вопросов сохранения сходимости и регулярности на некоторых классах двойных последовательностей, характеризующихся определенными мажорантами роста ([32], [34] ,[l] ), изучении конкретных методов суммирования последовательностей, открывая возможности более глубокого исследования вопросов их взаимосвязи ([32] , [33] ,[34] ).
Работа состоит из введения, двух глав и списка использованной литературы. Первая глава "Двойные последовательности и их матричные преобразования" разделена на 4 параграфа.
В первом параграфе вводятся определения из теории двойных последовательностей. Отметим* что ни одно из рассматриваемых нами определений сходимости двойной последовательности не гарантирует ее ограниченности. Это вносит своеобразие в изучение преобразований двойных последовательностей и приводит к необходимости рассмотрения вопросов на отдельных классах последовательностей. Нами выделяются следующие классы двойных последовательностей:
П\ - класс ограниченных двойных последовательностей; уСми Cft)j
С *", Св$ Сс - классы последовательностей, сходящихся соответственно в смысле (а), (в), (с); а, в, с - классы ограниченных a -t в -, с - сходящихся последовательностей. (Определения этих классов см. стр. 23).
Пусть ( Smn) - произвольная двойная числовая последовательность» С помощью матрицы А «= (СЦктп) ей можно поставить в соответствие последовательность предполагая, что ряды в правой части равенства сходятся при любых і и к.
Преобразование, осуществляемое матрицей А « (^1Kmn ) п0 формуле (А), назовем матричным преобразованием, причем преобразование и его матрицу всюду будем обозначать одной и той же буквой.
Пусть d - один из введенных выше классов.
Если преобразование А определено для каждой последовательности (Smn)of , то говорят о матричном преобразовании класса о( .
Условия существования таких преобразований выясняются в
1.2. Так, если d = С, то
ТЕОРЕМА I. Для существования преобразования А на классе С необходимо и достаточно, чтобы: существовали функции М(п,і,к) и N(m,t,K) такие, что CL =0 для всех т>М(п,і,к) . ео 1КГОП и П> N(m,t,K) ; 2Z \dWrnn \< для всех t , к. m,n=i
Пусть заданы любые два класса d и ft двойных последовательностей. Возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять матрица А, чтобы преобразование A V(Smn) ео( переводило в (t:K) Є/5 . Исследованию этих вопросов посвящены последующие параграфы I главы. Основное внимание при этом уделено преобразованиям сходящихся и ограниченно сходящихся последовательностей.
Метод, переводящий каждую последовательность (Smn)ea в последовательность ( 1ік) є A (o(t А є { а, в, с, С }), или класс d в класс [3 , называют (сС,в ) - консервативным.
Если кроме этого метод А сохраняет значение предела последовательности, то он называется Ы,(Ь ) - регулярным. (<л,Р> ) - консервативные и - регулярные методы будем также называть соответственно IVf и К' - методами (нижний индекс обозначает, к какому классу принадлежит исходная последовательность, верхний - преобразованная).
В одномерном случае вопрос о консервативности и регулярности матричных преобразований исчерпывающим образом решается теоремами Кожима-Шура и Теплица (см. [Ю]). При изучении преобразований двойных последовательностей эти условия существенно зависят от класса рассматриваемых последовательностей. В работах мура [50 ] и Робисона [58] , занимавшихся изучением матричных преобразований ограниченно сходящихся последовательностей, были установлены следующие теоремы.
ТШРЕМА A. (мур,[50]). Для того, чтобы І = ZI U- S п стремилаь к конечному пределу при ЦК-*00 всякий раз, когда ограниченная числовая последовательность (Smr?) сходится, необходимо и достаточно, чтобы оо *) i.ZIIaiKmn|<~ t/t,K;giaiKmnUM Vi.K^;
2. um (X. = d для любых фиксированных m,n; І,К-*со ІКСГЇП і'1''
3. ШП 2—. & = 0(7;
4. ряд Zl|aiKrMn -o^mn І сходился при любом П и
5. ряд 2L_ I (X. -of I сходился при любом m и Urn И\аікш-с(тпІ = о. t,K-*Co П=1
При этих условиях ряд 21 of~,„ абсолютно сходится и, если (S ) сходится к S , то Urn L = s (<*-і: тя) + ;^Г=1S>0( *) » Условие 2Z. | CtiKwn | <со И,К теоремы А в работе [бо] отсут- ствует, однако, его выполнимость предполагается и существенно используется автором при доказательстве теоремы.
ТШРЕМа В (Робисона, [58] ). Для того, чтобы для всякой ограниченной последовательности (S ), сходящейся к S, пре- образованная последовательность Т. = 2L_ ^iKmnSmn также сходилась к S, необходимо и достаточно, чтобы *'*-«'4М ^"Ч т и а. = 1;
1,к->« m,n=i « 4. fcm 1 /a. 1^0 V n- i,k-?oo m=< tKmn 5. Ctm 21.1 ft.„ 1 = 0 Vm. t,K-»«> n=< tKmn (Приведенная нами формулировка теоремы В взята из [12] и несколько отличается от данной Робисоном ([58] , т. II). Так, отмеченное им условие шп ft. ~ 0 является излишним и цк tKmn следует из 4 и 5. Условие 2L|0t:„ |<М » очевидно, не m,n іккпп' является необходимым и заменено нами условием 2. Заметим, что необходимость именно этого условия по существу и доказывается Робисоном).
Для отдельных классов неограниченных последовательностей аналогичные результаты подучены Челидзе В.Г. [32] ,[34], Тима-ном М.Ф.[29] . В этом направлении следует также отметить работы [її], [l2j,[l4 j, в которых условия преобразования одних классов двойных последовательностей в другие рассматриваются с позиций функционального анализа.
3 первой главы продолжает эти исследования. В нем установлены критерии консервативности и регулярности матричных - II - преобразований произвольных сходящихся двойных последовательностей в сходящиеся, ограниченно сходящиеся, узко сходящиеся, а также ограниченно сходящихся двойных последовательностей в ограниченно в, с - сходящиеся. Отметим, что все критерии, как новые, так и отмеченные ранее в обзорном порядке, в статьях [li]-[l2 J , сопровождаются достаточно полными доказательствами. Существенно при этом, что все они получены конструктивными методами, наглядно демонстрирующими как технические трудности работы с двойными последовательностями и их четырехмерными матричными преобразованиями, так и возможности построения соответствующих примеров и контрпримеров, и используются нами в дальнейших исследованиях.
ТЮРЕМ Z, Для того, чтобы преобразование, заданное матрицей А в (Ct{Krnr?), было (С, С) - консервативным, необходимо и достаточно, чтобы
I. km 0,Ытп = о(тп ;
ЦК->со
Ш. ZL|aiKm |<«» Vi,K; ІУ. Существовали функции натуральных аргументов M(rrfl иМ\т,і,Ю, ДІ(гО и >J(n,i,K) такие, что М*(m,t,кН И(т) для і,к^М(т) и N (п,1,к)4 Jsl(n) для i,K>/4l(if) и aiKm =0для п^М^т^к) и m>Jvl(n,i,K).
При этих условиях ряд 2l_ d абсолютно сходится и, если - 12 -(SmrO сходится к S , то umtiK =S(d-±dmn)+_smndmn.
ТЕОРЕМА 7. Для (Я,о{) - регулярности метода А, о(е є { а, в, с }, необходимо и достаточно, чтобы: yiy. Urn ZI u{Kmn = 1; Xj. Gun ZZ I ft,-,,— 1=0 для любого фиксированного n: * с«*)і,к гич іктп XI/. twn 2ZI&. |=0 для любого фиксированного т.
Практическое приложение вопросы консервативности и регулярности матричных преобразований двойных последовательностей находят в изучении интерполяционных методов улучшения сходимости. Рабочим аппаратом в обоих вопросах является преобразование заданной последовательности в новую, и это дает возможность использовать для построения интерполяционных правил преобразований двойных последовательностей уже известные в теории суммирования результаты [44] , [9 ] , [35 "] .
В 1.4 получены условия порождения сходимости и ограниченной сходимости матричными преобразованиями двойных последовательностей (т.е. преобразований класса ГП0 в С и ОС). Введение для консервативных матричных методов понятия характеристики метода, являющегося аналогом соответствующего понятия одномерной теории, и связь консервативных преобразований с преобразованиями, порождающими сходимость, позволили перенести в теорию сум- - ІЗ - мирования двойных последовательностей известную в одномерном случае теорему Шура (см. [Ю] ,[в]), утверждающую, что никакой корегулярннй матричный метод не может суммировать всех ограниченных последовательностей.
Вторая глава "Структурные вопросы матричных методов узкого суммирования двойных последовательностей" состоит из 9 параграфов. В теории суммирования простых последовательностей изучению этих вопросов посвящены статьи Мазура и Орлича [48], [49], Брудно [2], Огиевецкого [20], [21], Давыдова Н.А.[3], Даревского [4], и других авторов, результаты которых достаточно полно освещены в обзоре Кангро Г.Ф. [8] и монографии Целлера и Бэкмана [бЗ] . Таким образом, в одномерной теории интерес к структурным вопросам полей сходимости достаточно велик. Не лишены интереса эти вопросы и в теории суммирования двойных последовательностей. Однако, в двумерной теории они не получили развития. Как следует из обзора [63] , единственной работой в этом направлении является статья [42] . Связано это, очевидно, прежде всего с тем, что даже в одномерной теории отмеченные вопросы решались различными авторами, различными, зачастую довольно сложными и громоздкими методами (см. например,^] , [2 ], [20J ). Кроме того, даже эти испытанные методы доказательства оказываются неприменимыми при переходе к кратным последовательностям. Приводимые нами результаты удалось доказать благодаря использованию идей Питереєна, сформулированных им в теории одномерного суммирования в виде принципа "подражающих последовательностей" (см. [бі] , а также [56], [54]).
В неявной форме с принципом "подражающих последовательностей" мы встречаемся в работах Агнью [41 ] и Брудно [2} однако, он не получил у них дальнейшего развития и применения. - 14 -По словам Брудно сущность операции "подражания",или "переползания" последовательностей состоит в том, что с ее помощью из произвольного счетного набора последовательностей xj, Х» получается последовательность, которая вначале совпадает с последовательностью xj, затем, оставаясь заключенной между xj и xg» постепенно переходит в последовательность х» на произвольно длинном отрезке совпадает с этой последовательностью, после чего, оставаясь заключенной между х^ и х3, произвольно медленно переходит в х„ и т.д. Существенно при этом, что по- следовательность х можно построить так, чтобы для наперед заданной матрицы А последовательность Ах вела себя ровно таким же образом относительно последовательностей Axj, Ах^ .
Заслуга Питерсена состоит в том, что он не только сформулировал принцип "подражающих последовательностей", но и раскрыл его широкие возможности как единого метода доказательства многочисленных теорем теории суммирования (см. [43],[5Ї], [53 J ). Эти отдельные результаты были в дальнейшем систематизированы в его статье [бб] и монографии [54І .
Прежде чем сформулировать основные результаты второй главы, введем некоторые определения. і&ли последовательность (t{K) » соответствующая последовательности (Smn) при преобразовании А: сходится к числу S , то говорят, что метод А суммирует последовательность ( S mn) к S .
При этом суммируемость последовательности (Smn) , или сходимость ( tlK) , понимается в одном из введенных смыслов (а), (в), (с). В общем случае говорят, что последовательность .-15- (Smn ) d - суммируема методом А, или A - суммируема.
Два метода А и В называются at - совместными на классе .Н , если они не могут d - суммировать одну и ту же последовательность из класса Y к различным пределам.
Если матрица В d - суммирует каждую А - суммируемую последовательность из класса ^ , то говорят, что В оС - сильнее А на классе У и пишут it и — JJu
В частности, если V-* mo , то говорят об ограниченной а7 - совместности методов А и В, или об их ограниченном d -включении. (Обозначается Л0 s JJ0 ).
Если д s J) и, кроме того, существует ограниченная
I U w
В - суммируемая последовательность, не суммируемая в смысле d методом А, то метод В строго d - сильнее А и обозначается
Введение узкого предельного перехода позволяет использовать ряд принципиальных идей и методов одномерного суммирования для изучения аналогичных вопросов в теории суммирования двойных последовательностей.
В 2.1 для (а, с) - регулярных матричных преобразований двойных последовательностей доказан аналог известни в одномерном случае теоремы Мазура-Орлича (см.[48] ,\_49~\ ; см. также [10] , стр. 367 ).
ТШРЕМА 15. Если А и В - \\ - методы суммирования двои-ных последовательностей, d є |Ь,с}, и F sfi* , то А и В ограниченно d - совместны. Попутно нами доказаны некоторые свойства рассматриваемых матриц, например, возможность их усечения.
Определение. Матрицу А в (CtiKrTU]) назовем усеченной, если существуют неубывающие последовательности ityi,K) и р(*,к) такие, что aiKmh = 0 при |э^((,к) v р>/0(і,к), где p = min(m,n), p = max(m,n).
ЛЕММА. 3. Если A = (&(Kmn ) - регулярная матрица, то существует усеченная матрица А'= (&{к'тг1) такая, что для всякой ограниченной последовательности ( s mn) Li (Z a. S -ZLtLJ S ) = 0.
Эта лемма сохраняет свое значение и для некоторого класса неограниченных последовательностей ( S mn | Umn, М тиf«э) (Лемма 8).
При этом возникает естественный вопрос: распространяется ли это утверждение на все множество неограниченных двойных последовательностей. Ответ на него оказался отрицательным: построена регулярная матрица А, для которой не существует усеченной регулярной матрицы В, удовлетворяющей условию ASB (Теорема 16).
Установленные в 2.2 леммы 8 и 9 позволяют сформулировать принцип "подражающих последовательностей" в следующей форме:
ТЕОРЕМА 18. Цусть A = (CliKmn ) - R^-матрица. Тогда существуют положительные последовательности ( М^и), МтИ I ^ » (^(^.) ),n^-)t«D ,и (яр, EjlO, ZlX-^oo .такие, что последовательность (Smn) « 0 ( U ' ) Ас - суммируется к 0 тогда и только тогда, когда каждая последовательность вида(5mnSmn) с " СУММИРУЙ011 матрицей А, где gmn = %. для$(0..)4р< )(Q. ) , а (5:) ограничена и |5j-3i-,l=«(«i)-
Как уже отмечалось, этот принцип позволяет упростить доказательства многих теорем теории суммирования, что особенно важно при изучении кратных последовательностей, и эффективно используется при доказательстве большинства теорем этого и следующего параграфов.
Используя понятие поля с - сходимости метода А,т.е. множества последовательностей, с - суммируемых матрицей А, из теорем, установленных в 2.4, получаем, что в поле сходимости нетривиального (т.е. с - суммирующего хотя бы I ограниченную расходящуюся последовательность) F^j - метода имеется континуальное множество расходящихся двойных последовательностей, как ограниченных, так и неограниченных, удовлетворяющих
УСЛОВИЮ Itm | $ми | = оо .
Теми же методами в 2.8 получены теоремы, относящиеся к построению RJ- матриц, являющихся "промежуточными" по отношению к двум данным RQ- матрицам:
ТЮРЕМ 36. Пусть A = (a{Kmn ) и В = ( 6{ккип ) - RQC - матрицы, причем AqC= Bq . Тогда существует континуальное множество Ru-матриц Cw , несравнимых между собой и таких, что #<с« Ж
В теории суммирования простых последовательностей аналогичные результаты так же, как и предыдущие, впервые были установлены Брудно [2] и Огиевецким [20] , [2l] довольно громоздкими методами.
Понятие равномерной с - суммируемости и теоремы 29 и 30, доказательству которых посвящен 2.6, помогают расширить наши знания о полях с - сходимости (ар) - регулярных матричных преобразований. Применение этих свойств с - суммируемых двойных последовательностей в 2.7 позволило не только перенести на двумерный случай результаты, известные в теории суммирования простых последовательностей, но и, используя идеи Питереена^], х'(ар) - регулярные методы Cjh Cg называются несравнимыми, если не существует ограниченной расходящейся последовательности, с с являющейся Cj-и ( - суммируемой. получить их короткие доказательства. Среди теорем этого параграфа отметим следующую.
ТЮРЕМА. 33. Пусть {Л г } - счетное множество (ар) - регулярных матриц, каждая из которых с - суммирует ограниченную последовательность (S^n) ( л« 2, 3, . . .), не являющуюся с - суммируемой матрицами Аг (1 * Г < h) . Если А ограниченно с - сильнее каждой матрицы А г (" = I, 2» . . ,)і то существует ограниченная Ас - суммируемая последовательность, не суммируемая по области & ни одной из матриц множества {Al}.
В последнем параграфе диссертации ( 2.9) показано еще одно приложение принципа "подражающих последовательностей" (в частности, операции сплетения последовательностей) для установления свойств модуля матрицы.
В работе принята двойная нумерация параграфов, где первое число указывает главу, второе - номер параграфа, и сплошная нумерация определений, формул, лемм и теорем.
Знаки А и Т обозначают соответственно начало и конец доказательства теоремы. Латинскими буквами, расположенными в алфавитном порядке, отмечены известные теоремы из теории одномерного суммирования, а также теоремы о кратных последовательностях и их преобразованиях, установленные другими авторами, на которые мы будем ссылаться, не приводя их доказательства. Буквы К и R являются общепринятыми обозначениями множеств натуральных и действительных чисел. Числа в квадратных скобках представляют собой ссылки на список литературы, помещенный в конце диссертации.
Изложенные в диссертационной работе результаты докладывались на Всесоюзной конференции "Методы алгебры и анализа" в г. Тарту (1983, [24І ), на семинарах по теории суммирования расходящихся рядов при кафедре математического анализа Киевского государственного педагогического института им. A.M. Горького, на семинарах по функциональному анализу и теории рядов Тартуского государственного университета и Днепропетровского сельскохозяйственного института, на отчетных научных конференциях кафедр Киевского государственного педагогического института им. A.M. Горького и Сумского государственного педагогического института им. А.С. Макаренко за 1981, 1982 годы, а также на научных конференциях аспирантов и молодых ученых Киевского государственного педагогического института имени A.M. Горького в 1981 и 1982 годах.
Основное содержание работы опубликовано в статьях [23] -[28].
Матричные преобразования двойных последовательностей
Практическое приложение вопросы консервативности и регулярности матричных преобразований двойных последовательностей находят в изучении интерполяционных методов улучшения сходимости. Рабочим аппаратом в обоих вопросах является преобразование заданной последовательности в новую, и это дает возможность использовать для построения интерполяционных правил преобразований двойных последовательностей уже известные в теории суммирования результаты [44] , [9 ] , [35 "] .
В 1.4 получены условия порождения сходимости и ограниченной сходимости матричными преобразованиями двойных последовательностей (т.е. преобразований класса ГП0 в С и ОС). Введение для консервативных матричных методов понятия характеристики метода, являющегося аналогом соответствующего понятия одномерной теории, и связь консервативных преобразований с преобразованиями, порождающими сходимость, позволили перенести в теорию суммирования двойных последовательностей известную в одномерном случае теорему Шура (см. [Ю] ,[в]), утверждающую, что никакой корегулярннй матричный метод не может суммировать всех ограниченных последовательностей.
Вторая глава "Структурные вопросы матричных методов узкого суммирования двойных последовательностей" состоит из 9 параграфов. В теории суммирования простых последовательностей изучению этих вопросов посвящены статьи Мазура и Орлича [48], [49], Брудно [2], Огиевецкого [20], [21], Давыдова Н.А.[3], Даревского [4], и других авторов, результаты которых достаточно полно освещены в обзоре Кангро Г.Ф. [8] и монографии Целлера и Бэкмана [бЗ] . Таким образом, в одномерной теории интерес к структурным вопросам полей сходимости достаточно велик. Не лишены интереса эти вопросы и в теории суммирования двойных последовательностей. Однако, в двумерной теории они не получили развития. Как следует из обзора [63] , единственной работой в этом направлении является статья [42] . Связано это, очевидно, прежде всего с тем, что даже в одномерной теории отмеченные вопросы решались различными авторами, различными, зачастую довольно сложными и громоздкими методами (см. например, ] , [2 ], [20J ). Кроме того, даже эти испытанные методы доказательства оказываются неприменимыми при переходе к кратным последовательностям. Приводимые нами результаты удалось доказать благодаря использованию идей Питереєна, сформулированных им в теории одномерного суммирования в виде принципа "подражающих последовательностей" (см. [бі] , а также [56], [54]).
В неявной форме с принципом "подражающих последовательностей" мы встречаемся в работах Агнью [41 ] и Брудно [2} однако, он не получил у них дальнейшего развития и применения.
По словам Брудно сущность операции "подражания",или "переползания" последовательностей состоит в том, что с ее помощью из произвольного счетного набора последовательностей xj, Х» получается последовательность, которая вначале совпадает с последовательностью xj, затем, оставаясь заключенной между xj и xg» постепенно переходит в последовательность х» на произвольно длинном отрезке совпадает с этой последовательностью, после чего, оставаясь заключенной между х и х3, произвольно медленно переходит в х„ и т.д. Существенно при этом, что по- следовательность х можно построить так, чтобы для наперед заданной матрицы А последовательность Ах вела себя ровно таким же образом относительно последовательностей,
Заслуга Питерсена состоит в том, что он не только сформулировал принцип "подражающих последовательностей", но и раскрыл его широкие возможности как единого метода доказательства многочисленных теорем теории суммирования (см. [43],[5Ї], [53 J ). Эти отдельные результаты были в дальнейшем систематизированы в его статье [бб] и монографии [54І .
Прежде чем сформулировать основные результаты второй главы, введем некоторые определения. Последовательность (t{K) » соответствующая последовательности (Smn) при преобразовании А: сходится к числу S , то говорят, что метод А суммирует последовательность ( S mn) к S .
При этом суммируемость последовательности (Smn) , или сходимость ( tlK) , понимается в одном из введенных смыслов (а), (в), (с). В общем случае говорят, что последовательность (Smn ) d - суммируема методом А, или A - суммируема. Два метода А и В называются at - совместными на классе .Н , если они не могут d - суммировать одну и ту же последовательность из класса Y к различным пределам. Если матрица В d - суммирует каждую А - суммируемую последовательность из класса , то говорят, что В оС - сильнее А на классе У и пишут it и — JJu В частности, если V- mo , то говорят об ограниченной а7 - совместности методов А и В, или об их ограниченном d -включении. (Обозначается Л0 s JJ0 ). Если д s J) и, кроме того, существует ограниченная В - суммируемая последовательность, не суммируемая в смысле d методом А, то метод В строго d - сильнее А и обозначается Введение узкого предельного перехода позволяет использовать ряд принципиальных идей и методов одномерного суммирования для изучения аналогичных вопросов в теории суммирования двойных последовательностей. В 2.1 для (а, с) - регулярных матричных преобразований двойных последовательностей доказан аналог известни в одномерном случае теоремы Мазура-Орлича (см.[48] ,\_49 \ ; см. также [10] , стр. 367 ).
Критерий консервативности и регулярности матричных преобразований некоторых классов двойных последовательностей
Противоречие, получаемое в силу леммы I, устанавливает ложность нашего допущения. Для установления необходимости (3) рассмотрим матрицу s іктп )» не УДОВЛбгворяЩУ10 этому условию. Тогда В силу известной теоремы (т. 23, [32] ) для расходящегося положительного ряда " GL- mn I По условию преобразование определено для каждой сходящейся последовательности. Должно быть определено оно и для последовательности (S W sana ) . Однако, для нее противоречие доказывает необходимость условия (3). Для доказательства достаточности условий (2) и (3) рассмотрим произвольную сходящуюся последовательность (Smn) и покажем, что с помощью матричного преобразования А, удовлетворяющего условиям теоремы, ей можно поставить в соответствие последовательность tiK = ZI aiKWn Smn. Действительно, пусть 1 и К - произвольные натуральные числа. Всякая сходящаяся последовательность (S mn) является квази-ограниченной, т.е. для некоторого Н 0 существует натуральное число Pi - f) (Н) V m, n 2 fi I Smn И В силу условия (3) для взятых значений I и К Таким образом, в силу произвольности 1 и К все ряды и преобразование t K =IE U KmrlSmn определено при любых значениях і и к . Теорема полностью доказана. Если последовательность (t ) » соответствующая последовательности ( S т ) при преобразовании А, сходится в смысле (о ) к числу S , где (а) - одно из определений (а), (в), (с), то говорят, что метод A d- суммирует последовательность (Smn) к S, а ($тп) суммируена методом А или А - суммируема к числу S и записывают 4- {дм s = S . При этом Аа - суммируемость последователь-ности (Smn) 9 т.е. сходимость (Цк) в смысле Прингсхейма, будем называть просто А - суммируемостью. Для матричных преобразований класса С имеет место ЛЕММА 2. Если для матрицы А = ( О кгпп ) выполняется одно из условий: существует сходящаяся двойная последовательность, не суммируемая данной матрицей. А Поскольку справедливость леммы при выполнении каждого из двух данных условий устанавливается аналогично, рассмотрим одно из них, например, (4). Итак, пусть для матрицы (СЦктп ) при некотором ш0 существует последовательность пар индексов (і г К r) одновременно стремящихся к бесконечности при Г-»о » такая, что множество { Пг } ={ max (И = f, 2,..., П(ювЛ-Л) CL 0)) неограничено. Числа Пг всегда можно выб рать, поскольку Ш0 - вал строчка каждой ( ir Кг ) - той элементарной матрицы в силу теоремы I содержит лишь конечное число ненулевых членов й гКгтоП (Un M(m0lirlKr)), причем, последовательность ( пг) можем считать монотонно возрастающей. Положим далее Jar, m = W0, n=nr ; мп [О, в остальных случаях, где числа Q, выбраны так, что последовательность t: „ -2Z. (X: к т S =21й, CL; является неограниченно 1гкг w,ns lrKrm" mn jsi ггкгто І со возрастающей, а вся последовательность Гік . ікти тп " расходящейся. Это, очевидно, всегда можно сделать. Действительно, построим ( йг) индуктивно следующим образом: последовательность ( tік) , содержащая неограниченную подпоследовательность (t ( к ) , является расходящейся. Таким образом, для данной в условии матрицы А всегда можно указать сходящуюся к нулю последовательность ( Swn) » преобразование которой с помощью матрицы А расходится. Аналогичные рассуждения, проведенные для случая (4/), завершают доказательство леммы. Цусть матрица A = CCt Kmn ) осуществляет преобразование класса С - сходящихся двойных последовательностей. Введем ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Преобразование А назовем (С,С) - консервативным, если оно переводит С в С, и (С,С) - регулярным, если оно переводит С в С и сохраняет значение предела последовательности. Другими словами, матрица А (или преобразование А) (С,С) - консервативна, если она суммирует каждую сходящуюся последовательность и (С,С) - регулярна, если, кроме того, она не изменяет значения предела. Установим критерии (С,С) - консервативности и (С,С) - регулярности матричных преобразований.
Усечение регулярных матричных преобразований некоторых классов неограниченных двойных последовательностей
Как уже было установлено, последовательность ( S n) не является Вс - суммируемой, а следовательно, не является и (В)-суммируемой в смысле (B).V
Из лемм б и 7 получаем справедливость теоремы 15 Т Замечание. Как можно было заметить из доказательства леммы 7, многие факты относительно (а,в) - регулярных матричных преобразований двойных последовательностей легко получить, доказав их предварительно для R - матриц. Поэтому в дальнейшем формулировать и доказывать теоремы о матричных методах узкого суммирования двойных последовательностей мы будем лишь для наиболее применяемого и простого его типа - (а,с) - суммирования.
Понятия усеченной, d - усеченной матрицы, граней усечения, введенные в предыдущем параграфе, и связанная с ними операция усечения матрицы позволяют существенно сократить доказательства многих теорем теории суммирования. В одномерном случае применение этого процесса мы находим в работах Брудно А.Л. [2], Питерсена [54] , давшего систематическое изложение этого вопроса с различными его приложениями к доказательству теорем . При работе с п - мерными матрицами (п 2) значительно возрастают технические трудности, связанные со спецификой сложных и громоздких многомерных понятий и утверждений. Это обстоятельство еще больше увеличивает роль операции усечения матриц в теории суммирования кратных последовательностей, что наглядно проявляется уже при преобразовании двойных последовательностей.
Установленная нами ЛЕММА 4 об усечении матричных ( -преобразований ограниченных последовательностей может быть распространена на некоторый класс неограниченных двойных последовательностей. Справедлива Пусть A = ( ft .„„.,„ ) - (а,с) - регулярная матри-ца. Тогда существует последовательность (U ),( 1 , и с - усеченная матрица А = (ft /Kwm ) такая, что для всякой последовательности (smn), Smn=0(n n), Построим возрастающую последовательность (рф) следующим образом: Матрицу A = (uiKmn ) зададим следующим образом: Ю , в остальных случаях. Для построенной матрицы А и всякой последовательности (Smn), ISmnUHumn , справедливо утверждение (I8).v Заметим, что почти дословно повторяя доказательство, лемма 8 может быть без особого труда перенесена на (аа) - регулярные матрицы. Как было установлено нами в предыдущем параграфе (лемма 3), для всякой регулярной матрицы А можно указать усеченную регулярную матрицу А , равносильную ей на множестве ограниченных двойных последовательностей. Как следует из последнего замечания, этот результат сохраняет свое значение и для некоторого класса неограниченных последовательностей, рост которых ограничен некоторой возрастающей последовательностью (Umn). Таким образом, для всякой регулярной матрицы А существует усеченная матрица А такая, что на множестве последовательностей (Smn), Smn = 0tyiWM),UmJ , имеет место включение А А и обратно, для всякой усеченной регулярной матрицы А существует регулярная матрица А, имеющая в каждой элементарной матрице неограниченное множество отличных от нуля элементов, для которой А — Аи . При этом возникает естественный вопрос: не распро г г страняется ли это утверждение на все множество неограниченных двойных последовательностей. Ответ на него оказывается отрицательным. Чтобы установить это достаточно показать невыполнимость хотя бы одного из включений. ТЮРЕМА 16. Существует регулярная матрица А, для которой не существует усеченной регулярной матрицы В, удовлетворяющей А Рассмотрим матрицу A = id mn ); О, в остальных случаях. Покажем, что, какая бы ни была регулярная матрица В с конечными элементарными составляющими, можно построить (8тп) , суммируемую матрицей А и не суммируемую матрицей В. Построение последовательности ( smn) будет зависеть от того, к какому из двух следующих случаев относится матрица В, и опирается на следующее свойство элементарных диагональных составляющих данной матрицы А (т.е. элементарных матриц с і = к ): каждой паре равных чисел ( т, п = т ) соответствует I и только I ненулевой элемент, расположенный в одной из матриц. Все усеченные матрицы В = ( D iKmn ) разобьем на 2 класса в зависимости от диагональных элементов их диагональных составляющих (т.е. от элементов u mm ) . Принадлежность к первому классу определим свойством:
О полях сходимости (ар) - регулярных матричных методов суммирования двойных последовательностей
Из проведенной выше оценки ( хЛ ) видно, что mltu»oul=ls , umtuKVl = 0 и не всякая последовательность вида ( gmn Smn ) ( с 5mn удовлетворяющими условиями теоремы) с - суммируется матрицей А. Полученное противоречие доказывает достаточность условий теоремы.
Использование этого принципа в значительной степени упрощает доказательства многих теорем теории суммирования. Так, установленная нами в 2.1 теорема 15: Если А и В - RJj-матрицы и В ограниченно с - сильнее А, то А и В ограниченно с - совместны, - является его непосредственным следствием. А Действительно, допустим противное. Тогда существует последовательность ( S тп ) такая, что По теореме 19 существует ограниченная А - суммируемая последовательность вида ( mn Swn) і не являющаяся с - суммируемой матрицей В. Это противоречие и доказывает теорему Пусть А и В - регулярные матрицы, ( Umn) - некоторая фиксированная последовательность, U f . Введем Если матрица В d- суммирует каждую А - суммируемую последовательность, удовлетворяющую условию Smr) = 0(атм ) , то говорят, что В (о т„)-сильнее А. Smn = (UIY\Y\), d- суммируется матрицами А и В к одному и тому же значению, то говорят, что А и В ( ртУ совместны. Используя эти определения и противоречив, аналогичное рассматриваемому в теореме 15, из принципа "подражающих последовательностей" легко получается следующее ее обобщение: Если А и В - RJ - матрицы и В (C,UmnV сильнее А, то А и В (c,Pmn) совместны для некоторой последовательности (pmn), p to», pmn4p, mn соответственно к 0 и І. Следовательно, не существует регулярной матрицы, ограниченно более с - сильной, чем А и В, поскольку иначе, каждая такая матрица должна была б быть ограниченно с - совместна с обеими матрицами А и В. В общем случае имеет место ТЕОРЕМА 20. Если А и В - RJ - матрицы, с - суммирующие ограниченную последовательность (Smn) к неравным пре делам, то не существует (а,с) - регулярной матрицы С, с - суммирующей все ограниченные последовательности, с - суммируемые хотя бы одной из матриц А и В. Предположим противное. Цусть ограниченная последователь ность ( S тп) с - суммируется матрицами А и В к неравным между собой пределам: ftlm S Ф ft- ШП Smn, (С) mr (с) "," a RQ " матрица С с - суммирует все ограниченные Ас - и Вс - суммируемые последовательности Тогда, по теореме 15 матрица С - с одной стороны, с - суммирует последовательность (Smn) к пределу G(Smn)=ft(Smn), а с другой - к пределу 0(6 )= 55(Smn) . Несовместимость этих утверждений доказывает теорему. С другими многочисленными приложениями принципа "подражающих последовательностей" мы познакомимся в следующих параграфах. Установленные здесь теоремы дают некоторые качественные и количественные характеристики полей сходимости R_ - матриц. Они помогают понять: какие последовательности и в каком количестве входят в поле с - сходимости (а,с) - регулярного матричного метода. Введем ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19. Полем с - сходимости метода А называется множество последовательностей, с - суммируемых этим методом. Ограниченным полем с - сходимости (или полем ограниченной с - сходимости) метода А называется множество ограниченных Ас -суммируемых последовательностей. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Последовательности называть линейно независимыми относительно регулярной матрицы А, если линейная комбинация этих последовательностей не суммируется этой матрицей при любых значениях ки )\%,.. -, Уг ,не равных одновременно нулю. Будем говорить, что элементы множества ограниченных последовательностей линейно независимы относительно матрицы А, если произвольное количество последовательностей этого множества линейно независимо относительно матрицы А. ТЕОРЕМА 21. Цусть A» Ct Utnr, ) иВ« ( Ьіктп)-(иррегулярные матрицы, причем В ограниченно с - сильнее А, Существует континуальное множество ограниченных Вс - суммируемых последовательностей, линейно независимых относительно матрицы А. А На основании леммы 4 матрицы А и В можно считать с - усеченными. Из построения граней усечения матриц А и В )(а) и р(0) -$ проведенного при доказательстве леммы, следует, что v(Q+l)- MQ) І . Значит, существует последовательность (G.) такая, что v(Q.) р(1 ) При этом отрезки [ 0. , о ] могут быть сколь угодно большими.
