Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод импульсной инвариантности для дискретных нелинейных систем 12
1.1 Синтез дискретных систем методом импульсной инвариатности 12
1.2 Колебательный контур с нелинейной емкостью и дискретный осциллятор Дюффинга 16
1.3 Дискретная модель осциллятора с бистабильными состояниями равновесия 27
1А Дискретная автоколебательная система второго порядка 42
1.5 Разновидности дискретных автогенераторов 55
1.6 Выводы 63
Глава 2. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний для дискретных нелинейных систем 64
2.1 Численная реализация метода ММА и дискретная фильтрация сигналов 64
2.2 Моделирование полигармонических автоколебаний методом ММА 72
2.3 Анализ переходных процессов в дискретном осцилляторе Ван дер Поля методом ММА 81
2.4 Метод усреднения для дискретных систем 87
2.5 Метод многих масштабов 89
2.6 Эффект самосинхронизации дискретного автогенератора. Анализ методом усреднения 90
2.7 Интегральные модели и дискретные автоколебательные системы 98
2.8 Выводы 105
Глава 3. Хаотические колебания в дискретных нелинейных системах 107
3.1 Хаотизация колебаний в дискретном осцилляторе Ван дер Поля 107
3.2 Статистические характеристики хаотических автоколебаний 115
3.3 Фрактальная размерность аттракторов дискретного осциллятора Вандер Поля 120
3.4 Эффект квантования сигнала как источник шума в цифровой системе 125
3.5 Статистическая модель дискретного автогенератора 130
3.6 Статистическое моделирование автоколебаний в дискретном осцилляторе ВдП 140
3.7 Шум квантования и хаотические колебания в дискретном ОМД 146
3.8 Хаотические колебания в дискретном осцилляторе Дюффинга 149
3.9 Выводы 155
Глава 4. Применение дискретных автогенераторов 156
4.1 Детектирование ЧМ-сигнала в системе фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора 156
4.2 Синхронное детектирование амплитудно-модулированных сигналов... 160
4.3 Генерация случайных сигналов 165
4.4 Выводы 170
Заключение
- Дискретная модель осциллятора с бистабильными состояниями равновесия
- Моделирование полигармонических автоколебаний методом ММА
- Эффект самосинхронизации дискретного автогенератора. Анализ методом усреднения
- Статистическая модель дискретного автогенератора
Введение к работе
За годы, прошедшие после формулировки академиком А.А. Андроновым основных представлений об автоколебательных системах [1,2] как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, автоколебательные модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Представления об автоколебаниях широко используются также в моделях химических реакций [3], биологических систем [4, 5], механических конструкций [6]. Тем не менее наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.
В радиофизике автоколебательными системами является множество различных физических источников колебаний: от генераторов на электронных лампах [7] до микроволновых и оптических квантовых генераторов [8, 9].
Введено в рассмотрение и подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нелинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, определены способы их практического использования.
В значительно меньшей степени сказанное относится к дискретным автоколебательным и нелинейным колебательным системам, т.е. системам, функционирующим в дискретном времени (ДВ-системам). Традиционно теория дискретных динамических систем развивается, ориентируясь на решение задач цифровой обработки и фильтрации сигналов [10-12]. При этом в подавляющем большинстве случаев исследуются лишь линейные системы [13]. Ряд исследователей, в том числе А. Оппенгейм и Р. Шафер, предложили использовать нелинейные системы для фильтрации мультипликативных сигналов [14]. Однако предложенные ими гомоморфные системы относятся к классу нелинейных трансивер сальных систем, т.е. динамическими системами не являются. Преобразования сигналов, осуществляемые гомоморфными системами, аналогичны безынерционным нелинейным преобразованиям в непрерывном времени [15].
Актуальность исследования нелинейных динамических систем существенно возросла в связи с успехами цифровой электроники и микропроцессорной техники, однако и значительную часть реально существующих в естественных условиях объектов окружающей среды целесообразно исследовать в рамках дискретных временных моделей. Например, известную экологическую систему «хищник-жертва» следует проанализировать и в рамках ДВ-модели, учитывая, что системе присущи характерные временные масштабы - времена воспроизводства взаимодействующих видов. Это только один пример из множества подобных.
По формальным признакам к дискретным нелинейным динамическим системам наиболее близки точечные отображения [16], в частности, отображения Пуанкаре. Последние строятся на основе решений дифференциальных уравнений движения динамической системы (в настоящее время, как правило, численных) и служат для качественного анализа особенностей поведения исходной динамической системы в непрерывном времени. Можно также постулировать вид точечного отображения и рассматривать его как модель для описания некоторой физической ситуации [17, 18]. Следует особо отметить, что имеющиеся к настоящему времени данные указывают на то, что нелинейная дискретная система может быть сравнительно легко переведена из динамического режима в режим хаотических колебаний или автоколебаний [17]. При этом характеристики хаоса определяются динамикой системы, а не внешними шумовыми источниками с независимо заданной статистикой. Подход на основе представлений о динамическом хаосе в настоящее время обоснованно считается весьма плодотворным при вероятностной интерпретации многих явлений окружающей среды.
Проблеме хаоса в динамических радиоэлектронных системах к настоящему времени посвящено значительное число монографий (см., например, [19-21]) и большое число журнальных публикаций. Среди последних по времени отметим статьи [22, 23], посвященные хаотическим колебаниям в системах связанных осцилляторов Ван дер Поля и Ван дер Поля - Дюффинга. Однако до сих пор рассматривались хаотические процессы лишь в аналоговых динамических системах, в основном численными методами. Хаос в дискретных автогенераторах в литературе не описан.
Таким образом, специфика нелинейных колебаний и автоколебаний в ДВ-системах требует детального и систематического исследования на основе разработанных в радиофизике методов теории нелинейных колебаний и методами численного эксперимента.
Цель работы
Целью диссертационной работы является проведение комплекса исследований по разработке моделей нелинейных дискретных колебательных и автоколебательных систем, анализу моделей и выявлению физических эффектов, имеющих перспективу практического применения в алгоритмах цифровой обработки сигналов и измерений параметров процессов в рамках физического эксперимента.
Методы исследования
Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.
Научная новизна работы определяется
- разработкой метода синтеза дискретных нелинейных систем по аналоговым прототипам, основанного на использовании инвариантности импульсной характеристики линейной резонансной подсистемы;
- методикой и результатами численного эксперимента с синтезированными дискретными нелинейными колебательными и автоколебательными системами;
- обобщением асимптотических методов теории нелинейных колебаний на дискретные автоколебательные и нелинейные резонансные системы с учетом эффекта подмены частот гармоник колебаний в ДВ-системах;
- разработкой общего подхода к анализу систем в непрерывном и дискретном времени на основе выявленной аналогии между интегральными моделями НВ-систем и трансверсальной формой ДВ-систем;
- использованием интегральных моделей аналоговых прототипов для синтеза дискретных нелинейных систем;
- обнаруженными новыми странными аттракторами дискретных осцилляторов Ван дер Поля и Дюффинга; - статистической моделью дискретного осциллятора Ван дер Поля и описанием на ее основе эффекта хаотизации автоколебаний;
- построением алгоритмов амплитудного и частотного детектирования на основе системы фазовой автоподстройки частоты дискретного автогенератора.
Положения, выносимые на защиту
1. Метод синтеза дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по аналоговым прототипам.
2. Дискретные автоколебательные и нелинейные резонансные системы второго порядка, сохраняющие основные свойства аналоговых прототипов.
3. Результаты численного эксперимента с синтезированными дискретными нелинейными системами, в том числе, обнаруженные режимы хаотических колебаний и автоколебаний и их странные аттракторы.
4. Приближенные аналитические методы анализа динамики дискретных автоколебательных систем, учитывающие эффект подмены частот в дискретных системах.
5. Статистическая модель дискретного осциллятора Ван дер Поля.
6. Динамические алгоритмы амплитудного и частотного детектирования на основе системы фазовой автоподстройки частоты ДВ-автогенератора.
Обоснованность и достоверность результатов работы
Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:
- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа и синтеза дискретных систем; - количественной согласованностью результатов математического моделирования и натурного эксперимента;
- соответствием приведенных результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;
- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.
Практическая ценность работы
1. Предложенный в диссертационной работе метод синтеза дискретных нелинейных систем может найти применение при проектировании устройств нелинейной цифровой обработки и фильтрации сигналов.
2. Разработанные компьютерные методы анализа нелинейных моделей применимы к анализу характеристик нелинейных аналоговых и дискретных фильтров.
3. Разработанные динамические алгоритмы амплитудного и частотного детектирования можно использовать для обработки данных в физическом эксперименте.
4. Синтезированные дискретные автоколебательные системы в хаотических режимах могут являться генераторами случайных последовательностей при решении задач математического моделирования,
5. Система математического моделирования прохождения сигналов в импульсных каналах обмена данными предназначена для оптимизации структуры канала и определения предельно допустимых отклонений его параметров, обеспечивающих безотказное функционирование информационного комплекса
База исследовании
Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета. Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на
- I международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 10-16 сентября 2001 г.);
- Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2001» (г. Нижний Новгород, 2001 г.);
- Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники» (г, Красноярск, 2001 г.);
- Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2002» (г. Нижний Новгород, 2002 г.);
- II международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 7-13 сентября 2003 г.);
- Всероссийской научно-технической конференции «ИСТ-2004» (г. Нижний Новгород, 2004 г.);
- II Всероссийской научно-технической конференции «Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов» (г. Пенза, 25-26 мая, 2004 г.);
- III международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Волгоград, 6-12 сентября 2004 г.);
- конференции «Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века» (г. Самара, 1-5 июля 2005 г.);
- конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (г. Самара, 21-27 ноября 2005 г.). - V международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 11-17 сентября 2006 г.).
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 24 работы, в том числе 10 статей (из них 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций на соискание степени доктора наук) и 14 тезисов докладов и сообщений всероссийских и региональных научно-технических конференций.
Дискретная модель осциллятора с бистабильными состояниями равновесия
В качестве еще одного примера применения описанного в п. 1.1 метода проведем синтез нелинейной системы с параметрическим возбуждением.
Аналоговый прототип системы [29] представляет собой частицу массы т, осциллирующую вдоль оси Оу под действием линейной возвращающей силы ку и силы трения оу. Частица обладает магнитным моментом ри и взаимодействует с магнитным полем кольцевого тока l{t), протекающего по окружности радиуса R, расположенной в плоскости положения равновесия у = 0 так, что центр окружности находится на оси Оу. Схематическое изображение данной электромеханической системы представлено на рис. 1.7. Кольцевой ток I(t), расположенный в плоскости у = 0, создаст на оси Оу магнитное поле, вектор индукции которого имеет только одну компоненту В У В = В Л = -г— -wJ- 0-13) Здесь ток считается положительным, если его направление и орт оси Оу связаны правилом правого винта; //„- магнитная постоянная.
В рассматриваемой системе магнитный диполь может двигаться лишь вдоль оси Оу. Движения в перпендикулярных направлениях запрещены наличием жесткой связи, например, стержня из немагнитного материала. При таком движении компонента силы, действующей на диполь со стороны магнитного поля, равна [27]
Выберем ориентацию магнитного диполя таким образом, что= -рт. Тогда сила (1.14) будет отталкивать диполь от кольцевого тока, и в системе при наличии упругой возвращающей силы возможны три состояния равновесия: неустойчивое находится в центре координат, а два устойчивых -по обе стороны от кольцевого тока. Таким образом, исследуемая система относится к классу активно изучаемых в последние годы бистабильных систем.
Уравнение движения магнитного диполя получается в результате учета всех действующих на него сил и имеет вид d2y vdy 2 3 yupJR2y _а dt mdt 2m[R2+y2} После перехода к безразмерной координате Y-yiR оно преобразуется к виду dt2 mdt 2mR (i + Y Y2 где 0)\ -kim. Внешнее воздействие на систему будем осуществлять путем гармонической модуляции величины кольцевого тока: I(t) = I0[l + apcos(cot)). Здесь /„ и а - постоянная составляющая и коэффициент модуляции тока, со - частота внешнего воздействия. Тогда, как нетрудно заметить, коэффициент ,,2 „ 3 /V0pm/0 m 2 mR3 в последнем слагаемом уравнения (1.15) имеет размерность квадрата частоты. Введем обозначение у = со2т/со , после чего уравнение (1.15) запишем в виде d2Y a dY , A + acos(a t) _ + __ + .К_г_ 2г = 0. (...6) Отметим, что фактор внешнего воздействия ар cos(cot) входит в уравнение (1.16) мультипликативно, что является характерным признаком параметрической системы. Можно также учесть аддитивное (силовое) воздействие на систему, введя его в правую часть (1.16):
Вернувшись теперь для удобства записи к прежним обозначениям: Y- y, о7ш— сг, получим окончательный вид нормированного уравнения движения осциллирующего магнитного диполя (ОМД): 2Н d2y dy J г1 + арсо5(й){) dt2 - dt -О, /"О ff-Г + ЩУ = УЩ і ,45/3 У + Ф( ) 0-17) + у
Помимо использования в качестве прототипа для дискретной системы, аналоговая динамическая модель (1.17) будет применена также при исследовании механизмов стохастизации колебаний в динамических системах (см. п. 3.3).
Качественные представления о характере движений в системе можно получить, введя в рассмотрение эквивалентный потенциал суперпозиции силы упругости и силы магнитного взаимодействия диполя с током:
На рис. 1.8 показаны графики потенциала для различных значений коэффициента нелинейности у Для значений у \ в системе имеются две потенциальные ямы. Колебания могут происходить в окрестности дна одной из них - точек с координатами ут = ± Jy2 5 1, или с переходом через максимум потенциального барьера в точке уь - О. При у I потенциал имеет один минимум в точке ут-0. В этом случае формы движений менее разнообразны, чем в предыдущем.
Перейдем теперь к синтезу дискретной нелинейной системы, основываясь на аналоговом прототипе (1.17). Уравнение движения ОМД (1.17) приведено к стандартной форме (1.7), положенной в основу описанного в п. 1.1 метода синтеза
Моделирование полигармонических автоколебаний методом ММА
Реальные автогенераторы часто работают в сильно нелинейном режиме, генерируя сигнал, который существенно отличается от гармонического и характеризуется повышенным уровнем гармоник [3]. Для анализа такого рода автоколебаний широко используются высшие приближения асимптотического метода Крылова-Боголюбова-Митройольского и метода усреднения [1]. Однако в процессе их применения приходится проводить весьма громоздкие и трудоемкие аналитические преобразования, что в определенной мере ограничивает область применения методов.
В п. 2.1 описан численный вариант метода ММА, предназначенный для компьютерного моделирования квазигармонических автоколебаний. Обобщим его на случай автоколебаний с высоким уровнем гармоник, т.е. полигармонических автоколебаний. Решение уравнения движения АКС (2.1) представим в виде функции двух временных аргументов: м x(t) = х(%, т)=У, (а cos тс0 " й sin тй)оЙ (2- 3) w=l где аргументы % = t и т = fM отражают разные временные масштабы исследуемых автоколебаний. При этом в решении выделены осцилляции с частотами, кратными частоте & 0, имеющие медленные (по сравнению с ехр(;"й 0)) амплитуды ат{т) и Ья{т).
Для колебаний (2.13) с точностью до слагаемых порядка // (слагаемые порядка (л2 отбрасываются) имеем м c {t) = -Й)0 У т(ат(г)sin тт + Ьт (г) cosИЙ) ) + Выберем теперь на периоде Та =2ж1о\ точки и =nT0/N. Количество этих точек должно быть больше удвоенного числа гармоник, учитываемых в решении (2.13): N 2M. В точках дискретизации „ проведем отсчеты функций в обеих частях равенства (2.16). Получим последовательность из N равенств для « = 0,1,-,- — 1: а(г) и b(r) -векторы амплитудных функций: а(г) = (a, (r), a2{t), ...,аЛ/(г)) и Ь(г) = (б,(г), 62(г), ...,Ьм(т)). Возвращаясь к исходной временной переменной, систему (2.18) запишем в виде:
В уравнениях (2.20) введены обозначения: Qk со0(к2 -ї)/2к, к -2,3,...,Ы. Полученная система укороченных уравнений (2.19), (2.20) не предполагает аналитической записи правых частей уравнений. Более того, даже тогда, когда такая запись возможна, проводить ее нецелесообразно. Необходимые для используемого метода численного интегрирования системы (2.19), (2.20) значения правых частей вычисляются в процессе интегрирования методом ДПФ. Применение алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) позволяет повысить скорость вычислений при значительном числе учитываемых гармоник.
При интегрировании системы укороченных уравнений (2.19), (2.20) можно использовать приближение, основанное на предположении о том, что переменные а2(і),Ь2(і), .,.,aif(t),bM(t) успевают «следить» за изменениями переменных Й,(/), 6,(/). Это позволяет пренебречь производными в уравнениях (2.20) и интегрировать лишь систему двух дифференциальных уравнений (2.19) с учетом дополнительных связей, задаваемых системой алгебраических уравнений ko)Slk (2.21) ka)0Qk При этом решение системы (2.21) в каждый момент времени можно получить в результате итерационного процесса " = -Г 7ГФ (а(" Ь" ) «Г = -їЛ-Ч »И.Ьи)і (2.22) ка)0С1к ксо0Ок проведенного с начальным приближением а{0) = («,, 0, ...,0), Ь(0) = (бр 0,...,0). Как показывает практика применения метода, в большинстве случаев достаточно одной или двух итераций.
Для режима установившихся автоколебаний с учетом того, что d[af + Ь,2)Д// = 0, из системы укороченных уравнений (2.19) получим алгебраическое уравнение а1Ф,(а,Ь) + 611Р,(а,Ь)=0, (2.23) которое следует решать совместно с системой уравнений (2.21). При решении данной вычислительной задачи высокую эффективность демонстрирует комбинация симплексного метода минимизации модуля левой части (2.23) по координатам др 6, и итерационного процесса (2.22) по остальным координатам.
Эффект самосинхронизации дискретного автогенератора. Анализ методом усреднения
При применении асимптотических методов теории нелинейных колебаний, в частности, метода усреднения, к ДВ-автогенераторам следует учитывать ряд особенностей последних. В первую очередь, это относится к наблюдающемуся в дискретных системах явлению подмены частот гармонических колебаний. Оно приводит к тому, что, генерируя в окрестности частоты 0.25, где cod - тактовая частота, автогенератор имеет в спектре сигнала подмененную третью гармонику, которая также попадает в окрестность 0.25. Результатом взаимодействия основной и подмененной третьей гармоники при определенных условиях является устойчивый режим автоколебаний строго на частоте соа =0.25. При этом фаза автоколебаний постоянна и связана с фазой сигнала тактовой частоты. Переход системы к такому режиму самосинхронизации при изменении се параметров качественно напоминает явление захватывания частоты автоколебательной системы внешним гармоническим сигналом [7-9].
На рис. 2.9 показана эволюция спектра автоколебаний при изменении частоты Q0 настройки контура в окрестности Q = 0.25. Собственная добротность контура генератора 0 = 30, глубина обратной связи / = 0.081.
По вертикальной оси на графиках отложены отсчеты амплитудного спектра автоколебаний, по горизонтальной - частота анализа (в единицах частоты дискретизации). Символами g3 и g5 отмечены спектральные линии подмененных третьей и пятой гармоник. При сравнительно больших отстройках Q0 от частоты Q = 0.25 в спектре автоколебаний, кроме линии на основной частоте, четко выделяются линии третьей и пятой гармоник (рис. 2.9 а и рис. 2.9 ё). При приближении Q0 к Q = 0.25 (снизу и сверху) спектр автоколебаний усложняется и принимает вид, характерный для биений вблизи полосы захватывания частоты аналогового автогенератора Ван дер Поля [10] (рис. 2.9 б и рис. 2.9 д). На рис. 2.10 показан процесс установления огибающей биений при частоте настройки Q0 =0.241. При попадании частоты Q0 в область 0.24102 Ц, 0.25352 Автоколебания происходят с частотой Qa = 0.25, и в спектре отсутствуют линии гармоник и комбинационных частот (рис. 2.9 в и рис. 2.9 г). На рис. 2,11 приведен график зависимости частоты установившихся автоколебаний от частоты настройки контура автогенератора, построенный по результатам численного эксперимента. Полученная зависимость качественно соответствует зависимости частоты генерации от расстройки частот автономного генератора и внешнего гармонического сигнала в условиях захвата частоты автоколебаний [8].
Таким образом, нелинейное взаимодействие гармоник автоколебаний с колебанием основной частоты в окрестности ГЭ = 0.25 имеет много общего с взаимодействием внешнего гармонического сигнала с основной гармоникой автоколебаний при наблюдении эффекта захвата частоты в аналоговых автогенераторах. С учетом этого явление захвата на частоте Q = 0.25 в дискретном автогенераторе будем называть эффектом самосинхронизации. При анализе эффекта в первую очередь следует учитывать третью гармонику автоколебаний, т.к. она имеет наибольшую амплитуду и взаимодействует с колебанием основной частоты путем «притяжения» (рис. 2.9).
Исследование эффекта самосинхронизации проведем для описанного выше дискретного осциллятора Ван дер Поля (1.30): Яи] = «іЯ"-Ц + а2Я"-2] + К1-У[и-1])(Яи-1]-Я«-2]). Здесь а, =2ехр(-лОо/0соз(2лПо), а2 = ехр(-2лОо/0 (см. (1.31)). Следуя основной идее метода усреднения для ДВ-систем, в нелинейном разностном уравнении (1.30) проведем замену переменных y[n]=]2A[n]Z"+l2A [n]Z ", y[n-l]=l2A[n]Z"-1 + ±A\n\Z \ (2.39) где частота осцилляции множителя Z = exp(j27la) выбрана равной четверти частоты дискретизации: Qa=0.25, а функция А[п] содержит медленно меняющуюся по сравнению с 2 и быстро осциллирующую компоненты. Следствием замены (2.39) является равенство A[ri\- А[п-\] = -{А [п]- A [n-\])Z-2{ -", которое в совокупности с (2.39) позволяет свести (1.30) к уравнению первого порядка относительно комплексной амплитуды А[п]. Затем процедура усреднения по периоду осцилляции выделяет из А[п] медленную компоненту А[п] и приводит к укороченному уравнению
Статистическая модель дискретного автогенератора
Устойчивый интерес к хаотическим процессам в системах с динамическими уравнениями движения наблюдается с момента их обнаружения Э.Лоренцем в 1963 году [1] и до настоящего времени [2-6]. Уже известно значительное число подобного рода систем, и в них обнаруживается большое многообразие движений. Среди формально близких к дискретным динамическим системам точечных отображений отметим отображения Чирикова [7], Заславского [8], Энона [9, 10], Холмса [11], отображение прыгающего шарика [12]. Тем не менее, количественная теория (или теории) хаоса в динамических системах еще далека от завершения [6]. Поэтому накоплению экспериментальных данных и поиску новых систем по-прежнему уделяется большое внимание.
Численные эксперименты с синтезированным в гл. 1 дискретным осциллятором Ван дер Поля (1,30) показывают, что при определенных наборах значений параметров осциллятора в системе наблюдаются сложные автоколебания, имеющие спектральный признак хаотичности [13].
Приведем результаты исследования эволюции спектров автоколебаний с ростом глубины обратной связи, когда эффекты генерации гармоник и комбинационных частот вносят существенный вклад в форму автоколебания. На рис. 3.1 представлены амплитудные спектры, полученные методом Бартлегга (усреднения периодограмм) с использованием 1024-точечного преобразования Фурье на основе реализаций автоколебаний длины N 2]b. Значения на оси частот даны в единицах частоты дискретизации, Q0 =0.2, g = 30. Рис. 3.1 a-s соответствуют автоколебаниям с различными значениями параметра глубины обратной связи: y = 0.l(a), / = 0.1933(б) и у = 0.\935(в). Характерной особенностью спектров дискретного осциллятора Ван дер Поля, отличающей их от спектров НВ-систем, является перенос гармоник автоколебания в низкочастотную область и на некратные частоты. В основе этого эффекта лежит явление подмены частот. Таким образом, спектр автоколебаний обогащается низкочастотными составляющими. В конечном счете это приводит к хаотизации автоколебаний, что демонстрирует представленный нарис. 3.1 в спектр.
На рис. 3.2 показаны соответствующие трансформации спектра изменения фазового портрета автоколебаний. Усложнение спектра сопровождается усложнением фазового портрета. Широкому сплошному спектру соответствует изображенный рис. 3.2 в фазовый портрет сложного движения. Следует отметить, что представленные на рис. 3.2 множества точек сохраняют свою геометрическую форму при изменениях начальных условий у[0] и у[\] для уравнения движения (1.30). Ниже будет показано, что фрактальная размерность первых двух очень близка к единице, а третьего - дробная величина. Таким образом, есть все основания считать фазовые траектории на рис. 3.2 а и б предельными циклами, траекторию на рис. 3.2 в - странным аттрактором.
Режим хаотических колебаний в дискретном осцилляторе ВдП можно возбудить воздействием на систему внешнего гармонического сигнала. Результаты такого численного эксперимента представлены на рис. 3.3 в виде амплитудных спектров автоколебаний для различных частот внешнего сигнала с амплитудой as = 0.1. Спектр на рис. 3.3 а соответствует свободным автоколебаниям в системе с параметрами Q = 3Q, Q0 = 0.2, / = 0.15. Огибающая таких автоколебаний показана на рис. 3,4 а - временная зависимость достаточно сложна, но детерминирована. При дальнейшем приближении частоты внешнего сигнала к частоте свободной генерации детерминированные автоколебания скачкообразно переходят в хаотические с широким спектром (рис. 3.3 б) и случайной огибающей (рис. 3,4 6). Отметим, что возбуждение случайных колебаний внешним гармоническим сигналом в потенциально хаотических аналоговых системах наблюдалось ранее рядом исследователей (см., например, [14]).
Численный эксперимент показывает, что в дискретном осцилляторе ВдП возможен и обратный эффект - подавление хаоса внешним периодическим воздействием. На рис. 3.5 приведены амплитудные спектры автоколебаний, измеренные в эксперименте по подавлению хаоса. В исходном состоянии осциллятор с параметрами Q = 30,Q0 = 0.2, = 0.1936 генерирует хаотические автоколебания со спектром, представленным на рис. 3.5 а. Введение слабого гармонического сигнала с амплитудой as =0.02 на частоте Q,,=0.21 в целом не изменяет спектра автоколебаний. Но при приближении частоты внешнего воздействия к центральной частоте шумового спектра линия гармонического сигнала становится все более отчетливой (рис. 3.5 б) и, в конечном итоге, хаотические колебания полностью (и скачком) подавляются (рис. 3.5 в). Ранее подобный эффект наблюдался в аналоговой системе - лампе обратной волны [ 15],
Как показано выше (см. главы 1 и 2), для относительно небольших значений параметра глубины обратной связи и вдали от частоты Q = 0.25 система (1.30) качественно ведет себя подобно аналоговому прототипу -осциллятору Ван дер Поля. Отличительной особенностью является, в частности, неизохронность дискретного осциллятора.
В то же время, начиная с некоторых значений у, в системе (1.30) развивается режим автоколебаний с шумовым спектром, расположенным в окрестности частоты Q = 0,25, Типичный пример спектральной плотности мощности (СПМ) приведен на рис. 3.1 в. Здесь и далее в данном разделе результаты численного эксперимента относятся к дискретному осциллятору с добротностью =30, настроенному на частоту С1й = 0,2 . Для указанных значений параметров шумовой спектр наблюдается в интервале 0,1935 0,205. Результаты эксперимента получены для значения у - 0.195. Оценка СПМ проведена методом периодограмм Бартлетта с 512 точками в преобразовании Фурье по реализации сигнала у[п] длины N=2i6.
Следует отметить явную несимметричность СПМ относительно центральной частоты спектра. На весьма сложный характер движения системы указывает приведенный на рис. 3.1 е фазовый портрет осциллятора.
Более детальное представление о хаотических автоколебаниях можно получить на основе анализа статистических характеристик их огибающей. Здесь использовано универсальное определение огибающей как модуля аналитического сигнала:
