Введение к работе
Актуальность темы. Во многих вопросах анализа и его приложений естественно возникает необходимость изучения множеств аналитических функций, которые замкнуты относительно операции композиции. Это приводит к конструкции некоммутативной полугруппы. Так, в теории однолистных функций один из наиболее эффективных методов решения экстремальных задач связан с инфинитезимальным описанием полугрупп* конформных отображений. Это направление развито в работах К. Лев-нера, В.В. Горяйнова. В теории случайных процессов марковость и условие ветвления формулируются в терминах композиции вероятностных производящих функций. Это приводит к необходимости изучения полугруппы таких функций. В работах В.В. Горяйнова была изучена структура полугруппы вероятностных производящих функций и на этой основе решена хорошо известная задача вложения процесса Гальтона - Ватсона а однородный марковский ветвящийся процесс. Отметим, что с точки зрения теории функций, эта задача эквивалентна вопросу существования дробных итераций вероятностных производящих функций.
При решении задачи существования дробных итераций одной из основных является так называемая предельная техника, включающая а себя вопросы существования нетривиальных нормированных пределов итераций. Эти идеи восходят к работам Кенигса и Шредера конца прошлого века. Предельная теорема о поведении докритических однородных марковских ветвящихся процессов, доказанная Ягломом A.M. в 1947 году, является, по - существу, теоремой об асимптотическом поведении нормированной последовательности итераций производящей функции. В теореме доказывается, что для произвольной вероятностной производящей функции, удовлетворяющей условию /'(l)
/"(z)-/"(0) 1-/-(0) ее итераций сходится локально равномерно в единичном круге при л-*оо к вероятностной производящей функции. Эта теорема справедлива как для натуральных так и для дробных итераций. Ее уточнению посвящены работы Хиткота С, Сенеты Е., Вер-Джонса Д., В.М. Золота-
рева, А.В. Нагаева. Доказательство в случае дробных итераций принадлежит Б.А. Севастьянову.
Исходя из вышесказанного, описание и исследование предельного множества производящих функций в этой теореме представляет интерес и с точки зрения теории аналитических функций, и с точки зрения теории ветвящихся процессов.
Метод" производящих функций, являющийся основным аналитическим аппаратом при изучении простейших моделей ветвящихся процессов, не работает для более сложных моделей процессов, например, для процессов с* непрерывным пространством состояний. Неприменимость этого метода в теории процессов с непрерывным пространством состояний во многом и объясняет отставание в развитии этой теории от дискретного случая. В тоже время, полугруппа аналитических функций, связанных с преобразованиями Лапласа безгранично делимых вероятностных мер, может рассматриваться как аналог полугруппы производящих функций. Поэтому изучение ее
а структуры и инфинитезимальное описание является актуальным.
* Цель работы. Настоящая работа посвящена изучению асимптотических свойств итераций вероятностных производящих функций, что эквивалентно исследованию свойств распределений вероятностей в предельных теоремах докритических ветвящихся процессов путем использования развитого В.В. Горяйновым полугруппового подхода. Кроме того, в работе изучается структура полугруппы аналитических функций, связанных с преобразованиями Лапласа безгранично делимых вероятностных мер, и дается инфинитезимальное описание этой полугруппы. Развитая при этом техника может рассматриваться как аналог метода вероятностных производящих функций.
Общая методика исследования. В работе используются общие методы .теории функций комплексного переменного, а кроме того, специальны^ методы выпуклого анализа, метод интегральных представлений, а также метод инфинитезимального описания полугрупп голоморфных отображений.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:
-
Описание множества предельных вероятностных производящих функций, возникающих в теореме Яглома для докритически.х однородных марковских ветвящихся процессов с непрерывным временем.
-
Решение задачи существования вероятностной производящей функции с заданными начальными коэффициентами тейлоровского разложения, которая является пределом нормированного семейства дробных итераций.
-
Изучение структуры и инфинитезимальное описание полугруппы аналитических функций, связанных с преобразованиями Лапласа безгранично делимых вероятностных мер.
Практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и развитые методы могут найти применение в геометрической теории функций и в теории ветвящихся случайных процессов.
Аппробаиия работы. Основные результаты диссертации докладывались на Третьей Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Туапсе, 17-24 сентября 1996 г.), на семинаре кафедры "Теории вероятностей" Донецкого государственного университета под рук. проф. Бондарева Б.В. (1996 г.), на семинарах отделов Института математики НАН Украины "Комплексного анализа и теории потенциала* под рук. проф. Тамразова П.М., "Теории случайных процессов" под рук. проф., чл.-корр. НАН Украины Портенко Н.И. (1997 г.), "Семинаре по геометрической теории функций"4 в Саратовском госуниверситете под рук. проф. Прохорова Д.В. (1997 г.) и на объединенном семинаре кафедр механико-математического факультета Саратовского государственного университета под рук. проф. Хромова А.П. (1997 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы, одна из них в соавторстве, где В.В.Горяйнову принадлежит постановка задач и основные методы их решения.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 59 наименований и содержит в себе 93 страницы машинописного текста.
