О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций Сыркашев Аркадий Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Вариации однолистных функций 22

1.1 Теорема Голузина 23

1.2 Вариационные формулы в классе S 29

1.3 Вариационные формулы в классах однолистных функций 34

1.4 Вспомогательные вариации 3 8

Глава 2. Параметрическое представление однолистных функций 41

2.1 Уравнение Левнера-Куфарева 42

2.2 Некоторые случаи интегрирования уравнения Левнера-Куфарева 50

2,3 Вариационные формулы в классе S(C, 7) 58

2.4 Объединенные методы 64

Глава 3. Экстремальные задачи в классе S 68

3.1 Функционал I = j(fJ,f'J',rJ") 68

3.2 Дифференциальное уравнение для граничных функций 70

3.3 Качественный анализ уравнения Шиффера-Голузина 72

3.4 Кривизна линий уровня функций класса S 82

Литература 92

Список научных работ автора 97

• Вариационные формулы в классе S
• Вспомогательные вариации
• Некоторые случаи интегрирования уравнения Левнера-Куфарева
• Дифференциальное уравнение для граничных функций

Введение к работе

Краткий исторический обзор

Геометрическая теория функций комплексного переменного является
* важной и содержательной частью математического анализа. Она изучает

аналитические функции, определяемые каким-либо геометрическим
свойством, а также геометрические свойства различных классов
аналитических функций. Одним из таких свойств является конформность.
Конформные отображения играют важную роль в математике и ее
приложениях - теории упругости, гидромеханике, аэродинамике и др.
Неудивительно, что голоморфные однолистные функции, реализующие
, такие отображения, подверглись многочисленным и интенсивным

исследованиям. Фундамент этим исследованиям заложил Б. Риман,
сформулировавший в 1851 году теорему о конформном изоморфизме
односвязных областей [48]. Большой вклад в развитие зарождавшейся
теории сделал К. Каратеодори. Он доказал теорему о сходимости областей
к ядру, а в работах [25], [26] детально рассмотрел вопрос о граничном
соответствии, предложив теорию простых концов и доказаз теорему о
% соответствии границ при конформных отображениях.

В теории однолистных функций значительное внимание уделяется исследованию геометрических свойств класса S голоморфных однолистных в единичном круге функций /(z), нормированных тейлоровским разложением f(z) = z + C2Z² + ... . Многие вопросы здесь могут быть сформулированы либо в виде задачи исследования на экстремум некоторого вещественнозначного функционала, либо в виде задачи нахождения множества значений некоторого комплекснозначного

функционала, определенного в этом классе. Класс S не является линейным, и для решения в нем экстремальных задач методы классического вариационного исчисления оказываются неприменимыми. Поэтому математиками в теории однолистных функций были предложены различные тонкие методы. В работах К. Каратеодори, П. Кебе, Л. Бибербаха, Т. Гронуолла, К. Левнера 10-х, 20-х годов прошлого века были поставлены и решены первые экстремальные задачи геометрической теории функций, предложены первые методы исследования таких задач.

В 1914 году Т. Гронуолл [20] доказал теорему площадей, которую в 1916 году [11], [12] использовал Л. Бибербах для нахождения константы Кебе и оценки j с₂1 — 2 коэффициента сі в разложении в ряд Тейлора функций f(z)=z + c2Z⁷ +... класса S. Он также предположил, что |с„|<и. Это предположение стали называть гипотезой Бибербаха. Задача оценки коэффициентов на протяжении почти целого века оказалась неразрешимом и являлась пробным камнем для проверки эффективности новых методов теории однолистных функций.

В 1923 году К. Левнер [41] представил параметрический метод, получив с помощью теоремы Каратеодори о сходимости семейства областей к ядру дифференциальное уравнение для семейства функций, сходящегося к данной однолистной функции. Посредством этого уравнения он доказал гипотезу Бибербаха для третьего коэффициента. Систематически развил метод Левнера Г.М. Гол узин, доказав, в частности, с его помощью теорему вращения. Параметрическим методом удалось получить ряд точных оценок, а в некоторых случаях, проинтегрировав уравнение Левнера, найти экстремальные функции. В 1943 году П.П. Куфарев [31] дал обобщение уравнения Левнера, названное уравнением Левнера-Куфарева, с помощью которого были решены многие трудные задачи теории однолистных функций. Метод продолжения по параметру использовали в своих работах Г.М. Голузин, И.Е. Базилевич, П.П. Куфарев, И.А. Александров,

*

М.Р. Куваев, В.И.Попов, В.Я. Гутлянский и другие. А в 1984 году Л. де Бранж [13] с помощью уравнения Левнера решил проблему коэффициентов однолистных функций, С различными подходами к обоснованию и многочисленными применениями этого метода можно ознакомиться по монографиям Г.М. Голузина [19], В.К. Хеймана [49], И.А. Александрова [3, 4].

В 1943 году М. Шиффер [53] предложил метод внутренних вариаций. Несколько позже Г.М. Голузин [16] усовершенствовал его, получив вариационные формулы при меньших предположениях об отображениях. Вариационный метод приводит при решении экстремальных задач к некоторому дифференциально-функциональному уравнению для каждой экстремальной функции. С помощью полученного уравнения во многих случаях были найдены точные оценки исследуемых на экстремум функционалов, а в некоторых были указаны и экстремальные функции. Такие примеры можно найти в работах Г.М. Голузина [17], Н.А. Лебедева [39], В.В.Черникова [51] и других. Впрочем, часто интегрирование полученного дифференциального уравнения для экстремальной функции не удается, так как оно содержит параметры, зависящие от искомого решения. Тогда довольствуются качественной характеристикой экстремальной функции, а именно описанием образа канонической области (как правило, единичного круга, либо внешности единичной окружности) при отображении экстремальной функцией. В большом круге задач этим образом оказывается вся плоскость, разрезанная по кусочно-аналитической кривой. В таких случаях экстремальная функция является предельной для решений некоторого уравнения Левнера. Таким образом, возможным становится комбинировать метод внутренних вариаций и параметрический метод. Один из вариантов объединения методов был предложен Н.А. Лебедевым [38]. Другой способ дал П.П. Куфарев [34-36]. Вариационно-параметрическим методом Куфарева томской школой

*

математиков были решены многие трудные задачи геометрической теории функций.

Эти и другие методы решения экстремальных задач геометрической теории функций комплексного переменного (метод площадей, метод квадратичных дифференциалов, метод интегральных представлений, метод экстремальных метрик, метод симметризации и др.) составляют содержание многочисленных монографий и статей. Большое внимание различным методам уделено, например, в работах Г.М. Голузина [19], В.К. Хеймана [49], Дж. Дженкинса [23], Н.А. Лебедева [40], И.М. Милина [42], И.А. Александрова [3, 4], В.Н. Дубинина [24], К. Поммеренке [47], К.И. Бабенко [8], В.Я. Гутлянского [2І].

Цель работы

Изучение взаимосвязей метода внутренних вариаций и метода параметрических представлений теории однолистных функций; построение вариационных формул в различных классах однолистных функций; нахождение новых случаев интегрирования уравнения Левнера-Куфарева; исследование функционала, зависящего от значений функции и первых ее двух производных в фиксированной точке, и применение полученных результатов к исследованию задачи о кривизне линий уровня.

Методы исследования

В работе используются общие методы математического анализа, методы теории функций комплексного переменного, методы геометрической теории конформных отображений, методы теории дифференциальных уравнений, вариационный и параметрический методы и их комбинации.

Научная новизна и практическая значимость

Постановка темы диссертационной работы принадлежит И.А. Александрову. Оригинальные результаты получены под его руководством и при консультациях С.А. Копанева.

Основные результаты являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут использоваться при чтении спецкурсов на механико-математических факультетах для студентов старших курсов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Результаты и методы исследования данной работы могут быть полезны при решении экстремальных задач геометрической теории функций.

Основные результаты работы

Следующие результаты автор считает основными и выносит на защиту.

Как следствие теоремы Голузина, выведена новая вариационная формула в классе S.

Путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева получено интегральное представление подкласса класса S*.

Путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева получена интегральная формула в некотором подклассе класса S.

Приведена качественная характеристика граничных функций функционала, зависящего от значения функции класса S и первых двух ее производных в фиксированной точке.

Представлена уточненная качественная характеристика экстремальной функции в задаче об оценке кривизны линий уровня функций класса S.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории функций комплексного переменного в Томском государственном

университете, на Международной конференции по математике и механике (г. Томск, 2003 г.), на молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2003» (г. Казань, 2003 г.)

Основное содержание диссертации изложено в работах [1—4] из списка работ автора.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых разбита на четыре параграфа, списка литературы и списка научных работ автора. В работе содержится два рисунка.

Основные обозначения

В тексте работы приняты следующие обозначения: Е — единичный круг {z є С: | z | < 1}; S— класс голоморфных однолистных в круге Е функций w=f(z),

/(0) = 0,/-(0) =1; S* — подкласс функций класса S, отображающих круг Е на области,

звездообразные относительно нуля; Q — область {z є С: | z \ > 1}; Z — класс голоморфных однолистных в области О. функций w = F(z),

имеющих в проколотой окрестности бесконечно удаленной точки

разложение в ряд Лорана вида F(z) = z + ccq +a\/z + a₂/z² +...; Z₀ — подкласс функций класса Z, не принимающих в Q нулевого

значения; С — класс голоморфных в круге Е функций w =p(z), p(Q) = 1, Rep(z) > 0

(класс Каратеодори);

П — конец доказательства.

Во всех рассматриваемых классах функций введена топология равномерной сходимости внутри какой-либо области, то есть на любом замкнутом подмножестве этой области.

Содержание работы

Первая глава посвящена методу внутренних вариаций в геометрической теории функций комплексного переменного. Рассматривается вариант этого метода, предложенный Г.М. Голузиным [16]. Представлены вариационные формулы в различных классах однолистных функций.

В 1.1 сформулирована и доказана теорема Голузина, которая составляет содержание метода Голузина. Она указывает способ построения вариационных формул в классе всех голоморфных однолистных в единичном круге функций и используется в дальнейшем.

Пусть w =/(z) є S отображает круг Е на область Da С, и пусть 0(є\ є > О, - семейство областей, сходящееся при є — 0 к D как к ядру относительно точки w - 0. Функции w ~f (z), f_e (0) = 0, /_є'(0) > 0, однолистно и конформно отображающие Е на >(є), согласно теореме Каратеодори о ядре равномерно внутри Е сходятся к f{z) при є —* 0. Предположим, что функция w = g (z, є), голоморфная и однолистная по z в кольце К(г, 1) = {z: г < | z | < 1} при каждом фиксированном г, во-первых, отображает это кольцо на двусвязную область Д(е), которая при объединении с ограниченной компонентой дополнения совпадает с D(e)> и, во-вторых, имеет разложение по степеням є вида

g(z, є) =f(z) + є zf'{z) q{z) + y(z, є), где }{z, є)/є-> 0 при -> 0 равномерно внутри К(г, 1), и q(z) - голоморфная в К(г, 1) функция, имеющая разложение в ряд Лорана q{z) = 1\z) + S(z), где

Ц*)-1Ч. S(z) = tc„z".

n=l Z _rt=0

>(z)-r(_z)₊rQ:-

+

Теорема 1.1 (Голузин). В классе S имеет место вариационная формула f(z,s) = f{z)+ezf'(z)

(1.1)

+ o{z,s).

^со~^со f(^z) ^со^+со

2 zf'(z) 2

В 1.2 теорема Голузина применяется для получения вариационных формул в классе S. Сначала приведен вывод основной в рассматриваемом методе вариации.

Теорема 1.2 В классе S имеет место вариационная формула

f(z₎) = f(z) + sf{z)Z

4**²{z_t)

/(*)-/(**)

Z.)

т / pi

4 ^Zk J

-^L(z,z_k)-^L

+ o(z,s),

(1.3)

где Zk, к = 1, 2,..., m, m є N, -различные точки из E, Ak - произвольные

; и H(z)=^Z4&, L(z,a) = tf(z)^ + 1.

z-a

комплексные постоянные.

Доказательство основано на выборе подходящей функции q(z). В данном случае полагают q(z) = YA_tH²(z_k)—_г—-.—-Дт^—-—гт-.

^W N ^ ^k)H(z){f(z)-f{z_k))

С помощью формулы (1.3) при решении экстремальных задач получают дифференциально-функциональное уравнение для экстремальных функций.

Затем предложена одна новая вариационная формула.

Теорема 1.3 В классе S имеет место вариационная формула

f(z_te) = f(z) + f{z)j:

. ' (/W-/M²

-A_k[M{z,z_k)-(\ + N{z_k))L{z,z_k)] +

+ o(z,e),

+А

_.К*'і)^+(1+АГС_*^0)і_(*-і)1

(1.4)

где z_k, к = 1, 2,..., т, т є N, -различные точки из Е, A_k- произвольные комплексные постоянные, и

z-a az

tf(z) = ^g,L(z,_a) = tf(z)±^ ₊ l,

"М- j$. *(*.«)-»(*)-, _%J.

Для ее вывода использована функция

_{<7(*) = 1А"}³_Ы^:

3f(z„)f(z)-2f'(z)

*2 *

t=1

*W(/W-/(*.))'

С помощью этой формулы далее получено дифференциальное уравнение второго порядка для экстремальных функций в задаче о кривизне линий уровня функций класса S.

В 1.3 представлены два примера применения теоремы 1.1 для построения вариационных формул в других классах однолистных функций. В теореме 1.4 предложен новый вывод известной вариации в подклассе звездообразных функций класса 5, впервые полученной И.А. Александровым [1].

Теорема 1.4 В классе S* имеет место вариационная формула

4=1 /

f(z,s) = f{z) + sf(z)Z{A_k[H(z_k)K(z,z_ky

{ ^ z,—

-L(z,z_k)]-A_k

H{z_k)K

+ o(z,e),

z,— \ + L

к 4

\ + L z,-

где Zk, k = 1, 2,..., m, m є N, - различные точки из E, A_k- произвольные комплексные постоянные, и

*(*)-*?. K(z,_fl) = tf(z) ₊ f^, L(z,_e)-ff(*)± ₊ l.

j \z) z — a z — a

В доказательстве этой теоремы функция g(z_t є) выбрана в виде g& є) ⁼f(z) ехр( єф)), f(z) є S*,

i + z_kz^

( \ Vi z> ^{Z + Z}i 5 *- ^{+ Z}k^Z

, z<=E, и 5^ fc=l»2,...,m, -

где p(z) = B_k L _{+ Bk}—i-

ы\ ^Z~H ^l~^zk^zJ

комплексные постоянные.

В теореме 1.5 дана вариационная формула в классе So.

В 1.4 приведены вариационные формулы, имеющие при решении экстремальных задач вспомогательное значение:

/(z,_g) = /(z) _{+ g}/(z)JU /J.^Z) , (1.5)

/(z,ff) = /(z) + fi/(z)L(z,_e^e) + ₀(z,), (1.6)

/(z,_ff) = /(z) + fe[/(z)-z/'(z)] + ₀(z,fi), (1.7)

/(z₅) = /(z) + [(l-z²)/'(z)-r(0)/(z)-l] + _O(z,_f)₍ (1.8)

/(z,) = /(z) + /[(l ₊ z²)/'(z)-/^ff(0)/(z)-l] _{+ O}(z^). (1.9)

Здесь (1.5) имеет место только для таких функций/(z), что f{E) имеет внешние точки, и точки w_k - внешние для /(E). В (1.6) 6, 0<6<2я, —

_, _ч zf'(z)z + a , „ ,

произвольное постоянное, L[z,a) =—j~ hi. Все эти формулы

f(z) z-a

получены элементарным образом без привлечения теоремы Голузина.

Вторая глава посвящена методу параметрических продолжений и его взаимосвязям с вариационным методом. Используется уравнение Левнера-Куфарева, которое является обобщением уравнения Левнера

где Дт), \/4т)\⁼ 1» — кусочно-непрерывная в [0, +оо) функция. В 2.1 этой главы представлено уравнение Левнера-Куфарева

^ = -Ср(,т),0<т<т\ 0<г<«>, (2.1)

гдер( г) заданная вЕхТ,Т= [О, г), функция, при каждом фиксированном г принадлежащая классу С голоморфных в Е функций /?(z), р(0) = 1, Kep(z)> 0, и непрерывная по совокупности переменных в цилиндре ЕхТ. Множество всех таких функций р( г) обозначено через <Р^с,Т).

Сформулирована теорема о существовании и свойствах его решения, и представлено доказательство, намеченное в работе [33].

Теорема 2.1 Какова бы ни была фиксированная точка t, t є Т, уравнение Левнера-Куфарева (2.1)

а) на интервале T(\\t-\x\.Hl + |z[) /4|z| , г имеет, и притом

единственное,решение [r,t,z),z є Е;

б) если Г), t < Г] < г, конечно, то Q^T\, t, z) осуществляет однолистное
конформное отображение круга Е на некоторую область В(Т\,і)с:Е,
причем Qtu t, 0) - 0, ^(г„/,0) = е'"^п ;

в) если т = од, то функция

f(z) = \\me^I4(T,t,z) = z+...

Г—WO

голоморфна и однолистна в Е.

В следствии 2.1 это уравнение рассмотрено с разнормированной правой частью (p(0_t г) может быть не равно единице). В этом случае решение уравнения Левнера-Куфарева также голоморфно и однолистно в круге Е.

Далее затронут вопрос о зависимости решения уравнения (2.1) от вещественного параметра, и результат сформулирован в виде теоремы 2.2 и следствия 2.2.

Теорема 2.2 Пусть функция р(, г, є) при каждом фиксированном є, є є (—єо, q), o>0, принадлежит классу является непрерывно дифференцируемой по є в (-Во, о)> и ее производная р'_є{,т,є') ограничена внутри ЕхТх(-е_0у Со). Тогда решение {т, г, е) уравнения

ах непрерывно по совокупности переменных внутри ExTx(-eq, q), и существует непрерывная по совокупности переменных внутри х 7х(-о, со) производная _е (г,z,).

В 2.2 представлены некоторые случаи интегрирования уравнения Левнера-Куфарева частного вида.

В первом пункте этого параграфа приведено известное интегральное представление функций класса S* посредством функций p(z) класса С

полученное как результат интегрирования уравнения (2.1) с правой частью, не зависящей от переменного г (автономное уравнение Левнера-Куфарева).

Указан способ построения вариационных формул в классе S*, используя вариационные формулы в классе С, приведено два примера таких построений.

Во втором пункте путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева с функцией /?( г)= \/р(е~^ат), где p(z) є С, получена новая интегральная формула в некотором подклассе класса S*.

Теорема 2.4 Пусть p(z) є С, и а, а > 0, - произвольное постоянное. Классу S* принадлежит функция

,/ % f-f p(Q-i ^dt

f(z) = zexp< —V^ r-

Заметим, что из этой формулы при а = 0 получается приведенное выше интегральное представление класса S*.

В третьем пункте представлен вывод формулы Базилевича [9] как классический случай интегрирования уравнения Левнера-Куфарева.

Теорема 2.5 Пусть pn{Q, p\\Q ~ голоморфные в E функции с положительными вещественными частями. Тогда классу S принадлежит функция

_/М«

л(о)^г|

^(vjv^-'exp

Л (0) о

^Ї*»Ц-*()_А

Ра{Щ

И, наконец, предложена новая интегральная формула, аналогичная формуле Базилевича. Она получена путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева с функцией р( т) = l/[p₀() + Pi(e^il~^a)T)].

Теорема 2.6 Пусть po(z), P\{z) — голоморфные в Е функции с положительными вещественными частями, и а, 0 < а< 1,— произвольное постоянное. Классу S принадлежит функция

_/М=

л, (о)

Ро(0) + л(0)

^bWev\(l-a)i*M-*^Wduy +

(2.14)

du\dv

о Lo^M

где// = 1/[(1-а)_Л(0)].

Заметим, что из интегральной формулы (2.14) можно получить формулу Базилевича, положив а = 0 и/?г(г) = /3o(^z)⁺.Pi(z).

В 2.3 с помощью уравнения Левнера-Куфарева получены вариационные формулы в некотором плотном подклассе класса S.

Пусть для функции/(z) є S найдется такая функция р( г) є <Р(С,Т),

4to/(z)= lime^r"(r,z), где ^r,z) - решение уравнения Левнера-Куфарева.

Г-*00

Множество всех таких функций f(z) обозначим через S(C, Т). Оно содержит подкласс S'функций класса S, отображающих круг Е на области, полученные из плоскости проведением разреза по обобщенно жордановой дуге, оканчивающейся в бесконечности, и является плотным подклассом класса относительно равномерной сходимости внутри круга Е.

Теорема 2.8 Пусть функция p{Q т, є) при каждом фиксированном с, є є (-ео, о), принадлежит классу <Р(С,Т), непрерывно дифференцируема

поев (-₀, Ео), имеет в окрестности є = 0 разложение вида

р(, г, е) =р( г) + є7\ т) + у(С г, є), где у( г, є)/є -> 0 при є —> 0 равномерно внутри ЕхТ, и пусть производная р'_е(,г,є) ограничена внутри ЕхТх(—є₀, є₀). Тогда в классе S(C, Т) имеет место вариационная формула

/(z_ffi) = /(z)-e/'(z))^4r(C(r,z)_fr)rfr + o(z₍)_f

где (г, z) — решение уравнения (2.1).

В 2.4 представлены различные варианты объединения вариационного и параметрического методов, предложенные Н.А.Лебедевым (теорема 2.10) и П.П. Куфаревым (теорема 2.11). Они основаны на том обстоятельстве, что во многих задачах экстремальные функции отображают круг на области, полученные из плоскости проведением разреза по кусочно-аналитической кривой. В теореме 2.12 в новой редакции в терминах и обозначениях метода параметрических представлений дана одна вариационная формулам. Шиффера [54].

Пусть/(z) = z + C2Z² +...є S отображает круг Е на область В₀= С\ L, где L - кусочно-гладкая кривая с параметрическим уравнением w = Функция такова, что область В„ полученная из плоскости проведением разреза w ~ r5fВ_Т будем считать стандартной, то есть производящую для f(z) функцию w = T(z, т), Ч^г, 0) ⁼/(z), однолистно и конформно отображающую Е на Я_г, нормированной разложением (z, T) = e^T(z + c₂(T)z²+...).

Теорема 2.12 В классе S имеет место вариационная формула

/*(х)-/(.) + «-[2**-,(0^(1) +

_+е-"[3^"»_4Л_г(г) + 2_Сз²(г)-с₃(г)]/³(_г) + ₀(_е-²'),

где 0 < в< 1к_ь lim е^2то[е~^2т] = 0, и с^(г) - коэффициенты производящей

dmf{z) функции ^(z, г).

В третьей главе исследуется экстремальная задача. В 3.1 дана постановка задачи. Требуется найти область значений функционала, зависящего от значений функции и первых двух ее производных:

i:s^c, i(f)=j(fMJ^_tf(z₀)J^_trMJ⁷M)_t (3.1)

где Я@—>С J=J(cou Ш2, л>з, о)₄, со$, а>ь) - есть функция, отличная от постоянной и аналитическая в некоторой области 0, 0 с С⁶, достаточной при рассмотрении конкретной задачи, и zo є Е> z₀ ^ 0, - произвольно фиксированная точка.

Для исследования этой задачи используется метод внутренних вариаций. Получено необходимое условие для граничной функции f(z) этого функционала: какова бы ни была дифференцируемая по є при =0 функция f{z, є) ~/(z) + eQ{z) + o(z, є), принадлежащая при достаточно малых классу , для любой граничной функции функционала (3.1) имеет место неравенство

Ke[sQ(z₀) + tQ'{z_Q) + uQ'^f{z_o)]>O_i (3.3)

s-e

^{а/Ц) Ja/K)}

дщ \ до)₂ j

t = e~

dj(a>₀) _| JdJ{a>^

и = е

^{^^}_а^{^ы}_+е^{4^[Ы}

доз*

V ^дй)б J

и U_o=(/(z_o)_J/(z_o),/'(z_o),/'(z_o),/'^,(z_o),/''(z_o))e0, а-параметр.

С помощью этого условия, рассмотренного совместно с вариационной формулой (1.5), установлено, что образ единичного круга при отображении w =f(z) не имеет внешних точек.

В 3.2 как результат применения неравенства (3.3) и вариационной формулы (1.3) получено дифференциально-функциональное уравнение для граничной функции.

Теорема 3.1. Каждая граничная функция функционала (3.1) удовлетворяет в Е дифференциально-функциональному уравнению

A{f(z)) (V(z)V B(z)

(3.5)

\3 »

(/(z)-/(4UWJ (z-z₀)³(l-z₀z)³ где A(w) = a² + a\w + a₂, и B[z) = b_Qz⁶ + 6,z⁵ +b₂z⁴ +Ь_ъг^г + b₂z² +b_tz + b_Q.

Коэффициенты полиномов A(w) и B(z) указаны в явном виде.

В 3.3 проведен качественный анализ полученного уравнения. Установлено, что граничная функция отображает единичный круг Е на область одного из двенадцати типов (см. рис. 1). При этом граница области /(E) является кусочно-аналитической кривой, содержащей бесконечно удаленную точку и имеющей не более трех конечных концевых точек.

В 3.4 рассмотрен конкретный функционал: кривизна линий уровня функций g(z) класса S в точке w₀ = g (z₀) при фиксированном :₀єЯ

K_r =

D*'W|

1 +

_*'W

g'M

(3.9)

.4

Заметим, что если функция/(z) -z + c₂z + ... пробегает весь класс S, то при фиксированном го = гё^в класс S пробегает и функция

-Ю ^z0 ^z

(3.10)

_fir)

/

\~z₀zj

*(») = -;

Из (3.9) и (ЗЛО) получим

\

*г =

І-г^а

|/'(фе(і + г²-2гс₂).

(3.11)

Задачи нахождения экстремумов функционалов (3.9) и (3.11) эквивалентны, и в дальнейшем исследуется функционал (3.11). Для этого применен вариационный метод. Установлено, что экстремальные функции функционала (3,11) отображают единичный круг на области без внешних точек. Приведено дифференциально-функциональное уравнение для экстремальной функции.

Теорема 3.4 Если w =/(z) - экстремальная функция функционала (3.11), то она удовлетворяет в Е дифференциально-функциональному уравнению

A{f{z)) (У(,)У Д(»)

(3.13)

f(z){f(z)-f(r))\№) _z(z-_r)\z-_r-^

где A(yv) ~ a^w + a\\v + ai,

а₀ = 1-^Ияе(і+/-²-2гс₂),

и В(z) = z⁶ + b_tz^s + b₂z⁴ + b₃z³ + b_zz² + b_xz +1, b_x =— r + - -nmc₂,

(3.14)

a =_ _{r +} _ _r'+_V-4 +

6₂=3-Re(l + r²-2rc₂) + Re(l + r²-2rc₂)Re

К IV 2 1

⁺V⁺r)

Imc,,

Г₁₊СИ1

^{I /'«J}

¹ (r² --^- + 4 JRe(l + r²-2rc₂)

2r'

(3.15)

1 +

r^z—^]Re(l + r²-2rc₂)Re

Полученное уравнение (3.13) является уравнением такого же типа, что и уравнение (3.5), поэтому качественная характеристика их решений

совпадает. Для экстремальных функций в задаче о кривизне линий уровня эту характеристику удается уточнить.

Теорема 3.5 Если w =/(z) - экстремальная функция функционала (3.11), то она осуществляет отображение круга Е на С\Г, где Г - кусочно-аналитическая, содержащая бесконечно удаленную точку кривая одного из следующих видов'.

1. кривая Г состоит из одной аналитической дуги, при этом в (3.13) a) A(w) = oq(w — w і )(w — 1V2),

^

z

{z-z₂)

z—— V ^zi)

^ ^Z\J

B(z) = (z~_MY(z-_2l)

где w_k =f(z_k% z_k є E,k = 1, 2;

( l' z- —

\ ^Z\J

b) A(w) = a₀(w -Wi)(w -w₂), 5(z) = (z-//)⁴(z-z,)

где w, =/( zi), z, є E, w₂ =/(//);

z ——

V ^z\)

c) A(w) = a_l(w-w_]), B(z) = b₀(z~p)²(z~v)²(z-z_i)

где w, =/( z_t), zi є ,/( v) = со; 2. кривая Г состоит из двух аналитических дуг, имеющих общим концом точку W2 и образующих в ней углы 2я73 и 4я73, при этом

A(w) = a₀(w-wi)(w -w₂), B(z) = (z-p.) (z-77) (z-z,)

z — — V ^Z\J

где w, =/( zO, z, є , w₂ =/( 17), | ? | = 1; 3. кривая Г состоит из двух аналитических дуг, имеющих общим концом бесконечно удаленную точку, при этом

^z~~ i>

A(w) = ai(w-w_l), S(z) = (z-//,) (z-/J₂) (z-z_}) где wi =/( zj), z\ є ;

4. кривая Г состоит из трех аналитических дуг, имеющих общим концом точку w₂ и образующих в ней равные углы, при этом

A(w) = ao(w -w_})(w -w₂), B(z) = (z-fi_x)²(z-ti₂)²{z-z_x) гдеч?\ =f(z\),z\ є E,

z — -

-\)

Экстремальная функция функционала (3.11) кроме дифференциально-функционального уравнения (3.13) удовлетворяет также некоторому дифференциально-функциональному уравнению второго порядка.

Теорема 3.6 Если w ~f{z) — экстремальная функция функционала (3.11), то она удовлетворяет дифференциально-функциональному уравнению

_л'

-R(z)

ІУ-МУ /"(/М) (_]+?1*)1 JJkl

I /W) /W(/(z)-/M) I /'WJ_Z(_Z-r)²(_Z-r-')² z(z-rf(z-_r-')

P(w) =PqW + piw + p2W + /?з,

*

R(z) = z⁸ + d^¹ + d₂z⁶ + d₃z^s + d_Az* - d₃z* - d₂z² -d_xz-\. Коэффициенты полиномов P(w) и R(w) указаны в явном виде.

Вариационные формулы в классе S

Приведем примеры использования теоремы Голузина для получения вариационных формул в классе S. Представим вывод классической вариации Шиффера-Голузина и одной новой вариации. Докажем сначала один вспомогательный результат [3, с. 80] Лемма 1.1 Пусть Qm{w) и Rn(w) - полиномы степеней т и п, т п + 1, соответственно, не имеющие общего делителя. Тогда каково бы ни было заданное число р, р 0, меньшее половины расстояния между ближайшими нулями полинома Rn(w), функция w{w) = w + e—J1 при достаточно малых є, є 0, однолистна в области А, полученной из плоскости Civ удалением замкнутых кругов радиуса р с центрами е нулях полинома Rn(w). Доказательство. Если wXi м 2, ..., щ - все нули полинома R„(w), и PuPi, ?$ р\ +/?2 Ь" +fs = И, — их кратности соответственно, то, представив отношение QJyv) к R„(w) в виде суммы простых дробей, получим Пусть w\ w"- две различные конечные произвольно фиксированные в Д точки. Оценим снизу расстояние г{со\ со") между Q} o)(wr) и у"= 6)(w"), которое, как легко подсчитать, определяется по формуле Так как \w wk\ р, \w" — wi\ p, то в Д тройная сумма в правой части этого равенства ограничена числом пър пЛЛ, где Л = тгх\Ли\, \ k s, 0 1 рк. Значит, справедливо неравенство r(й й ,) = н -wff][l- (l + иV",)] из которого следует, что при достаточно малых є разность co(w )- U)(W") отлична от нуля, если w Ф w". Оценка г{т\ а "\ когда одна из точек w y w" конечна, а другая - бесконечно удаленная, получается аналогично.П и lim -О равномерно внутри K{ry 1), r = maxzJ. Она голоморфна в K(r, 1) при каждом фиксированном є и однолистна в этом кольце при достаточно малых как композиция функции f(z) є S и однолистном согласно лемме 1.1 функции Таким образом, g(z, є) удовлетворяет условиям теоремы 1.1. Запишем формулу (1.1) для функции q(z). Выделяя главную часть ( ) = X V л= z разложения функции q(z) в ряд Лорана в кольце К(г, 1), находим Для завершения доказательства остается записать формулу (1.1) с указанными q(z), T(z), со- D Формула (1.3) является основным инструментом метода внутренних вариаций отображений класса S. Она была предложена М. Шиффером и позднее доказана Г.М. Голузиным как следствие теоремы 1.1. Посредством этой вариационной формулы при решении экстремальных задач в классе S приходят к дифференциально-функциональным уравнениям для экстремальных функций (по одному для каждой функции). В качестве еще одного примера применения теоремы Голузина приведем вывод одной новой вариационной формулы в классе S. Теорема 1.3 В классе S имеет место вариационная формула Доказательство. Рассмотрим функцию g(z, є) вида g( K{r, 1) при каждом фиксированном и однолистна в этом кольце при достаточно малых є как композиция функции /(z) є 5 и однолистной согласно лемме 1.1 функции Таким образом, g(z, є) удовлетворяет условиям теоремы 1.1. Запишем вариационную формулу (1.1) для функции q(z). Найдем главную часть T(z) разложения функции q(z) в ряд Лорана в кольце К{г, 1). Для ее коэффициентов имеем 1 Для завершения доказательства остается записать формулу (1.1) с указанными q(z), T\z), CQ.U Область DcC называется звездообразной относительно точки z0 є D, если отрезок, соединяющий точку zo и произвольно взятую точку Z є Д лежит в D.

Классом S называют множество всех функций из 5", отображающих круг на области, звездообразные относительно w = 0. Вариационные формулы в этом подклассе можно строить различными способами. Один из них, использующий вариации в классе Каратеодори, приведен во второй главе. Другой основан на представлении функций класса S посредством интеграла Стилтьеса. В этом параграфе для построения вариации звездообразных функций применяется теорема Голузина. Приведем новый вывод вариационной формулы в классе 5 , впервые полученной И.А. Александровым [1]. Теорема 1.4 В классе S имеет место вариационная формула І-І где Zjt, k = 1, 2,..., m, m N, - различные точки из E, Ak - произвольные комплексные постоянные, и Доказательство. Образуем функцию gizt є) =/(z) exp( e p(z)), /(z) є S , где и Bk, к = 1,2,...,/я, - комплексные постоянные. Она голоморфна по z в ЛГ(г, 1), г = maxlzj, при каждом фиксированном є и дифференцируема по є при є = 0 равномерно внутри , поэтому имеет место разложение равномерно внутри K(r, 1). Пусть z , z" - различные точки из К(гу 1). Поскольку/(z) однолистна в этом кольце, найдется постоянное К, К 0, такое, что \f(z )-f(z")\ K. Тогда при достаточно малых є справедливы следующие неравенства откуда следует, что g(z, с) однолистна в К(г, 1). Покажем, что внешняя граничная компонента образа кольца К(г, 1) при отображении w = g(z, є) ограничивает звездообразную относительно w = О область. Тогда /(Я, є) будет звездообразной относительно нуля областью, и функция/(г, е) попадет в класс S . Имеем Рассмотрим это равенство при z = re . Поскольку первое слагаемое в правой части равенства положительно при любых г и Q в силу звездообразности функции/Cz), и поскольку

Вспомогательные вариации

При решении экстремальных задач в классе S значительную часть информации об экстремальных функциях получают, используя вариационную формулу 1.3). Как уже было отмечено, она приводит к дифференциально-функциональному уравнению для таких функций. Однако обычно полученное уравнение само по себе не приводит к решению задачи, поскольку оно содержит ряд неизвестных величин, зависящих от искомого решения. Поэтому необходима дополнительная информация об экстремальных функциях. Некоторую ее часть можно получить, используя вспомогательные вариационные формулы. С помощью первой из приведенных в этом параграфе часто удается установить, что экстремальная функция отображает единичный круг на область, не имеющую внешних точек. Теорема 1.6 Пусть функция f(z) є S такова, что область /(E) имеет конечные внешние точки wj, и 2, ..., wm. Тогда в классе S имеет место вариационная формула где Аь — произвольные комплексные постоянные. Доказательство. Функция голоморфна и согласно лемме 1.1 однолистна в области Д, полученной из плоскости С„ исключением замкнутых кругов радиуса г = min \pk), областью f(E) с центрами в точках wk, к= 1, 2, ..., т. Легко увидеть, что функция/Xz, є) = o (f(z)), голоморфная и однолистная в Е как композиция голоморфных и однолистных функций, удовлетворяет условиям/(0, є) = 0,/ (0 я) = 1 и, таким образом, принадлежит классу S.U С помощью следующей вариации выясняют, что определенное выражение, которое обычно выносят в правую часть дифференциального уравнения для экстремальной функции, имеет на единичной окружности постоянный знак. Теорема 1.7 В классе S имеет место вариационная формула Доказательство. Рассмотрим функцию Кебе отображающую круг Е на плоскость с разрезом по лучу, выходящему из точки еів/4 и имеющему на своем продолжении точку w = 0. Функция ((z, є) = К \ (1 - e)K(z) ), є 0, отображает круг Е на круг с радиальным разрезом малой длины, идущим из точки = е 9. Она дифференцируема по є и имеет в окрестности є = 0 разложение вида где y(z, e)/e —» 0 при є —» 0 равномерно внутри . Рассмотрим функцию g(z, е) =/(C(z, е)). Разложив ее по степеням г, получим где yi(z, )/— 0 при — 0 равномерно внутри E. Легко увидеть, что g(0, є) = 0, g (0» є) 1 - є + (z, є), где y2(z, є)Іє — 0 при є — 0 равномерно siz є) внутри Е. Функция f(z,s)- } принадлежит классу 5, Подсчет дает формулу (1.6).D Следующие вариационные формулы, как правило, упрощают обычно довольно трудоемкие вычисления. Теорема 1.8 В классе S имеет место вариационная формула где є может принимать значения любого знака. Доказательство. Легко увидеть, что наряду с функцией/(z) классу S принадлежит и функция ewf{etcz). Разложив последнюю по степеням є, получим искомую формулу.П Теорема 1.9 В классе S имеют место вариационные формулы причем є может принимать значения любого знака. Доказательство. Функция принадлежит классу S при любом 5 є Е. Выбрав в одном случае S=e, а в другом д= іє и разложив рассматриваемую функцию по степеням с, получим формулы (1.8) и (1.9) соответственно.!!! Метод параметрических продолжений для решения экстремальных задач теории однолистных функций в 1923 году был предложен К. Левнером [41]. Этот метод основан на использовании уравнения Левнера где Дт), \J4J)\ = 1, — кусочно-непрерывная в [0, + х ) функция. С помощью этого уравнения исследуемый функционал можно представить посредством некоторого интеграла, содержащего управляющую функцию Дт). В ряде задач удалось найти оценку этого интеграла, и, следовательно, самого функционала. Однако определить экстремальную функцию часто не удается, и для доказательства точности оценки ограничиваются указанием экстремальной управляющей функции.

В 1943 году П.П. Куфарев [31] дал обобщение уравнения Левнера, которое называют уравнением Левнера-Куфарева. С его помощью был решен ряд сложных задач в теории однолистных функций. Параметрический метод использовали в своих работах Г.М. Голузин, П.П. Куфарев, И.Е. Базилевич, Н.А. Лебедев, И.А. Александров, М.Р. Куваев, В.И. Попов, В.Я. Гутлянский и многие другие. Различным подходам к обоснованию и многочисленным применениям этого метода большое внимание уделено в монографиях Г.М. Голузина [19], В.К. Хеймана [49], И.А. Александрова [3,4]. где/?( т) заданная вЕхТ,Т= [О, ), функция, при каждом фиксированном г принадлежащая классу С (классу Каратеодори) голоморфных в Е функций p(z), р(0)=1, Re/7(z) 0, и непрерывная по совокупности переменных в цилиндре ЕхТ. Множество всех таких функций р(, г) обозначим через Р(С,7 ). Решения уравнения (2.1), обращающиеся при т= t, 0 г г в z, обозначим через (г,ґ, z). В случае, если г = 0, вместо цО,г) будем писать Q т, z). Очевидно, r, /,0) = 0. Теорема 2.1 Какова бы ни была фиксированная точка t, t є Т,

Некоторые случаи интегрирования уравнения Левнера-Куфарева

Пользуясь тем, что если p(z) є С, то и \lp{z) є С, рассмотрим уравнение Левнера-Куфарева в виде Согласно теореме 2Л решение f=(f(r,z) задачи (2.10) при каждом фиксированном г, 0 г оо, голоморфно и однолистно в Е. Правая часть рассматриваемого уравнения не зависит от г, и, следовательно, оно равносильно некоторой автономной (динамической) системе двух дифференциальных уравнений для двух функций вещественного переменного. Нетрудно увидеть, что решение С(т, z) задачи (2.10) дается в неявном виде формулой Функция ет{т, z) є S. Этому же классу принадлежит функция . Множество получаемых указанным способом функций/(г),/(0) = 0,/ (0) = 1, составляет весь класс S . Опираясь на полученное интегральное представление функций класса S посредством функций класса С, укажем способ получения вариационных формул в классе S , используя вариационные формулы в классе Каратеодори. Затем приведем примеры построения конкретных вариаций звездообразных функций этим способом. Теорема 2.3 Если y(z, є)/є - 0 при є — 0 равномерно внутри Е, y(z, e)iz и T(z) lz голоморфны вЕ, то вариационная формула в классе S . Доказательство. Рассмотрим звездообразную функцию f(z, /;), zf (z,) соответствующую функции p{z,e), то есть такую, что — — - = р(г,є). Имеет место тождество где f(z) є 5 . Разделив обе его части на z и проинтегрировав полученное по z от z0, z0 0, до z вдоль пути, не содержащего нуль, приходим к равенству где yi(z, є)/є — О при є - 0 равномерно внутри Е. Умножив обе части этого равенства на z0 и перейдя к пределу при z0

О, получим где y2(z, є)/є - 0 при е — 0 равномерно внутри Е. Для доказательства теоремы остается разложить последнее равенство по степеням є.П Следствие 2.3 В классе S имеет место вариационная формула где Zb k= 1, 2,.,., m, m є N, —различные точки из E, Ak — произвольные комплексные постоянные, А - произвольное вещественное постоянное, и Доказательство, Применив теорему 2.3 к известной вариационной Следствие 2.4 В классе S имеет место вариационная формула где а и Ь,а є (О, 1), Ъ є R, — произвольные постоянные. Доказательство. Пусть p(z) = zf/(z)/f(z) - функция класса С, соответствующая f(z) є S . Легко увидеть, что при є 0 классу С принадлежит функция p(z,) = p{{\-ias)e ibez} = p(z) є(а + ib)zp (z) + o(z,e). Применив к этой вариационной формуле теорему 2.3, получим требуемое. Теорема 2.4 Пусть p(z) є С, и а, а 0, - произвольное постоянное. Классу S принадлежит функция Доказательство. Согласно теореме 2.1 решение С С(ъ z) задачи однолистно и голоморфно в круге Е при каждом фиксированном г. При ст = 0 уравнение (2.11) принимает вид (2.10), рассмотренный в предыдущем Для нее —j - = p(z), и, значит, /(г) отображает круг Е на область, звездообразную относительно нуля. Множество получаемых указанным способом функций/(г),/(0) = 0,/ (0) = 1, составляет весь класс S . Опираясь на полученное интегральное представление функций класса S посредством функций класса С, укажем способ получения вариационных формул в классе S , используя вариационные формулы в классе Каратеодори. Затем приведем примеры построения конкретных вариаций звездообразных функций этим способом. Теорема 2.3 Если y(z, є)/є - 0 при є — 0 равномерно внутри Е, y(z, e)iz и T(z) lz голоморфны вЕ, то вариационная формула в классе S . Доказательство. Рассмотрим звездообразную функцию f(z, /;), zf (z,) соответствующую функции p{z,e), то есть такую, что — — - = р(г,є). Имеет место тождество где f(z) є 5 . Разделив обе его части на z и проинтегрировав полученное по z от z0, z0 0, до z вдоль пути, не содержащего нуль, приходим к равенству где yi(z, є)/є — О при є - 0 равномерно внутри Е. Умножив обе части этого равенства на z0 и перейдя к пределу при z0 О, получим где y2(z, є)/є - 0 при е — 0 равномерно внутри Е. Для доказательства теоремы остается разложить последнее равенство по степеням є.П Следствие 2.3 В классе S имеет место вариационная формула где Zb k= 1, 2,.,., m, m є N, —различные точки из E, Ak — произвольные комплексные постоянные, А - произвольное вещественное постоянное, и Доказательство, Применив теорему 2.3 к известной вариационной Следствие 2.4 В классе S имеет место вариационная формула где а и Ь,а є (О, 1), Ъ є R, — произвольные постоянные. Доказательство. Пусть p(z) = zf/(z)/f(z) - функция класса С, соответствующая f(z) є S . Легко увидеть, что при є 0 классу С принадлежит функция p(z,) = p{{\-ias)e ibez} = p(z) є(а + ib)zp (z) + o(z,e). Применив к этой вариационной формуле теорему 2.3, получим требуемое. Теорема 2.4 Пусть p(z) є С, и а, а 0, - произвольное постоянное. Классу S принадлежит функция Доказательство. Согласно теореме 2.1 решение С С(ъ z) задачи однолистно и голоморфно в круге Е при каждом фиксированном г. При ст = 0 уравнение (2.11) принимает вид (2.10), рассмотренный в предыдущем пункте. Пусть а 0. Произведя в (2.11) замену переменного х = еат, получим однородное уравнение

Дифференциальное уравнение для граничных функций

Пусть J : 0 — С, J=J(co\, соъ ш3, а 4% (О Ш6) есть функция, отличная от постоянной и аналитическая в некоторой области 0, 0 с С6, достаточной при рассмотрении конкретной задачи. Зафиксируем произвольную точку z0 є Е, zG О, и образуем на классе S функционал Ставится задача отыскать множество D значений этого функционала. Следуя традиции, множество D будем называть областью. Поскольку функционал (3.1) является непрерывным [3], а класс S - связным и компактным, то область D связна и замкнута [2]. Следовательно, достаточно найти границу L множества D. Точка /о є L называется неособой точкой границы, если существует такая внешняя для D точка /е, что расстояние между точками 1е и /о равно расстоянию между 1е и областью D, то есть Множество Lo неособых точек границы плотно в L. Таким образом, для решения поставленной задачи достаточно найти L0. Функции, вносящие неособые граничные точки функционала, называют граничными функциями этого функционала. Пусть /(г, є) =f(z) + EQ(Z) + o(z, є) - вариационная формула в классе S. Функционал (3.1) является дифференцируемым [3], и его можно представить в виде TlycTbf(z) - некоторая граничная функция этого функционала, вносящая точку /0. В силу (3.2) имеет место соотношение /о - /J W(z, є)) - /J, из которого следует, что всякая граничная функция необходимо удовлетворяет неравенству Лемма 3.1 Пусть f{z) - граничная функция функционала (3.1). Тогда множество j\Е) не имеет внешних точек. Доказательство. Предположим, что область/(E) имеет внешнюю точку w, а значит, бесконечно много внешних точек. Рассмотрим условие (3.3), выбрав (1.5) в качестве функции сравнения. Оно примет вид где P(w) - полином второй степени, С- произвольное постоянное. Дробь в условии (3.4) равна нулю, Действительно, если бы она была отличной от P(w) нуля, то, положив С -ё"9, где p = arg- ——j, получили бы, что левая часть отрицательна. Значит, P(w) = 0. Это возможно только длядвух точек, в то время как (3.4) должно выполняться для любой из бесконечного числа внешних точек. Полученное противоречие доказывает лемму.О Применив неравенство (3.3) совместно с вариационной формулой (1.3), получаем дифференциальное уравнение для граничной функции. Это уравнение называют также уравнением Шиффера-Голузина. Теорема 3.1. Каждая граничная функция функционала (3.1) удовлетворяет в круге Е дифференциально-функциональному уравнению Причем правая часть уравнения (3.5) на окружности \z\=\ неположительна. Доказательство.

Условие (3.3) в случае выбора вариационной формулы (1.3) примет вид В этом условии выражение в фигурных скобках равно нулю, иначе при надлежащем выборе параметра р получили бы, что левая часть последнего неравенства отрицательна. Поскольку - произвольная точка круга Е, то, заменив Q на z, получаем, таким образом, дифференциальное уравнение для граничной функции w =f{z). Вычисления показывают, что оно имеет вид (3.5). Выбрав теперь вариационную формулу (1.6), посредством (3.3) приходим к неравенству Уравнение (3.5) содержит ряд неизвестных параметров, зависящих от искомой функции, и проинтегрировать его не удается. Однако возможно провести его качественный анализ и, как следствие, получить качественную характеристику области/ (), а именно, описание границы этой области. Из аналитической теории дифференциальных уравнений [15] следует, что всякое решение уравнения (3.5) может иметь только алгебраические особые точки, и только конечное их число. Значит, граничная функция w =/(г) имеет на окружности z = 1 конечное число алгебраических особенностей и удовлетворяет уравнению (3.5) и в замкнутом круге Ё. Вспомним, что область /(E) не имеет внешних точек. Таким образом, приходим к заключению, что граница Г образа круга Е при отображении w =f(z) состоит из конечного числа аналитических кривых, причем бесконечно удаленная точка принадлежит границе в силу однолистности области /(E). Введем следующие обозначения: М— множество конечных концевых точек/Х«), [ /J \ = 1, границы Г; Г0 - множество внутренних точек /(у), у = 1, аналитических кривых, составляющих границу Г; Н — множество общих концов f{rf), \ ц = 1, аналитических кривых, составляющих границу Г. Предположим сначала, что f(/t) є М. Тогда существует такая окрестность К(р) точки [І, что на множестве Е П K(pt) граничная функция и ее производная могут быть представлены в виде Предположим теперь, что/(г}) є Н. Тогда существует такая окрестность К{ц) точки 7» что на множестве Е ҐІ К(г[) граничная функция и ее производная могут быть представлены в виде кривые, имеющие точку f(rj) общим концом, образуют в ней угол, равный аж. Обратимся к дифференциально-функциональному уравнению (3.5). Используя (3.6), отметим, что если/( ) є Л/, то левая часть уравнения имеет в точке z = (л нуль не ниже второго порядка. Следовательно, правая часть уравнения в этом случае содержит множитель (z fi) по меньшей мере во второй степени, в то время как B{z) является полиномом шестой степени. Таким образом, граница Г может иметь не более трех конечных концевых точек. Рассмотрим вещественную функцию

Похожие диссертации на О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций

Полугруппы голоморфных отображений и метод производящих функций в теории ветвящихся процессовПолковников, Александр Александрович

Метод симметризации в геометрической теории функцийДубинин, Владимир Николаевич

Методы F-моногенных функций в теории дифференциальных уравнений Шилинец Владимир Адамович

Некоторые методы регуляризации коэффициентных функций ряда для матрицы рассеяния в квантовой теории поля Манн Гюнтер

Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложенияГорбачев Дмитрий Викторович

Обобщенные приведенные модули и некоторые их применения в геометрической теории функций комплексного переменногоЭйрих Надежда Владимировна

Плюригармонический анализ Фурье и теория функций Дубцов Евгений Сергеевич

Некоторые экстремальные задачи геометрической теории функцийКузнецов, Владимир Олегович

Задачи об экстремальном разбиении и смежные вопросы геометрической теории функцийКириллова, Дина Александровна

О вложениях классов функций Н w в классы функций ограниченной обобщенной вариации и некоторые вопросы теории аппроксимации функцийМедведева Мария Викторовна