Введение к работе
Ашуальносяь аеші.Диссертация посвящена систематическому развитию качественной теории приближения коровкинского типа.Основными объектами ее исследования являются определяемые в ней тестовые множества в банаховых пространствах для сходимости последовательностей функционалов и операторов.При этом в определении тестовых множеств от функционалов и. операторов последовательностей требуется в общем случае лишь линейность, а сходимость рассматривается к любому функционалу или оператору из целого "предельного множества", а не только к единичному оператору, как это в большинстве случаев было принято традиционно.
Основы теории тестовых множеств были заложены в работах П.П. Коровкина в 1953 г.Центральная идея доказанной им теоремы "о трех функциях" заключается в том,что в установлении факта сильной сходимости любой последовательности линейных положительных операторов в пространстве непрерывных на отрезке функций к единичному оператору на всем пространстве три функции {xi(t)-tl)2i-o образуют тестовое (пробное) множество.
Важность подобного эффекта в теории приближения определяется прежде всего тем» что он значительно упрощает доказательство возможности приближения любой функции пространства последовательностями линейных положительных операторов. Это обстоятельство стимулировало построение для приближения и исследование большого числа конкретных последовательностей линейных положительных операторов.
В качестве предшественников П.П.Коровкина необходимо упомянуть: Т.Поповичу (1Q50) и Г.Бомана (1952). в работах которых рассматривались; аналогичные ситуации.но лишь для некоторых весьма специальных последовательностей линейных положительных операторов.
Теорема П.П.Коровкина вызвала к жизни стремительный поток литера-! туры.посвященной ее обобщениям,уточнениям и распространениям. і
Приложения этой теоремы к различным сконструированным классам ли-I нейных положительных операторов, перенос на двумерный случай и связан-' ные с ней различные необходимые и достаточные условия исследовали уче-| ники П.П.Коровкина В.А.Баскаков,В.И.Волков,Г.А.Фомин,Э.Н.Морозов и др.'
Ю.А.Шашкин (I960) выделил пробное множество в самостоятельное понятие "конечной системы Коровкина" и изучил свойства таких систем в пространстве функций.непрерывных на конечномерном компакте,использовав аналитические и геометрические методы исследования. Критерий конечных систем Коровкина в этом же пространстве в терминах существования по ним полиномов с наперед заданным общим нулем получил А.Л.Гаркави
(1970). Геометрический подход Ю.А.Шашкина был развит Х.Беренсом и Дж.Дж.Лоренцом (1975).
Данная задача в пространстве Lp была решена В.К.Дзядыком (1966).
Связь указанных сходимостных явлений с подпространствами Чебышева в пространстве непрерывных функций,обнаруженная П.П.Коровкиным (1953), исследовалась Ч.А.Мичелли (1973).Аналогичный вопрос для так называемых подпространств Коровкина,связанный со сходимостью к конечно определенным операторам изучался Ю.А.Шашкнным (1965) и А.С.Каваретта (1973).
В 1965 г. М.А.Красносельский, В.С.Климов и Е.А.Лифшиц поставили и проанализировали данную задачу в банаховом пространстве с конусом для случая сходимости последовательностей линейных положительных относительно этого конуса операторов к единичному,использовав для формулирования достаточных условий сходимости введенные ими в рассмотрение точки гладкости конуса.
Новый подход к исследованию этих вопросов.основанный на введенном понятии супремального генератора, был предложен С.С.Кутателадзе и A.M. Рубиновым (1971).
Приближение линейными положительными операторами конечного ранга в пространстве непрерывных на отрезке функций исследовалось В.С.Ви-денским (1985).
К рассматриваемой тематике относится и задача описания так назы-вамых замыканий Коровкина, которая в случае пространства непрерывных на отрезке функций и сильной сходимости последовательностей линейных положительных операторов к единичному впервые была решена в 1961 году независимо В.А.Баскаковым и Г.Бауэром.
Известные к настоящему времени задачи, вопросы,принципы, методы и результаты,так или иначе связанние с установлением факта сходимости последовательностей операторов или функционалов на основе идеи тестовых множеств,составляют вполне сложившийся раздел анализа - качественную теорию приближения коровкинского типа.Информацию об имеющихся публикациях в этой области за период с 1952 г.по 1987 г.можно получить из библиографии Ф.Альтомаре и М.Кампити (1989).снабженной детальной тематической классификацией.
Таким образом, интерес, проявленный к данной тематике, еще раз свидетельствует об актуальности поставленных в диссертации проблем.
Цель работ заключается в разработке общего подхода к определению
и методам исследования тестовых множеств в банаховых пространствах и в анализе на их основе тестовых множеств и связанных с ними некоторых задач для различных классов функционалов и операторов.
Меюяшса иоаюмолата базируется на синтеве общих методов функционального анализа в банаховых пространствах и теории функций, а также на специальных методах теории операторов класса S^ и теории систем
Чебышева. і
і,
Научная новизна исследования заключается в следующих основных результатах диссертации:
-
Построена теория тестовых множеств в банаховом пространств^ для сходимости последовательностей линейных функционалов,сводящая ана-| лиз более сложного понятия тестового множества, содержащего предельный! переход,к анализу более простого понятия отличаювего множества, свобод-; ного от предельного перехода,и на ее основе доказаны признаки и сущее-! твование конечных тестовых множеств. |
-
Разработаны общие методы изучения тестовых множеств для сходимости последовательностей функционалов из шара и линейных положительных функционалов. В частности, для последних дан сравнительный анализ тестовых и коровкинских множеств.
-
Проведено исследование введенных понятий л-точек шара и конуса, используемых в изучении признаков тестовых множеств.
А. Исследованы тестовые,коровкинские и отличающие множества в банаховом пространстве для сходимости последовательностей линейных операторов из множества специальной конструкции, включающей в себя как частные случаи множества таких операторов как положительные,нерастяги-вающие.оставляющие инвариантным положительный сектор, операторы класса Sm .В случае положительных операторов полученные здесь результаты являются обобщенными аналогами соответствующих результатов М.А.Красносельского, В.С.Климова и Е.А.Лифшица.
5. Дан новый подход к определению операторов класса Sm . основан-
ныи на построении и изучении специального класса конусов КЛ .порождаемых знаковыми функциями «.Подучены различные критерии.прианаки и свойства тестовых ынохеств для сходимости последовательностей функционалов и операторов, положительных на этих конусах.и класса S» в случае различных предельных множеств.Эти результаты являются существенным развитием результатов П.П.Коровника.А.Л.Гаркави,Ю.А.Пашкина и Ч.А.Мичелли.
-
Введены общие определения тестовых, коровкинских и отличающих замыканий множеств в банаховом пространстве и получены их признаки в пространстве непрерывных функций для множеств положительных на конусах Кл операторов и операторов класса $* .обобщающие некоторые ив результатов В.А.Баскакова.Г.Бауэра.Р.М.Миньковой и А.Лупана.
-
Аппарат отличающих множеств применен к доказательству нового критерия систем Чеоывева. И8 достаточной части которого следует обратимость известного результата С.Н.Берюптейна.
6. Исследована проблема продолжаемости систем Чеоывева и связанное с ней свойство существования по систеиам Чеоывева полиномов с произвольным расположением нулей. Получены.в частности.удобные в приложениях достаточные условия непродолжаемости систем Чеоывева, которые применены к новым и ранее известным конкретным системам Чеоывева.что дало возможность получить новыми методами результаты В.И.Волкова.В.И.Андреева. Р. К. С. Рэтора и П.Н.Эгруэля.Р.Гаверкаша.
Теоретическая и лдмвичоская цр—ром». В диссертационной работе заложены основы нового направления в качественной теории приближения коровкинского типа - теории тестовых множеств в банаховых пространствах для сходимости последовательностей линейных функционалов и операторов. Разработаны методы исследований тестовых.коровкинских и отличающих множеств в общем случае и дано приложение их результатов для линейных положительных операторов,нерастягиваоиих операторов, операторов класса Я, и для систем Чеоывева.
Диссертация носит теоретический характер и относится к направлению фундаментальных исследований.Практическая ценность работы состоит в возможности применения результатов исследования в теории приближения и в вычислительной математике для установления факта сходимости кон-
креткых последовательностей линейных функционалов и операторов.Некоторые из вопросов.освещаемых в диссертации.могут быть включены в учебные программы спецкурсов и спецсеминаров по теории приближения.
Лтробтця работ. Результаты диссертации докладывались на Межвузовской конференции по применению функционального анализа в теории приближений (Калинин,1970 г.).на Конференции по теории приближения.пос вяцениой 60-лети» П.П.Коровкина (Калуга.1972 г.).на Межотраслевой конференции по проблемам повышения квалификации в области статистических методов,планирования эксперимента и моделирования технологических процессов (Москва.1981 г.).на семинарах по теории приближения математичес ких кафедр московского автодорожного института под руководством проф. В.А.Баскакова (Москва, 1082,1984 гг.). на семинарах по теории функций кафедры высшей математики московского инженерно строительного института под руководством проф. С.Я.Хавинсона (Москва.1982,1983 гг.), на XIX Всесоюзной Воронежской 8имней математической школе (Воронеж.1986 г.), на секциях математического анализа Герценовских чтений под руководст-; вом проф.B.C.Виденского (Ленинград,1986.1987.1988.1991 гг.), на Ленин-! градском городском семинаре по конструктивной теории функций под руко-', водством проф.Г.И.Натансона (Ленинград. 1987 г.).на семинаре по теории; приближения московского Государственного университета под руководством\ проф.В.М.Тихомирова (Москва. 1990 г.)
дубликат»- По теме диссертации автором опубликовано 30 работ.Ос
новные результаты содержатся в работах tlJ-[221.Диссертация с добавле-!
ниями и детализацией издана в виде трех монографических учебных песо-;
бий (19Ь[21^соответствующих трем ее главам. і
і Структура и облет щкхвршаим. Диссертация состоит из Введения.і грех глав.содержащих 17 параграфов, списка цитированной литературы из 230 наименований и занимает объем в 306 страниц машинописного текста.
