Введение к работе
Актуальность теш. Явления самоорганизации наиболее широко стали обсуждаться в 50-60-е годы в связи с задачами химической кинетики, биологии и гидродинамики. В дальнейшем исследования самоорганизации приобрели более общий характер и стали также затрагивать многие направления физики, медицины, социологии, педагогики и других дисциплин.
Математические методы анализа самоорганизующихся систем в настоящее время в основном связаны с качественным исследованием описывающих их нелинейных дифференциальных уравнений, изучением решений этих уравнений и с методами теории нечетких графов.
Недавние исследования Ю.Г.Борисовича, Б.Д.Гельмана; А.Д.Мышкиса, В.В.Обуховского, В.В.Федорчука; В.В.Филиппова и др. показали, что для изучения нелинейных дифференциальных уравнений, наряду с применяемыми качественной теорией однозначными отображениями, могут весьма эффективно использоваться методы теории многозначных отображений. Для таких отображений встает задача отыскания системных характеристик, аналогичных характеристикам однозначных отображений, в частности, энтропии и размерности, а также определения на их основе динамической, в частности, самоорганизующейся системы.
Для построения решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений В. В.Пикулем предложен асимптотический метод, основанный на формальном разложении в ряд Фурье старшей производной. Однако наличие в получающихся рядах слагаемых, имеющих вид алгебраических полиномов, делает их несколько неудобными для дальнейшего исследования. В связи с этим возникает необходимость усовершенствования этого метода для получения более подходящего вида решений.
Представление решения смешанной задачи в виде ряда Фурье, полученное В.А.Чернятиным и основанное на предложенной им процедуре обоснования, не использующей почленное дифференцирование ряда, построено для случая самосопряженного оператора. Случай же несамосопряженного линейного, а также нелинейного оператора остался неисследованным, хотя предложенная В.А.Чернятиным процедура обоснования оказывается для них также применимой.
Методы теории нечетких графов в системном анализе применяются, как правило, для моделирования систем искусственного интеллекта и систем принятия решений. Для моделирования же динамических систем с помощью нечетких графов требуется определение их динамических и системных характеристик, аналогичных используемым в теории динамических систем.
Цели и задачи исследования:
разработать метод нахождения энтропии и сложности самоорганизующихся систем;
усовершенствовать метод построения решений дифференциальных уравнений в рядах Фурье;
определить свойства и характеристики нечетких графов, необходимые для описания самоорганизующихся систем.
Методы исследования. В работе используются топологические методы, методы теории рядов Фурье, теории операторов и теории нечетких множеств и нечетких графов.
Научная новизна:
предлагается метод нахождения энтропии многозначного отображения;
формулируется определение системы, обладающей свойством самоорганизации, и предлагаются методы вычисления ее энтропии и сложности;
разрабатывается метод построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в случае несамосопряженного и нелинейного дифференциальных операторов в рядах Фурье;
формулируются определения равновесия и устойчивости нечетких графов и исследуются их свойства;
предлагаются методы нахождения энтропии и сложности нечетких графов.
Практическая значимость и внедрение результатов. Полученные результаты и развитые в работе методы могут быть полезны при исследовании самоорганизующихся систем, описании и анализе конкретных объектов, при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, нечетких графов и гиперграфов.
Результаты работы использованы в НИР СГИКДиГ "Сейсмическая безопасность курортов Черноморского побережья (на
примере города-курорта Сочи)" в разделе "Моделирование работы кладки при действии сейсмических нагрузок".
Апробация работы. Теоретические результаты работы и их практические приложения докладывались и обсуждались на семинаре кафедры строительных конструкций СГИКДиТ (Сочи, 1993г.), на заседаниях кафедры теоретических основ радиотехники ТРТУ (Таганрог, 1994г.). кафедры прикладной математики РГПУ (С-Петербург, 1994-1996ГГ.), на конференциях в Таганрогском радиотехническом университете (1993г.), Московском государственном авиационно-технологическом университете (1994г.), С-Петербургском НИИ Непрерывного Педагогического Образования (1994г.). С-Петербургской Лаборатории Изучения Образовательных Систем (1994г.), Российском государственном педагогическом университете (1995г.) и Сочинском филиале РГПУ (1996г.). Ряд прикладных результатов получил экспериментальное подтверждение.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 95 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 82 наименования.
Похожие диссертации на Методы моделирования самоорганизующихся систем
