Введение к работе
Актуальность темы. Объектом изучения данной диссертации являются линейно-инвариантные семейства аналитических функций. Семейство 9Я функций f(z) = z + ... , аналитических и локально однолистных в единичном круге Д, называется линейно-инвариантным семейством, если вместе с функцией f(z) оно содержит также и функцию вида
/'(>(0)У(0)
z +
для любого конформного автоморфизма
С этим фактом связано введение для линейно-инвариантных семейств величины, получившей название порядка,
ordDt=isup|/"(0)|, * few
которая оказалась для таких семейств важнейшей характеристикой.
Изучение линейно-инвариантных семейств вызвало большой интерес. Оказалось, что многие известные классы конформных отображений
-'-Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen.I/ Ch. Pom-merenke // Math. Ann. - 1964. - Hf.155. - P. 108-154.
2Bieberbach L. Aufstellung und Beweis des Drehungssatzen fur schlichte konforme Abbildung / L. Bieberbach // Math. Z. - 1919. - N 4. - P. 295-305.
3Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln / L. Bieberbach // Sitzgsber. PreuB. Acad. Wiss. - 1916. - V. 138. - P. 940-955. Там же.
являются линейно-инвариантными. Следовательно, появилась возможность исследовать общие свойства таких классов функций. И если раньше изучение многих классов конформных отображений зачастую основывалось на свойствах, характерных для функций конкретного семейства, то с введением понятия линейной инвариантности стало возможным разработать универсальные методы изучения свойств классов локально однолистных функций.
Для линейно-инвариантных семейств хорошо известен класс теорем, характеризующих рост модулей функций и их производных при приближении аргумента к границе единичного круга. Такие утверждения получили название теорем регулярности роста. Самым известным результатом такого типа является теорема регулярности роста в классе S : пусть / Є S. Тогда 1) существуют числа S Є [0,1] и
6 =
max|/(z)|
(1
= lim
г->1-
max|/'(z)|
(1
(1
(1
\f'(re^ )|
= lim
г->1-
\f{reiv )|
= lim
г->1-
2) величины, стоящие под знаком предела, не возрастают по г Є
(ОД);
3) S = 1 -<=> f(z) = fe(z) — функция Кёбе (см. стр. 3).
Первая часть теоремы говорит о том, что функции, имеющие максимальную для класса S скорость роста, растут гладко, регулярно (т.к. предел существует). Более того, эти функции имеют максимальный рост на некотором радиусе relcp , г Є (0; 1),
Подобный результат получил В. К. Хейман8 для функций, р-лист-ных в среднем по окружности. Д. М. Кэмпбелл высказал гипотезу о
5Hayman W. К. Some applications of the trans-finite diameter to the theory of functions, / W. K. Hayman // J. Analyse Math. - 1951. - N 1. - P. 155-179.
6Krzyz J. On the maximum modulus of univalent functions / J. Krzyz // Bull. Pol. Acad. Sci. Math. - 1955. - V. CI. - N 3. - P. 203-206.
7Bieberbach L. Einfuhrung in die konforme Abbildung / L. Bieberbach. - Berlin: Sammlung Goschen, Band 768/786a. - 1967. - 184 p.
8Хейман В. К. Многолистные функции / В. К. Хейман. - М.: Иностранная литература, 1960. - 180 с. - С. 121-125
справедливости такой теоремы для класса Vfc функций с ограниченным граничным вращением. Гипотеза оказалась верной, в 1984 г. В. В. Старков9 получил такой результат не только для класса Vfc, а и для любого линейно-инвариантного семейства конечного порядка.
В 1996 г. Я. Годуля и В.В. Старков10 обобщили понятие линейно-инвариантных семейств на функции, аналитические в поликруге Д = Д х ... х Д, и получили многомерный аналог теоремы регулярности роста.
Цель работы — рассмотреть задачу, симметричную описанной выше: охарактеризовать убывание модулей производных функций из линейно-инвариантных семейств вблизи границы единичного круга и остова единичного поликруга.
Методы исследования. В работе используются методы теории функций комплексного переменного и математического анализа.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полным доказательством. Основными явлются следующие:
доказательство теоремы регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций, аналитических в единичном круге;
обобщение теоремы регулярности убывания на случай линейно-инвариантных семейств в поликруге;
доказательство аналога теоремы Бейджмила для функций, определенных в поликруге, его применение к исследованию свойств аналитических функций;
исследование множества направлений интенсивного убывания функций из линейно-инвариантных семейств;
приложение теорем регулярности к исследованию класса аналитических функций Блоха.
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы
9Старков В. В. Теорема регулярности в универсальных линейно-инвариантных семействах функций / В. В. Старков // Труды международной конференции по конструктивной теории функций (Варна 1984). - София, 1984. - С. 76—79.
10Godula J .Linearly invariant families of holomorphic functions in the unit poly disk / J. Godula, V. V. Starkov // Generalizations of Coplex Analisis. Banach Center Publ. -1996. - N 37. - P. 115-127.
при исследовании граничного поведения аналитических функций одного или нескольких комплексных переменных, а также в учебном процессе.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены в докладах автора на Третьей Петрозаводской международной конференции по теории функций комплексного переменного (Петрозаводск, 2006), Пятой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2006), Восьмой международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2007), XIV International Conference on Analytic Functions (Chelm, Poland, 2007), 14-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной памяти академика П. Л. Ульянова (Саратов, 2008), IV Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу и приложениям (Петрозаводск, 2008), International conference "Analytic methods of mechanics and complex analysis" (Kiev, Ukraina, 2009), 15-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ (Саратов, 2010), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж;, 2010), в Петрозаводском государственном университете в 2006-2010 гг. на семинаре по теории функций комплексного переменного под руководством проф. В.В. Старкова, на объединенном научном семинаре математических кафедр Саратовского государственного университета (2010 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы автором в 14 работах, из них 6 статей, 8 тезисов и материалов конференций. Список публикаций автора приведен в конце автореферата. Работа [4] опубликована в журнале, входящем в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, каждая из которых разбита на разделы, списка литературы из 48 наименований. Нумерация теорем, определений и формул двойная: первым указан номер главы, вторым - номер теоремы (определения, формулы) в этой главе. Общий объем диссертации составляет 105 страниц.
