Введение к работе
Диссертация посвящена изучению вопроса о нахождении необходимых и достаточных условий для вложения некоторых классов функций из пространств Лоренца.
Актуальность темы. Одна из основных задач теории вложений состоит в нахокдении необходимых и достаточных условий для вложения одного класса функций в другой.
Первые теоремы вложения для классов функций одного переменного получил Е.Титчмара Ці] . Эти результаты были усилены Г.Харди и Д. Литтлвудоц [2] .
В 30-е годы, в связи с решением некоторых задач математической физики» возникла необходимость в изучении пространств дифференцируемых функций многих переменных. С.Л.Соболевым зЗ было положено начало общей теории вложений этих пространств.
Далее, СМ.Никольским ІАІ была построена теория влояений классов функций многих переменных, частные производные которых удов-
\i\42t&hnuin^L B.C. & M&t on, &ои/ші Ь<шгуф>гпіА. [2] Жалсі* в.Ж.^Шелтосі f. & ижмгфлсг. е&&.~
[з] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л., Изд-во Ленинград.ун-та, 1950, с.1-255. P*J Никольский СМ.Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных. Труды КИАН СССР, 1951, т. 38, с. 2И-278.
2.
летворягт условиям Гельдера. Разработанные СИ,Никольский методы онованы на приближении функций тригонометрическими полиномами или целыми функциями экспоненциального типа. Впоследствии эти негоды были использованы О.В.Бесовым JV} при построении аналогичной теории влохений о -классов. К С.Л.Соболеву восходиг другой важный метод теории вложений - методинтегральны! представлений. Этот метод получил большое развитие в работах В.П.Ильина в О.В.Бесова
Значительное место в дальнейшей развитии этой тематики занимают работы Я.С.Бугрова, В.И.Буренкова, Л.Д.Кудрявцева, П.Й.Лизоркана, С.В.Успенского, Г.Н.Яковлева и других.(см, библиографию, например,
в Ъ] ).
В 50-е годы в связи с реиением некоторых задач теории приблияа-ний и теории рядов Фурье возник интерес к пространствам функций Пр , гладкость которых не обязательно степенная, а определяется модулем непрерывности общего вида. В 60-е годы П.Л.Ульянов f8j
[5] Бесов О.В.Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения, Труды НИМ СССР, т. 60, 1961, с. 42-81.
[б] Бесов 0.В.,Ильин В.П..Никольский С.Ц. Интегральные представления функций и теоремы вложения, is.,"Наука", 1975, с. 1-480. [?_1 Никольский СМ. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. И.,"Наука", 1977, с. 1-455. [б] Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций Г/о :-ізв. АН СССР, сер.мзтеы., 1968, т. 32, № 3, с. 649-686.
3.:
разработал теории вложения классов П/> в другие функциональные пространства в одномерном случае» а также поставил ряд задач о нахождении необходимых и достаточных условий для вложений такого типа. Разработанные П.Л.Ульяновым методы основаны на оценках значений невозрастающих перестановок функций.
Впоследствии эта тематика и,методика получили большое развитие как у нас в стране, так. и за рубежом (сц. библиографии, например, в э1);
Интенсивное развитие теории интерполяции линейных операторов вызвало з последние годы большой интерес к пространствам Лоренца. Сейчас иного внимания уделяется вложению классов функций из пространств Лоренца в различные функциональные пространства.
В связи с излсгвниыы, актуальной является задача о нахождении необходимых и достаточных условий для вложения классов функций из одного пространства Лоранца в классы функций из другого пространства Лоренца. ;:' : ;Цель работы. Целью работы является нахождение-необходимых и достаточных условий для вложений Н -классов и и -классов из пространств Лоренца в другие пространства Лоренца, в //-классы и'в -классы из других пространств Лоренца.
.Методика исследования. В работе используются методы теории функций, методы и результаты функционального анализа.
Научная новизна. Все полученшэ в работа результаты являотся новыми. Основные из них следувгдао!
Й Коляда В.И., Потапов И.К., Сторсаенко 3.1. О теорзцах вложения. Труды 4-ой зимней школы. Саратов, 1990, ч. I, с. 12-21.
I.Получены точные неравенства Никольского для нора тригонометрических полиномов.в метриках различите пространств Лоренца з случаях, когда фундаментальные функции пространств Лоренца
"%& и /. $ отличаются друг''от друга на логарифмический множитель.
2.Получены необходимые и достаточные условия для вложений
в случаях, когда фундаментальные функции пространств'Лоренца
/]f е Е /If А, отличаются друг от друга на яогарифцичес-кий вшсгитель.
3»Получены необходимые и достаточные условия для вложений
з случае, когде фундаментальныефункции.дросгрансзв Лоренца
А<уо и. Ave отличаются друг от друга,' грубо говора,
на степенной ынозятеиь.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты когут найти применение в теории вложений и теории дифференциальных уравнений.
Апробация диссертации» Результаты диссертации докладывались на научном семинаре МГУ по теории тригонометрических ж ортогональных рядов под руководством члена^корреспондента РАН ПЛ.Ульянова, профессора М.Е.Потапова, доцента М.й.Дьяченко; не научном сештнара МГУ по теории приблиаений под руководством профессора М.Е.Поталова; на научно-теоретических конференциях ысшодых ученых ыеханико-мате-ыатического факультета МГУ в 1990 и Ї99І гг.; на 6-2 Саратовской
5.-зимнай школе по теории функций и приближений в 1992 г.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, каждая из которых-содержит.по два параграфа, списка литературы,;'-включающего в'себя 36 наименований. В каждой главе проставлена своя нумерация математических утверждений. Общий объеа диссертация - 1*1 страница.
