Введение к работе
Актуальность темы.
Современные тенденции развития радиофизики во много связаны с решением задач обработки сложных сигналов с широким спектром, в том числе, хаотических, зачастую нестационарных. Сложными в этом смысле является большинство движений, процессов и сигналов в системах живой природы, на изучение которых переносится центр тяжести естественнонаучных исследований, где интенсивно внедряются подходы и методы, развитые в радиофизике. Повсеместное использование цифровых методов обработки информации определило представление временных зависимостей в виде дискретной последовательности отсчетов – временных рядов. Такой вид имеют сигналы на выходе аналого-цифровых преобразователей, цифровых измерительных приборов. Такое представление данных, зачастую, является естественным для экономики, метеорологии, популяционной динамики и других областей знаний. Обработка таких временных зависимостей может производиться непосредственно – визуально, как оценивают кардио- и энцефалограммы врачи-диагносты, на основе расчетов классических статистических характеристик (Фурье- и вейвлет- спектры, функций корреляции и др.), а также - развитых в рамках теории колебаний и нелиненой динамики (качественный анализ портретов и оценки различных количественных мер аттракторов в фазовом пространстве, исследование бифуркационных множеств в пространстве параметров). Это позволяет решать задачи кластеризации сигналов, оценивать взаимосвязи между их источниками и пр.
Дополнительные возможности представляет исследователю реконструкция математических моделей по временным рядам и последующий анализ исследуемых систем с помощью построенных моделей. Наличие математической модели позволяет, помимо перечисленных выше, решать задачи прогноза дальнейшего поведения системы во времени или при изменении ее параметров, оценки адекватности представлений об устройстве объекта, наблюдения величин, недоступных прямому измерению. Имея в своей предыстории классическую задачу аппроксимации точек на плоскости гладкой кривой, благодаря прогрессу в развитии вычислительной техники, достижениям нелинейной динамики, в частности, формированию концепции динамического хаоса, в настоящее время речь идет о реконструкции моделей в виде дифференциальных и разностных уравнений.
Опыт реконструкции модельных уравнений по рядам, приобретенный в 70-90-е прошлого века, когда это занятие было очень популярным среди исследователей, показал, что использование универсальных конструкций (например, аппроксимация нелинейных функций в уравнениях степенными полиномами), не учитывающих особенностей объекта, как правило, не приводит к успеху из-за громоздкости и негрубости получающихся решений. На хороший результат более вероятно рассчитывать лишь при использовании специальных технологий, ориентированных на использование для достаточно узких классов объектов,,. Представляемая диссертация посвящена созданию такой технологии для систем с запаздыванием.
Системы с задержкой широко распространены в природе. В частности, динамика изменения состава крови, электрические сигналы мозга, колебания во многих радиофизических, и оптических системах и ряде других явлений могут быть описаны с использованием уравнений с задержкой. Популярность уравнений с запаздыванием у исследователей, занимающихся проблемами нелинейной динамики, вызвана, в частности, тем, что системы с задержкой, описываемые даже уравнениями первого порядка, могут демонстрировать динамику очень высокой размерности, что роднит их с распределенными системами.
В работе предложена оригинальная методика определения времени запаздывания, основанная на статистическом анализе временных интервалов между экстремумами временного ряда, на ее основе предлагаются методы реконструкции автономных и неавтономных систем с запаздыванием. Работоспособность разработанных подходов демонстрируется в компьютерных и радиотехнических экспериментах и при решении практически важной задачи из области физиологии.
Целью диссертационной работы является разработка методов реконструкции по временным рядам модельных дифференциальных уравнений, специализированных для работы с системами с запаздывающей обратной связью, и их апробация в численных и радиотехнических экспериментах.
Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их воспроизводимостью в численном и радиофизическом эксперименте, хорошей согласованностью между собой и с результатами других авторов.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Выявлены закономерности распределения экстремумов хаотических временных реализаций систем с запаздыванием, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием первого порядка.
Предложен метод определения времени запаздывания по скалярной хаотической временной реализации системы с задержкой первого порядка, основанный на анализе распределения экстремумов во временной реализации этой системы.
Предложен метод, позволяющий по скалярной хаотической временной реализации системы с запаздывающей обратной связью первого порядка оценивать ее время инерционности и реконструировать нелинейную функцию. В отличие от большинства известных подходов, предложенный метод реконструкции является более грубым к шуму и позволяет использовать все отсчеты временной реализации, что позволяет осуществлять реконструкцию по существенно более коротким временным реализациям.
Предложен подход, позволяющий осуществить реконструкцию модельного уравнения неавтономной системы с запаздыванием первого порядка по хаотической временной реализации системы и временному ряду сигнала внешнего воздействия, а также определять способ внесения внешнего воздействия в систему.
На основе разработанных методов реконструкции модельных уравнений систем с запаздывания по хаотическим временным рядам предложен подход, позволяющий определять направление связи между двумя связанными системами с задержкой первого порядка, а также оценивать величину этой связи.
Теоретическая и практическая значимость результатов.
Наиболее значимым теоретическими результатом, полученным в ходе выполнения работ в рамках диссертации, является разработка методов реконструкции модельных уравнений автономных и неавтономных систем с запаздывающей обратной связью по временным реализациям систем.
Практическая значимость показана при экспериментальной апробации разработанных подходов в ходе реконструкции моделей радиотехнических генераторов с запаздыванием по временным рядам этих устройств. Кроме того, в рамках работы проводились исследования применимости развиваемых методов к анализу экспериментальных данных. Для этого изучалась зависимость работоспособности методов реконструкции от интенсивности аддитивного шума и ширины полосы пропускания измерительного тракта.
Апробация результатов. Результаты работы представлялись автором на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн ФНП, кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии ФНиБМТ, а также на конференциях и научных школах: Научные школы-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых", Саратов, 2001-2006; Федеральной школе-конференции по инновационному малому предпринимательству в приоритетных направлениях науки и высоких технологий, г. Москва, 2006; Научной конференции в рамках всероссийского конкурса инновационных проектов “Живые системы”, г. Киров, 2005, 2006; конференциях молодых ученых Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика, г. Саратов, 2006, 2007; VII международной научно-технической конференции “Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии - ФРЭМЭ 2006”, г. Владимир, 2006; научных школах "Нелинейные волны", Н.Новгород, 2004, 2006; Всероссийских научных конференциях "Нелинейные колебания механических систем", Н. Новгород, 2002, 2005; International Symposium Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (NWP), 2003, 2005; IV Всероссийском симпозиуме с международным участием “Медленные колебательные процессы в организме человека” и II междисциплинарной Школе-семинаре “Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине”, Новокузнецк, 2005; 7-й международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХАОС-2004), Саратов, 2004; конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов НОЦ СГУ "Нелинейная динамика и биофизика", Саратов, 2002-2004; студенческих научных конференциях ФНП СГУ, Саратов, 2000-2004.
Личный вклад автора включает обработку экспериментальных данных, алгоритмическую реализацию разработанных подходов, участие в разработке и изготовлении экспериментальной установки – гибридного генератора с запаздывающей обратной связью, нелинейный элемент и линия запаздывания которого реализованы программно на ЭВМ, а инерционный элемент представляет собой аналоговый RC-фильтр, участие в разработке предложенных методов.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы из 101 наименования. Общий объём диссертации составляет 127 страниц, включая 34 рисунка.
Положения и результаты, выносимые на защиту.
-
Наличие четко выраженного абсолютного минимума зависимости числа пар экстремумов хаотической реализации системы от величины разделяющих их временных интервалов может служить признаком принадлежности исследуемого объекта к системам с запаздывающей обратной связью. Величина соответствующего интервала может быть использована в качестве оценки времени задержки для модели в виде дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием.
-
Наличие статистической оценки времени задержки непосредственно по временному ряду позволяет определять величину параметра инерционности и восстанавливать нелинейную функцию путем оптимизации вложения траектории в специально сконструированное пространство, что может использоваться как новая методика восстановления моделей систем с запаздыванием.
-
Продемонстрирована работоспособность разработанной методики реконструкции уравнений с запаздыванием при анализе временных рядов эталонных систем с задержкой и радиотехнических генераторов в условиях зашумления сигнала и ограничения полосы пропускания измерительного тракта.
-
Предложен метод, позволяющий по хаотическим временным рядам осуществлять оценку параметров связи для неавтономных и связанных автогенераторов с задержкой, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка с запаздыванием. В основе подхода лежит метод реконструкции модельных уравнений систем с задержкой.
