Содержание к диссертации
Введение
Часть I.
1. Критерий нормальности семейства мероморфных функций в точке 13
2. Признак нормальности семейства голоморфных функций 17
3. О кругах однолистности мероморфных функций
Часть II.
4. О поведении функций, нормальных относительно непрерывных подгрупп, в точках пространства максимальных идеалов алгебры Н 35
5. Граничные свойства мероморфных функций из классов 43
6. Критерий абсолютной гипернормальности 48
Литература 56
- Критерий нормальности семейства мероморфных функций в точке
- О кругах однолистности мероморфных функций
- О поведении функций, нормальных относительно непрерывных подгрупп, в точках пространства максимальных идеалов алгебры Н
- Граничные свойства мероморфных функций из классов
Введение к работе
Теория нормальных семейств мероморфных функций получила первоначальное развитие в работах П. Монтеля. Интерес к этой теории обусловливается ее разнообразными приложениями. Г. Жюлиа, А. Островский, К. Каратеодори, П. Фату и другие авторы применяли теорию нормальных семейств при исследовании распределения значений мероморфных функций, для изучения свойств конформных отображений, в теории функциональных уравнении /см. [14]/.
Основной задачей теории нормальных семейств, играющей важную роль в многочисленных приложениях теории, является задача получения различных признаков нормальности. Исследования в этом направлении часто определяются гипотезой А. Блока или - как ее иногда называют в современной литературе - эвристическим принципом в комплексном анализе. Согласно данному принципу всякое условие, достаточное для того, чтобы любая удовлетворяющая ему в комплексной плоскости (С мероморфная функция сводилась к постоянной, одновременно является достаточным для того, чтобы семейство удовлетворяющих ему в единичном круге D мероморфных функций было нормально в
Этот принцип иллюстрируется многими примерами. Одни из подобных условий, такие как существование трех исключительных значений функции [14], равномерная ограниченность радиусов кругов на плоскости С , однолистно накрываемых голоморфной функцией [39], [20J, известны давно. Некоторые условия нормальности в терминах распределения значений функции и ее производных получены в последнее время /см. [28J/. Значительным самостоятельным разделом стала выделившаяся из теории нормальных семейств теория нормальных функций. Изучение нормальных функций было начато работами К. Иосиды J4l] и К. Носиро [34 . Современное состояние теории нормальных функций во многом определилось благодаря исследованиям 0. Лехто и К. Виртанена [ЗО]. В этой теории можно выделить два направления, одно из которых изучает характеристические свойства нормальных функций, а другое - их граничное поведение. Нужно отметить, что некоторые результаты, первоначально полученные для нормальных функций, впоследствии переносились на нормальные семейства и занимали в теории нормальных семейств важное место /см. [31], [42]/.
Диссертационная работа состоит из двух частей. Исследования, вошедшие в первую часть непосредственно связаны с гипотезой А. Блока. Во второй части изучаются некоторые свойства нормальных функций. Каждая из частей разбита на три параграфа.
В § I доказывается критерий нормальности /лемма I/, который позволяет по семейству функций, если оно не является нормальным в круге _Q , строить в плоскости С непостоянную мероморфную функцию, в определенном смысле наследующую свойства функций этого семейства. Лемма I уточняет основной результат работы [42]. Ее доказательство восходит к работам [зі] и [зв]. Этот критерий носит вспомогательный характер и используется далее при доказательстве теоремы I.
В § 2 изучается задача, сформулированная в сборнике нерешенных проблем, опубликованном У. Хейманом [27] в 1967 году, - образуют ли нормальное семейство в J) голоморфные функции (і X , удовлетворяющие при фиксированном натуральном П. условию - • Ф 1 Известно, что уравнение ff f =4 имеет решение для любой непостоянной целой функции f- ; случай Л, 2- рассмотрен в [2б[, случай П=1 - в [24]. Подчеркнем, что методы в работах [26] и [24] существенно различны.
Положительное решение указанной задачи при П / Z было фактически известно [40]. Позднее в статье [25]была предложена общая схема для получения признаков нормальности семейств голоморфных функций в терминах распределения значений функции и ее производных. По этой схеме в статье [25] с помощью метода из работы [26 ] был установлен ряд достаточных условий нормальности и в том числе повторен результат из [40]. Метод работы [24] не удавалось применить к семействам функций, и, более того, в статье [25] было высказано предположение, что этот метод недостаточно глубок и вероятно не может быть перенесен на семейства функций.
Теорема I, § 2, дает положительное решение сформулированной вьше задачи для случая YL- { . В ее доказательстве в равной степени используются идеи работ [24] и [25J.
Чтобы изложить содержание § 3, введем несколько обозначений. Пусть голоморфная функция I определена в области Сг с С- . Риманову поверхность над плоскостью (L , на которую \ отображает область G обозначим через. Если функция 3- мероморфна, то риманову поверхность, на которую \ отображает свою область определения, естественно рассматривать над сферой _Q- . В этом случае обозначим ее через К(_Л_) .
Как уже отмечалось выше, для любой непостоянной целой функции поверхность \\Л€) содержит однолистные круги сколь угодно большого радиуса, и, с другой стороны, семейство голоморфных в J) функций if 5 У которых радиусы однолистных кругов на поверхностях R о (С) ограничены постоянной, одной и той же для всех функций семейства, обязано быть нормальным в D . Условие нормальности, описываемое в § 3, выражается через ограничение на радиусы однолистных кругов на поверхности Ro (-Г2). В связи с этим условием в § 3 исследуется также строение поверхностей R«(_Q}функций, мероморфных в плоскости (L
Во второй части диссертационной работы удобно пользоваться общим определением.
Определение I. Пусть i и (г - области на комплексной плоскости С и /o \ij, 4 . &± " G-z , - семейство аналитических отображений области G± в область &г . Мероморфная в области &г функция f называется Р -нормальной, если семейство функций нормально в области G1 .
Обозначим группу конформных автоморфизмов единичного круга D через /5JJ .
Наиболее подробно S -нормальные функции исследованы в случаях, когда G±- Gp - С и р - \? + oL : Д-(С т, - в этом случае р -нормальные фуніщии называются функциями Иосиды, и когда G - GZ D и /Ь - р , - р-рнормальные функции принято называть функциями, нормальными в смысле Лехто-Виртанена. Отметим также класс функций исключительных в смысле Жюлиа, то есть мероморфных функций р -нормальных при (J1 = &г-C {0 и Р {2 И- "У).
В статье [б] В.И. Гаврилов поставил задачу изучения свойств функций, порождающих нормальные семейства на непрерывных подгруппах группы /Ъ-л . В этом направлении рассматривались I и - и ip -нормальные функции [б] , [iOJ, где обозначает гиперболическую подгруппу с двумя неподвижными точками 6 и - в и U-a+ae L J параболическую подгруппу с одной неподвижной точкой Є .
Изучение свойств Р -нормальных функций, как отмечено в обзоре [I2J, нередко шло по пути проверки наличия или отсутствия у них свойств ограниченных голоморфных функций. В §§ 4, 5 свойства Ти - и Г -нормальных функций рас-сматриваются в сравнении со свойствами р -нормальных функций.
Результатам из § 4 необходимо предпослать следующее замечание. Понятие нормального семейства и затем нормальной функции естественным образом распространяются на непрерывные функции со значениями на сфере Римана -Q. . На такие функции непосредственно обобщаются некоторые утверждения о меро-морфных нормальных функциях, что представляет интерес- особенно в тех случаях, когда точность этих утверждений иллюстрируется на примерах мероморфных функций. Доказываемые в § 4 теоремы 4, 5 и 5 формулируются для непрерывных функций со значениями в SL .
Критерий нормальности семейства мероморфных функций в точке
Теория нормальных семейств мероморфных функций получила первоначальное развитие в работах П. Монтеля. Интерес к этой теории обусловливается ее разнообразными приложениями. Г. Жюлиа, А. Островский, К. Каратеодори, П. Фату и другие авторы применяли теорию нормальных семейств при исследовании распределения значений мероморфных функций, для изучения свойств конформных отображений, в теории функциональных уравнении /см. [14]/.
Основной задачей теории нормальных семейств, играющей важную роль в многочисленных приложениях теории, является задача получения различных признаков нормальности. Исследования в этом направлении часто определяются гипотезой А. Блока или - как ее иногда называют в современной литературе - эвристическим принципом в комплексном анализе. Согласно данному принципу всякое условие, достаточное для того, чтобы любая удовлетворяющая ему в комплексной плоскости (С мероморфная функция сводилась к постоянной, одновременно является достаточным для того, чтобы семейство удовлетворяющих ему в единичном круге D мероморфных функций было нормально в
Этот принцип иллюстрируется многими примерами. Одни из подобных условий, такие как существование трех исключительных значений функции [14], равномерная ограниченность радиусов кругов на плоскости С , однолистно накрываемых голоморфной функцией [39], [20J, известны давно. Некоторые условия нормальности в терминах распределения значений функции и ее производных получены в последнее время /см. [28J/. Значительным самостоятельным разделом стала выделившаяся из теории нормальных семейств теория нормальных функций. Изучение нормальных функций было начато работами К. Иосиды J4l] и К. Носиро [34 . Современное состояние теории нормальных функций во многом определилось благодаря исследованиям 0. Лехто и К. Виртанена [ЗО]. В этой теории можно выделить два направления, одно из которых изучает характеристические свойства нормальных функций, а другое - их граничное поведение. Нужно отметить, что некоторые результаты, первоначально полученные для нормальных функций, впоследствии переносились на нормальные семейства и занимали в теории нормальных семейств важное место /см. [31], [42]/.
Диссертационная работа состоит из двух частей. Исследования, вошедшие в первую часть непосредственно связаны с гипотезой А. Блока. Во второй части изучаются некоторые свойства нормальных функций. Каждая из частей разбита на три параграфа. В I доказывается критерий нормальности /лемма I/, который позволяет по семейству функций, если оно не является нормальным в круге _Q , строить в плоскости С непостоянную мероморфную функцию, в определенном смысле наследующую свойства функций этого семейства. Лемма I уточняет основной результат работы [42]. Ее доказательство восходит к работам [зі] и [зв]. Этот критерий носит вспомогательный характер и используется далее при доказательстве теоремы I. В 2 изучается задача, сформулированная в сборнике нерешенных проблем, опубликованном У. Хейманом [27] в 1967 году, - образуют ли нормальное семейство в J) голоморфные функции (і X , удовлетворяющие при фиксированном натуральном П. условию - Ф 1 Известно, что уравнение ff f =4 имеет решение для любой непостоянной целой функции f- ; случай Л, 2- рассмотрен в [2б[, случай П=1 - в [24]. Подчеркнем, что методы в работах [26] и [24] существенно различны.
Положительное решение указанной задачи при П / Z было фактически известно [40]. Позднее в статье [25]была предложена общая схема для получения признаков нормальности семейств голоморфных функций в терминах распределения значений функции и ее производных. По этой схеме в статье [25] с помощью метода из работы [26 ] был установлен ряд достаточных условий нормальности и в том числе повторен результат из [40]. Метод работы [24] не удавалось применить к семействам функций, и, более того, в статье [25] было высказано предположение, что этот метод недостаточно глубок и вероятно не может быть перенесен на семейства функций.
В ее доказательстве в равной степени используются идеи работ [24] и [25J. Чтобы изложить содержание 3, введем несколько обозначений. Пусть голоморфная функция I определена в области Сг с С- . Риманову поверхность над плоскостью (L , на которую \ отображает область G обозначим через Если функция 3- мероморфна, то риманову поверхность, на которую \ отображает свою область определения, естественно рассматривать над сферой _Q- . В этом случае обозначим ее через К(_Л_) .
Как уже отмечалось выше, для любой непостоянной целой функции поверхность \\Л) содержит однолистные круги сколь угодно большого радиуса, и, с другой стороны, семейство голоморфных в J) функций if 5 У которых радиусы однолистных кругов на поверхностях R о (С) ограничены постоянной, одной и той же для всех функций семейства, обязано быть нормальным в D . Условие нормальности, описываемое в 3, выражается через ограничение на радиусы однолистных кругов на поверхности Ro (-Г2). В связи с этим условием в 3 исследуется также строение поверхностей R«(_Q}функций, мероморфных в плоскости (L
О кругах однолистности мероморфных функций
С теоремой 4 и следующими за ней примерами интересно сопоставить теоремы 5 и 5 , 4, в которых доказано, что всякая непрерывная функция) из класса Ж или zP обязательно допускает непрерывное продолжение на множество большее, чем соответственно U Н0 или U Р .В 5 изучается граничное поведение функций из классов . Согласно лемме 5, 5, в рассматриваемом случае для каждой функции \ произвольная дуга на единичной окружности содержит такую дугу, что в некоторой ее окрестности рост сферической производной функции Ц- ограничен так же, как у /о- -нормальных функций. Это.позволяет получить ряд граничных свойств, которые функции из классов 3 и J наследуют у /Ь -нормальных функций. Так /теорема б, 5/, непостоянная функция из класса at или v не может иметь предела по последовательности дуг Кёбе; кроме того, для любой голоморфной функции из указанных классов множество точек, в которых она имеет асимптотические значения, плотно на единичной окружности.
Наконец известно J4], что любая голоморфная /$ -нор мальная функция, ограниченная на произвольной Б -последо вательности точек, ограничена в некоторой окрестности пре дельной дуги этой В -последовательности. Завершают 5 примеры голоморфных функций из классов , не обладающие отмеченным сейчас свойством. Недавно Дж. Андерсон и Л. Рубель [18 ввели понятие абсолютно гипернормальной функции Определение 2. Пусть 0 и &г - области на комплекс ной плоскости , - семей ство аналитических отображений области &± в область G% . Мероморфная в области Grz функция f называется jS -абсолютно гипернормальной / -АГН/, если семейство функций нормально в области (j-± . С помощью понятия абсолютной гипернормальности в работе [18J была дана новая характеристика класса функций Блока. Именно: класс функций Блока - это в точности класс р №?Ш функций. В работе [l8j исследовался случай транзитивных семейств к) . Для таких семейств в [18J был получен критерий абсолют ной гипернормальности. Некоторые свойства р -AFH функций установлены в [ю] в том случае, когда для любой точки 6 множество ее образов несчетно. Теорема 7, 6, содержит критерий jb -абсолютной гипернормальности функции \ , обобщающий критерий из работы [18 , в претюложении, что для каждой точки %є &і найдется такое отображение dp , что функция не обращается в нуль в точке оС ) . Отметим, что транзитивные семейства отображений и семейства, рассматривавшиеся в [10], при -ф0; очевидно, удовлетворяют этому прелоложению. Согласно теореме 7 функция 100 » 2 является р -AFH функцией в том и только том случае, если существуют комплексно значная функция /U/ (?,), е ї , и непрерывная неотрицательная функция МО), 6Ц, такие, что для любого отображения ІЄр и любой точки ; 6 (к имеем В работе [ів показано, что всякая функция (Цс , входящая в приведенную оценку, обязана быть локально ограниченной в области G . Теорема 8, 6, утверждает, что если для некоторого компактного подмножества fc\ области Сг± ы -АШ функция \ не ограничена на множестве (К), то функция fAo определяется единственным образом и голоморфна в области G . Если при этом дополнительно G\ &z и отображения семейства р образуют полугруппу относитель но суперпозиции, то при любом 6 функция /U удовлетворяет соотношению Для дискретной группы /S оно означает, что (Л с является автоморфной формой первой степени. Последнее соотношение дает возможность найти вид функции /Но , например, для - или і р -ATEL функции f . В заключение отметим, что результаты других авторов, цитируемые в настоящей работе, обозначены как предложения. С учетом необходимости они не всегда формулируются в наибольшей общности. Автор глубоко благодарен своему научному руководителю В.И. Гаврилову, без постоянной поддержки которого эта работа не была бы написана.
О поведении функций, нормальных относительно непрерывных подгрупп, в точках пространства максимальных идеалов алгебры Н
Таким образом, при іі Пл множество Cif, / состоит из одной точки. Определим функцию f- на множестве D V гі , полагая f (2 )=/( ) , -D , и f(u)= С(и.) , ивИ$ .
Если функция / не является непрерывной в некоторой точке LL HQ , то для некоторого числа С другой стороны, для каждой точки Ылг ввиду вырожденности множества C(f іАу) найдется точка afy VftD , для которой ftCfay- fCZy)) g, Тогда имеем направленность {ZyJ , сходящуюся к , и что противоречит вырожденности множества (т,и/ . Следовательно, функция -f непрерывна на D Нд -нормальной, то по лемме 5 при некотором 0 в Ру.(Х) лежат последовательности точек {%п.) и J J , удовлетворяющие условию Sfe rD—b-O /У1- оо I и %(t(z) (?п))} 0, где 6 не зависит от /1 .На основании предложения б некоторая регулярная точка it лежит в замыкании каждой из последовательностей {&,} и {%,[ J . Тогда множество С( ) содержит по крайней мере две различные точки и, следовательно, функция f не может быть непрерывно продолжена в точку LL Теорема доказана. Теорема 4 точна в том смысле, что существуют мероморфные Ты - и Тр -нормальные функции, не допускающие непрерывного продолжения ни в какую точку, лежащую соответственно вне множеств Нл и Гл . Построим мероморфную I н -нормальную функцию, обладающую указанным свойством. Зафиксируем отличное от тождественного преобразование VT.T . Пусть I обозначает дискретную группу, порожденную преобразованием До . Пусть далее область (j-C) является фундаментальной областью для Г . Выберем в Сг две непересекающиеся последовательности точек \ХК) и\Цк[ » не имеющие предельных точек в J) и обладающие тем свойством, что для всякого числа 0 при некотором = t.(6) 0 область Gr содержится в каждом из множеств (U#(XK/$VAC0 и (U %к,г))Ь Л0н( # На р новой по-верхности -У/р последовательностям \Хц\ и іук} соответствуют последовательности точек { ОЬ ] и \ к] , не имеющие предельных точек на J)/n . На поверхности /р существует мероморфная функция , нули и полюса которой в точности совпадают соответственно с {хк} и \Чк) [15] Отсюда следует, что существует автоморфная относительно Г мероморфная в D функция f- , множества нулей и полюсов которой суть Х= U 4ft.X,$ и У ЧпЧ О Для некоторого числа 1, 0 каждое из множеств 3)(хд0") и у ЧуД,) содержит весь круг J) , откуда всякая точка из 77 , не являющаяся регулярной, лежит в замыкании каждого из множеств X и У . Следовательно, функция ± не может быть непрерывно продолжена ни в одну такую точку. Для произвольной регулярной точки а возьмем направленность 7 у г , %у J-J , сходящуюся к U . Для каждой точки у выберем из множеств X и ї ближайшие к ней точки JCy и U.y , Заметим, что для любого X О направленность j у } с некоторого момента лежит вне ДН(Т) , так как в противном случае существовала бы направленность { у} , %у — и і лежащая при некотором % 0 в A (t ) , что противоречит выбору точки U Поэтому в силу построения множеств X и Y имеем d( 1Xy) 0 и 6(іу, Члг) 0 а основании [2fj /лемма 6/ получаем Ху —V - , Чу — - Ur , Таким образом, в любой окрестности точки и, (функция -f принимает два значения 0 и 0 и, очевидно, не продолжается непрерывно в такую точку. Наконец, для всякого числа 1 0 найдется такое число % 0 , что U ЖШЛі) = ДІ(Ї) , откуда и согласно предложению 5 -f является I -нормальной функцией. -r-Є Мероморфная I р -нормальная функция, допускающая непрерывное продолжение в точности на множество Рл , стро-ится вполне аналогично. Из теоремы 4 нетрудно получить, что непрерывная функция принадлежит классу Ж- /соотв. J /в том и только том случае, если она непрерывно продолжается на множество соотв. U РА /. Однако, как утверждает-ся в теоремах 5 и 5 , не существует не только мероморфных, но даже непрерывных функций в классах г и J , допускающих непрерывное продолжение в точности на множества соответственно. Обозначим через Q множество регулярных точек в слое пространства /II/ над точкой QL . Ясно, что Теорема 5. Пусть непрерывная функция j- принадлежит классу Ж . Тогда на единичной окружности лежит такое остаточное множество А = А() типа Q- , что функция непрерывно продолжается на множество
Граничные свойства мероморфных функций из классов
Пусть 6у и - - области на комплексной плоскости О , jS і 3 j - семейство аналитических отображений области & в область б и - - мероморфная в области Gg функция. Как отмечено во введении, о семействе $ предполагается, что для любой точки & существует отображение 6в р , для которого 3(2)) + 0 . Кроме того, мы будем считать выполненным естественное условие Будем говорить, что голоморфная функция -f(.) , 6 , обладает свойством /А/, если существуют комплекснозначная функция (2Ї , , и непрерывная неотрицательная функция М (х) , е ч , такие, что для любого отображения 4 6 $ и любой точки 6 справедлива оценка и свойством /Б/, если для любого компактного подашожества J\ области G\ функция ( ограничена на множестве Теорема 7. Любая р -АГН; функция - голоморфна. Голоморфная функция \ является р -AFEP функцией тогда и только тогда, когда она обладает свойством /А/. Доказательство. Пусть X - произвольная р -AFB функция. Предположим, что имеет полюс в некоторой точке ЬГ0 Go Пусть 4( , ip . Ввиду определения абсолютной гипернормальности имеем «і (4 ()) і. оо , %е b i . Последовательность функций {Q 0OJ , "V , принадлежит семейству лЬбсооьЬ ( ) f однако из этой последовательности, очевидно, нельзя выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся в какой-либо окрестности точки %0 . Получено противоречие. Таким образом, функция f-голоморфна в Gy . Покажем теперь, что произвольная голоморфная р -АГН функция обладает свойством /А/. В силу предложения I существует такая непрерывная не отрицательная функция МУ( ) , е 4j , что для любой функ ции о, имеем Зафиксируем отображения -5 , а /Ь и положим где u6 и -fC42.("V + 0 . Пусть далее Мы имеем откуда при U. получаем a,{UcM))5;(u)-v-a2fC62(a))6» tff (и? /зо/ В дальнейших рассуждениях выделим два случая. Предположим сначала, что функция -f обладает свойством /Б/. Из оценки /30/ получаем Ввиду исходного предположения о семействе существует такая непрерывная положительная функция Уп(Х) , %&1 , что для любой точки UGGJ найдется отображение 6U J5 , удовлетворяющее условию Сопоставите каждой точке иь Gr. фиксированное отображение и » удовлетворяющее указанному условию. Полагая в /31/ VV и l ==(U a\ ue j , получаем I f (V«» ц) - (u ) {с\Ы))\ [Агм(\ Ш«У\+i), /32/ где М; Ы = К Л { ,PVM)J. Так как функция обладает свойством /Б/, то существует такая непрерывная неотрицательная функция М-г( ) , % &\ » что для любого отображения 6 jS имеем Следовательно, из /32/ получаем где ,причем в качестве 4 можно взять любое отображение 3 р Пусть теперь функция не обладает свойством /Б/. Тогда найдутся компактное подмножество К области о и последовательности точек \ Л , %njts , и отображений V , такие, что 4( гь(пУ1- lYl- oo /. Последовательность функций 4 п.} как содер жащаяся в нормальна в области Сгу Поэтому, совершив при необходимости переход-к подпоследовательности, будем считать, что последовательность {/ и} локально равномерно сходится в Gi и - вX //г — -оо /. Отсюда имеем
