Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 9
п.1. Определения и основные результаты теорий Р.Неван-линны и Л.Альфорса. п.2. Формулировки основных результатов.
гл. I. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ТИПА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Р.НЕВАНЛИННЫ И Л. АЛЪФОРСА.
Дефектные знвчения и струтура поверхностей наложения... 48 Дополнение к §1. Перенос основных теорем теории поверхностей наложения на один класс поверхностей в /ч О геометрической структуре образа крута при отображениях
мероморфными функциями 61
О распределении сумм а-точек мероморфных функций... 71
Распределение сумм а-точек и римановы поверхности клас са F; 78
Исключительные значения ассоцированные с логарифмически
ми производными мероморфных функций 86
гл. II. ТЕОРЕМЫ ИСКАЖЕНИЯ ПРИ МЕРОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ.
Теоремы искажения 105
п.1.1. Распределение искажений при отображениях мероморфными функциями, п.1.2. Искажения по аргументам .
п. 1.3. Некоторые соотношения связанные с теоремами искажения.
§2. Геометрический подход к проблеме трансцендентной разветвленности
п.2.1. Истории вопроса и идеи.
п.2.2. Теоремы о разветвленности римановой поверхности над. кривой / и их связь с теорией поверхностей наложения Л.Альфорса.
§3. Свойство близости а-точек мероморфннх функций 121
§4. Распределение точек на окружности -Х » образы которых при отображении мероморфной функцией лежат на фиксированной кривой 126
§5. Доказательства 129
п.5.1. Теоремы искажения для функций класса F о CD"),
п.5.2. Оценки суммы Бляшке для голомлофной в Q функции W.
п.5.3. Геометрическая конструкция доказательства теорем искажения.
п. 5.3 Некоторые вспомогательные утверждения,
п.5.4. Доказательства результатов §§ I - 3
п.5.5. Модифицированная теорема искажения, как теорема о близости а-точек.
п.5.6. Доказательства теорем 4.1 и 4.2.
§6. Дополнение. Некоторые модификации принципа длины и площади. 167
гл. III. СВОЙСТВО БЛИЗОСТИ а-ТОЧЕК И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
§1. Свойство близости а-точек и свойство а-точек располагаться пачками
§2. Некоторые оценки величин отклонений мероморфных функций конечного нижнего порядка 181
§3. О взаимном расположении асимптотических мест и а-точек мероморфных функций 202
§4. О необходимом условии существования решения общей интерполяционной задачи 211
гл. ІV. СВОЙСТВО БЛИЗОСТИ а-ТОЧЖ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ И СТРУКТУРА ОДНОЛИСТНЫХ ОБЛАСТЕЙ РЙМА-НОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
§1. Основные результаты, следствия, обсуждения 219
п.Т.1. Основные результаты.
п.1.2. Связь со второй основной теоремой теории распределения значений. Вывод соотношения дефектов, п.1.3. Свойство близости а-точек мероморфных функций.
п.1.4. Выделение однолистных областей на римановой по -І.
верхности функции W .
п.1.5. О структуре первой основной теоремы теории поверхностей наложения Л.Альфорса. п. 1.6. Теоремы I.I и..:1,1 как теоремы о кругах наполнения
п. 1.7. Теоремы о лучах Бореля.
п. 1.8. Некоторые обобщения и аналоги.
п.I.9. Литературные примечания.
§2. Предварительные сведения и построения 240
п.2.1. Подсчет констант в основных теоремах теории поверхностей наложения Л.Альфорса.
п.2.2. Построение областей Sc c)- "скелетов дракона". §3. Построение областей свойства. Доказательства основных теорем 261
Литература 284
Введение к работе
Тематика исследования. После появления основных теорем теории распределения значений мероморфных функций (Р.Неванлинны) было опубликовано большое число работ о геометрических закономерностях распределения корней подклассов целых и мероморфных функций, а также работ, в которых исследуется влияние геометрических ограничений на плотность распределения корней (и на другие характеристики) рассматриваемых функций. Эти исследования широко известны и хорошо освещены в монографиях и обзорах по теории мероморфных функций. Однако после альфорсовской теории поверхностей наложения (1935) публикаций о геометрических свойствах произвольных мероморфных в плоскости или круге функций было сравнительно мало.
Диссертационная работа посвящена в основном выявлению и исследованию ряда новых геометрических закономерностей поведения корней и связанных с ними величин произвольных мероморфных (а в некоторых случаях и псевдомероморфных) в (L функций.
Основные классические результаты теории распределения значений мероморфных функций относятся к исследованию асимптотики количества их 0L-точек. Основные результаты Р.Неванлинны и Л.Алъ-форса - соотношения дефектов утверждают, что для большинства значений а и б количества ос и В -точек мероморфной функции W асимптотически равны.
В главе Ш настоящей работы обнаружено, что эти выводы теорий Р.Неванлинны и Л.Алъфорса являются следствием более общей закономерности свойства "близости" а -точек мероморфных функций, которое, качественно, заключается в том, что помимо близости количеств этих & и б -точек, они геометрически близко расположены друг к другу.
Дальнейшая разработка этого свойства "близости" (глава ІУ) и включение в ее рамки учета структуры однолистных областей римановой поверхности функции w , позволиш с единых позиций
получить усиления ряда основных результатов как теорий Р.Неванлинны и Л.Альфорса, так и результатов Валирона, Мийю, и др. о лучах Бореля и кругах наполнения. При этом оказалось, что все эти усиления выводятся из результатов, по существу описывающих "круги наполнения", изучение которых ранее находилось в стороне от центрального направления исследования.
Другим исследованием, позволившим единым методом изучать различные стороны геометрического поведения мероморфных функций, является изучение "массивности" прообразов заданных в (С множеств. Такого рода результаты - теоремы искажения, в основном хорошо изучены в классах взаимно-однозначных отображений. В главе П впервые устанавливаются теоремы "искажения" для класса всех мероморфных функций, притом они обнаруживают тесную связь с теорией распределения значений и позволяют в новом вопросе "распределения искажений" получить соотношения, аналогичные соотношению дефектов в теории Р.Неванлинны.
И свойство "близости" а -точек, и теоремы искажения находят применения при изучении как поставленных ранее, так и новых задач. Перечислим некоторые из них. Изучение величин р(& ,введенных В.П.Петренко. Исследование одной задачи Винклера. Общая интерполящюнная проблема Р.Неванлинны. Проблема трансцендентной разветвленности римановой поверхности функции . Изучение величин ТСЧ-JO , введенных А.О.Гельфондом. Задача типа теоремы длины и площади. Исследование сумм 0L-точек мероморфных функций.
Главные из указанных разработок являются реализациями эвристических рассуждений, стимулированных результатами главы I -введением и исследованием "геометрических дефектов", позволяющих по-новому интерпретировать все результаты, в которых фигурируют дефекты, и изучением сумм CL-точек, для которых, как оказалось, справедливы соответствующие аналоги основных теорем Р.Неванлинны.
О структуре изложения. Во введении приводится краткая сводка основных результатов теории Р.Неванлинны и Л.Алъфорса (пункт I), затем сводка результатов настоящей работы (пункт 2). При этом нумерация теорем та же, что и в основном тексте, а формулы нумерованы по мере надобности. В основном тексте и результаты, и формулы нумеруются парами чисел, из которых первое указывает на номер параграфа, второе - очередной номер теоремы или формулы.
