Введение к работе
Актуальность темы. Тема диссертации связана с актуальной, но мало исследованной проблемой "многих мод" , под которой подразумевается задача бифуркационного анализа упругих систем вблизи критических состояний с многомерными вырождениями (с вырождениями по нескольким модам). Акцент в работе сделан на слабо непотенциальные системы.
Типичные упругие системы являются, как правило, консервативными, и поэтому соответствующие модельные краевые задачи допускают применение вариационных методов 1, 2, 3. Но иногда приходится рассматривать упругие системы, находящиеся под воздействием неконсервативных сил 4. В таких случаях соответствующие краевые задачи не являются вариационными, и для их исследования требуется применение "общих" методов анализа (непотенциальных) уравнений. В случае же слабо непотенциальных систем (мало возмущенных потенциальных) имеется возможность использования тех разработок, которые существуют в потенциальном случае.
В данной диссертационной работе рассмотрены примеры слабо непотенциальные краевых задач теории упругих балок и пластин. В их исследовании использованы конструкции общей теории нелинейных фред-голъмовых уравнений в банаховых пространствах 5, 6, 7, 8, позволяющие осуществлять полное решение задачи о бифуркации прогибов упругих систем из критических состояний с многомерными вырождени-
хВольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки / А.С.Вольмир // М.: Гостехиздат. 1956.
2Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И.И.Ворович // М.: Наука. 1989. - 376 с.
3Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Р.Гилмор // М.: Мир, 1984. Т.1. 350 с.
4Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В.В.Болотин // М.: Физматлит. 1961. - 340 с.
5 Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г.Борисович, В.Г.Звягин, Ю.И.Сапронов // Успехи матем. наук. - 1977. Т.32, вып.4. - С.3-54.
6Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А.Красносельский, Н.А.Бобылев, З.М.Мухамадиев// Доклады АН СССР, 1978.- Т.240, вып.З.- С.530-533.
7Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И.Сапронов // Успехи матем. наук. - 1996. - Т.51, вып.1. - С.101-132.
8Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М.Даринский, Ю.И.Сапронов, С.Л.Царев // Современная математика. Фундаментальные направления, М.: МАИ. Т.12. 2004, 3-140.
ями. Под полным решением бифуркационной задачи подразумевается: описание (локальное) топологии дискриминантных множеств, описание всех допустимых наборов бифурцирующих прогибов и получение асимптотических формул для ветвей бифурцирующих прогибов.
В диссертационной работе рассмотрены два примера (модельных) уравнений, в которых сочетаются два типа возмущений, связанных с нарушениями однородности и потенциальности. Первый пример относится к теории упругих балок, в нем рассмотрено уравнение
d2 ( d2w\ d2w dw о ...
q—-i7)+K—-^ + e——h aw + w =0, (1)
x Є [0,7г], при локализации параметров к, = 5+#i, а = 4+^2, q = q(x) := 1 + бо 7(ж) (е, So, ^ь ^2 ~~ малые параметры), при краевых условиях
",(о)=S(o)=w{w)=Sw=- (2)
где w — функция прогиба (уравнения подобного рода можно рассматривать также на произвольном отрезке [а, Ь]).
Второй пример относится к теории упругих оболочек: рассмотрено обобщенное уравнение Кармана для равновесных конфигураций прямоугольной пластины
A(qAw) - [w, tp] +\wxx + ewx = Atp + -[w,w] = 0, x,yeQa, (3) q = q(x,y) := 1 + 6orj(x,y), при краевых условиях
w = Aw = ip = Aip = 0\Qa, Па = [0,а] x [0,1]. (4)
Через w и tp обозначены функции прогиба и напряжения пластины (длины а и ширины единица), А — гармонический оператор Лапласа, [w,(p] := wxx(fyy + wyy(fxx - 2wxy(fxy, A — параметр нагрузки.
Потенциальные краевые задачи теории упругих систем допускают, при соответствующих операторных трактовках уравнений, постановку в виде вариационной задачи
У\{х) —> inf,
в которой V\{x) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционалов, заданное на банаховом пространстве Е7 А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном). Фредгольмовость функционала означает, по определению, фредгольмовость (нулевого индекса) соответствующего ему градиентного отображения f\ : Е —> F, где F — некоторое банахово пространство (пространство значений градиента). Градиент определяется традиционным образом — через соотношение
— {x)h= (f(x),h),
где (,) — скалярное произведение, взятое из некоторого гильбертова пространства Н: содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в F. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, F, Н}7 и используется обозначение / = gradV.
В рассмотренных примерах имеется нарушение потенциальности и соответствующее операторное уравнение приобретает следующий вид:
f(x) := gradV(x) + єТС(х) = О
(параметры здесь опущены).
Безусловно, "функционально-операторная оболочка" придает представленному здесь подходу универсальность и широту, выводящие разработанную методику исследований за рамки, очерченные рассмотренными примерами.
Анализ уравнения осуществлен посредством "двумерного усечения" — сведением (методом Ляпунова-Шмидта) к изучению ветвления решений ключевого уравнения на координатной плоскости
0(, А, є) := grad W(, А) + Яє() = 0, Є М2,
где W(, А) — ключевая функция, отвечающая функционалу
— потенциалу исходного уравнения при є = 0. Слагаемое Н() — непотенциальное отображение (возмущение).
Так как исходное уравнение нечетно и нарушение потенциальности происходит лишь за счет внесения в него малого несамосопряженного линейного слагаемого В{х) := є-,, то ключевое уравнение приобретет малое непотенциальное слагаемое Н(): главная линейная часть которого (по управляющему параметру є) является галеркинской аппроксимацией (по возмущенным модам ej).
Структура ключевой функции двух и более переменных в задачах о прогибах балок и пластин ранее исследовалась в работах Б.М. Дарин-ского, Ю.И. Сапронова и Д.В. Костина.
Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация новой модификации бифуркационного анализа нелинейных краевых задач теории упругих систем, приспособленной для применения в условиях понижения дискретной симметрии и нарушения потенциальности. Достижение цели осуществлено через разработку алгоритма редуцирующего перехода к ключевому уравнению, локальное описание геометрии сечений дискриминантных множеств, классификацию раскладов бифурцирующих равновесных конфигураций и получение формул асимптотического представления ветвей бифурцирующих решений.
Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Базу развитой в диссертации аналитической схемы составляет модифицированный метод Ляпунова-Шмидта, оснащенный конструкциями теории особенностей гладких функций и отображений.
Автор диссертации в своих исследованиях отталкивался от работ Д.В. Костина 9, 10, в которых был предложен алгоритм вычисления формул асимптотического представления ветвей равновесных конфигураций сла-
9Костин Д.В. Применение формулы Маслова для асимптотического решения одной задачи об упругих деформациях / Д.В. Костин // Матем. заметки, 2008, 83:1. - С. 50-60.
10Костин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки / Д.В. Костин // Доклады Академии Наук, 2008, том 418, №4, - С. 295-299.
бо неоднородных упругих балок и пластин на упругих основаниях вблизи критических состояний с двухмодовыми вырождениями. Для соответствующих функционалов энергии Д.В. Костину удалось описать строение каустик (дискриминантных множеств уравнений прогибов) и проанализировать влияние характера неоднородности на формы прогибов.
Автором диссертации рассмотрен другой тип возмущения уравнений равновесий балок и пластин, связанный с нарушением потенциальности уравнений и понижением симметрии. Предложенный в диссертации вычислительный алгоритм использует элементы вычислительного алгоритма Д.В. Костина и фактически является его обобщением и развитием.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Разработана новая модификация спектрального метода Ляпунова-Шмидта, приспособленная для бифуркационного анализа слабо непотенциальных фредгольмовых уравнений в условиях двухмодового вырождения и понижения симметрии; описано строение главной части ключевого уравнения.
Получена локальная параметризация дискриминантных множеств (для параметрических семейств слабо непотенциальных фредгольмовых уравнений) в условиях двухмодового вырождения; получены графические изображения 2d- и 3<і-сечений дискриминантных множеств и получено описание раскладов бифурцирующих решений уравнений равновесных состояний слабо неоднородных и слабо непотенциальных упругих балок и пластин.
Выведена асимптотическая (по закритическим приращениям параметров) формула для ветвей решений, учитывающая влияние характера неоднородности на закритические прогибы слабо непотенциальных упругих балок и пластин.
Проведена компьютерная апробация разработанной аналитической схемы и, как следствие, получена визуализация бифуркационного процесса для слабо неоднородных и слабо непотенциальных упругих балок и пластин.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и новое развитие методу фредгольмова отображения в теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач. Описание геометрии дискриминантных множеств, классификация бифурцирующих раскладов решений и описание аналитической зависимости прогибов упругих балок и пластин от характера дополнительных возмущений могут найти применение в задачах современной теории посткритического анализа упругих систем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова академика В.А. Садовничего (Москва, 2009 г.), на конференции "XX Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум" (КРОМШ-2009), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 2010 г.), на конференции "XXI Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум" (КРОМШ-2010), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 2011 г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах. Работа [7] опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 77 наименований. Общий объем диссертации — 112 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (19 иллюстраций), выполненной в среде Maple.
Похожие диссертации на Метод фредгольмова отображения в анализе двухмодовых прогибов слабо непотенциальных упругих систем
