Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Обощенные теоремы о неявной функции 13
1.1. Отображения, дифференцируемые по Гато 13
1.2. Дифференцирование оператора суперпозиции 19
1.3. Обобщенные теоремы о неявной функции 29
1.4. Уравнение в частных производных первого порядка 39
1.5. Обратимость оператора суперпозиции 42
1.6. Обобщенные решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 49
1.7. Разрешимость интегрального уравнения с оператором Гаммерштейна 63
ГЛАВА 2. Метод послщоватеяьных приближений. доказательство основных теорем 65
2.1. Теорема Майкла о непрерывной выборке 65
2.2. Метод последовательных приближений. Доказательство теоремы о слабом решении 67
2.3. Доказательство теоремы о свойствах неявной функции 74
2.4. Доказательство теоремы о гомотопии отображений . 85
2.5. Доказательство теоремы о глобальной разреши-мости 90
2.6. Доказательство следствий теоремы о гомотопии отображений 93
ГЛАВА 3. Доказательство вспомогатеяьных утверждений . 96
3.1. Доказательство леммы о сведении 96
3.2. Доказательство леммы о разрешимости 98
3.3. Доказательство леммы (слабое решение решение ) . 102
3.4. Доказательство леммы об инъективности 105
3.5. Доказательство леммы из параграфа 1.4 107
Литература 111
- Обобщенные теоремы о неявной функции
- Обобщенные решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
- Метод последовательных приближений. Доказательство теоремы о слабом решении
- Доказательство леммы о разрешимости
Введение к работе
. Напомним формулировку классической теоремы о неявной функции.
Пусть отображение непрерывно, непрерывно
дифференцируемо по Фреше по 3: и Ф (Сс До) в О. Если при этом оператор Ф^СссоДо) взаимно однозначно отображает д на У , то в некоторой окрестности _Л.0 точки /Л0 определено непрерывное отображение (неявная функция) х(Х) -_А.0 -5>~U , для которого хСХо^ЭСо и ФСэ&О0)Х)- . В частности, если Ф(хД> -F(3c.)-A » ^СХ) есть обратное к Р отображение (классическая теорема о локальной обратимости).
Хорошо известна фундаментальная роль теоремы о неявной функции. В то же время для ряда важных классов уравнений условия классической теоремы нарушаются. Одно из возможных нарушений здесь - вырождение оператора Н= Ф(<о(^оДо). Это означает, что оператор /[ не имеет обратного в обычном смысле С Я X * У ) , но при этом образ ft плотен в У . Другими словами, уравнение n3a4 ведет себя подобно уравнению Фредгольма первого рода. Классический пример нарушения такого типа связан с известной проблемой малых знаменателей в небесной механике. Большое количество примеров вырожденных в этом смысле уравнений изучено в работах l-6, 21, 22 J .Приведем простой пример отображения с вырожденными производными.
Функция -4(^ порождает оператор суперпозиции -f(^)= - "ЇСхф) , действующий из Lp[p,i] в Lp/o, Cj 1J » Р2 5 . Так как функция 4 строго возрастает и,следовательно, обратима, то оператор суперпозиции -J- , очевидно, непрерывно обратим. Оператор суперпозиции $ непрерывно дифференцируем по Фреше и
(см. 1.2). Операторы \ W\ не обратимы в обычном смысле ни при одном Осв Lp . Это следует из того факта, что для любого 'XL^dCPji'] оператор -f(x) действует из Lp в Lp^ Lp/3 . В то же время, как нетрудно видеть, операторы 4Сх) при всех ХЦ> накрывают Lp » то есть их образы плотны в Lp/з . Исследование оператора суперпозиции ^ в данном случае не представляет труда. В случае произвольной измеримой по , непрерывно дифференцируемой по х функции -Hi,'*') исследование соответствующего оператора суперпозиции усложняется (см. 1.5). Кроме того, вырожденные свойства оператора порождают аналогичные вырождения ряда нелинейных уравнений. Так, в естественных условиях вырожденным оказывается эллиптическое уравнение
^эЬ Sl-Cx,u,uXl,...,utn,A)+ to С*, u,uXl ^і/^ЛИ)
1-і
с точки зрения обобщенных решений K(x)GWp . Частный случай и-1 этого уравнения рассмотрен нами в 1.6.
Кроме эллиптических уравнений существует целый ряд классов вырожденных уравнений в частных производных (см. [б] ). В качестве примера возникновения вырождения рассмотрим линейный оператор
где K(oci/Xa') W2. v"T J 2ТГ - периодические по обоим аргументам функции (здесь Т «IR.AftZ ), G'ji^M , о^ . очевидно, Д Є ^ (yj z , V/г ) . В 3.5 показано, что /IV/T^W*^ В то же время /1 не накрывает V\4 Действительно, предположим сначала, что d-H^/[<z рационально. Пусть $Ш - 2ТГ - перио-дическая функция и такая, что &() W2 Б>,2.Тг1 , но 3^ W*+>1 и іІСОй^Хг^ае.СКіХп-Кг^г). .Очеви.дно, fi, Є 1л/гК (Тг) , но U/ф Vv2 . Нетрудно видеть, что И'ац+аил^ -о ,то есть
Д lL= b u . Поэтому уравнение flu=V , где V-K , имеет решение U/ класса \\/г , не принадлежащее классу W г Легко проверить (см. 3.5), что Ке^Д = ^ ..Поэтому уравнение flu = V решений класса V/г » не имеет, то есть оператор Ц в обычном смысле не обратим. Так как множество невырожденных операторов открыто, вырожденность А при рациональных Си влечет вырожденность Д при всех (Я^бЯ .
По тем же причинам вырожден, например, класс нелинейных отображений
Настоящая работа посвящена, в основном, исследованию уравнения
Фс*,А) = о (1)
(более точно, уравнения в случае, когда ч* имеет
вырожденные производные по х .
Локальная разрешимость уравнений типа (I) с вырожденными отображениями ф систематически изучается начиная с известных работ Колмогорова, Арнольда, Нэша и Мозера [і - 6J . В этих и последующих работах советских и зарубежных авторов ( ["7-II, 22) - небольшая их часть) были развиты специальные методы последовательных, приближений, основанные на ускоренной сходимости и сглаживании. Для этих методов, отметим, характерны требования дополнительной гладкости ф (например, существование второй производной по х ) и.существования оператора сглаживания с определенными свойствами. В настоящей работе локальная разрешимость уравнения (I) исследуется без предположения дополнительной гладкости (более того, производная по X допускается разрывной) и без специального постулирования оператора сглаживания. При этом наши требования о разрешимости линеаризованного уравнения в определен-
ном отношении сильнее. Основными результатами работы в этом направлении являются теоремы о слабом решении и о свойствах неявной функции (см. ниже).
Кроме вырождения производных, характерным нарушением является также отсутствие требуемой в классической теореме о неявной функции гладкости Ф . Для ряда теоретически и практически важных уравнений условие непрерывной дифференцируемости по Фреше оказывается чрезмерно ограничительным (уравнения, возникающие в. прикладных задачах ; эллиптические уравнения ( [ 18J , с. 194) ). Требование гладкости ф ослаблялось в различных направлениях ( і2, ІЗ, 23-25] ). Так в работах 13,24J получено обобщение теоремы о неявной функции для липшйцевых отображений. В основных результатах диссертации требование гладкости ф также ослабляется.
Суммируя сказанное, определим цель настоящей работы как исследование разрешимости уравнения Ф(оь,Х)вЧ для определенных классов отображений тСхД) пониженной гладкости и с вырожденными в указанном выше смысле производными по Зс .
Кратко.остановимся на структуре и основных результатах диссертации.
диссертация состоит из трех глав..Каждая глава делится на параграфы, каждый параграф - на пункты. Параграфы обозначаются, двойным номером (например, 2.3 - третий параграф второй главы), пункты тройным (например, 1.4.2 - второй пункт параграфа 1.4). Каждый пункт содержит не более одного утверждения или определения.
Основной материал содержит первая глава. Вторая глава посвящена доказательству основных результатов. Третья глава содержит доказательства вспомогательных утверждений.
Центральным в работе является 1.3, содержащий формулировки всех основных результатов. Это теоремы о слабом решении, о
свойствах неявной функции, о гомотопии отображений и их следствия. Возможности приложений основных результатов иллюстрируют примеры из параграфов 1.4 - 1.7.
Не приводя точных формулировок, дадим представление о характере некоторых теорем. Пусть Ло^ Лл » и ^Уг » причем указанные вложения непрерывны и Yz плотно вУ1 ; В - Xi П &х.0СХо}Ъ). Пусть непрерывное отображение ф:&-*У, всюду имеет производную Гато /1(00= ФОэь) , уравнение пЬй2 = Ч разрешимо в следующем смысле:
при всех ЧЄУг ,ХЄВ имеет решение 2:-1\л(ос)ч Ал ,
удовлетворяющее неравенствам
Взаимосвязь операторов Д(х) и пл&) отражает следующая коммутативная диаграмма.
В этих условиях из теоремы о слабом решении вытекает, что .для любого и By, (Чо, Ъ/2.<20) , где и0=ф(Жо) , уравнение фСх)=Ч имеет слабое решение 5БЄ Ъ% (cc<),V) .
Определение слабого решения. Точка хбХ0 называется слабым решением уравнения фОх.)=Ч , если существует последовательность OCv,B такая, что 0^1. 5ь и Фсо^-^г» u .
Отметим, что в сформулированных условиях уравнение ф(ос)=Ч с точки зрения сильных решений разрешимо плохо: известны примеры (см.ниже), когда в любой У, -окрестности Ч0 существует и , для которого уравнение ф(х>4 решений ССЄХі не имеет. В этой ситуации естественно изучать решения в ослабленном смысле.
Понятие слабого решения в том же смысле неоднократно использовалось раньше ( і4,2б]). Известно, что общее определение слабого решения може.т приводить к появлению паразитных слабых решений, не интересных для приложений ( [14J , с. 66-67). Это явление связано с возможной неединственностью слабых решений. В общей ситуации накладывать условия, гарантирующие единственность слабого решения, по-видимому, нецелесообразно. В конкретных ситуациях е.динственность вытекает из различных специфических свойств отображения Ф , например, типа монотонности ( [26 J ) или определенного. поведения запаздывания в уравнениях нейтрального типа ( l4j , с 66-67).
Для доказательства теоремы о слабом решении ( 2.2 ) по методу касательных Ньютона строится трансфинитная последовательность приближений. Важным моментом при этом является сочетание метода касательных со сглаживанием в образах. В данном случае под оператором сглаживания понимается непрерывное отображение SCy,-)' СУДІЯХ Со, ij ->^ , Для которого flu- 2(^, &>ll^IUj Hi . Имеет место
Леша 2.1.4. Если )/z плотно и непрерывно вложено в У, ,то оператор сглаживания существует.
В прежних условиях предположим, что задано непрерывное отображение Ф()А)'- Bxj\_-$> X » причем ФС^Х) удовлетворяет условиям теоремы о слабом решении при всех А . Предположим, что при всех У/17А уравнение ФОз^лУч имеет не более одного слабого решения. Тогда из теоремы о слабом решении вытекает, что для всех (.}))а) из некоторой окрестности \l множества Фс^оЛ) это уравнение имеет ровно одно слабое решение хСчД^єЬхоС^Л). В этих условиях теорема о свойствах неявной функции утверждает, что отображение ХІМ . X) : W -Р Х0 непрерывно и удовлетворяет по w условию Липшица. При дополнительных ограничениях в этой
- II -
теореме изучается также дифференцируемость отображения Э^СмД) .
Существенной при исследовании примеров из параграфов 1.4, 1.5 является
Теорема о глобальной разрешимости. Пусть непрерывное отображение Ф ' Xi"^Y1 всюду имеет производную Гато Н[ъ)- Ф(ос) , и уравнение А(Ъ)2-Ч для любых УёУг , ОсЄ Xi имеет решение 2 = 2(Х,Ч) Xt » Удовлетворяющее оценкам ИгК^ diO+H^Ht)HKi+i , 1=0,1 , где d0)Ci -константы. Тогда для любого ибУ, уравнение ф(ос}«у имеет хотя бы одно слабое решение х Хо
Параграфы 1.4 - 1.7 посвящены приложениям основных результатов. Остановимся подробней на содержании параграфов 1.4, 1.6.
В 1.4 исследуется разрешимость уравнения
21 «ч u*i + ^Съ,и)- v . (2)
Подобные уравнения возникают в теории управления (27] ), а также при исследовании возмущений инвариантных поверхностей векторных полей ( [б] ). Отображение JL Л; «х. + "f С> и) в общем случае имеет вырожденные производные, поэтому для исследования (2) классическая теорема о неявной функции не применима.
Пусть і R\ R -> R , V fC-+ R , причем ^Coc, ц) , V(x) 2.T- периодичны no X-i,...,^ и тем самым определены на
Тв-А7а2и .поло Xe-Y<=UIT"), Х,=Уг = УгЧГ)
Полагая rb'ji , мы ищем слабое решение и Х0 «В работе доказана
Теорема 1.4.2. Пусть функция 4 дважды непрерывно дифференцируема и выполнены оценки
Пусть И 4 Ц . Тогда для любого vg Li-lT*) (2) имеет единственное слабое решение lt(V) бЦ. СТН) , и отображение U(.V) : L^-^Le непрерывно дифференцируемо по.Фреше.
При этом показано (замечание 1.4.3), что слабое решение в общем случае не является сильным.
В 1.6 исследуется разрешимость двухточечной задачи
- & -К*,х,х,)0+ 2tt,x>,V) = o , (3)
ХС0)=ХСА)=О (4)
с точки зрения обобщенных решений Х0) Wp . Здесь вектор-функции { и Q зависят от параметра Л_Л_ и в общем случае . имеют по разрывы. Функция т- предполагается эллиптичной по X . Для исследования задачи (3), (4) классическая теорема о неявной функции также не применима. На примере задачи (3), (4) в 1.6 предлагается общая методика приложения теорем о слабом решении и о свойствах неявной функции. Отображение, соответствующее задаче (3), (4) расщепляется в сумму отображений ФСх?Х)+ F(!X,/0 где Ф монотонно по X , а г вполне непрерывно по ос . Сначала с помощью названных теорем для уравнения Ф(х,Х^-Ч ищется (слабая) неявная функция Х<р(Ч,Х) . Это позволяет от уравнения ФСхД^ч-F(X,X)= О перейти к уравнению ' и + Р0х<рСч7А);М= О . Последнее уравнение легко исследуется с помощью теоремы о гомотопии отображений. В данном случае этот метод позволяет показать, что в окрестности регулярной точки
для задачи (3),(4) определена неявная функция хсД) .
Автор глубоко благодарен Борису Николаевичу Садовскому за постоянное внимание и большую помощь в работе. Автор искренне благодарен Ю.И.Сапронову , советы которого во многом повлияли на тематику настоящей работы.
- ІЗ -
Обобщенные теоремы о неявной функции
Понятие слабого решения в том же смысле неоднократно использовалось раньше ( 14 , 26] ). Известно, что общее определение слабого решения может приводить к появлению паразитных слабых решений, неинтересных для приложений ( [" 14 J , с. 66-67). Так, для уравнения [х ш] И, если положить Хо = Yi = С- [0,4] } ( - С! Со,4] , то нетрудно показать, что кроме сильных решений Х(-П а И слабым решением является, например, нулевая функция. В то же время известны и изучены широкие классы нелинейных уравнений, для которых понятие слабого решения является естественным.
Появление паразитных решений связано, очевидно, с возможной неединственностью слабого решения. В общей ситуации накладывать условия, гарантирующие единственность слабого решения, по-видимому, нецелесообразно. В конкретных ситуациях единственность вытекает из различных специфических свойств отображения Ф , например, монотонности ( [2б] ) или определенного поведения запаздывания.в дифференциальных уравнениях нейтрального типа ( [l4j , с. 66-67). В примерах настоящей работы ( 1.4 - 1.6) единственность вытекает из свойств типа монотонности.
Слабое решение часто является рабочим инструментом исследования сильных решений. Такова ситуация, например, в [26 3 В настоящей работе такая возможность используется при исследовании оператора суперпозиции ( 1.5) и разрешимости двухточечной
Этот пример сообщил автору В.М.Тихомиров . задачи ( 1,6). В то же время известны нелинейные уравнения, слабые решения которых сильными не являются. Таким уравнением является уравнение.в частных производных первого порядка, рассмотренное в 1.4. 4. Ограничение $" \/% в условии теоремы о слабом решении взято для простоты выкладок. Теорема справедлива при всех 6 А . Определение нормально квазиобратимого семейства операторов. Семейство линейных операторов А(ос7Х): Xi " Yi (хвЬ Х А) назовем нормально квазиобратимым с константами ( d0 , (ІіСХ) ), если существует семейство линейных ограниченных операторов Ді (ос? X) У4 - Xо ( в Ь йсо, ) А А) сильно непрерывное по (х,Х) в топологии Хо А , такое, что Д Сх,А)УгС Xi и при всех keXi ,ХЄЬ , X , и для Z AiCb,A) выполнены оценки (I), (2), причем Д(СС,Х)2= Пример. Семейство операторов Д(х) из примера 1.3.3 является нормально квазиобратимым.с константами ( М 7 И ). Действительно, операторы определены при всех Х.Є До - L р/ъ . . Если х Лл Lp , . то Ai(x) равен введенному в примере оператору / С-х) . Сильная непрерывность семейства .flt (ос,) легко следует из критерия сильной сходимости - леммы 1.2.7. Определение сильной инъективности. Отображение ФС Д) сильно инъективно по ос , если уравнение (3) при всех і} Yi » Л имеет не более одного слабого решения. Если Ф непрерывно, то W -непустая открытая область. Пусть выполнены условия теоремы о слабом решении и Ф сильно инъективно по 01 . Тогда для всех (ч; X) W существует ровно одно слабое решение х - ХС Д) . Отображение Х(и,Х) назовем (слабой) неявной функцией. 1.3.11. Теорема о свойствах неявной функции. Предположим в дополнение к условиям теоремы о слабом решении, что ф - не прерывно и сильно инъективно по X . Тогда (слабая) неявная функция (Д) непрерывно действует из W в Хо и.удов летворяет по и условию Липшица с константой a d0 . Если ф(хД) всюду имеет производную Гато, то в точках (V,X)W » где ы= Фсх,Х),ХЬ7 x0jjX) имеет производную Гато Ai(х, X) = Т л)(и, X) » причем при всех к . л-j. Наконец, если семейство Д(Х;Х) нормально квазиобратимо и Дсх,А) сильно непрерывно по хбЕ при всех Л , то X (У , X) сильно непрерывно дифференцируемо по Гато всюду на )fi/ причем Х(-о ІЧ7 У) - 1\л (х% А), А) В случае, когда Х0 Хп Л , Чл Уг-У , непосредственно из теорем о слабом решении и о свойствах неявной функции получаем следующее утверждение. Следствие.. Пусть Ф : Ъ - У , Ь = &х СЪ Д) непрерывное отображение. Предположим, что ф всюду имеет слабую производную fl(oc) = Ф (Ос) и уравнениепри всех М Є Y , х Ь имеет решение = 2(/ ,) ) , удовлетворящее равномерной оценке Ц2Ц С НУ II . Тогда образ В содержит шар By CW0, Ъ/гС ) ; Ч0 ФОХо) . Если, кроме того, Ф инъективно, то обратное отображение ф удовлетворяет условию Липшица. Другим следствием теоремы о слабом решении является следующая теорема, доказательство которой приводится в 2.5. Теорема о глобальной разрешимости. Пусть отображе ние Ф д /, - Уі всюду дифференцируемо по Гато и уравнение Ф(Х)Е Ч при любых ЦЄ-Yz » ОСЄХІ имеет решение 5: Є Хі » Удовлетворяющее оценкам Тогда уравнение Ф О Ьн имеет хотя бы одно слабое решение 5с. Є Ко .
Обобщенные решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
Для исследования уравнения воспользуемся теперь теоремой о слабом решении. Из этой теоремы вытекает, что для всех ІЧ 7 X) из малой окрестности V А0 точки і-ЧотАо) существует слабое решение х 1Г0 Так же, как и для операторов суперпозиции в предыдущем параграфе, слабое решение оказывается обычным решением.
Лемма (слабое решение = решение). Предположим, что ocw х и ЧЧос У}- - и . тогда ос - U 5с. . Доказательство леммы приводим в 3.3. Чтобы воспользоваться теоремой о свойствах неявной функции, необходимо показать сильную инъективность фС Зс.,/ . В данном случае, по лемме 1.6.18, сильная инъективность совпадает с инъективностью. 1.6.19. Демма об инъективности. Существуют окрестности ц сЛ0 и До точек Хо,Х0 такие, что при.всех отображение ФОэс У) СУ о ft X-i) инъективно. Доказательство леммы приводим в 3.4. По леммам 1.6.18, 19 однозначно определено непрерывное отображение рСЧ,Х) V Ao- -yo ftXi , .для которого Oc Cxb,) ) - Хо и фСХф Ч, X), А)= Ч По теореме о свойствах неявной функции отображение ЭС р СЧ 0 дифференцируемо в точках (и, \) ЯР (ТГ0 П Хі і А) В данном случае. по лемме 1.6.18 при всех \GK0 V 3 ФС ОПХЦ А) , поэтому X«pOj,X) дифференцируемо по Гато всюду на . .Для производных й і (.X , \) = У-ЧІА) (У, Ї) , в -9 Д) » справедливо соотношение Здесь Hite,\)6dL(.Yi, Хо) Покажем, что отображение Ні (. Х, А) сильно непрерывно по XG Это завершит доказательство теоремы. Как приложение одного из следствий теоремы о гомотопии отображений - теоремы 1.3.21,мы получим критерий локальной разрешимости (і) в случае, когда условия классической теоремы о локальной обратимости нарушены. Пусть Ї : C0,1] R- R , К [O,l]x[o,l]- IR. пред- _ полагая, что т удовлетворяет условию ск) (определение 1.2.16), напомним, через (г1 было обозначено подмножество функций для которых тІЬ і і : ({7%Li))& I j = о . Здесь Ic [о,і]ч - отрезок, в точках которого производная терпит по х разрывы первого рода. Пусть для некоторого 0:о в б1 П Lp не имеет нетривиальных решений 2. Lrj . Тогда отображение Ф есть ( L р, XQ Lp ) локальный слабый диффеоморфизм. Доказательство. Линейный оператор действует из Lp/ъ в Lp . Поэтому он компактен ( LW] , с. 91). По теореме 1.2.18 оператор суперпозиции 4 Lp — Lp/T всюду имеет слабую производную Гато f (х) , причем непосредственно из доказательства теоремы 1.2.18 вытекает оценка При этом отображение непрерывно в точках Сх., (.&flLp)xLp Эти свойства слабой производной, компактность оператора К "2; и тривиальная разрешимость (2) влекут выполнение условий теоремы I.3.2I. Применение этой теоремы дает нужный результат. Теорема доказана. Замечание. Рассмотрев пример iH )=1 1 , нетрудно убедиться, что условия классической теоремы о локальной обратимости могут нарушаться, в то время как условия доказанной теоремы остаются в силе.
Метод последовательных приближений. Доказательство теоремы о слабом решении
По теореме Банаха-Штейнгауза существуют окрестности \[л?_/[.л точек Х о,\о такие, что .для всех (х.А)Т-ч -Л-1 выполнена оценка
Как следствие этого - Ptj-, Л) на [[л удовлетворяет условию Липшица с константой К . Рассмотрим гомотопию где Ос 1Л , X JVi. Легко проверить, что для этой гомото пии условия теоремы о гомотопии отображений (где 1Г= (Л, , Эс0 ХГ-і - произвольна) выполнены. Из замечания 2.4.6 вытека ет тогда, что для любого Х0 существует окрестность точки Х0 такая, что является слабым диффеомор физмом при всех . .По следствию 1.3.12 образ Ф(1 , \) содержит шар By(jJoX ) » где Цо\ - ФС ъ,Х) , 6 0 от A JM не.зависит. Поэтому, если Д из малой окрестности jV0 точки Л о » то по непрерывности Ф образ Ф(1Г0;д) содержит шаР ЬуСЧо , 8-/2) , где u0 -ФСХоДо)» Аналогично, варьируя Х0 и в О , показываем непрерывность отображения ф ( х X) по обеим переменным. Это означает, что отображение ЭС,(.Ч X) непрерывно на Ву(Уо ,М2) Л-о Дифференцируемоеть отображения ЭС-(Л,Л) утверждает теорема о гомотопии отображений. Наконец, из формулируемой ниже леммы 1.3.18 вытекает сильная непрерывность производной Ое (и; д). Теорема доказана. Пусть линейные ограниченные операторы fK ( (Х У) » iM,2.,. . сильно сходятся к Д0 , существуют обратные А0 Алг и выполнена равномерная оценка [ ДА Ц 6 К. Тогда операторы Ал А г. »- сильно сходятся к оператору Д о Доказательство. Утверждение следует из цепочки соотношений. В условиях теоремы 1.3.19 естественно поставить вопрос о единственности неявной функции СсСУ X) . Из сильного варианта теоремы о гомотопии отображений следует поло жительный ответ на этот вопрос: для Сч, X) из окрестности СМ о До) решение. ХСМ7Х) в некоторой окрестности U о точки Хо единственно. Очевидно, ( ) = х+ FCc)H Ф0- 1+ РСХо) - линейный обратимый оператор. Проверим выполнение условий теоремы о гомотопии отображений. Из условия совместной компактности вытекает для всех х из малой окрестности Vj точки Х0 и Z6 X равномерная оценка ( Р(Х)2 KiR II . Отсюда следует равномерная (по t . ) непрерывность гомотопии Яч по Липшицу. Существует окрестность Ц,С Ц, точки Х0 такая, что для всех X6 и0 , 6 X выполнена равномерная оценка Действительно, противное означает, что существуют последовательности хи- х0, \\пX » //hn/ls , " h [о,О, /1=1,2,..., такие, что при h-» До ДнШ О. Тогда компактность оператора Р(Хо) и совместная компактность отображений Р(хи) влекут предкомпактность h к Если К0 -предельная точка последовательности \\ h , то, очевидно, ft i 0 И =И . и По4 С о)п0 » что противоречит условию теоремы. Таким образом, условия теоремы о гомотопии отображений, где U - U0_ , выполнены. Применение этой теоремы дает нужный результат ; теорема доказана.
Доказательство леммы о разрешимости
Из равенства вытекает, что u,(i, %) гї- периодична, если iUoc/) С (Тк). для любого 1у6d (Т ) имеет единственное решение 1б(], ж,) 6 (Т М . Заметим, что если ,-2 -k , то ( xja »VU+ ,ta) . Из единственности решения вытекает, что ІЇДХа) также. Отсюда следует, что IX = ц. , где аСос - иЛо,х) , и U/ является, в соответствии с (4), решением уравнения (3). 3. Если в уравнении коэффициенты &i рациональны, то из предыдущего этапа вытекает, что для любого существует ровно одно решение, и сіп
Пусть в (4) Xi Є R произвольны. В параграфе 1.4 было показано, что оператор L0ld = Zbl,ilat- кос.осимметричен во всех пространствах \[, К=о, 1,.,. . Отсюда для оператора Н0 к = - L0u + о U получаем оценку Рассмотрим последовательность операторов где a - рациональны и а. —=? 01г. Как доказано в третьем этапе, уравнения АкМ = Ъ разрешимы, и, вследствие неравенства типа (5) (где А0-AN )» решения ци удовлетворяют оценкам НИцКу! U/ o)ttVllw Поэтому существует предельная Функция U= ит Lth. L , являющаяся единственным решени-ем (4). Для дальнейшего нагл нужна следующая лемма. Предположим, что AoXi плотно в Уі и существует оператор Бо: У,-»Х0» іЬоІІУі- Хо - , такой, что &0 Ао= I I Xi . Тогда Д,,Хі плотно в ул существует оператор В .у, -5 Хо » Д- ко торого В Ал ИХп и 0- ВЛу Хо /(К). Сформулированная лемма доказывается так же, как лемма 2.3.5. 5. Вернемся к операторам А# ц - 21 сц U . + ) , 6 G L2 . Легко выводятся оценки Б частности, A =Ag . Операторы Аг действуют из , причем операторы [At ArJ продолжиш на Lz и її Атл - Д«га)кг- 1. dlti l Нам известно,что уравнение Д0и=1г для любого ЪвС имеет решение и B 0V Є С 00, удовлетворяющее оценке KullLz. CV o)II Vllt2 . Поэтому о продолжим на Ц и ИВ0 11[_г.- 1_г V60 . Так как К Дт-,-Лгг11» . 6 то для малых 7 о по лемме 3.5.1 A V/г плотно B L_2. И Существует & La -» Lz , ДЛЯ КОТОРОГО b fc A«t 1 2» и, по неравенству (6), Ц Ъг IL L,. - V? Повторив несколько раз рассуждения, за конечное число шагов мы найдем искомый оператор Bg . Непрерывная зависимость Bg от оІ2 следует из равенства /(Д - AgJ ц ц, = І -вгИи и утверждения леммы 3.5.1. В том случае, когда #Wa » воспользовавшись леммой 3.5.1 и неравенством (7), аналогично, методом шагов, показываем, что H Wz плотно в \д/г и, следовательно,
