Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Интегральные уравнения движения автоколебательных систем 16
1.1. Интегральные уравнения движения автоколебательных систем с одной степенью свободы 16
1.2. Усреднение в интегральных уравнениях движения 21
1.3. Установившиеся автоколебания 23
1.4. Автоколебательные системы со многими степенями свободы 25
1.5 Интегральные модели дискретно-распределенных автоколебательных систем 32
1.6. Численное решение интегральных уравнений движения автоколебательных систем 38
1.6.1. Решение уравнений движения общего вида 38
1.6.2. Решение уравнений движения автоколебательных систем с запаздыванием 1' 42
1.6.3. Модификация интегральных моделей 44
1.7. Пример моделирования автоколебаний 46
Глава 2. Моделирование автоколебаний в генераторах с распределенными колебательными системами 49
2.1. Дискретно-распределенная автоколебательная система с активным двухполюсником 49
2.2. Релаксационные автоколебания в генераторе на отрезке линии 55
2.3. Автогенератор с объемным резонатором 65
2.4. Емкостная трехтонка с резонатором на отрезке линии 80
Глава 3. Интегральные модели низкочастотных автогенераторов с RC-цепями и электромеханичекими резонаторами 89
3.1. Модели автогенераторов с сосредоточенными jRC-цепями 89
3.1.1. Генератор с мостом Вина 89
3.1.2. Генератор с двойным Т-мостом 92
3.1.3. Генераторы с лестничными RC-структурами 93
3.1.4. Обобщенная модель генераторов с RC-структурами 101
3.2. Интегральное уравнение движения автогенератора с і?С-линией 104»
3.3. Примеры моделирования автоколебаний в ЯС-генераторах 107
3.4. Моделирование автоколебаний в струнном генераторе 112
3.4.1. Схема автогенератора 112
3.4.2. Импульсная характеристика струнного резонатора 114
3.4.3. Интегральное уравнение движения автогенератора 119
3.4.4. Результаты моделирования автогенератора 121
Заключение 124
Приложение 126
Список использованных источников 130
- Усреднение в интегральных уравнениях движения
- Модификация интегральных моделей
- Релаксационные автоколебания в генераторе на отрезке линии
- Генератор с мостом Вина
Введение к работе
Актуальность работы
Основы представлений об автоколебательных системах, как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, были сформулированы академиком А.А. Андроновым [1-3] в первой трети XX века. С тех пор автоколебательные системы и модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники.
Одной из первых технических реализаций механических автоколебательных систем явились маятниковые часы [4]. Появление их первых образцов, по-видимому, относится к четырнадцатому столетию. Но основы современной теории часов, основанной на автоколебательных моделях, были заложены в фундаментальной монографии [2]. Важнейшее значение имела также работа А.А. Андронова и Ю.М. Неймарка [5], в которой часы впервые рассматриваются как автоколебательная система с двумя степенями свободы. К механическим автоколебаниям относятся также колебания струн смычковых музыкальных инструментов [6].
Представления об автоколебаниях широко используются также в моделях химических реакций [7], биологических систем [8, 9], механических конструкций [10].
Но наиболее обширный класс автоколебательных систем в технике составляют генераторы электромагнитных колебаний. В процессе развития радиофизики создавались и вводились в радиотехническую практику автогенераторы на основе различных типов активных элементов, обеспечивающих взаимодействие колебательной системы генератора с источником энергии: автогенераторы на электронных лампах [11] и приборах
5 с распределенным взаимодействием электронных потоков с электромагнитными волнами [12], автогенераторы на транзисторах [13] и полупроводниковых диодах [14]. Представления об автоколебательной системе и обратной связи в форме резонатора были описаны Н.Г. Басовым и A.M. Прохоровым при создании первого квантового генератора - мазера на пучке молекул аммиака [15]. Полуклассическая теория квантовых генераторов [16, 17], основанная на классической модели автоколебательной системы - «резонатор плюс активная среда», и в настоящее время широко используется в квантовой электронике [18]. Именно задачи разработки автогенераторов стимулировали развитие теории нелинейных колебаний [19-21] и радиофизики в целом. Наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.
Одна из первых математических моделей лампового автогенератора -автоколебательной системы с одной степенью свободы, получивших широкую известность среди радиофизиков как осциллятор Ван дер Поля, описана в работе [22]. Б. Ван дер Поль предложил также приближенный аналитический метод решения нелинейного дифференциального уравнения движения автогенератора, дающий адекватное описание динамики высокодобротных и слабо нелинейных автоколебательных систем - систем томсоновского типа [19]. Для исследования периодических режимов томсоновских автоколебательных систем успешно применялись также методы возмущений Ляпунова-Пуанкаре [2,23]. В дальнейшем наиболее полное развитие приближенные методы анализа нелинейных колебаний получили в работах научных школ Л.И. Мандельштама [24], Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.Н. Митропольского [25, 26] и других исследователей [27, 28]. Были разработаны асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения Боголюбова-Митропольского, имеющие строгое математическое обоснование и позволяющие получать приближенные
решения уравнений движения автоколебательных систем различных порядков по параметру нелинейности.
Первый порядок метода усреднения и его разновидность - метод медленно меняющихся амплитуд (метод ММА) получили широкое распространение в инженерной практике [20]. На основе метода усреднения СМ. Рытовым [29], А.Н.Малаховым [30], Р.Л. Стратановичем [31] была построена теория флуктуации в автоколебательных системах.
Асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения широко используются при анализе автоколебательных систем со многими степенями свободы [32] и распределенных автоколебательных систем [33,34]. Проведено их обобщение на автоколебательные системы с запаздывающими связями [35, 36].
Начиная с первых работ 20-х годов прошлого века, и до настоящего времени подавляющее большинство моделей автоколебательных систем в радиофизике формулируется в дифференциальной форме — в форме нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, а также дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими физической ситуации граничными условиями. Использование асимптотических методов теории нелинейных колебаний позволяет понизить порядок дифференциальной модели, сводя задачу анализа к решению системы укороченных уравнений для амплитуд и фаз автоколебаний. При этом решение укороченных уравнений, как правило, проводится численными методами [37,38]. Численные методы можно использовать и для выполнения процедуры неявного формирования системы укороченных уравнений (см., например, [39-41]).
Если автоколебательная система с конечным числом степеней свободы не относится к томсоновскому типу, т.е. является сильно нелинейной и (или) низкодобротной, то численный анализ автоколебаний проводится путем непосредственного интегрирования уравнений движения [42], в том числе с использованием методов интегрирования жестких [43] и сверхжестких [44]
7 систем дифференциальных уравнений. Для распределенных автоколебательных систем уравнения движения - дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к системам ОДУ на основе модовых разложений [34] или с использованием приближения бегущих волн [45].
С ростом вычислительных ресурсов ЭВМ расширяются возможности
применения конечно-разностных схем для анализа автоколебаний в системах
параболического [46] и гиперболического [47, 48] типов. При этом один из
вариантов схем состоит в том, что разностная аппроксимация производных
проводится лишь по пространственным переменным. К полученной таким
образом дифференциально-разностной модели распределенной
автоколебательной системы [49,50] в дальнейшем применяются методы
численного интегрирования систем ОДУ. В вычислительной математике
такого рода аппроксимации известны как метод прямых (метод линий) [51].
Они находят также применение при моделировании волновых процессов в
нелинейных системах и средах [52-54]. Однако разностная аппроксимация
пространственных производных вносит в исходную модель дополнительную
пространственную дисперсию. Этот эффект, по-видимому, менее
существенен в системах с диффузионными связями [49], но играет заметную
роль в системах со связями волнового типа. В результате дисперсионного
разрушения крутых волновых фронтов процессы в конечно-разностной (или
дифференциально-разностной) и дифференциальной моделях
автоколебательной системы могут иметь существенное различие. Способы устранения эффектов, связанных с разностной аппроксимацией пространственных производных, опираются, как правило, на физический механизм колебательно-волновых процессов (см., например, [53, 54]).
Вместе с тем, среди автоколебательных систем можно выделить системы дискретного и дискретно-распределенного типов. В них локализованный в пространстве (дискретный) активный элемент взаимодействует либо с сосредоточенной колебательной системой, либо с
8 распределенным резонатором. К дискретным автоколебательным системам относится большинство радиочастотных генераторов [55], а к дискретно-распределенным - СВЧ генераторы на электронных лампах [56] и полупроводниковых приборах [57], а также радиочастотные генераторы с линиями задержки и резонаторами на поверхностных акустических волнах [58, 59]. В любом из указанных автогенераторов линейная колебательная система или цепь обратной связи по отношению к точкам включения нелинейного активного элемента может быть описана импульсной характеристикой [60]. При надлежащем выборе ее физической размерности, т.е. переменных «вход-выход» резонатора, для самосогласованной системы «активный элемент-резонатор» можно записать нелинейное интегральное уравнение движения, относящееся к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода [61]. Такие интегральные модели не получили заметного распространения в теории автоколебательных систем. По-видимому, это обусловлено тем, что нелинейные уравнения движения, как дифференциальные, так и интегральные, не имеют точных аналитических решений, а приближенные и численные решения традиционно строятся для дифференциальных моделей. В связи с интегральными моделями можно лишь отметить публикации, в которых линейные флуктуационные интегральные уравнения используются при анализе фазовых шумов радиочастотных автогенераторов [62] и полупроводниковых инжекционных лазеров [63, 64].
Между тем, в статье [65] и диссертации [66] показано, что интегральные модели автоколебательных систем позволяют синтезировать дискретные во времени автогенераторы - алгоритмы генерации дискретных сигналов. Такие автогенераторы (алгоритмы) можно использовать для обработки цифровых сигналов [67] и защиты информации от несанкционированного доступа [68].
Следует также отметить, что на уровне физических представлений о процессах генерации автоколебаний существуют две обобщенные
9 структурные схемы автогенератора. Одна из них - это колебательный контур с внешним отрицательным затуханием, другая - усилитель с положительной обратной связью. И если дифференциальная форма уравнений движения является адекватным описанием первой структуры, то интегральная модель полностью соответствует структуре «усилитель плюс обратная связь».
Таким образом, разработка и анализ моделей автоколебательных систем с дискретными и дискретно-распределенными параметрами, основанных на интегральных уравнениях движения, является актуальной задачей радиофизической теории колебаний, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение.
Цель работы
Целью диссертационной работы является проведение комплекса исследований по разработке интегральных моделей нелинейных автоколебательных систем, численному анализу моделей и выявлению физических закономерностей автоколебаний, имеющих перспективу практического применения.
Методы исследования
Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, теории радиотехнических сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
-в методе моделирования автоколебательных систем с
сосредоточенными активными элементами, основанном на точном описании
10 линейной диссипативнои части системы импульсной характеристикой и записи нелинейного интегрального уравнения движения системы для замкнутой петли обратной связи;
в распространении метода усреднения теории нелинейных колебаний на интегральные уравнения движения автоколебательных систем;
в новых математических моделях автогенераторов с сосредоточенными активными элементами и распределенными резонаторами и цепями обратных связей;
-в методике и результатах численного моделирования ряда автоколебательных систем.
Положения, выносимые на защиту
Способы формирования интегральных уравнений движения автоколебательных систем с сосредоточенными и сосредоточенно-распределенными параметрами.
Алгоритмы численного решения интегральных уравнений движения автоколебательных систем
Интегральные модели автогенераторов с резонаторами на отрезках линий передачи и объемными резонаторами.
Интегральные модели автогенераторов с і?С-структурами.
Модель струнного автогенератора.
Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:
-использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа автоколебательных систем;
-соответствием приведенных результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;
- соответствием основных результатов численного моделирования
общим физическим закономерностям.
Практическая значимость работы
Предложенный в диссертационной работе метод численного моделирования автоколебаний может найти применение при решении задач проектирования и поиска оптимальных режимов функционирования радиочастотных и СВЧ генераторов:
- на диодах Ганна и ЛПД с резонаторами на отрезках коаксиальных и
микрополосковых линий;
-на биполярных и полевых транзисторах с микрополосковыми резонаторами;
твердотельных СВЧ-генераторов с объемными резонаторами;
генераторов с фазосдвигающими і?С-линиями;
генераторов с электромеханическими резонаторами.
База исследования
Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на
-IV, V и VI Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Нижний Новгород, 2005 г.; г. Самара, 2006 г.; г. Казань, 2007 г.);
-конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 2005 г.);
-конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (г. Самара, 2005 г.);
-Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Красноярск, 2006 г.);
12 -Всероссийских научно-технических конференциях аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г. Томск, 2006 г.; г. Томск, 2007 г.);
X Международных чтениях по квантовой оптике (г. Самара, 2007 г.);
17-й Международной Крымской научно-технической конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (г. Севастополь, 2007);
10-й региональной научной школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (г. Ульяновск, 2008).
Публикации
По материалам диссертации опубликованы 16 работ, в том числе 6 статей (из них 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора наук) и 10 докладов и тезисов докладов научно-технических конференций и семинаров.
Содержание работы
Первая глава посвящена разработке методики формирования интегральных моделей автоколебательных систем. В п. 1.1 на примере осциллятора Ван дер Поля описана процедура перехода от дифференциальной модели автоколебательной системы с одной степенью свободы к нелинейному интегральному уравнению движения. Затем показано, каким образом можно записать интегральные уравнения движения на основании структурной схемы генератора, содержащей нелинейный активный элемент (двухполюсник или трехполюсник), подключенный к линейной колебательной системе автогенератора. Метод усреднения для интегральных уравнений движения описан в п. 1.2. Получена интегральная форма укороченного уравнения для комплексной амплитуды автоколебаний. В п. 1.3 показано, что при расчете характеристик установившихся автоколебаний в гармоническом приближении интегральное уравнение
13 движения преобразуется в известные соотношения баланса амплитуд и фаз в кольце автогенератора [20]. Выводу интегральных уравнений движения многостепенных автоколебательных систем с одним активным элементом посвящен п. 1.4. Рассмотрена также система с двумя степенями свободы, содержащая два взаимодействующих резонансных контура, и двумя нелинейностями. Для нее получена система уравнений движения, состоящая из двух интегральных уравнений. Далее, в п. 1.5 на базе структурных схем выведены общего вида интегральные уравнения движения дискретно-распределенных автогенераторов с активными двухполюсниками и трехполюсниками.
Численным алгоритмам решения полученных в предыдущих разделах работы основных типов интегральных уравнений движения посвящен п. 1.6. За основу алгоритмов взят широко используемый для линейных уравнений метод квадратурных формул [51,69]. Здесь же представлен алгоритм решения интегральных уравнений движения автоколебательных систем с запаздыванием. Такие системы традиционно входят в круг интересов радиофизики [35, 36]. В последнее время модели с запаздыванием находят широкое распространение в теории полупроводниковых лазеров с дополнительной внешней обратной связью [70]. Компьютерные программы, реализующие представленные алгоритмы приведены в приложении.
В заключение первой главы, в п. 1.7 на примере моделирования осциллятора Ван дер Поля дано сравнение результатов, полученных в рамках интегральной и дифференциальной моделей.
Во второй главе приведены примеры анализа интегральных моделей ряда автогенераторов с распределенными колебательными системами. В п. 2.1 рассмотрен автогенератор с активным двухполюсником и резонатором на отрезке линии передачи. К такому типу систем относятся СВЧ-генераторы на лавинно-пролетных и инжекционно-пролетных диодах [71-74] и диодах
14 Ганна [73-75] с резонаторами на отрезках коаксиальных линий [74] или микрополосковыми резонаторами [76]. В п. 2.2 исследован режим релаксационных автоколебаний в линии с туннельным диодом [19]. Моделирование автоколебаний в генераторе с активным двухполюсником и объемным прямоугольным резонатором проведено в п. 2.3. Широко распространенная трехточечная схема ламповых [56] и транзисторных [57] СВЧ-генераторов с емкостной связью и резонатором на отрезке линии передачи исследована в п. 2.4.
Третья глава посвящена моделированию автоколебаний в относительно низкочастотных генераторах с фазосдвигающими і?С-цепями и электромеханическими резонаторами. .КС-генераторы традиционно находят широкое применение в радиоэлектронных устройствах, где не предъявляется высоких требований к стабильности частоты сигнала [77,78]. Они генерируют колебания в диапазоне частот от долей герц до сотен килогерц с относительной нестабильностью частоты в десятые доли процента. В последнее время встроенные і?С-генераторьі нашли применение также в качестве источников тактовой частоты в микроконтроллерах различного назначения [79]. При этом верхняя граница диапазона генерируемых частот повысилась до единиц мегагерц. Из-за отсутствия высокодобротного контура форма колебаний в і?С-автогенераторах часто далека от гармонической, и ее коррекция может быть основана на результатах детального моделирования процессов в электрической схеме генератора.
В п. 3.1 представлены модели генераторов с сосредоточенными RC-цепями: мостовыми и лестничными. Из числа мостовых схем рассмотрены мост Вина и двойной Т-образный мост. Лестничные структуры дифференцирующего и интегрирующего типов содержат по три и более фазосдвигающих ячейки. На основе систематизации результатов формирования моделей перечисленных систем предложена обобщенная интегральная модель і?С-генератора. В п. 3.2 рассмотрен автогенератор с RC-
15 линией [80] в цепи обратной связи. Получено интегральное уравнение движения автогенератора. Примеры численного моделирования регенераторов приведены в п. 3.3.
Моделированию струнного генератора посвящен п. 3.4. Автогенераторы с электромеханическими резонаторами, выполненными на основе колеблющейся в магнитном поле металлической струны, - струнные автогенераторы - широко используются при конструировании частотных датчиков ускорений (акселерометров) [81]. Такие акселерометры в настоящее время считаются наиболее точными [82] и широко используются, например, в системах автоматического управления движением объектов по заданной траектории. Достижение минимального времени реагирования, дальнейшее повышение точности и совершенствование конструкции акселерометров возможно лишь на основе детальных исследований переходных процессов в струнных автогенераторах. Достаточно подробно струнный автогенератор исследован на основе дифференциально-разностной модели в статьях [50, 83] и диссертации [84]. В п. 3.4 представлена интегральная модель автогенератора и приведены результаты численного моделирования.
Усреднение в интегральных уравнениях движения
Одним из методов, широко используемых для исследования переходных процессов в автоколебательных системах в квазигармоническом приближении, является метод усреднения [26]. Применительно к интегральному уравнению движения вида (1.5) процедура усреднения может выглядеть следующим образом. Проведя в уравнении замену переменных (0 = - ДО ехрС/ЧО + -c, (0 = у ДО ехр(/ЧО + -, (1.11) введем в рассмотрение комплексную амплитуду A(t) = a(t)exp(j p(t)) медленную (по сравнению с ехр(у »в/)) функцию времени. Действительные амплитуда a(t) и фаза (p(f) также медленно меняются во времени. При этом, в режиме установившихся автоколебаний p{t) = 0. Если колебания (1.11) происходят с постоянной амплитудой {А - const), то функция f(x(t),x(t)) является периодической и может быть разложена в ряд Фурье с комплексными амплитудами гармоник Fx, F2 и так далее: f{x(t),m) = -FM)oxV(jcoat) + -F2(A)QxpU2coj)+...+k.c. (1.12) В рамках метода усреднения предполагается, что разложение (1.12) имеет место и для медленно меняющейся функции A(t). Умножим уравнение (1.5) на exp(-ja J), а затем усредним его по периоду автоколебаний Та. С учетом разложения в ряд Фурье (1.12) получим уравнение t A{t) = \FX {A{t - t ))h(t ) exp(-jo)at )dt + Ax(t). (1.13) Здесь Ax (t) - огибающая свободных колебаний X(t). Если импульсная характеристика линейной части системы имеет ярко выраженные осцилляции как, например, характеристика (1.3), то, выделив их огибающую Ah(t), характеристику h(t) можно представить в форме КО = - Л (0 ехрС/юв0 + к.с. В этом случае интегральное уравнение (1.13) примет вид t Ait) = i fc -OKCOA + CO. (1.14) о Заметим, что при исследовании автоколебательных систем с осциллирующей с частотой сох импульсной характеристикой при записи уравнения (1.14) можно выбрать частоту соа-сох. Производная ф(і) определяет поправку на частоту. В установившемся режиме p{t) = const и истинная частота автоколебаний равна щ + p{t).
Исследуя режим установившихся колебаний, предположим, что в момент времени t = 0 имеет место амплитудное отклонение переменной x(t) от положения равновесия: х(0) - Х(0) = а, х(0) = 0. По прошествии периода автоколебаний Т это состояние повторится: х(Т) = Х(0) = а, х(Т) - 0.
При записи (1.15) учтено, что в созданных условиях свободные колебания X(t) зависят от амплитуды а, и эта зависимость явно отражена введением дополнительного аргумента в функцию формы колебаний: X = X(t; а). Например, для формы (1.6) X(t;a) = aexp V У cos O. Для приближенного аналитического анализа режима установившихся автоколебаний в интегральном уравнении движения (1.5) следует положить X(t) = 0 и заменить нижний предел интегрирования t = 0 на t = -оо. В результате получим уравнение (0= \f{x(t ),x(t ))h(t )dt , (1.16) —00 его также можно записать в эквивалентной форме (0= \/{x(t ),x(t ))h(t )dt . (1.17) о Уравнение (1.17) в квазигармоническом приближении позволяет легко получить основные расчетные соотношения для установившихся автоколебаний. Будем считать, что x(t) = —А expijcoj) + к.с, x(t) = —- A cxp(jcoat) + к.с., где А и соа — комплексная амплитуда и частота автоколебаний. В этом случае функция f(x(t),x(t)) становится периодической и может быть разложена в ряд Фурье (1.12). Подставив данное разложение в уравнение (1.17) и приравняв амплитуды первых гармоник в его правой и левой частях, получим Л-«А J (Oe p(- /) .
Для систем со многими степенями свободы, содержащих один нелинейный элемент, приведенные на рис. 1.3 структурные схемы и интегральные уравнения (1.9) и (1.10) сохраняют свой вид. При численном решении уравнений движения интеграл (1.20) целесообразно вычислять путем численного интегрирования по замкнутому контуру, состоящему из отрезка прямой линии s = jco при -а т бО сот и полуокружности s = сот cos( p) + ja m sin( ) при л12 р Ъя12. Значение сот выбирается так, чтобы ограниченная контуром интегрирования область содержала все конечные полюсы системной функции. Это требование удается выполнить, т.к. системная функция системы с N/2 степенями свободы имеет TV полюсов в конечной области -плоскости.
Отметим также, что, положив во втором уравнении системы (1.24) iaX = 0 (активный элемент во втором контуре отсутствует), мы получим дифференциальную модель автогенератора с дополнительным линейным контуром. Связь автогенератора с дополнительным высокодобротным контуром широко используется для стабилизации частоты автоколебаний [55]. Перейдем теперь к построению интегральной модели АКС с дифференциальными уравнениями движения вида (1.23). Этим уравнениям соответствует структурная схема системы, изображенная на рис. 1.5 а. Линейная часть АКС - это система с двумя входами и двумя выходами. Рис. 1.5 б и в поясняют процедуру определения элементов fy. (0 матричной импульсной характеристики. Элементы hxx(t) и h2X(t) описывают отклики на выходах 1 и 2 при возбуждении входа 1 8{i) -импульсом тока и холостом ходе на входе 2 (рис. 1.5 5), в то время как элементы hX2(t) и h22{t) описывают отклики при возбуждении входа 2 и холостом ходе на входе 1 (рис. 1.5 в).
Значительное число автогенераторов, применяемых на практике, относится к автоколебательным системам дискретно-распределенного типа [33-34]. В них сосредоточенный активный элемент локально взаимодействует с волновым полем резонатора, либо система имеет распределенную цепь обратной связи (ОС). Подобного рода системы широко распространены в радиотехнике - это СВЧ-генераторы с объемными резонаторами и резонаторами на отрезках линий передачи, автогенераторы с фильтрами на ПАВ, RC-линиями, дополнительными запаздывающими ОС и др. Кроме того, автоколебательными моделями с волновыми связями описываются многие физические, химические и биологические системы.
Модификация интегральных моделей
Обратим внимание на следующее свойство системы уравнений (1.44). Если импульсная характеристика h{t) непрерывна при / = 0, то h0 = О и решение (1.45) преобразуется в рекурентную формулу д-1 Xn=2 ankg(xk) + Xn, к=0 не предполагающую применения итерационного процесса (1.46). Аналогичным образом в рекурентную формулу переходит и решение (1.50) системы интегральных уравнений (1.48). Таким образом, непрерывность в нуле импульсной характеристики линейной части автоколебательной системы повышает эффективность алгоритмов численного моделирования автоколебаний. Если h(t) в точке t = 0 имеет разрыв первого рода, то при записи интегрального уравнения можно воспользоваться переходной характеристикой (0 = yi(t )dt , которая в этом случае является непрерывной функцией времени. Действительно, интегральное уравнение (1.42) нетрудно преобразовать в уравнение t x(t) = \g x {x(t0 ))x(t0 )z(t -10 )dt0 + g(x0 )X(t) + X{t) Здесь штрихом обозначено дифференцирование по аргументу х, точкой - по времени. Теперь моделирование следует проводить, решая систему уравнений t і (0 = \g,{x(t0))y(tQMt0)dt0+X(t), x(t) = \y(tQ)dtQ+x0 (1.56) о о с начальными условиями х0 = Х(0) = 0, Х(0) - у0. Последнее означает, что выбрана определенная форма свободных колебаний X(t). 1.7. Пример моделирования автоколебаний
В качестве простого примера применения формализма интегральных уравнений проведем расчет процесса установления автоколебаний в осцилляторе Ван дер Поля, определяемом дифференциальной моделью d2x 1 dx л r\dx dt2 Qdt v dt В этом дифференциальном уравнении движения использовано безразмерное время (реальное физическое время нормировано на величину Т0/2я); у— параметр обратной связи. Заметим, что в стандартной форме записи дифференциального уравнения движения осциллятора Ван дер Поля первые производные объединяются с общим коэффициентом g = y-1/Q — параметром превышения порога генерации. В предлагаемом подходе удержание диссипативного слагаемого в линейной части играет принципиальную роль. В интегральной форме уравнение движения выглядит следующим образом: t x(t) = ?- f(l -x2(t ))x(t )exv(-(t )l2Q)sm(wx(t )dt + x x J (1.57) о + XQ exp(- /2Q)cos( s;1/). Для рассматриваемой нелинейности комплексная амплитуда первой гармоники на частоте со{ в разложении (1.12) равна Г. 1 Л 1 — а F{(A) = jm К 4 ; и амплитудное уравнение (1.13) принимает вид А a{t) t Уравнения (1.57), (1.58) решались численно по алгоритмам п. 1.6, имеющим второй порядок точности по шагу At. На рис. 1.9 приведены графики зависимостей x(t) и a(t), рассчитанные с шагом At = 0,05 для значений Х0 = 0,01, у = 0,75 и Q = 10. В рассматриваемом примере для амплитуды a(t) в первом приближении метода усреднения есть аналитическое решение: а(0= 2Л-оУ -1Ы(г-6-)0 V 2X02 (ехр((у -Є" )()-1)+ 4fe -1) На рис. 1.10 приведен график модуля разности между численным решением уравнения (1.58) и аналитическим решением (1.59). Пунктиром показан модуль разности между решением укороченного уравнения da 1 ЙГ 1 її — = а + у— 1 — а dt 2Q 2{ 4 J методом Рунге-Кутта второго порядка (методом Хойна) и аналитическим решением.
Как и следовало ожидать, оба численных метода второго порядка на практике имеют сопоставимую точность. Максимальная погрешность наблюдается в окрестности точки перегиба функции a(t). В области насыщения зависимости a(t) погрешности интегрального и дифференциального методов ведут себя по-разному: погрешность интегрального метода стабилизируется на определенном уровне, а дифференциального уменьшается до уровня «машинного нуля».
Релаксационные автоколебания в генераторе на отрезке линии
Выше, в п. 2.2 было показано, что при перемещении активного двухполюсника к границе резонатора на отрезке линии передачи спектр автоколебаний обогащается генерируемыми гармониками. В предельном случае, когда двухполюсник с TV-образной вольт-амперной характеристикой включается в начале или в конце линии, в генераторе могут наблюдаться релаксационные автоколебания [19].
Рассмотрим дискретно-распределенную автоколебательную систему, состоящую из закороченного отрезка линии передачи в качестве резонатора и активного двухполюсника - туннельного диода, подключенного ко входу резонатора
Для аппроксимации вольт-амперной характеристики туннельного диода будем использовать выражение (2.8). Таким образом, соотношения (2.8)-(2.11) составляют дифференциальную модель исследуемой АКС. (2.12) Физически такая постановка задачи означает, что входным сигналом подсистемы является временная производная тока Sin(t) = -I(0,t), а выходным - напряжение Sout (t) = U(0,t).
Так как системная функция (2.13) не имеет полюсов на бесконечности, то интеграл обратного преобразования Лапласа здесь вычисляется путем интегрирования по контуру, дополненному до замкнутого полуокружностью бесконечного радиуса и с использованием теории вычетов [86]. При этом для импульсной характеристики удается получить общее выражение вида 2 4_2 h(t) = -2 -ехр(-&2ру j conT-\ll - S c r (2.14)
Помимо АКС с закороченным резонатором и распределенными потерями рассмотрим также систему на основе резонатора с сосредоточенной нагрузкой (см. рис. 2.5). В этом случае потерями в линии можно пренебречь и использовать для ее описания волновое уравнение (2.9), положив в нем д = О. Распространение фронта переключения в нагруженном резонаторе На рис. 2.6 показаны графики временных зависимостей напряжения U(x,t) и тока V(x,t) = Z0i(x,t) на входе (сплошная линия) и в центре (пунктирная линия) резонатора с распределенными потерями, характеризующимися значением Зс2т = 0Л, что соответствует добротности первой моды (2j«7.9. Напряжения и токи отсчитываются в единицах величины Ut =\/Jj3. Как видно из графиков, в системе устанавливаются релаксационные автоколебания, представляющие собой процесс переключения устойчивых состояний на А-образной вольт-амперной характеристике активного элемента. Рис. 2.7 отображает процесс распространения фронта переключения в закороченном резонаторе. Цифрой 1 отмечено положение фронта в момент времени ґ, = 2.23r.
Остальные цифры в порядке нарастания отмечают положения фронта в последовательные моменты времени, взятые с интервалом А = О.ЗЗЗг. Форма колебаний напряжения на активном двухполюснике близка к прямоугольной. 2.3. Автогенератор с объемным резонатором
Разрабатываемый метод интегральных уравнений движения применим также к АКС с дискретными активными элементами и резонаторами с объемной структурой. В качестве примера рассмотрим модель автогенератора, реализованного на основе активного двухполюсника и прямоугольного резонатора с идеально проводящими стенками. Схематически положение активного элемента в резонаторе показано на рис. 2.10.
Здесь ха и za - координаты нити тока, j - единичный орт оси Оу, а проводимость потерь. Отметим, что слагаемое оЕ в выражении (2.19) описывает не реальный механизм рассеяния колебательной энергии в АКС, а лишь определенным способом замещает его в рамках предположения о высокой добротности резонатора.
Для улучшения сходимости разложения по модам резонатора к импульсной характеристике линейной подсистемы АКС учтем реальную структуру активного двухполюсника. Его схема кроме активной проводимости содержит емкость корпуса Са (см. рис. 2.11). Для исследования влияния емкости Са на частотную характеристику линейной подсистемы АКС можно воспользоваться методами теории электрических цепей. a На рис. 2.12 - рис. 2.14 в качестве примеров приведены графики нормированных АЧХ K(Q) = a\Z(jQ)\/4bZQ, рассчитанные для трех положений активного двухполюсника в резонаторе: za = 0.25, za = 0.33 и za =0.5; координата ха во всех положениях оставалась неизменной: ха =0.5.
Расчет проведен для резонатора с отношением сторон На = 1.3 и для значения коэффициента = 0.21. При этом также предполагалось, что все моды имеют одинаковые нагруженные добротности Q„w=100. Анализ графиков позволяет выявить характерные черты возбуждения резонатора линией тока и влияние емкости корпуса активного двухполюсника на эффективность возбуждения резонаторных мод.
Генератор с мостом Вина
При генерировании колебаний в диапазоне частот от долей герц до сотен килогерц в качестве частотозадающих цепей широко используются RC-цепи. Они реализуются в виде резистивно-емкостных мостов и ЯС-структур на сосредоточенных элементах [1] или распределенных ЯС-линий [2]. Из-за отсутствия высокодобротного контура форма колебаний в RC-автогенераторах часто далека от гармонической и ее коррекция может быть основана на результатах детального моделирования процессов в электрической схеме генератора.
Первой рассмотрим схему .КС-генератора с цепью обратной связи на основе моста Вина [77-78]. Ее реализация с активным трехполюсником -операционным усилителем изображена нарис. 3.1. Передаточную характеристику операционного усилителя (ОУ) аппроксимируем кусочно-нелинейной функцией иа — G(u): G(u) - К0и f 2 l-JL при \u\ Us, G(u) = —K0Ussign(u) при \u\ Us. Здесь na - напряжение на низкоомном выходе ОУ, и — напряжение на его дифференциальном входе, К0 - малосигнальный коэффициент усиления, Us - напряжение насыщения передаточной характеристики ОУ. В дальнейшем мы будем использовать также нормированные на величину U5 напряжения: х = м/С/, и ха - иа IUS. Для них ( х2Л , , 2 , , g{x) = К0х 1 при \х\ 1 и g(x) = —K0sign(x) при х 1. (3.1) V 3 J 3 =» —II Рис. 3.1. Схема генератора с мостом Вина Рис. 3.2. Схема генератора с двойным Т-мостом Первое плечо моста Вина образовано двумя і?С-цепями последовательной и параллельной. Сопротивления и емкости в каждой из цепей выбраны равными - это наиболее распространенная ситуация. Второе плечо моста составляют сопротивления Rx и R2. В качестве последнего часто используется миниатюрная лампочка накаливания, с сопротивлением, увеличивающимся при возрастании протекающего через нее тока. Нетрудно найти системную функцию і?С-плеча моста Вина: Н{р)= 2 2 Р! г, (3.2) р т +Зрт+1 где т = RC - постоянная времени і?С-цепи. Этой системной функции соответствует импульсная характеристика h(t) = Ах ехрО,0#(0 + А2 exp(p2t)0(t). (3.3) Здесь р, = -(3 + V5)/(2т) и р2 = -(3 - V5)/(2т) полюсы функции (3.2), 4=(3 + Л/5)/(2ГЛ/5) и 2=-(3-V5)/(2rV5) - вычеты функции Н(р) в полюсах /?, и р2; 0(t) - функция Хевисайда. Введем также в рассмотрение коэффициент передачи цепи отрицательной обратной связи, образованной вторым плечом моста Вина: у = —. Rx+R2 С учетом того, что выходной сигнал ОУ действует на входе моста Вина, а выход моста подключен к дифференциальному входу усилителя, для нормированного напряжения x(t) = u(t)IUs на дифференциальном входе ОУ можно записать соотношение і (0 = -ЯГ( (0)+ jg( (0)ft( - t )dt + X(t), (3.4) о представляющее собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода. В этом уравнении движения нелинейная характеристика усилителя g(x) описывается выражением (3.1), а импульсная характеристика линейной подсистемы - выражением (3.3); X(t) — переходной процесс в і?С-цепи. 3.1.2. Генератор с двойным Т-мостом Схема ЯС-генератора может быть построена также на основе двойного Г-образного моста (см. рис. 3.2), являющегося, как известно, режекторным фильтром [77]. На частоте режекции возросшее сопротивление моста в цепи инвертирующего входа ОУ существенным образом снижает отрицательную обратную связь и преобладающей в схеме становится положительная обратная связь по прямому входу с коэффициентом 7 = Л, Rx+R2 Системная функция двойного Г-моста, как можно показать, определяется выражением H{p) = l + Hr (/7) = 1 гт -. (3.5) Этой системной функции соответствует импульсная характеристика h(t) = S(t) + Ах exp(/V)#(0 + А2 ехр(/?20#(0 (3-6) Здесь рх=-(2-- 3)/т и р2=-(2 + «/3)/т полюсы функции (3.5), А1 = 4р{ 1{р2 - рх)т и А2=4р2/(р1-р2)т - вычеты функции ЯД/?) в полюсах рх и р2; С учетом того, что выходной сигнал ОУ действует на входе Г-моста, а выход моста подключен к инвертирующему входу усилителя, для нормированного напряжения x{t) = u{t)IUs на дифференциальном входе ОУ можно записать соотношение (0 = (Г -1) ( (0) - \g{x(t ))hr (t - t )dt + X(t), (3.7) представляющее собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода. В этом уравнении движения нелинейная характеристика усилителя g(x) описывается выражением (3.1), а релаксационная часть hr(t) импульсной характеристики (3.6) описывается выражением hr (0 = 4 ехрСр,/)0(О + 4 exp(p2t)0(t). Интегральное уравнение движения генератора с двойным Г-мостом (3.7) по структуре входящих в него слагаемых совпадает с уравнением движения генератора с мостом Вина (3.4). Исходя из этого, следует ожидать сходства динамики автоколебаний указанных систем.
В рассмотренных выше генераторах с мостовыми і?С-цепями для достижения порога возбуждения в окрестности частоты генерации используется неравномерность амплитудно-частотной характеристики цепи обратной связи. В генераторах с фазосдвигающими цепями лестничного типа АЧХ цепи более равномерна и частота генерации определяется фактически лишь фазовыми соотношениями. На практике наиболее широко используются трехзвенные лестничные і?С-цепи со звеньями интегрирующего и дифференцирующего типов.
Эквивалентная схема генератора с трехзвенной фазосдвигающей цепью интегрирующего типа приведена на рис. 3.3. Цепь может обеспечить фазовый сдвиг в 180. Поэтому она связывает выход операционного усилителя с его инвертирующим входом.
Обобщением генераторов с трехзвенными ЯС-структурами являются генераторы, содержащие в цепях обратной связи многозвенные лестничные структуры со звеньями интегрирующего и дифференцирующего типов. Схемы этих структур приведены на рис. 3.5 а (с интегрирующими звеньями) и рис. 3.5 б (с дифференцирующими звеньями).
