Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время задачи об экстремальном разбиении занимают значительное место в геометрической теории функций и имеют богатую историю. Впервые экстремальные разбиения рассматривались при получении оценок произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей. Эта тематика восходит к знаменитой статье М.А. Лаврентьева 1934 года и впоследствии была развита в работах П.П. Куфарева, Г.М. Голузина, 3. Нехари, Ю.Е. Аленицына, НА. Лебедева, Дж. Дженкинса, Г.В. Кузьминой, И.П. Митюка и других математиков. Современные задачи об экстремальном разбиении включают в себя различные типы модулей и приведенных модулей непересекающихся областей. Значительные результаты в решении такого рода задач установлены в работах Г.В. Кузьминой, П. Дюрена и М. Шиф-фера, А.К. Бахтина, СИ. Федорова, Е.Г. Емельянова, А.Ю. Солынина, А.Ю. Васильева и многих других. Основными методами при решении этих задач являлись: вариационный метод, метод экстремальных метрик и метод площадей. В последние десятилетия ряд задач об экстремальном разбиении был решен В.Н. Дубининым и его учениками Е.Г. Прилепки-ной, Л.В. Ковалевым, Е.В. Костюченко и Н.В. Эйрих с помощью свойств емкостей обобщенных конденсаторов и симметризации. Развитие методов симметризации в задачах геометрической теории функций связано с именами В.К. Хеймана, Дж. Дженкинса, И.П. Митюка, П.М. Тамразова, М. Маркуса, Д. Ахаронова, А. Бернстайна, В.А. Шлыка, В.Н. Дубинина, А.Ю. Солынина и других авторов.
Вместе с тем, многие задачи об экстремальном разбиении, в особенности со свободными полюсами, остаются нерешенными. В частности, неизвестно насколько в традиционных задачах о неналегающих областях внутренние радиусы можно заменить на радиусы Робена; как выглядят экстремальные разбиения, если на экстремум исследовать функционалы, зависящие от последующих коэффициентов в разложении функции Грина (функции Робена); каковы экстремальные разбиения в случае свободных полюсов на отрезке, на луче и других подмножествах комплексной сферы; каковы экстремальные разбиения для мебиусовых инвариантов, связанных с неналегающими областями.
Хорошо известно, что к задачам об экстремальном разбиении сводятся многие другие вопросы геометрической теории функций. Таким образом, от решения этих задач во многом зависит прогресс в исследовании смеж-
ных проблем: оценок коэффициентов, доказательств теорем покрытия и теорем искажения для однолистных и многолистных функций, получение метрических свойств подмножеств комплексной сферы и так далее. Цель работы.
Развить технику емкостей конденсаторов и симметризации в решении задач об экстремальном разбиении.
Дать новые приложения экстремальных разбиений в традиционных разделах геометрической теории функций комплексного переменного.
Методы исследования. В работе используются общие методы теории функций и математического анализа, метод вариаций, а также специальные методы теории потенциала: симметризация, диссимметриза-ция и разделяющее преобразование конденсаторов.
Научная новизна.
Исследован новый класс задач об экстремальных разбиениях, включающих понятие радиуса Робена взамен внутреннего радиуса области.
Введены и изучены новые инварианты относительно мебиусовых преобразований комплексной сферы. В частности, найдены точные верхние границы для таких инвариантов в случае задачи, ассоциированной с четырьмя неналегающими областями.
Доказаны новые теоремы для семейств мероморфных функций без общих значений, включающие производные Шварца этих функций.
Получены новые многоточечные теоремы искажения и оценки коэффициентов в известных классах однолистных функций, а также неравенства для алгебраических полиномов.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в Казанском, Кубанском, Новосибирском, Дальневосточном государственных университетах, а также в ПОМИ РАН, ИМ СО РАН и ИПМ ДВО РАН при решении экстремальных задач теории функций.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные работы и 6 тезисов докладов. Две работы выполнены в соавторстве, где В.Н. Дубинину принадлежит постановка задач и общее руководство.
Апробация результатов. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных математических школах -семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010), на Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2009), на семинарах по геометрической теории функций ИПМ ДВО РАН и ДВГУ (руководители профессор В.Н. Дубинин и профессор Н.Н. Фролов).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета ETgX. Общий объем диссертации 135 страниц. Библиография содержит 114 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
