Выбор переменных и структуры уравнений при динамическом моделировании по хаотическим временным рядам : Неавтономные системы Смирнов Дмитрий Алексеевич

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Смирнов Дмитрий Алексеевич. Выбор переменных и структуры уравнений при динамическом моделировании по хаотическим временным рядам : Неавтономные системы : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.04.03.- Саратов, 2001.- 177 с.: ил. РГБ ОД, 61 02-1/520-2

Содержание к диссертации

Введение

1. Выбор динамических переменных 26

1.1. Введение 26

1.2. Описание методики 27

1.3. Применение методики при реконструкции динамических систем по их «чистым» и зашумленным реализациям 33

1.3.1. Реконструкция разностных уравнений 34

1.3.2. Реконструкция ОДУ 37

1.4. Применение методики при моделировании реальной нелинейной электрической цепи 42

1.5. Выводы 47

2. Выбор структуры модели - неавтономные системы под силовым гармоническим воздействием 49

2.1. Введение 49

2.2. Трудности стандартного подхода 51

2.3. Модификация стандартного подхода и особенности ее использования 58

2.4. Примеры применения методики при реконструкции уравнений осцилляторов 67

2.5. Реконструкция уравнений осцилляторов при наличии шума 74

2.6. Моделирование реальной неавтономной системы 80

2.7. Выводы 86

3. Выбор структуры модели- неавтономные системы при различных способах регулярного воздействия 87

3.1. Введение 87

3.2. Реконструкция уравнений при произвольном способе внесения гармонического воздействия 87

3.3. Общий способ учета гармонического воздействия 98

3.4. Моделирование неавтономных систем при произвольном регулярном воздействии 101

3.4.1. Описание методики 101

3.4.2. Примеры применения 104

3.4.3. Выводы 113

3.5. Оптимизация структуры глобальной модели 113

3.5.1. Использование переходных процессов для моделирования 114

3.5.2. Процедура оптимизации структуры модели 118

3.5.3. Выводы 120

3.6. Выводы 121

4. Моделирование неавтономного колебательного контура с полупроводниковым диодом 122

4.1. Введение 122

4.2. Описание объекта моделирования 122

4.3. Построение модельных ОДУ 127

4.4. Отображение неизохронного осциллятора с диссипативным возбуждением как модель контура с диодом при низких частотах воздействия 137

4.5. Выводы 142

Заключение 144

Приложение. Компьютерный практикум «моделирование по временным рядам» 147

Литература 158

Благодарности 177

Применение методики при моделировании реальной нелинейной электрической цепи
Примеры применения методики при реконструкции уравнений осцилляторов
Реконструкция уравнений при произвольном способе внесения гармонического воздействия
Отображение неизохронного осциллятора с диссипативным возбуждением как модель контура с диодом при низких частотах воздействия

Введение к работе

Возможность получения математической модели из общих законов природы путем их конкретизации применительно к исследуемому объекту¹ существует на практике далеко не всегда. Более типичны ситуации, когда протекающие процессы обусловлены нечетко очерченной совокупностью явлений различной природы или общие законы (аналогичные законам Ньютона в механике) для исследуемой области не установлены, а основным источником информации об объекте являются данные эксперимента. В связи с этим возникает актуальная задача построения эмпирической модели, простейшим примером которой является аппроксимация множества точек на плоскости (х,у) функциональной зависимостью у =/(х) [2]. Так как результаты наблюдений различных процессов, как правило, представляются временными рядами - последовательностями значений наблюдаемых величин, измеренных в дискретные моменты времени, - то эта задача выливается в моделирование по временным рядам². В диссертации данная проблема рассматривается в приложении к объектам радиофизики, но она значима также для метеорологии [3,4], сейсмографии [5], области финансов [6,7], медицины и физиологии [8-10], астрофизики [11], лазерной физики [12] и т.д.

Причем речь идет о моделировании сложного (в основном хаотического) поведения. До 1960-х гг. эта задача решалась с помощью статистических моделей [13], поскольку сложное поведение ассоциировалось только с очень большим числом степеней свободы, детерминированное описание которых не представлялось реальным. Использовались в основном линейные уравнения, поскольку для них уже были получены многие аналитические результаты. А ¹ Этот вид моделей - асимптотические по классификации Н.Н. Моисеева [1] - в англоязыч ной литературе часто называют моделями «из первых принципов». ² Далее будет использоваться термин «реконструкция уравнений по временным рядам», хотя, строго говоря, он применим лишь в том случае, когда исходный ряд представляет собой ре шение некоторой системы уравнений. Для реальных систем этот термин не вполне подходит, но его часто применяют и при анализе экспериментальных данных. Он стал общепринятым и широко используется, см., например, [17,18]. именно, модели авторегрессии и скользящего среднего (АРСС-модели), впервые предложенные в 1927 году для описания последовательности годовых чисел солнечных пятен [14], оставались основным средством моделирования по временным рядам вплоть до 1980-х гг. [13].

Однако после того, как стало понятно, что сложное поведение могут демонстрировать и простые (маломерные) нелинейные динамические системы [15,16], подходы к моделированию по временным рядам стали активно развиваться в рамках нелинейной динамики [17,18]. Для описания сложных процессов используются конечномерные динамические системы [19-31], представленные, в частности, отображениями x(/,.) = F(x(f_M),c), (1) где х = (x_l,x₂,...,x_D) є R^D - вектор состояния, ceR^M - вектор параметров, время t_i - дискретно, или обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) i(/) = F(x(/),c), (2) где время t - непрерывно. Хаотическое поведение типично и для бесконечномерных динамических систем - дифференциальных уравнений с запаздыванием [32] и дифференциальных уравнений в частных производных [33], которые только начинают применяться при эмпирическом моделировании [34-41].

При всем разнообразии подходов и практических ситуаций можно выделить следующие основные этапы в процедуре моделирования по временному ряду (рис.1):

1. Планирование эксперимента (если есть возможность контролировать его условия) и получение временного ряда наблюдаемой величины г/: {/7(^)}_/='(, где /,. = t₀ + (і - 1)Аґ, At - интервал выборки, N_v - длина ряда . ^! Наблюдаемый ряд может быть и векторным (когда одновременно измеряются значения нескольких величин), но описание процедуры реконструкции и большинство примеров далее приведены для скалярного ряда, т.к. этот случай наиболее труден для реконструкции и часто встречается на практике.

Алриорная информация

1. Планирование жсіісрпхк-нга.

Піі.іуЧСІПК' ІірОМСІШіЧГ- \)'АЛ'Л Ні1¹\"ПО.Чі1»ЛкЧ"|

З.Ныоир шин уравпоішіі ІЛІіфіІЧ'рОШШіГІЬМІЛО І- іі.ш раїпоспіми и г.д.) І Ііі-іГч-р ПсрСМСІШІ і.\ МЧ.Іи.ІП 1110.1} ЧСПІІС 11.Х ptMIIIlLlIIlifi) І.Вьіоор jiu.ui ф\пкциП в правил частих ypuKiU'iiuii

5. Оцешшаїше параметров модели

6. Диагностическая проверка модели

Модель эфферйвна не эффективна

Использование модели

Рис.1. Общая схема процедуры моделирования по временному ряду. В [42] аналогичная схема названа контуром идентификации.

Выбор типа модельных уравнений: стохастические или детерминированные, разностные или дифференциальные.

Выбор переменных модели x_{,...,x_D и формирование их временных рядов.

Здесь задают количество переменных D и вид их связи с наблюдаемой г/. Как правило, получают также их реализации, например, методом временных задержек или последовательных производных (см. ниже).

4. Выбор вида аппроксимирующих функций F_k, к = 1,..,D, которые входят в правые части модельных уравнений (1) или (2). На этапах 2-4 фиксируется структура модели, после чего остается лишь конкретизировать значения ее параметров.

Расчет значений параметров модели c_v...,c_M по временному ряду.

Исследование решений полученных уравнений и сопоставление их с наблюдаемым процессом - диагностическая проверка модели. Критерии качества модели всегда определяются целями моделирования. Если полученная модель неудовлетворительна, то необходим возврат к какому-либо из предыдущих этапов и коррекция каких-либо действий (выбор другого вида функций, других переменных и т.п.).

Основное внимание в работе будет уделено этапам 2-4, которые фиксируют структуру модели и являются определяющими для успеха моделирования. В порядке обзора истории вопроса и последних достижений эмпирического моделирования проиллюстрируем приведенную схему, выделяя моменты, имеющие непосредственное отношение к цели работы.

При статистическом моделировании с помощью упомянутых АРСС-моделей [13] выбор переменных и вида функции в правой части уравнений производится универсальным образом. Для описания любого ряда используются стохастические разностные уравнения вида № = Ш + вд(',_*) + !>*(',-*), (3) где р, q - порядок модели, а_к,Ь_к - ее параметры, "(*.) - случайная последовательность с заданными вероятностными характеристиками (чаще всего это нормальный белый шум, т.е. последовательность независимых случайных величин, одинаково распределенных по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией <т₄). Переменные в уравнении (3) - последовательные значения наблюдаемой г/, а функция в правой части - линейная. Для оценивания параметров а_к,Ь_к и о"| используется, как правило, принцип максимального правдоподобия (МП), который сводится при некоторых предположениях к линейному или нелинейному методу наименьших квадратов (МНК). При диагностической проверке модели рассматриваются ее статистические свойства [13]. Способ построения таких моделей, который состоит в «подгонке» параметров уравнений к экспериментальным данным, в статистике получил название идентификации систем [42]. Область применимости АРСС-моделей оказалась достаточно широкой. Так, подбирая значения параметров а_к,Ъ_к, можно получить сигнал ^{t^ практически с любым видом спектра мощности. Тем не менее, линейные модели часто не могут адекватно отразить существенные свойства наблюдаемых процессов.

С 1980-х гг. развивается новый подход к описанию сложных процессов, который использует нелинейные динамические модели. На его элементах мы остановимся подробнее. При нелинейном подходе к моделированию можно указать (в отличие от линейного) сколь угодно много различных форм уравнений. Они отличаются друг от друга как видом функций в правых частях, так и видом связи динамических переменных x_x,...,x_D с наблюдаемой г/. И здесь проблемы выбора структуры модели становятся ключевыми.

Выбор динамических переменных {3-ий этап). Обычно наблюдаемая является одной из них: rj(t_i) = x_i(t_i), хотя и не обязательно. Выбор остальных переменных связан с предполагаемой структурой уравнений или диктуется другими соображениями. Им определяется и способ формирования временных ря- дов динамических переменных {x_A(f,.)} . В начале 1980-х гг. была предложена [43], а затем доказана [44] возможность получения по скалярной временной реализации rj(t) почти любой достаточно гладкой динамической системы таких векторов x(t), которые гладко и взаимно однозначно связаны с исходными векторами состояния (теорема Такенса). Из взаимной однозначности следует, что восстановленный вектор х(/) полностью определяет состояние системы и, следовательно, тоже может служить вектором ее состояния.

Теорема Такенса обосновала универсальные способы получения динамических переменных при моделировании по скалярному временному ряду. В качестве координат восстановленных векторов х(ґ_г) можно использовать последовательные значения наблюдаемой [rj(t_i),j](t_j+r),...,rj(t_j+(D-1)t)], где z- время задержки, или ее производные \rj(t_i),fj(t_j),...,d^D~^lr](t_j)/dt^D~^l\. Причем нужна достаточно большая размерность Д чтобы гарантировать взаимно однозначное соответствие. Достаточное условие: D>2m + l, где m - размерность многообразия, внутри которого происходит движение исходной системы¹. Обычно необходимая величина D априори неизвестна. Ее оценивают снизу с помощью корреляционного интеграла [46], метода ложных ближайших соседей [49] или главных компонент [47], но часто перебирают различные значения D, пока не будет получена удовлетворительная модель .

Кроме двух упомянутых (основных) существует и ряд других методов восстановления векторов состояния. Каждый из них имеет свои достоинства, недостатки и особенности практического применения. Например: ¹ Процедуру получения векторов х часто называют реконструкцией аттрактора (или фазовой траектории). При обеспечении взаимной однозначности пространство восстановленных век торов х называют пространством вложения, а его размерность D - размерностью вложения. Строгую формулировку теоремы, ее обсуждение и обобщения см. в работе [45]. ² Теорема Такенса лежит в основе существующих алгоритмов расчета фрактальной размер ности [46-51] и ляпуновских показателей [52-57] по временным рядам.

При использовании метода временных задержек важно оптимальным образом подобрать г. Предлагались различные подходы к выбору т: четверть основного периода в Фурье-спектре или первый ноль автокорреляционной функции [47], первый минимум функции взаимной информации [58-60], первый ноль обобщенного корреляционного интеграла [61] и т.п. [62], а также использование неравномерного и переменного вложения [63].

Применение метода последовательных производных осложняется при больших размерностях модели, т.к. расчет производной высокого порядка приводит к существенному увеличению шума. Чтобы избежать этого приходится использовать фильтрацию временного ряда [64], что, однако, может привести к искажению существенных черт сигнала [65]. Кроме того, для численного дифференцирования нужно располагать достаточно частой выборкой, когда на характерном временном масштабе укладывается много точек временного ряда.

При реконструкции по сильно неоднородным сигналам эффективно использование в качестве координат вектора состояния интегралов от наблюдаемой по времени с переменным верхним пределом [17,66,67].

Используют и комбинации всех перечисленных методов. При моделировании по векторному ряду переменные можно получать с помощью любого из методов по любой из наблюдаемых, причем в любом сочетании. Каждый из способов реконструкции может быть хорош в соответствующих ситуациях, когда он позволяет получить эффективную модель меньшей размерности, чем другие. Это весьма желательно: условие D > 2т +1 в теореме Такенса - только достаточное, и в удачном случае можно получить «хорошую» модель даже размерности D-m.

Различные методы реконструкции векторов состояния использовались для построения модельных отображений [63,68-86] и ОДУ [17,18,87-122]. Например, при использовании метода временных задержек модельные дифференциальные уравнения имеют общий вид [87,88,100-103]: *к = F_k(x₁,x₂,...,x_D),k = 1,..., D, (4) где x_l(t) = rj(t),x₂(t) = 7](t + T),...,x₂(t) = j](t + (D-l)T). При использовании последовательных производных уравнения упрощаются (содержат лишь одну функцию F) [89-99,104-106,111-115]: ^І2=Хз' (5) X_D — г \Ху, Х₂,..., X_D ), где x_x{t)-rj{t). Модельные отображения также могут содержать одну или несколько неизвестных функций.

Выбор вида аппроксимирующих функций. После того, как выбран тип уравнений и способ получения динамических переменных, остается подобрать функции в правых частях уравнений (4-ый этап процедуры моделирования). При построении ОДУ (2) эти функции аппроксимируют зависимость фазовой скорости х(^) от вектора состояния х(ґ_г) (в случае (5) - зависимость только компоненты x_D от х), причем производные х(ґ.) предварительно рассчитываются по временному ряду {х(?.)} путем численного дифференцирования. При реконструкции отображений (1) отличие в том, что аппроксимируется зависимость будущего состояния х(/₍₊₁) от текущего x(t_i) .

Были предложены два основных подхода к аппроксимации - глобальный [68,86-122] и локальный [69-79]. В отдельный класс выделяют «глобальные модели с хорошими локальными свойствами» [63,80-85]. При глобальном подходе искомая функция F представляется с помощью единой формулы, описывающей поведение модели во всем фазовом пространстве. При этом функцию F чаще всего ищут в виде суммы известных базисных функций с неизвестными коэффициентами: мFW^Cjfji*). (6)

Широко распространено [87-117] использование стандартного полиномиального базиса - функций 1, х_х,..., x_D, xf, х_{х₂,..., x²_D,..., т.е. представление функции F в виде алгебраического полинома некоторого порядка К. Такой подход опирается на теорему Вейерштрасса, которая утверждает, что любая непрерывная на ограниченном замкнутом множестве V функция может быть сколь угодно точно равномерно приближена алгебраическим полиномом Р(х), т.е. У є > 0 3 Р(х) Vx є V |.F(x) - Р(х)\ < є. Возможно использование и других функциональных базисов, например, тригонометрического полинома или дробно-рациональных функций [86,104-106]. Глобальная аппроксимация применяется для построения как ОДУ [87-118], так и отображений [68,86].

При локальном подходе отказываются от описания зависимости с помощью одной формулы, а представляют функцию F в кусочном виде: используется отдельная формула в окрестности каждого вектора состояния x.{t_t), причем «сшивания» различных кусков не требуют. Поскольку в пределах малой окрестности вектора х(7.) аппроксимируемая зависимость меняется, как правило, слабо, то достаточно использовать локально постоянные и локально линейные аппроксимации [69-79]. Коэффициенты функции F рассчитываются отдельно в окрестности каждого вектора х(/_;), для чего необходимо найти во временном ряде несколько «близких соседей» этого вектора - таких векторов х(ґ.), для которых мала норма разности х(ґ.)-х(^.) . Поэтому локальные модели эффективны лишь при наличии очень длинного временного ряда, когда для каждого вектора состояния имеется достаточно много близких соседей.

К глобальным моделям с хорошими локальными свойствами относят радиальные базисные функции [63,82-85] и нейронные сети [80,81]. Преимуществом их над глобальными полиномами является то, что они не встречают существенных затруднений при аппроксимации в многомерных пространствах, поэтому их относят к способам «сильной аппроксимации» [82]. Радиальные ба- зисные функции имеют вид fj(x) = у V J J

, г и с называются соответст- венно центрами и радиусами. Такая функция зависит только от расстояния до своего центра (откуда их название). Вид функции ф(г) может быть различным, например, часто используется гауссов холм ф(г) - ехр(-г² /2). При этом функция существенно отлична от нуля только в окрестности своего центра (хорошие локальные свойства).

Представление функции F с помощью нейронной сети является не суммой, как (6), а композицией функций (т.е. аргументом одной функции является другая функция и т.д.) [123]. Нейронным сетям посвящена обширная литература (см., например, [75,80,81,124-129]), и здесь мы не будем их касаться подробнее. Возможность сколь угодно точного приближения любой непрерывной функции с помощью радиальных базисных функций опирается на теорему Стоуна [123], а с помощью нейронных сетей - на обобщенную аппроксимацион-ную теорему [129].

Отметим, что все упомянутые варианты выбора переменных и аппроксимирующих функций ориентированы на построение моделей в универсальном виде. Так, часто используемые [89-99,103,105,111-115] модельные ОДУ (5) с полиномом в правой части названы в работе [90] стандартными. Далее мы тоже будем использовать этот термин применительно к ним, хотя его можно отнести и к любому из упомянутых подходов. В структурах моделей не содержится информации о каких-либо специфических чертах объекта. С одной стороны, в этом их преимущество - исследователь может не задумываться о механизмах явления (часто совсем не понятных); его задача - только подобрать оптимальным образом параметры процедуры моделирования.

Расчет параметров модели. После выбора вида функции F параметры модели с. (5-ый этап) обычно рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов (МНК), т.е. их значения выбираются так, чтобы минимизировать средний квадрат погрешности аппроксимации є². Например, для модели (5) с глобальной аппроксимацией это условие ^²(с) = ^Ек(^)-Ях(0,с)]² =min, (7) TV ,-=i где N - длина восстановленного векторного ряда, причем величина N должна быть гораздо больше числа неизвестных параметров модели. Если параметры линейно входят в выражение для функции F (как при полиномиальной аппроксимации), то задача сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений и может быть эффективно решена с помощью существующих численных методов. В случае большого числа неизвестных параметров предпочтительнее методы, использующие ^-разложение матрицы системы [64].

Если же параметры входят в функцию F нелинейно, то задача поиска минимума є² сильно усложняется. Один из путей ее решения - перебор их значений из некоторого ограниченного набора, что используют для определения параметров г. и aj радиальных базисных функций [82]. При другом подходе выбирают начальные приближения для параметров и вычисляют поправки к ним, двигаясь шаг за шагом в сторону уменьшения величины є². К таким методам относятся методы градиентного спуска [64] (одним из его вариантов является метод обратного распространения ошибки, с помощью которого рассчитывают параметры нейронной сети [126]) и квази-Ньютоновские методы (например, метод Левенберга - Марквардта [130]). При этом возникает проблема, связанная с попаданием в локальный, а не в абсолютный минимум є . Для борьбы с ней повторяют процедуру при различных начальных приближениях.

МНК позволяет найти функцию F (в случае удачного выбора ее вида), в разумном смысле близкую к экспериментальной зависимости x_D (х). Он эффективен в том случае, когда погрешности в значениях переменных x₁,x₂,...,x_D пренебрежимо малы, а погрешности в значениях величины x_D могут присутствовать, но должны представлять собой аддитивный нормальный белый шум. При этих предположениях МНК является частным случаем принципа максимального правдоподобия (МП) и дает несмещенные оценки параметров модели.

Однако при нарушении этих условий МНК-оценки могут быть очень неточны. В работе [131] предложен метод расчета коэффициентов, основанный на использовании более общей формулировки МП-принципа и дающий хорошие результаты и в случае зашумленных значений x_{,x₂,...,x_D. Только при малом шуме (не более 5 % от уровня сигнала) оба метода дают примерно одинаковые оценки. Однако более общий МП-метод [131] трудно применять при большом количестве неизвестных параметров, т.к. используемая целевая функция (которую следует минимизировать) всегда нелинейно зависит от них.

Средства диагностической проверки динамических моделей (6-ой этап) разнообразны и зависят от цели моделирования. Наиболее общеупотребительные из них - сравнение фазовых портретов объекта и модели (проверка на качественное сходство поведения) [87-99,104-106,111-115], оценка качества аппроксимации є и расчет погрешности прогноза, который дает построенная модель, (количественная проверка) [69-81]. Хотя следует отметить, что погрешность прогноза может быть мала не столько из-за дефектов модели, сколько из-за большой положительной величины ляпуновского показателя. Тогда при наличии небольших шумов даже идеальная модель не может обеспечить точный прогноз. В работе [88] адекватность модельных ОДУ оценивалась по возможности синхронизации их решения с наблюдаемым временным рядом. Еще одним способом проверки работоспособности модели является сопоставление размерности ее аттрактора и ляпуновских показателей с аналогичными величинами, рассчитанными по наблюдаемому ряду. Однако эта процедура связана со значительными трудностями, поскольку расчет характеристик аттрактора по наблюдаемому ряду сам по себе представляет трудную задачу, поэтому она использовалась пока только для тестовых численных примеров [89]. В тестовых случаях сравнивают также значения параметров модели с известными априори. При получении неудовлетворительной модели возвращаются на какой-либо из предшествующих этапов, что-либо меняют (например, порядок полинома или размерность модели) и повторяют процедуру.

Применение моделей. Эмпирические модели, полученные с использованием перечисленных методов, уже показали свою эффективность для решения ряда практических задач. Модельные ОДУ с глобальными полиномами использовались для управления [106], расчета характеристик аттрактора по коротким зашумленным временным рядам [119], классификации сигналов [100-103], секретной многоканальной передачи информации [118,119]. Модельные отображения (использующие метод временных задержек и аппроксимацию с помощью нейронных сетей, локальных линейных и радиальных базисных функций) обеспечили достаточно точный прогноз ряда хаотических процессов из области гидродинамики [69], астрофизики [63,83], лазерной физики [76,81]. Качественное описание реальных процессов обычно стремятся получить с использованием ОДУ (возможно потому, что большинство общих законов природы сформулированы в такой форме). С помощью методов временных задержек, последовательного дифференцирования или интегрирования и глобальной полиномиальной аппроксимации были получены модели, качественно воспроизводящие сложную динамику реакции Белоусова- Жаботинского [88,99], нелинейной электрической цепи [88], артериального давления крови белой крысы [111] и электрокардиограммы человека [111-115], электрохимического процесса растворения меди в серной кислоте [91], вихревого движения жидкости [93], системы стабилизации резонансной частоты и температуры секции линейного ускорителя электронов [106].

Проблемы реконструкции модельных уравнений по временным рядам обусловлены трудностями реализации универсальных подходов. При практическом применении эти трудности оказываются очень значительными. Так что все известные нам и только что упомянутые успехи моделирования реальных объектов носят единичный характер. Та же стандартная структура модельных уравнений (5) не может быть наилучшей для всего множества реальных систем и ситуаций. В большинстве практических случаев эффективную модель получить не удается.

Наиболее слабым местом процедуры моделирования остаются этапы выбора динамических переменных и аппроксимирующих функций. Разнообразие возможностей, предоставляемых универсальными методиками для реконструкции векторов состояния (см. с. 10-11), часто не позволяет найти хороший вариант среди всего этого множества. Очень трудно перебирать все возможные способы получения динамических переменных и для каждого строить модельные уравнения с различными функциями. Слишком велик объем вычислительных работ и, кроме того, трудно автоматизировать процесс диагностической проверки моделей на качественное сходство.

Очень важно также отметить, что вполне пригодные для динамического моделирования переменные можно не распознать и не получить хорошую модель, если использовать не подходящий вид функций. Так, универсальные способы аппроксимации (например, алгебраическим полиномом) обычно неэффективны в пространствах высокой размерности. Общей же причиной неудач универсальных методик является как раз то обстоятельство, что в структуре моделей никак не учитываются существенные специфические черты объекта. С неудачами стандартных подходов в значительной степени связано некоторое разочарование исследователей в возможностях моделирования по временным рядам и сокращение числа публикаций на эту тему (по сравнению с началом и серединой 1990-х гг.).

Как альтернатива универсальным подходам, опирающимся на теорему Такенса, в работах [132-136] предпринимались попытки строить модель в специальной для каждого конкретного случая форме. Задача расчета параметров модели при этом усложняется и приводит к набору краевых задач и алгоритму «многократной стрельбы» [133] или к решению систем нелинейных алгебраических уравнений [132]. Для успеха этих подходов требуется очень удачно задать структуру модельных уравнений, которая должна быть адекватна объекту и содержать очень мало неизвестных параметров (не более 2-3). При этом об объекте нужно знать очень много, так что область применимости таких подходов узка, а получаемые модели - скорее асимптотические, чем эмпирические.

Актуальность работы. Получение эмпирических динамических моделей, демонстрирующих качественное и количественное сходство с объектом, открывает многочисленные возможности практического применения результатов моделирования: прогноз дальнейшего поведения объекта, расчет его существенных характеристик (например, для целей диагностики), изучение эволюции режимов его поведения при изменении параметров и т.д. Однако моделирование по временным рядам, несмотря на ряд достигнутых успехов, сталкивается как с техническими, так и с принципиальными трудностями. В том числе: несмотря на наличие универсальных способов выбора динамических переменных, для получения эффективной эмпирической модели очень часто не хватает методики поиска наилучшего их варианта. Простой перебор всех вариантов не представляется возможным не только из-за огромного объема расчетов, но и из-за того, что на конечный успех моделирования влияет еще и выбор вида аппроксимирующих функций. Поэтому весьма актуальной представляется задача предварительного (независимого от вида функций) исследования различных наборов переменных с целью установить, есть ли возможность получить эффективную глобальную модель с этими переменными, и выбрать наилучший их вариант. универсальные структуры модели оказываются в большинстве случаев неэффективными. Следует развивать подходы, опирающиеся на априорную информацию об объекте, на использование выгод взаимодействия эмпирического и асимптотического подходов к моделированию¹. Поэтому перспективным путем дальнейшего развития методов глобальной реконструкции представляется отказ от претензий на полную универсальность моделей и модификация стандартных подходов применительно к некоторым классам объектов. В качестве такого класса в данной работе взяты неавтономные системы. Они распространены повсеместно: в радиофизике это электрические цепи, использую-

В последнее время все чаще слышатся подобные соображения [68,120,132]. щиеся в системах передачи и обработки информации; многие ряды биологического происхождения нестационарны, что часто интерпретируют как влияние на объект меняющихся внешних условий, и т.д. В связи с этим разработка специальных методов моделирования неавтономных систем весьма актуальна. Моделирование таких систем с помощью локальных линейных отображений было рассмотрено в [73], но методика основана на отдельном измерении сигнала воздействия и какой-либо специальной структуры уравнений не использует. Некоторые подходы к учету воздействия в структуре глобальной модели начинают рассматриваться только в последнее время [108,170,176].

Цель диссертационной работы состоит в создании методики подбора наилучшего для глобального моделирования варианта динамических переменных, в модификации стандартной структуры уравнений применительно к классу неавтономных систем, в апробации и дальнейшем развитии разработанных методик глобальной реконструкции на примерах моделирования реальных неавтономных радиофизических систем.

Для достижения цели решались следующие основные задачи:

Создание методики предварительного исследования временных рядов динамических переменных и величин, которые должны войти в левые части модельных уравнений, позволяющей оценить пригодность переменных для глобального моделирования (глава 1) и выбрать наилучший вариант.

Модификация стандартной структуры уравнений для моделирования гармонически возбуждаемых систем при силовом характере воздействия (путем учета информации о воздействии в модели) и разработка методики расчета параметров таких моделей по временным рядам (глава 2), распространение подхода на случай неавтономных систем при произвольном способе внесения периодического и квазипериодического воздействия (глава 3).

Моделирование неавтономной электрической цепи с нелинейностью, характерной для варакторных диодов, по хаотическим временным рядам с помощью разработанных методик (глава 4).

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

Показано, что при построении глобальной модели необходимо согласовывать структуру уравнений и способ получения временных рядов динамических переменных по ряду наблюдаемой. Эффективными показателями пригодности выбранных переменных являются локальные характеристики, оценивающие однозначность и непрерывность экспериментальных зависимостей между величинами, которые должны войти в левые части модельных уравнений, и динамическими переменными. Усредненные характеристики могут использоваться лишь в качестве дополнительной информации, полезной для выбора переменных при прочих равных условиях.

Работоспособность стандартного подхода при эмпирическом моделировании систем, возбуждаемых гармонической внешней силой, можно обеспечить, если ввести в структуру модельных уравнений явную гармоническую зависимость от времени и определить период воздействия Т с относительной по-

ЛГ є л/3 Тгрешностью —< , где T_N - длительность используемого временно-

Т 2л T_N го ряда, є - допустимая величина относительной погрешности аппроксимации воздействия. При произвольном способе внесения воздействия работоспособна структура уравнений с алгебраическим полиномом, все коэффициенты которого зависят от времени.

Подход, предложенный для моделирования неавтономных систем, эффективен при сложном периодическом и квазипериодическом воздействии. При этом явная зависимость от времени может быть введена в структуру модели как в виде специальной формулы, так и универсальным способом - в виде тригонометрических полиномов.

Предложен способ применения процедуры моделирования по временным рядам для проверки адекватности эквивалентных представлений нелинейных элементов радиотехнических цепей и расчета их эквивалентных характеристик при функционировании в режимах больших амплитуд и хаоса.

5. Разработан и внедрен в учебный процесс компьютерный практикум «Моделирование по временным рядам» для студентов, изучающих курс «Математическое моделирование».

Достоверность научных выводов работы подтверждается воспроизводимостью полученных результатов в численных и радиофизических экспериментах, а также теоретическим обоснованием предложенных подходов. Научная новизна результатов работы состоит в следующем.

Предложена оригинальная методика предварительного исследования временных рядов динамических переменных, сформированных по ряду экспериментальной наблюдаемой, позволяющая оценить их пригодность для глобального моделирования.

Предложена методика реконструкции модельных уравнений гармонически возбуждаемых систем, состоящая в модификации стандартного подхода. Показано, что предложенная методика моделирования неавтономных систем работоспособна при произвольном (по форме и способу внесения) периодическом и квазипериодическом воздействии.

Методика моделирования по временным рядам впервые применена для определения эквивалентных параметров нелинейного элемента, работающего в режиме больших амплитуд и хаоса.

Научно-практическое значение результатов работы.

Предложенная методика предварительного исследования рядов динамических переменных универсальна и может применяться при моделировании объектов различной природы.

Предложенные способы модификации стандартной структуры уравнений позволяют получать эффективные модели неавтономных систем в случаях гармонического, сложного периодического и квазипериодического воздействия (как при силовом, так и при параметрическом характере воздействия). Универсальные подходы в этих случаях, как правило, не дают удовлетворительных результатов.

Показана возможность использования разработанных методик для проверки адекватности эквивалентных схем нелинейных элементов и расчета их эквивалентных характеристик. Это может быть полезно в различных приложениях, в частности, для определения эквивалентных параметров нелинейных элементов, функционирующих в режимах больших амплитуд и хаоса.

Разработанный практикум «Моделирование по временным рядам» внедрен в учебный процесс и используется студентами 4-го курса факультета нелинейных процессов Саратовского госуниверситета, изучающими курс «Математическое моделирование».

Личный вклад соискателя. Соискатель участвовал в постановке задач, разработке и обосновании методов их решения, интерпретации результатов численных и радиофизических экспериментов. Им разработаны компьютерные программы для реализации всех предложенных в диссертации подходов и методик, обеспечена иллюстрация методик на численных примерах, а также их применение к данным радиофизических экспериментов.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертации составили содержание докладов на

IV международной научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1996); V международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» ХАОС-98 (Саратов, 1998); региональной научной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 98» (Саратов, 1998); the 7^th International Specialist Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" NDES-99 (VII международной рабочей группе по нелинейной динамике электронных систем, о. Борнхольм, Дания, 1999); V международной научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1999); региональной научной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 99» (Саратов, 1999); the 6 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications NOLTA-2000 (VI международном симпозиуме по нелинейной теории и ее приложениям, Дрезден, Германия, 2000);

II международной конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000); региональной научной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых -2000» (Саратов, 2000); международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники СВЧ и радиофизики» (Саратов, 2001); the 9 International Specialist Workshop "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" NDES-2001 (IX международной рабочей группе по нелинейной динамике электронных систем, г. Делфт, Нидерланды, 2001); VI международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» ХАОС-2001 (Саратов, 2001); научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн Саратовского государственного университета; научных семинарах тематической группы СФ-6 Саратовского отделения Института радиотехники и электроники РАН.

Работы были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №№ 96-02-16755, 99-02-17735, 01-02-06039) и Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза - CRDF (грант № REC-006).

По теме диссертации опубликовано и принято к печати 28 работ (7 статей в рецензируемых журналах, 8 статей в сборниках трудов научных конференций, 9 тезисов докладов и 4 учебно-методических пособия), которые включены в общий список литературы под номерами [137-164].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех содержательных глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации - 177 страниц. В том числе, 109 страниц текста, 49 рисунков, 7 таблиц, библиография из 203 наименований.

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых в работе проблем, приводится краткий обзор существующих подходов к их решению, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, формулируются положения и результаты, выносимые на защиту, раскрывается научная новизна и научно-практическое значение полученных в работе результатов и личный вклад соискателя, кратко описывается содержание работы.

Первая глава диссертации посвящена проблеме поиска наилучшего для глобального моделирования варианта динамических переменных. Предлагается соответствующая методика, ее применение и особенности иллюстрируются на примерах реконструкции разностных и дифференциальных уравнений по их «чистым» и зашумленным решениям. Показана эффективность методики для моделирования реальной радиофизической системы по хаотическому временному ряду.

Во второй главе предлагается модификация стандартной структуры уравнений применительно к неавтономным системам, находящимся под силовым гармоническим воздействием. Показаны особенности реконструкции неавтономных систем (необходимость точного определения периода воздействия), подход иллюстрируется на численных примерах реконструкции уравнений осцилляторов по их «чистым» и зашумленным решениям. Эффективность подхода продемонстрирована также на радиофизическом примере.

В третьей главе предложенный способ модификации стандартной структуры уравнений расширяется для моделирования неавтономных систем при других способах регулярного воздействия. А именно, для гармонически возбуждаемых систем при произвольном способе внесения воздействия (параметри- ческом, и т.д.) и для систем, находящихся под периодическим или квазипериодическим воздействием. Предлагается также способ оптимизации структуры модельных уравнений путем исключения лишних слагаемых, для чего используются переходные процессы. Подходы иллюстрируются на численных и радиофизическом примерах.

Четвертая глава посвящена применению и развитию предложенных методик для моделирования реальной радиофизической системы - неавтономного колебательного контура с полупроводниковым диодом. В ней также рассматриваются возможности расчета эквивалентных параметров нелинейных элементов по временным рядам. Показаны возможности получения моделей, способных описать поведение объекта в широкой области пространства параметров.

Основные результаты диссертационной работы суммируются и обсуждаются в заключении.

В приложении кратко описан разработанный и внедренный в учебный процесс компьютерный практикум «Моделирование по временным рядам».

Применение методики при моделировании реальной нелинейной электрической цепи

Эмпирические модели, полученные с использованием перечисленных методов, уже показали свою эффективность для решения ряда практических задач. Модельные ОДУ с глобальными полиномами использовались для управления [106], расчета характеристик аттрактора по коротким зашумленным временным рядам [119], классификации сигналов [100-103], секретной многоканальной передачи информации [118,119]. Модельные отображения (использующие метод временных задержек и аппроксимацию с помощью нейронных сетей, локальных линейных и радиальных базисных функций) обеспечили достаточно точный прогноз ряда хаотических процессов из области гидродинамики [69], астрофизики [63,83], лазерной физики [76,81]. Качественное описание реальных процессов обычно стремятся получить с использованием ОДУ (возможно потому, что большинство общих законов природы сформулированы в такой форме). С помощью методов временных задержек, последовательного дифференцирования или интегрирования и глобальной полиномиальной аппроксимации были получены модели, качественно воспроизводящие сложную динамику реакции Белоусова- Жаботинского [88,99], нелинейной электрической цепи [88], артериального давления крови белой крысы [111] и электрокардиограммы человека [111-115], электрохимического процесса растворения меди в серной кислоте [91], вихревого движения жидкости [93], системы стабилизации резонансной частоты и температуры секции линейного ускорителя электронов [106].

Получение эмпирических динамических моделей, демонстрирующих качественное и количественное сходство с объектом, открывает многочисленные возможности практического применения результатов моделирования: прогноз дальнейшего поведения объекта, расчет его существенных характеристик (например, для целей диагностики), изучение эволюции режимов его поведения при изменении параметров и т.д. Однако моделирование по временным рядам, несмотря на ряд достигнутых успехов, сталкивается как с техническими, так и с принципиальными трудностями. В том числе: - несмотря на наличие универсальных способов выбора динамических переменных, для получения эффективной эмпирической модели очень часто не хватает методики поиска наилучшего их варианта. Простой перебор всех вариантов не представляется возможным не только из-за огромного объема расчетов, но и из-за того, что на конечный успех моделирования влияет еще и выбор вида аппроксимирующих функций. Поэтому весьма актуальной представляется задача предварительного (независимого от вида функций) исследования различных наборов переменных с целью установить, есть ли возможность получить эффективную глобальную модель с этими переменными, и выбрать наилучший их вариант. - универсальные структуры модели оказываются в большинстве случаев неэффективными. Следует развивать подходы, опирающиеся на априорную информацию об объекте, на использование выгод взаимодействия эмпирического и асимптотического подходов к моделированию1. Поэтому перспективным путем дальнейшего развития методов глобальной реконструкции представляется отказ от претензий на полную универсальность моделей и модификация стандартных подходов применительно к некоторым классам объектов. В качестве такого класса в данной работе взяты неавтономные системы.

Примеры применения методики при реконструкции уравнений осцилляторов

Стандартная модель (1.4) с x](tl) = jrj(t)dt. Эта переменная имеет физический смысл - суммарный заряд на емкостях С, и С2. Временной ряд (х, (ti) был получен путем численного интегрирования (методом трапеций) измеренного ряда значений силы тока /. График єтах (S) не обнаруживает тенденции к уменьшению при уменьшении с) (рис.1.8в, светлые кружки): єтах остается не меньше 0.35. Эффективную модель построить не удается. показывает, что зависимость однозначна и меняется плавно. Реконструированная модель (1.6) с полиномом 11-го порядка и аддитивным воздействием демонстрирует хаотический аттрактор, качественно схожий с экспериментальным. Прогноз с относительной погрешностью не более 5% обеспечивается примерно на 5Т вперед [140,141] (см. подробное описание в главе 2, раздел 2.4). Показательно, что оптимистическая оценка по критерию max(S) и хорошие результаты глобальной реконструкции получены лишь в последнем (шестом) случае, а графики (5) для всех выше перечисленных вариантов выбора переменных практически совпадают: один из них (для первого примера) показан пунктиром на рис. 1.86. Это подтверждает тезис о том, что средняя характеристика в общем случае не позволяет оценить пригодность переменных для глобального моделирования.

При глобальной реконструкции динамических моделей по временным рядам очень важным шагом является взаимосогласованный выбор динамических переменных и вида функций, аппроксимирующих входящие в модель зависимости. При неудачном выборе переменных эти зависимости могут оказаться слишком сложными для аппроксимации или вовсе неоднозначными.

Развитая в этой главе методика тестирования временных рядов (х(ґ,.)} и {у(А)} сформированных по наблюдаемым данным, позволяет оценить, являются ли зависимости ук (х) однозначными, непрерывными и без участков большой крутизны (и, следовательно, пригодны ли выбранные переменные для построения динамической модели). Для этого определяются значения относительного разброса величины ук в пределах малых объемов AV в пространстве выбранных переменных xl,x2,...,xD и выясняется закон его изменения при A.V —»0.

Динамические переменные предлагается выбирать так, чтобы обеспечить для каждой из модельных зависимостей минимум локального разброса и его стремление к нулю при уменьшении А К Работоспособность предложенной методики показана на численных и радиофизических примерах.

Предложенная методика имеет общие черты с 8—є методом, предложенным в [165] для выявления детерминированности наблюдаемого процесса. Но в отличие от [165] (а также [34,36]), где используются лишь средние (интегральные) оценки, в нашем подходе основную роль играют локальные характеристики, которые гораздо важнее для успеха глобальной реконструкции. В примерах разделов 1.3, 1.4 показано, что усредненная величина разброса не содержит всей необходимой для моделирования информации.

Что касается применения методики на практике, то необходимо особо упомянуть случай, когда в данных имеется хотя бы один сильный выброс, например, в результате помехи в измерительном приборе, т.е. в зависимости\уА (х) имеется всего одна точка, лежащая «отдельно» от всех остальных. При этом методика приведет к выводу, что зависимость неоднозначна, т.к. в той ячейке, которой принадлежит «выброс», при любых 8 будет наблюдаться большой локальный разброс. Это свидетельствует, на первый взгляд, о статистической неустойчивости предложенного подхода. Однако эту трудность можно устранить с помощью несложной предварительной обработки данных. Во-первых, сильную помеху, как правило, легко заметить на графике наблюдаемой реализации ](t). О таких выбросах говорят как о неправдоподобных данных [173] и исключают соответствующие участки ряда из рассмотрения. Во-вторых, если выбросы визуально заметить трудно, то можно внести небольшую поправку в методику тестирования. А именно, в случае большой величины єтяк проверять, какая ячейка дала это большое значение, исключать наиболее удаленный от всех других вектор этой ячейки из рассмотрения и повторять процедуру. Таким образом, можно исключить, скажем, до 5% векторов. При этом избавление от помех (если их немного) гарантировано. В-третьих, такие выбросы в эксперименте присутствуют не всегда. Так, в рассмотренных радиофизических примерах, где есть шумы и измерительная аппаратура, таких помех не было, и процедура позволила выявить подходящие для моделирования переменные.

Предложенная методика может применяться также при реконструкции дифференциальных уравнений с запаздыванием и дифференциальных уравнений в частных производных, поскольку и в этих случаях одним из элементов процедуры моделирования является аппроксимация некоторых зависимостей по экспериментальным данным [39,41].

Однако, как было проиллюстрировано на примерах раздела 1.4, однозначность зависимости еще не гарантирует получения эффективной глобальной модели. Однозначная зависимость может оказаться трудно поддающейся глобальной аппроксимации (особенно стандартными функциями, в частности, полиномами), если она, например, быстро осциллирующая. В этом случае может оказаться эффективным локальный подход [69-79]. Оригинальные рекомендации по подбору глобальных аппроксимирующих функций даны в [136]. Специальный подход к выбору функций для моделирования неавтономных систем рассмотрен в следующих главах диссертации (второй и третьей).

В заключение отметим, что предложенная методика констатирует результат выбора переменных, но не говорит о том, как нужно изменить набор переменных в случае неудачи. Может потребоваться добавить новые переменные, исключить или преобразовать какие-то из имеющихся и т.д., что является темой отдельного разговора.

Реконструкция уравнений при произвольном способе внесения гармонического воздействия

Первое слагаемое в правой части каждого из уравнений (2.13) - (2.16) в механических системах описывает затухание (вязкое трение), коэффициент затухания у0 принимался равным 0.01, 0.001, 0.5 и 0.001, соответственно. Слагаемые, объединенные скобками, определяют функцию /0(щ) - возвращающую силу (с обратным знаком), последнее слагаемое - это внешнее воздействие с периодом Г0 =2яг и амплитудой А, равной 1.0, 5.0, 1.0 и 0.5, соответственно.

Рассматриваемые осцилляторы имеют различный вид потенциальных функций (симметричный и несимметричный), демонстрируют различные типы зависимости периода собственных колебаний от полной энергии («жесткая» и «мягкая» пружина) и описывают множество реальных систем и процессов [177].

Предлагаемая процедура применялась для восстановления моделей по скалярным временным реализациям сложных переходных процессов (к периодическим режимам). Результаты представлены на рис.2.5. Во всех случаях в качестве начального приближения для периода воздействия выбиралось положение пика в спектре мощности. Во всех случаях график lgs(T) для модели вида (2.11) имеет глубокий минимум при Тк, 6.2832 « 2п и тот же качественный вид, что и на рис.2.4б.

Оптимальные значения параметра К определяются визуально по графику \gs(K) и равны соответственно 10, 11, 10 и 17. В табл.2.4 приведены соответствующие значения коэффициентов исходных систем и восстановленных при оптимальных значениях Ти К моделей (2.12). Коэффициент затухания (коэффициент при х2) и амплитуду воздействия \а2 + Ъ2 можно сравнить с соответствующими параметрами систем (2.13)-(2.16) непосредственно, а коэффициенты функции f(xx) сравниваются с коэффициентами разложения функции /0(Х[) в ряд Тейлора (величины хх и щ в данном случае совпадают). Все существенные коэффициенты восстановлены с высокой точностью.

В колонке 2 на рис.2.5 представлены графики функций /0 и / В той области, где происходит наблюдаемое движение (выделена пунктиром), имеет место очень хорошее совпадение. Прогностические возможности моделей проиллюстрированы в третьей колонке рис.2.5, где показаны временные реализации объектов и моделей при одинаковых начальных условиях (в таком масштабе они практически совпадают) и разностные сигналы. Поскольку рассматривались не хаотические сигналы (хотя и сложные по виду), то экспоненциальная чувствительность к начальным условиям и значениям параметров отсутствует. Этим может объясняться столь точное совпадение временных реализаций объектов и моделей на длительном промежутке времени.

Для моделирования были выбраны переходные процессы к периодическим режимам, поскольку в этих случаях размах колебаний не велик. Поэтому удается наглядно продемонстрировать совпадение коэффициентов полученного в результате моделирования полинома/с коэффициентами разложения функции /0 в ряд Тейлора (табл.2.4). С другой стороны, наблюдаемые процессы достаточно сложные по виду и успех моделирования заранее не очевиден. Дополнительные соображения о возможностях использования переходных процессов для глобальной реконструкции см. в разделе 3.5.

Реконструкция уравнений осциллятора Тода по хаотическому ряду. Рассмотрим теперь возможности разработанной процедуры для реконструкции уравнений по хаотическому временному ряду, что представляет наибольший интерес. В качестве экспериментального временного ряда выбрана временная реализация координаты их осциллятора Тода (2.13) в хаотическом режиме (у0 =0.45, Л = 6.0, Т0 =2тг) длиной N = 5000 (примерно 8Г0). Фазовый портрет приведен на рис.2.6а. Старший ляпуновский показатель, рассчитанный с помощью алгоритма Бенеттина, равен Я+ = 0.05.

Лучшее, чего удается добиться с использованием стандартной полиномиальной модели, - это периодический режим в области наблюдаемого движения и дальность прогноза примерно j T0. Это еще раз иллюстрирует, что стандартная структура модельных уравнений (2.1) часто неэффективна для моделирования неавтономных систем.

Использование модели с учетом внешнего воздействия (2.12) позволяет получить значительно лучшие результаты. Для оценки качества модели здесь приведены также значения дальности прогноза Tpred, рассчитанные по графикам ошибки прогноза (см., гл. 1, с. 33-34). На рис.2.6в,г представлены соответственно графики зависимости \gs и zpred от порядка полинома К. Наилучшие

результаты дает модель с полиномом 8-го порядка. На рис.2.6д показаны графики ошибки прогноза лучшей стандартной модели (пунктиром) и лучшей модели (2.12) (сплошной линией). Последняя обеспечивает весьма долгосрочный прогноз - 12Г0, что более чем на порядок превышает характерный временной масштаб объекта, и имеет аттрактор, практически идентичный исходному (рис.2.66). Кроме того, старший ляпуновский показатель аттрактора неавтономной модели равен 0.055, что близко к истинному значению 0.05. На рис.2.бе для иллюстрации прогностических возможностей показаны временные реализации объекта и модели (2.12) при одинаковых начальных условиях.

В табл.2.5 приведены значения коэффициентов восстановленных уравнений вида (2.12). Такие параметры как коэффициент затухания и амплитуда воздействия восстанавливаются с погрешностью менее 1 %. Коэффициенты полинома 8-го порядка (аппроксимация экспоненциальной нелинейности осциллятора Тода) в данном случае близки, но не совпадают точно с коэффициентами разложения экспоненты в ряд Тейлора. Это ожидаемый результат, и объясняется он тем, что размах колебаний велик (от -6.0 до 26.0). Поэтому наилучшая аппроксимация экспоненты на всем отрезке полиномом невысокого порядка должна отличаться от первых членов разложения в ряд Тейлора.

Отображение неизохронного осциллятора с диссипативным возбуждением как модель контура с диодом при низких частотах воздействия

В данной главе предложена структура модельных уравнений для объектов, находящихся под внешним гармоническим воздействием. Эта структура выбирается с учетом априорной (или полученной экспериментально) информации о наличии воздействия, кроме полинома в уравнения аддитивно вводятся явные функции времени, описывающие воздействие. Показаны особенности реконструкции неавтономных уравнений, которые заключаются в необходимости точного определения периода воздействия.

Преимущества такого подхода состоят в том, что он позволяет обойтись моделью с меньшим (чем при стандартном методе) количеством уравнений, в которой, в то же время, учтены существенные специфические черты моделируемого объекта. Применение алгоритма на нескольких численных примерах и реальной радиотехнической схеме показывает его эффективность: параметры восстановленных моделей имеют прямые аналоги в эксперименте, а модели демонстрируют качественно схожее с исходным объектом поведение.

Однако предложенный подход пригоден только для случаев аддитивного воздействия, в случае осцилляторов (D - 2) можно говорить - силового. Этими случаями далеко не исчерпываются все возможности внесения воздействия. В следующей главе подход будет развит на более общие ситуации. Однако основные особенности реконструкции неавтономных уравнений, связанные с необходимостью точного определения периода воздействия, остаются теми же. В этом состоит основное значение результатов, полученных в данной главе.

Здесь представлены также соображения, позволяющие в ряде случаев свести модельные уравнения к более компактному виду - строго диссипативно-го осциллятора (2.12). Они опираются на удаление из модели слагаемых с очень малыми коэффициентами. Однако такой подход применим не всегда. Более надежная и обоснованная процедура выявления «лишних» слагаемых представлена в главе 3 (раздел 3.5).

Гармоническая внешняя сила представляет важный, но достаточно узкий класс возможных способов воздействия на неавтономную систему (который был подробно рассмотрен в предыдущей главе). В этой главе подход к глобальному нелинейному моделированию объектов, находящихся под гармоническим воздействием, распространяется на случаи произвольного способа внесения воздействия в модель. Используется более общая модификация стандартного подхода. Но основная идея вновь состоит в том, чтобы получить эффективные модели меньшей размерности, опираясь на характерные черты исследуемого класса объектов (разделы 3.2, 3.3).

Дальнейшим логически последовательным шагом является развитие подхода на класс неавтономных систем, находящихся под произвольным регулярным воздействием - сложным периодическим или квазипериодическим, что рассмотрено в разделе 3.4. В разделе 3.5 предлагается процедура оптимизации структуры модели (путем выявления и исключения лишних слагаемых) с использованием переходных процессов. В разделе 3.6 представлены выводы и обсуждаются возможности и ограничения предложенных подходов.

Значительно большая, по сравнению с моделями (2.8) и (2.12), степень общности развиваемого здесь подхода к моделированию гармонически возбуждаемых систем достигается путем использования полинома с переменными коэффициентами: величины с, l 1 в модельных уравнениях (2.1) с (2.2) заменяются выражениями [с11 l +аи , coscot + bu , sin cot). Модель имеет вид:

Функции cos&tf и sinutf входят в выражение (3.2) линейно. Для достаточно широкого класса систем выражение (3.2) служит вполне эффективной аппроксимацией (см. примеры в этом разделе). Но в общем случае они могут входить в F произвольным образом (например, в более высоких степенях). Соответствующий более сложный способ учета воздействия возможен (раздел 3.3), но при этом опять появляется опасность чрезмерного увеличения размеров модели со всеми вытекающими из этого последствиями.

Для построения модели (3.1) с (3.2) не требуется можно воспользоваться той же процедурой, которая была предложена для моделей с аддитивным воздействием и в которой предусмотрен предварительный расчет по временному ряду периода воздействия Г (глава 2, раздел 2.3).

Примеры применения. Проиллюстрируем работоспособность и преимущества предлагаемого подхода на трех численных и одном радиофизическом примерах. Исходные скалярные временные ряды во всех численных примерах были получены путем интегрирования известных систем ОДУ (объектов моделирования) методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом Аґ = 0.01. Длина ряда в каждом случае составляла 6000 значений (примерно 10 характерных периодов колебаний). В натурном эксперименте временные ряды были получены с помощью аналого-цифрового преобразования напряжений. По исходным временным рядам реконструировались стандартная система (2.1) с (2.2) и неавтономная система (3.1) с (3.2). При рассмотрении некоторых примеров приведены также результаты, которых удалось достичь с помощью моделей с аддитивным воздействием (2.8) или (2.12). Для каждого из подходов представлены только наилучшие (относящиеся к наиболее эффективной модели) результаты.

Для проверки качественного сходства поведения объекта и модели фазовая траектория модели сравнивалась с фазовой траекторией, восстановленной по наблюдаемому временному ряду. Точность количественного описания оценивалась по дальности прогноза (глава 1, с. 35-36). Величина дальности прогноза приводится далее в единицах периода воздействия Т, т.к. это характерный временной масштаб для всех примеров.