Содержание к диссертации
Введение
1. Предварительные сведения и специальные обозначения
2 Теоремы сравнения для субгармонических функций без предположений о "близости" ассоциированных мер 26
3 CLASS Теоремы сравнения для субгармонических функций CLASS 39
4 Теоремы однородности для субгармонических функций 63
5 Применение теорем сравнения, к субгармоническим функциям 77
6. Применение теорем сравнения к целым функциям 86
Литература 100
- Предварительные сведения и специальные обозначения
- Теоремы сравнения для субгармонических функций без предположений о "близости" ассоциированных мер
- Теоремы однородности для субгармонических функций
- Применение теорем сравнения, к субгармоническим функциям
Введение к работе
Вопросы асимптотического поведения субгармонических функций и лагорифма модуля аналитических функций а также их разностей занимают одно из центральных мест в общей теории субгармонических и аналитических функций. Важной частью этой проблемы является получение оценок разности субгармонических функций 26-2 ,- ари известном поведении соответствующих ассоциированных мер. Поскольку добавка гармонического слагаемого к функции 1С не меняет ассоциированной меры, исследование поведения ІС в данной постановке возможно только с точностью до гармонического слагаемого. Кроме того, оценки могут быть получены только вне некоторого исключительного множества, так как функция может принимать бесконечные значения в некоторых точках своей области оп-эеделения.
В работе в основном рассматриваются функции U U4 ТА , пде Uj и U% субгармонические на всем hi -мерном евклидовом пространстве . Поведение функции изучается главным образом в терминах ассоциированных мер М. іи2 Іредставление о важности этой тематики может дать перечень авторов, к ней причастных: Ж.Адамар, А.Картан, У.Хейман, Б.Я.Левин, иПфлюгер и многие другие (см., например, [j-10j ). Однако,в юречисленных выше и других работах рассматриваются не все воз- южные ситуации, в частности, либо не полностью учитывается близость" ассоциированных мер іи,{ и /w } либо делаются допол- [ительные предположения об их "близости" (см. [і] , [6-8] , [іО] ),
Наша работа посвящена изучению влияния "близости" распределений масс U.{ и №г субгармонических функций Ьіі и Uz на :ходство их асимптотического поведения и связанных с этим задач, [олученные результаты могут быть использованы в таких областях комплексного анализа, как теория целых и мероморфных функций, теория рядов Дирихле, теория аппроксимации, задача спектрального анализа и синтеза, в мультипликативной теории функций и могут представлять интерес для специалистов в указанных областях, работающих в Харькове, Ленинграде, Ростове, Москве, Львове, Уфе.
Содержание диссертации изложено в шести параграфах.
В первом параграфе приведены обозначения и классические результаты, которые в последующих параграфах используются без пояснений.
Второй параграф содержит результаты, касающиеся оценок разностей субгармонических функций в терминах ассоциированных мер без каких-либо предположений о их "близости".
Результаты этого параграфа (теоремы 2.1, 2.2) носяі иллюстративный характер. Они предназначены для того, чтобы показать, насколько улучшаются оценки разности субгармонических функций, когда есть дополнительная информация о "близости" их ассоциированных мер (см. §3). Из теорем 2.1 и 2.2 следуют оценки снизу для субгармонических функций в терминах ассоциированных мер.
В дальнейшем мы используем оценки снизу в терминах максимума на сфере (окружности), которые приводятся в виде теорем 2.3 и 2.4 в конце параграфа.
Оценками разностей и оценками снизу занимались многие авторы (см. [1-6 J , [I2-I3J ). Наши оценки отличаются от известных более полным описанием исключительных множеств. Для описания исключительных множеств используются две леммы о, так называемых, нормальных точках, которые используются на протяжении всей диссертации. Метод доказательства лемм и метод их использования является модификацией метода , -нормальных точек Хеймана (см. f23j, [9-ІOj , [б-8] ), восходящего к известной лемме А.Картана об оценке многочлена снизу (см. [ij ).
Основные результаты диссертации, касающиеся сравнения субгармонических функций на плоскости и в пространстве по их ассоциировании мерам, изложены в третьем параграфе.
В случае целых функций / z / на комплексной плоскости € "близость" ассоциированных мер субгармонических функций -йиіА и ln\ z\ может быть интерпретирована как "близость" нулей функций /. и 2 Другими словами, это означает, что нули функции (ц могут быть получены малыми сдвигами нулей функции /,
Следуя [9] , оС -мерой Карлесона ограниченного множества Q-в /\ (Уп Z ) будем называть величину
где (АЦ берется по шарам радиуса tt- , покрывающим множество Сг (см. Г14] ).
Для множества Е. IK t возможно неограниченного, через Ь- будем обозначать пересечение П Ю (t)t где
(1) - замкнутый шар в IR с центром в начале координат радиуса t
Если
то говорят, что линейная плотность множества Е- не превышает /3 . При fi= О Ь есть С0 -множество (см. [і] ,
[91 ).
К числу первых утверждений, отражающих изменение поведения целой функции при сдвиге её нулей, относятся результаты, приведенные в книге Б.Я.Левина [і] ( лемма I, с.130; лемма 4, с.143). Эти утверждения вошли в основной аппарат теории целых функций конечного порядка. При нецелом J 0 результат из [I] (лемма I,
с.130) заключается в следующем.
Пусть множество {A/ij корней канонического произведе ния
оо
П(ю= riGrCj ; , p=if\
А
где GrLUjp) ( -U) госр{и+ — + . -+-J- первичный множитель Вейерштрасса рода р . имеет плотность относительно уточненного порядка J (t) — Р .
Рассмотрим другое каноническое произведение 5 °
П (2)=П G(f ,Р)
в котором l H=:Mn ; а -а/ ЛН .
Тогда при любых # и можно так подобрать 0 что
при всех , не принадлежащих некоторому множеству Є , линейная плотность которого не превышает 7f
В случае целого О аналогичное утверждение имеет место для "урезанных" произведений
У У
Когда последовательность ДЛ имеет лишь конечную верх-шою плотность при уточненном порядке р(г) аналогичные утверждения были доказаны А.А.Гольдбергом ( [4j , с.414)
Результаты Б.Я.Левина и А.А.Гольдберга были усилены в работах И.Ф.Красичкова-Терновского [7] , [8] в предположении, что НУЛИ {/(nj целой функции , сдвигаются в произвольных направлениях так
ность { Лп} имеет конечную верхнюю плотность при уточненном порядке j)(i)-» о +со . При этом было показано, что при нецелом jO существует целая функция ОҐ С нулями в точках tfn такая, что для любых положительных o(jA 1 множество Ее С где нарушается неравенство
І І/ -ЙріІ с (од)
удовлетворяет условию ОС
Случай целого р рассмотрен в [в] .
Обобщение перечисленных выше результатов на субгармонические функции конечного порядка на плоскости было дано В.С.Азариным [іо] в связи с задачей асимптотической аппроксимации субгармонической функции логарифмом модуля целой. В.С.Азарин использовал понятие Т.-сдвига U борелевской меры М , заданной на К для измеримого по Борелю отображения Т пространства ІК в себя. Мера Uj определяется по формуле
/хт (Q)=yu( T G),
Q. - борелевское множество.
Близость мер JU и /U_ характеризуется степенью "искажения" пространства IK отображением / , а именно: поведением функции І Ч" І •
В утверждениях Б.Я.Левина, А.А.Гольдберга, И.Ф.Красичкова-Терновского сдвиг нулей можно трактовать как J -сдвиг распределения единичных масс, сосредоточенных на последовательности точек.
В.С.Азариным рассмотрен случай отображения Т » удовлетворяющего условию
ПЧ- /(0 (0.2)
где /(-і) - положительная убывающая функция на [ 0, •+ о°) такая, что
{(ki) k BjW/ Ва 0, t(«, } ,«
Заїлетим, что под убывающей функцией, следуя Л.Шварцу [21], мы понимаем такую функцию , что из t1 tz следует
ffti) fC z) • сли ф(4) убывающая функция, то
j/n будем называть возрастающей.
Пусть /с борелевская мера на fc нормального типа при конечном порядке J { J -нецелое ). т.е.
Каждому такому распределению масс соответствует канонический интеграл ( fjOu [){О}=0 )
Основная лемма из [IOJ утверждает, что для произвольного Р (0У — ) множество Е- , где не выполнено неравенство
( г=іні )
оо /, О Л
имеет линейную плотность не выше 33 AZ , &/; &z J &з &4 постоянные.
В работе В.С.Азарина [9] содержится другое утверждение, относящееся к обсуждаемому кругу вопросов, сформулированное в терминах обобщенных функций.
Отметим, кроме перечисленных, работы Р.М.Редхеффера [15], Б.Я.Левина и И.В.Островского [16] , А.М.Седлецкого [28] , н.Д. Серых [17] , [27J , где рассматривается изменение поведения целых функций из специальных классов (функций класса Картрайт; функций, принадлежащих L на вещественной оси, функций типа синуса)при сдвиге их нулей.
Все приведенные выше утверждения из работ [iJ , [4] , [7] [io] и одно утверждение из [l8J (вторая подготовительная теорема) содержатся в результатах §3 диссертации, причем в более сильной форме.
В нашей работе ограничения, накладываемые на отображение \ , минимальны, а рост меры уи произвольный. Сформулируем одно из следствий основной теоремы 3.2 диссертации. Пусть /и - борелевская мера на Щ , Т - измеримое по. Борелю отображение ${ в себя такое, что прообраз каждого компакта имеет конечную меру относительно JU и где ЦО -борелевская функция на [R . Обозначим через сь наименьшее делое число, не меньшее 2 ҐУ\ , такое, что в выражении
где dW(jf)-00ty)dj(+( j) ж би/ж W П Щ -р . сходится ВТОРОЙ интеграл. Тогда существуют субгармонические функции UM и Uи с ассоциированными мерами соответственно JA жм такие, что для любой возрастающей функции (P(t) 0 на ГОЛ00) вне множества Е выполняется неравенство
x/W
у ;-%И №№)•№ $ и(2+ї й
и множество Е удовлетворяет УСЛОВИЮ
Здесь п -и -+ Мт зависит только от т и
Из этого утверждения вытекает, (следствие 3.1), что если задана субгармоническая функция на плоскости fcfe;= \\ (2/Р) где А - распределение масс нормального типа при нецелом порядке о О на f и \ удовлетворяет условию (0.2), то для произвольного АЄ(0, ) при 2€Е
О
р
причем
1-»иц /г г о
У
5Гу S, не зависят от / и А.
Здесь оба слагаемых в оценке разности канонических интегралов, в отличии от (0.3), зависят от функции /
С помощью приведенного выше утверждения можно также уточнить оценку (0.1):
\fa\{m- \pz)\\ si %(Z + i) (0.4)
при ЪфЕ , а (/-тСбЕ7) / при Г О.
Используя теоремы 3.1 и 3.2, а также следствия к ним, в §3 доказываются утверждения, позволяющие сравнивать поведение субгармонических фувкций, У которых ассоциированные меры принимают одинаковые значения на системе ячеек (теорема 3.3, следствие 3.3). В такой форме теоремы сравнения удобны для применения.
Доказательства теорем срввнения основаны на модификации идей и методов В.С.Азарина [ю] и И.Ф.Красичкова-Терновского Г?].
В четвертом параграфе изучается колебание значений субгармонической функции в неограниченных областях в IR в зависимости от скорости роста. Как видно из работы И.Ф.Красичкова-Терновского [25J , возможный подход состоит в том, что этот вопрос может быть интерпретирован как влияние варьирования ассоциированной меры на поведение функции. Однако, в §4 мы избрали несколько отличный подход, основанный на представлении Рисса. Этот метод имеет то преимущество, что позволяет изучать колебание произвольной субгармонической функции U .
В случае неограниченной области, не совпадающей с IK , накладывается ограничение на убывание функции Ьс на последовательности точек, поскольку в таких областях из оценки сверху ОС /эъсоъс не следует оценка снизу, сравнимая с убыванием
Результаты, тесно связанные с вопросом, рассматриваемым в §4, имеются в книге Б.Я.Левина ( [i] , теоремы 6, 7, с.128) и в работе А.Щшогера [5] , где показано, что для любого 1 0 функции In fQ) МЙЇІ9)\ построенные по заданной целой функции / уточненного порядка О (X) , образуют равностепенно непрерывное семейство при X ф ELft » где Е\ - множество положительных чисел с верхней относительной мерой меньшей V . Там же дается аналогичное утверждение для функций, аналитических внутри угла, когда на последовательности точек из угла задана оценка снизу.
Изучению зависимости приращения субгармонической функции 1Л от приращения переменной 2 Є € посвящены также работы И.Ф.Красичкова-Терновского [25] и А.Ф.Гришина [29] . Этот вопрос затрагивается и в работах А.А.Кондратюка [зі] , Т.А.Ма-каниной [зо] .
В §4 усиливаются и обещаются результаты работы [25J , а также часть результатов работ [29] . В частности, для субгармонической функции ЬС на IR доказано (следствие 4.1), что для любой положительной неубывающей на \.0 °) функции (f(t) найдется множество Е такое, что при jx-oj jx\ хуи Г
где В - постоянная М к (1)= 4W У- Ш и
,_,«•« S є ,,,,.
О
Утверждения §4 можно применять для изучения множеств вполне регулярного роста функций, субгармонических в бесконечной области подобно тому, как это делается в [і] (§1, с.184) } в [36] .
В §5 и §6 теоремы сравнения применяются для асимптотической аппроксимации субгармонической функции субгармоническими функциями со специальными свойствами и к различным вопросам теории целых функций.
В §5 показано (теорема 5.1), что для любой субгармонической
1 1г\ функции U существует бесконечно дифференцируемая
субгармоническая ФУНКЦИЯ U такая, что вне некоторого множест ва шаров радиусов t; , удовлетворяющего УСЛОВИЮ 21 t + оо
с с
выполнено соотношение
В случае функции ІЛ конечного порядка jO можно утверждать, что
/\ U (X) CMUt \%\ где /\ - оператор Лапласса, оС - положительное число, зависящее от О (см. теорема 5.2).
Для субгармонической функции U нормального типа при конечном порядке р в lf\ ( %) доказана теорема 5.3 о существовании субгармонической функции ІА с целочисленным распределением масс такой, что для любой неубывающей функции
if(i) найдется множество b. , удовлетворяющее условию 1-ти ЕХ= 0( It l) х- " ,
1 І If (і) и при X Є
+ о= В частности, при /% = получается оценка
\Ь1,(Х)-й(Х)\=0(1 \Р ( М))у ФЕ, №- + ,
[1/1 У I JP.W I Л tf Г \.JL\ — г ь a U - \/п / , где / - целая фунгашя.
В случае №-Z Р.С.Юлмухаметов [18] доказал более сильное утверждение, а именно: если субгармоническая функция U конечного порядка, то существует целая функция / , удовлетворяющая вне множества кружков с конечной суммой радиусов асимптотическому соотношению
Результат Р.С.Юлмухаметова получается путем специального выбора нулей целой функции / . В нашей оценке допускается больший произвол в выборе нулей / .
В задаче спектрального синтеза и при исследовании операторов, коммутирующих с оператором обобщенного дифференцирования в работах [32-34J использовалась возможность расщепления целой функции f уточненного порядка р(?) - Р на плоскости
для ct1;o(z 0 oti + ct i на произведение целых функций
/=. ff-{z Удовлетворяющих вне некоторого С0-множества соотношению
L\ {,&{ -о/, U{M\= °(WfM),2-оо (0.5)
Для j°=/ и o i- z- 2 этот РезУльтат б™ доказан в [32] , затем распространен на целые функции нормального типа при конечном порядке J) О и произвольные ° 4j° 2 .С.Азариным [35] .
Теоремы сравнения из §3 позволяют утверждать, что в оценке (0.5) для функции / нормального типа при порядке 0 О в правой части можно поставить а в случае
i- z z 0(Ш ) для любого 0 (теоре мы 6.2, 6.3).
При помощи теоремы 6.2 доказывается (теорема 6.4), что целую функцию экспоненциального типа л из класса Картрайт, то есть такую, что
- dx . + °° , х =/ г,
можно для любого О Г U 1 представить в виде (={r{z, где 1 1% - функции класса Картрайт и длина индикаторной диаграммы j{ равна с/ d , где (л - длина индикаторной диаграммы / (индикаторная диаграмма функций класса Картрайт -отрезок мнимой оси ).
В конце §6 теоремы сравнения применяются при исследовании устойчивости полноты экспоненциальных систем х В к J ПРИ достаточно малых сдвигах показателей в специальном пространстве аналитических в выпуклой области функции с ограничением на рост вблизи границы. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю И.Ф.Красичкову-Терновскому за постоянное внимание и помощь в работе.
Предварительные сведения и специальные обозначения
Вопросы асимптотического поведения субгармонических функций и лагорифма модуля аналитических функций а также их разностей занимают одно из центральных мест в общей теории субгармонических и аналитических функций. Важной частью этой проблемы является получение оценок разности субгармонических функций 26-2 ,- ари известном поведении соответствующих ассоциированных мер. Поскольку добавка гармонического слагаемого к функции 1С не меняет ассоциированной меры, исследование поведения ІС в данной постановке возможно только с точностью до гармонического слагаемого. Кроме того, оценки могут быть получены только вне некоторого исключительного множества, так как функция может принимать бесконечные значения в некоторых точках своей области оп-эеделения.
В работе в основном рассматриваются функции U U4 ТА , пде Uj и U% субгармонические на всем hi -мерном ев клидовом пространстве . Поведение функции изучается главным образом в терминах ассоциированных мер М. іи2 Іредставление о важности этой тематики может дать перечень ав торов, к ней причастных: Ж.Адамар, А.Картан, У.Хейман, Б.Я.Левин, иПфлюгер и многие другие (см., например, [j-10j ). Однако,в юречисленных выше и других работах рассматриваются не все воз южные ситуации, в частности, либо не полностью учитывается близость" ассоциированных мер іи,{ и /w } либо делаются допол [ительные предположения об их "близости" (см. [і] , [6-8] , [іО] ), Наша работа посвящена изучению влияния "близости" распределений масс U.{ и №г субгармонических функций Ьіі и Uz на :ходство их асимптотического поведения и связанных с этим задач, [олученные результаты могут быть использованы в таких областях комплексного анализа, как теория целых и мероморфных функций, теория рядов Дирихле, теория аппроксимации, задача спектрального анализа и синтеза, в мультипликативной теории функций и могут представлять интерес для специалистов в указанных областях, работающих в Харькове, Ленинграде, Ростове, Москве, Львове, Уфе. Содержание диссертации изложено в шести параграфах. В первом параграфе приведены обозначения и классические результаты, которые в последующих параграфах используются без пояснений. Второй параграф содержит результаты, касающиеся оценок разностей субгармонических функций в терминах ассоциированных мер без каких-либо предположений о их "близости". Результаты этого параграфа (теоремы 2.1, 2.2) носяі иллюстративный характер. Они предназначены для того, чтобы показать, насколько улучшаются оценки разности субгармонических функций, когда есть дополнительная информация о "близости" их ассоциированных мер (см. 3). Из теорем 2.1 и 2.2 следуют оценки снизу для субгармонических функций в терминах ассоциированных мер. В дальнейшем мы используем оценки снизу в терминах максимума на сфере (окружности), которые приводятся в виде теорем 2.3 и 2.4 в конце параграфа. Оценками разностей и оценками снизу занимались многие авторы (см. [1-6 J , [I2-I3J ). Наши оценки отличаются от известных более полным описанием исключительных множеств. Для описания исключительных множеств используются две леммы о, так называемых, нормальных точках, которые используются на протяжении всей диссертации. Метод доказательства лемм и метод их использования является модификацией метода , -нормальных точек Хеймана (см. f23j, [9-ІOj , [б-8] ), восходящего к известной лемме А.Картана об оценке многочлена снизу (см. [ij ). Основные результаты диссертации, касающиеся сравнения субгармонических функций на плоскости и в пространстве по их ассоциировании мерам, изложены в третьем параграфе. В случае целых функций / z / на комплексной плоскости "близость" ассоциированных мер субгармонических функций -йиіА и ln\ z\ может быть интерпретирована как "близость" нулей функций /. и 2 Другими словами, это означает, что нули функции (ц могут быть получены малыми сдвигами нулей функции /, Следуя [9] , оС -мерой Карлесона ограниченного множества Q-в /\ (Уп Z ) будем называть величину где (АЦ берется по шарам радиуса tt- , покрывающим множество Сг (см. Г14] ). Для множества Е. IK t возможно неограниченного, через Ь- будем обозначать пересечение П Ю (t)t где (1) - замкнутый шар в IR с центром в начале координат радиуса t Если то говорят, что линейная плотность множества Е- не превышает /3 . При fi= О Ь есть С0 -множество (см. [і] , [91 ).
Теоремы сравнения для субгармонических функций без предположений о "близости" ассоциированных мер
Замечание I. Из формулировки подготовительной теоремы видно, что число б можно выбирать в зависимости от точки х » то есть рассматривать как положительную функцию. Из доказательства подго-товительной теоремы следует, что интеграл і (xj оценивается правой частью (2.1).
Замечание 2. Из подготовительной теоремы следует, что если Q- множество, (? - удаленное от lup/P/U , где d(x) -некоторая положительная функция, то при при ftt-Z и (L-О в правой части надо добавить 4М\М . В этом пункте будут доказаны утверждения, позволяющие оценивать размеры исключительных множеств.
Введем определение, которое является развитием понятия нормальной точки, сформулированного, к примеру, в [23j,[9]. Пусть заданы положительная функция б(Х) на [R и / - неотрицательная борелевская функция на ({ , положительная на носителе некоторой борелевской меры /л . Определение. Точка X Є lRm называется (/.в) - нор мально относительно меры JU , если где I верхняя $-регуляризация функции / (см. Ід) Первая лемма о нормальных точках. Множество . точек, не являю щихся (/ б) - нормальными относительно /U , содержится в счетном множестве шаров таком, что t - . 6( )1I и для любого борелевского множества D зо Постоянная С зависит только от т (см. Ід). Доказательство. Разобьем пространство IR на шаровые слои По условию каждая точка X є f] S„ может быть покрыта шаром радиуса t б (Я) Ш так, что Воспользуемся следующим утверждением: Лемма о покрытиях; (см. [24], с.246). Если множество A R покрыто шарами ограниченного радиуса так, что каждая точка является центром шара, то из этого покрытия можно выделить подпокрытие (не более чем счетное), которое покрывает множество А , при чем каждая точка из IK покрывается шарами этого подпокрытия не более чем )}(т) -кратно ( у зависит только от м ). Применяя лемму о покрытиях к покрытию множества Е (\ S , получаем счетное множество шаров \с г. , которое покрыва ет не более чем ус -) -кратно. Выделим такое покрытие для каждого множества Е А $п . Нетрудно видеть, что множество шаров {Є;}.л =:{д(. К покрывает Е и каждая точка из П\ принадлежит не более чем 3)К ) шарам из этого множества. Если Є{ ;(Хсу ) » то Для любого боре левского множества ) согласно (2.5) выполнены неравенства eccD ЄіСз / 6 (zj e-cD І. f(x) Учитывая 3])(" ) -кратность покрытия множеством шаров {Qi}._ получаем ЗІ (б) Из X- Є D следует f C 5 и из последнего неравен ства сразу вытекает оценка для JET t/ Когда ограничение на рост uty) в определении нормаль ной точки X имеет специальный вид, оценка размеров исключитель ного множества шаров C t/ i) становится более наглядной. Вторая лемма о нормальных точках. Пусть в предыдущей лемме /rzj= /J(6)&/c(A6(V) еГ /яу -" , где число6 j , fj(x) - некоторая положительная борелевская функция. Тогда су ществует множество шаров {;(&. t;)] покрывающее мно жество Е точек, не являющихся (/ 6) - нормальными отно сительно меры JU , и для любого борелевского множества D удовлетворяющее соотношениям zc.D L " %( & j/(z)W Доказательство. Так же, как в доказательстве первой леммы о нормальных точек из множества шаров {Л$ (и) . U Є D} выделим 3)}(/ъ) - кратное покрытие множества D шарами.
Теоремы однородности для субгармонических функций
Покажем, что каждая функция fn есть функция класса Картрайт. Из неравенства (6.8) следует, что, если X - вещественная ось, то для любого С
Пусть ИС меРа Лебега множества е fi [ t t] , где -", tj - отрезок на прямой Л . Тогда из (6.9) следует Укажем одно следствие из теоремы 6.4 относящееся к вопросам полноты системы экспоненциальных одночленов, в пространстве L (- (к, О.) функций, локально интегрируемых с квадратом на интервале (-(Я, d) вещественной прямой, (2 С? . Пусть У1_ - { Ли J _ - некоторая последовательность комплексных чисел, в которой могут быть кратные. Сопоставим ей множество экспоненциальных одночленов. кратности точки Л / Радиусом полноты Р(Л) последовательности /[ называют наибольшее среди чисел Ct таких, что система полна в пространстве L (""#, &) . По теореме Бьёрлинга-Мальявена Г37І для целой функции / класса Картрайт при любом О найдется целая функция if экспоненциального типа меньше такая, что (?( ) Є СС-о , ]) Отсюда по теореме Пэли-Винера ( см. [i] , с. 498) следует, что если Д - множество нулей функции / класса Картрайт, то радиус полноты 0(A) равен половине длины индикаторной диаграммы й. . Учитывая это получаем Следствие. Пусть /1 - последовательность нулей функции класса Картрайт. Тогда для любого конечного набора положительных чисел {/?//, такого, что JE1 Р -РСЛ) , существует разбиение последовательности /L на подпоследователь ности [ /lcj . такое, что UA-=A. , каждая точка Яп принадлежит только одной из подпоследовательностей /1 ( Приведем одно утверждение об устойчивости свойства полноты экспоненциальных систем при малых сдвигах показателей в одном специальном пространстве функций, аналитических в выпуклой области Пусть Q. - ограниченная выпуклая область на плоскости. Через d(A) , Ае G , обозначим расстояние до границы, то есть Через П (р)/ р 0/ обозначим класс функций, аналитических в Q : : для любого Q существует С/ О такое, что В пространстве nQ. (pj введем топологию, определяемую семейством полунорм. Пусть далее ItC-ffJ - опорная функция области Q . Выберем последовательность и введем пространства . п целых функций, удовлетворяющих условию: Выражение в левой части этого неравенства определяет некоторую норму в пространстве Е п Через PQ (aj обозначим индуктивный предел нормированных пространств Е.п
В работе 38] показано, что сильное сопрояженное к пространству Нп(р) топологически изоморфно пространству PQ( , У р77 Теорема 6.5. Пусть Л = { AKj , - последовательность различных точек. последовательность различных точек на L , удовлетворяющая условию Тогда системы /-=/ в YK і iL &А полны или неполны одновременно в HQ (р) Доказательство. Пусть система А неполна в nQ(pJ Это означает, что существует целая функция / , множество нулей которое включает последовательность то есть для некоторого S, 0 Є I- р , выполнено неравенство Докажем, что существует функция О, /2 (Q) обращающаяся в іуль на последовательности / . Отсюда будет следовать, что система неполна в /-/ (р) . 1о условию
Применение теорем сравнения, к субгармоническим функциям
Пусть далее ItC-ffJ - опорная функция области Q . Выберем последовательность к \ 0/ и введем пространства . п целых функций, удовлетворяющих условию:Выражение в левой части этого неравенства определяет некоторую норму в пространстве Е п Через PQ (aj обозначим индуктивный предел нормированных пространств Е.п
В работе 38] показано, что сильное сопрояженное к пространству Нп(р) топологически изоморфно пространству . Теорема 6.5. Пусть Л = { AKj , - последовательность различных точек. последовательность различных точек на L , удовлетворяющая условию Тогда системы /-=/ в YK і iL &А полны или неполны одновременно в HQ (р)
Доказательство. Пусть система А неполна в nQ(pJ Это означает, что существует целая функция / , множество нулей которое включает последовательность то есть для некоторого S, , выполнено неравенство
Докажем, что существует функция О, /2 (Q) обращающаяся в іуль на последовательности / . Отсюда будет следовать, что система неполна в /-/ (р) . 1о условию Іусть Т - отображение плоскости. Тогда Согласно следствию 3.2 найдется целая функция О, такая, ІТО при y(t) ричем ассоциированная мера функции (/н.\0,\ есть / - сдвиг ассоциированной меры функции. Другими словами, целая функция обращается в нуль на образе множества нулей функции / три отображении Т , в частности, на последовательности / 4з соотношения (б.II) следует, что вне множества , выпол іена оценка _з )ценим функцию п, сверху на множестве & 4з (6.12) следует, что при достаточно больших —/21 2 о? , з круге Qi /l l ) найдется окружность 2 с центром в точке % такая у что 5_ п ь ,0 . По принципу максимума. Из неравенства для индикаторов (2б) , с. 230) где Z , следует, что при % Q выполнено неравен ство j_ То єсть доказано, что aQ PQ (.0/) . Обратно, из неполноты V-вытекает неполнота Л . Действительно, из условия (б.10) следует ( 0 ) Поэтому условие (6.10) влечет и остается дословно повторить для последовательности / рассуждения, проведенные выше. Теорема доказана. Утверждения, аналогичные теореме 5.6 имеются в работах [в], [іб] для пространств функций, аналитических в Q и для L (. &,&) . Отметим, что результаты типа теоремы 5.6 таким же способом можно получить и для других пространств функций, сопрояженные пространства которых реализуется как некоторые пространства целых функций, задаваемые системой весов. 6.Приведем пример применения теорем однородности к целым и аналитическим функциям. Пусть /() - целая функция на уточненного порядка p(Z) , (f( 6J - возрастающая функция, (fCt)— + при - + . Тогда для любых , , лежащих вне некоторого С - множества, выполнена оценка А /Дг;- А//teM,/ iri рся ) 121 0 ,) (6.13) и для любого О вне некоторого множества, линейная плотность которого не больше , \uilfu)\-ut (5)\\ \2-ъ\\г\?Ь11)\(г -j -)j (6.14) где п j 1 1 - постоянные, не зависящие от т и Эти утверждения сразу следуют из теоремы 4.1 или следствия 4.1. Из теоремы 4.2 сразу вытекает следующий факт. Пусть - функция уточненного порядка p(z) в угле {$ 1 №91 d} . Пусть на некоторой последовательности точек к Єf i {$: \a/i(j \ . } Oi, o(/ выполнена оценка снизу причем.[ Для некоторого Ct o при всех Л . Тогда для любой возрастающей функции (fit) —» оо вне некоторого Q - множества при 2 g g f\t справедлива оценка (ф.13), а для любого Q справедлива оценка (6.14).
