Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Методы оценки связи между колебательными системами
1.1. Введение 16
1.2. Классическое представление о связи и связанности 17
1.3. Слабая и сильная связь в автоколебательных системах. Основные виды синхронизации 31
1.4. Систематизация методов анализа взаимодействия по временным рядам 35
1.5. Непосредственный анализ по временным рядам 36
1.5.1. Взаимная корреляция 38
1.5.2. Взаимный спектр 41
1.5.3. Нелинейная корреляция 44
1.5.4. Методы, основанные на теории информации 46
1.5.5. Методы оценки взаимодействия при известной структуре уравнений 50
1.5.6. Методы оценки синхронности в восстановленном пространстве состояний 52
1.5.7. Биспектр (бикогерентность) 60
1.5.8. Методы анализа фазовой синхронизации 62
1.5.9. Анализ следования событий 66
1.6. Опосредованный анализ через построение динамической модели 69
1.6.1. Причинность по Грейнджеру 69
1.6.2. Анализ фазовой динамики 73
1.7. Сопоставление методов оценок связи на эталонных примерах 74
1.7.1. Случай отсутствия связи 76
1.7.2. Случай симметричной связи 79
1.7.2.1. Связанные автономные консервативные осцилляторы 80
1.7.2.2. Связанные неавтономные диссипативные осцилляторы 84
1.7.3. Случай однонаправленной связи 91
1.7.3.1. Связанные системы Ресслера 91
1.7.3.2. Связанные системы Ван-дер-Поля 95
1.7.3.3. Связанные стохастические системы 97
1.7.4. Основные результаты 99
1.8. Выводы 100
Глава 2 Методы диагностики слабой связи по временным рядам 101
2.1. Введение 101
2.2. Диагностика слабой связи, основанная на прогнозе фазовой динамики по коротким рядам 102
2.2.1. Методика исследование пределов применимости метода 104
2.2.2. Виляние свойств шума 105
2.2.3. Влияние индивидуальной нелинейности осциллятора 107
2.2.4. Влияние величины связи между осцилляторами 110
2.2.5. Связанные осцилляторы Ван-дер-Поля 115
2.2.6. Результаты по исследованию пределов применимости метода 120
2.3. Приложение метода к выявлению связи по сигналам с взаимодействующих генераторов с кусочно-линейной характеристикой 121
2.4. Интервальные оценки связанности между системами с переключениями 131
2.4.1. Интервальные оценки, полученные с помощью анализа следования событий 132
2.4.2. Интервальные оценки, полученные с помощью анализа условных вероятностей 134
2.4.3. Результаты численных экспериментов 136
2.5. Выводы 139
Глава 3 Приложение методов оценки связи и синхронизации между колебательными системами по временным рядам к решению медико-биологических задач 141
3.1. Введение 141
3.2. Оценка связи по сигналам с отведений электроэнцефалограмм методом фазовой динамики 142
3.3. Выявление синхронизации между основными процессами кардио-респираторной системы человека 145
3.3.1. Описание эксперимента и экспериментальных данных 146
3.3.2. Предварительная обработка экспериментальных данных 150
3.3.3. Определение синхронизации между основными процессами кардио-респираторной системы по многоканальным данным 151
3.3.3.1. Случай произвольного дыхания 153
3.3.3.2. Случай дыхания с постоянной частотой 157
3.3.3.3. Случай линейно изменяющейся частоты дыхания 160
3.3.3.4. Сравнение качества синхронизации при произвольном и вынужденном дыхании 163
3.3.4. Определение синхронизации между основными процессами кардио-респираторной системы по скалярному ряду вариабельности сердечного ритма 166
3.3.4.1. Способы выделения фазы процессов из вариабельности сердечного ритма 166
3.3.4.2. Выявление синхронизации между колебательными процессами кардио-респираторной системы по унивариантным данным 174
3.4. Выводы 178
Приложение Статистические характеристики индексов интенсивности связи, основанных на анализе условных вероятностей переключений
Заключение
Благодарности Список литературы
- Слабая и сильная связь в автоколебательных системах. Основные виды синхронизации
- Сопоставление методов оценок связи на эталонных примерах
- Приложение метода к выявлению связи по сигналам с взаимодействующих генераторов с кусочно-линейной характеристикой
- Оценка связи по сигналам с отведений электроэнцефалограмм методом фазовой динамики
Введение к работе
Задача диагностики по временным реализациям экспериментально наблюдаемых величин наличия, направленности- и интенсивности взаимодействия между источниками сложных сигналов (включая хаотические) междисциплинарна. Она важна для физики, биологии, геофизики, медицины, техники. Так, например, анализ записей колебаний различных элементов механизма может указать на источник вибраций, а умение выявлять взаимодействия между различными областями мозга по многоканальным записям электроэнцефалограмм позволяет определить положение очагов патологической активности у пациентов, страдающих эпилепсией [1].
Разнообразие специфических ситуаций и трудностей решения задачи анализа связи в типичных для практики условиях дефицита данных, нестационарности и наличия шумов определили существование множества подходов. Они развивались в рамках спектрального анализа, теории информации, нелинейной динамики [33]. Наряду с традиционными подходами к анализу связи в последние годы все больше используются методы реконструкции модельных уравнений по временным рядам -дискретным последовательностям значений наблюдаемых величин. Именно в таком виде представляется информация на выходе большинства современных измерительных и диагностических приборов, использующих аналого-цифровые преобразователи и реализующих цифровую обработку.
Для успешного решения конкретных задач анализа связей по экспериментальным рядам требуется знание границ применимости и специфики того или иного подхода. Так, недавно был предложен чувствительный к слабой связи метод, основанный на моделировании динамики фаз колебательных систем в виде системы двух нелинейных стохастических уравнений первого порядка [112]. Он перспективен для сигналов с хорошо определенными фазами колебаний (т.е. с ярко выраженным основным ритмом), а использованная в методике упомянутая
7 простая структура модели, включающая тригонометрические многочлены, по физическому смыслу переменных относится к специфическому классу систем, для которых пригодно понятие фазы. В исходном варианте метод применим только для очень длинных стационарных рядов (порядка 1000-5000 характерных периодов) и слабой связи. Это исключает его использование для анализа нестационарных сигналов, типичных в физиологии (длительность квазистационарного участка ЭЭГ не превышает 10 секунд, что, например, составляет не более 100 периодов для альфа-ритма [121] ) и других областях. Этот метод был развит на случай более коротких рядов (допускаются длины от 50 характерных периодов и выше) [114], однако, область его применимости еще не исследована. Значительное развитие идеологической, экспериментальной и измерительной базы радиофизики в вопросах изучения сложных колебательных явлений делает целесообразным использование для изучения перечисленных вопросов радиофизических объектов. Поэтому в работе исследуются радиофизические объекты - эталонные колебательные модели и лабораторные макеты генераторов со сложной динамикой, в которых можно выбирать различные колебательные режимы.
Что касается приложений результатов работы, то их область ближе к биофизике, физиологии и медицинской диагностике. Так, большой интерес в медицинской практике вызывает функционирование и взаимодействие отделов сердечно-сосудистой и дыхательной систем человека. Среди наиболее значимых процессов можно выделить собственно сам процесс сокращения сердечной мышцы (с частотой около 1 Гц), процесс, связанный с медленной барорефлекторной регуляцией артериального давления (около 0.1 Гц) и процесс дыхания (около 0.25 Гц). Существует ряд работ, посвященных изучению взаимодействия (синхронизации) процессов сердцебиения и дыхания [153, 154]. Исследованию возможности синхронизации процесса медленной барорефлекторной регуляции с дыханием уделено меньшее внимание. В большинстве работ синхронизация анализируется при
8 постоянном или спонтанном дыхании (которое выступает в роли ведущей системы), что, строго говоря, не является убедительным доказательством взаимодействия, т.к. может наблюдаться случайное совпадение или кратность частот колебательных процессов. Поэтому данная проблема остается открытой и требует дополнительных исследований.
Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики и биофизики.
Целью диссертационной работы является систематизация, модернизация и исследование пределов применимости методов определения взаимодействия сложных колебательных систем по временным рядам, а также приложение этих подходов к анализу физиологических данных. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
систематизация известных подходов оценки параметров взаимодействия между системами по временным рядам,
сопоставление на эталонных примерах методов, опирающихся на разные подходы, к выявлению взаимодействия между колебательными системами,
исследование пределов применимости на эталонных радиофизических моделях и демонстрация работоспособности на реальных генераторах метода определения слабого взаимодействия между системами, использующего прогностическую модель фазовой динамики связанных осцилляторов, по коротким зашумленным рядам,
разработка и модернизация подходов определения слабого взаимодействия между системами с переключениями,
приложение метода выявления связи по временным рядам, базирующегося на построении прогностической модели фазовой динамики, к анализу электроэнцефалограмм больных эпилепсией,
исследование фазовой и частотной синхронизации основных колебательных процессов сердечно-сосудистой и дыхательной систем человека.
9 Научная новизна
На эталонных радиофизических примерах проиллюстрированы количественные характеристики связи, опирающиеся на различные подходы к выявлению взаимодействия между колебательными системами (по анализу следования событий во временных рядах, анализу в пространстве состояний и построении прогностической модели фазовой динамики). Показана их способность отражать изменение во времени направленности передачи энергии (в общем случае, информации) между симметрично связанными системами в режиме биений.
При однонаправленном воздействии и наличии задержки в канале связи показана обратная зависимость между коэффициентом фазовой диффузии и величиной задержки для обеспечения работоспособности подхода, основанного на положении максимума функции взаимной корреляции.
Исследованы пределы применимости метода определения слабой связи, основанного на построении модели фазовой динамики связанных осцилляторов. Теоретически метод был обоснован для линейных несвязанных осцилляторов в присутствии шума с нормальным распределением. В результате систематического исследования были определены количественные соотношения между допустимым уровнем связи, нелинейности и линейной компоненты возвращающей силы, для которых метод сохраняет свою работоспособность. Также показано его некритичность к спектральным и вероятностным свойствам шумов. Продемонстрирована возможность выявления направленности и интенсивности воздействия между реальными нелинейными генераторами, находящимися в хаотическом режиме.
Разработаны и модернизированы оценки определения слабого взаимодействия между системами с переключением. Получены формулы на 95% доверительный интервал оценок. Проведено их сопоставление на эталонных системах.
10
Достоверность полученных результатов обуславливается
воспроизводимостью всех численных результатов, их совпадением с теоретическими, а также соответствием экспериментальных исследований и численного анализа. Достоверность экспериментальных результатов обеспечена применением стандартной измерительной аппаратуры. Практическая значимость
Критический обзор и результаты сопоставления методов оценки связи имеют методическое значение и могут быть использованы в исследовательской практике и спецкурсах для студентов.
Проведены численные исследования сложного поведения модели генератора с кусочно-линейной аппроксимацией характеристики нелинейного элемента (диода). Построена детальная картина бифуркационных множеств в пространстве управляющих параметров диссипация в системе - емкостная составляющая импеданса диода.
Результаты оценки взаимодействия локальных областей мозга по внутричерепным записям электроэнцефалограмм человека, содержащих фрагменты эпилептического припадка, с помощью прогностической модели фазовой динамики связанных систем дополняют данные исследований традиционными методами и расширяют возможности диагностики.
Экспериментально показана возможность синхронизации процесса медленной регуляции артериального давления дыханием при различных режимах дыхания, причем длительность участков захвата в среднем выше для случая вынужденного дыхания (дыхания по заданному ритму).
Подготовлен программный продукт, расширяющий возможности кардиологических исследований (свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610960 «Программа расчета суммарного процента фазовой синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека (Синхро)» ).
Апробация работы и публикации:
Материалы диссертации докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ, семинарах кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии факультета нано- и биомедицинских технологий, а также на следующих конференциях и школах: XII, XIII Научная школа "Нелинейные волны 2006" (Нижний Новгород, 2004, 2006), Всероссийский конкурс инновационных проектов "Живые системы" (Киров, 2005), VII Всероссийская научная конференция "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2005), The International symposium "Topical problems of nonlinear wave physics (NWP) 2005" (Нижний Новгород, 2005), IV Всероссийский симпозиум с международным участием "Медленные колебательные процессы в организме человека: теория и практическое применение" (Новокузнецк, 2005), IV Международная конференция "Идентификация систем и проблемы управления (SICPRO 2005)" (Москва, 2005), Всероссийский конкурс среди учащейся молодежи ВУЗов РФ на лучшие научные работы по естественным наукам (Саратов, 2004), Итоговая конференция Всероссийского конкурса на лучшие научные работы студентов по естественным, техническим наукам (проекты в области высоких технологий) и инновационным научно-образовательным проектам (Москва, 2004), Научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 2002,2003, 2004, 2005), VII Международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС04)" (Саратов, 2004), XXIV annual conference "Dynamics Days 2004" (Palma de Mallorca, Spain, 2004); VI научно-практическая конференция "Системный анализ в проектировании и управлении" (Санкт-Петербург, 2004), 11th International School-Conference Foundations & Advances in Nonlinear Science (Minsk, Belarus, 2003), XXIII annual conference "Dynamics Days 2003" (Palma de Mallorca, Spain, 2003); Международная конференция "Synchronization of chaotic and stochastic oscillations (Synchro 2002)" (Саратов,
12 2002), VI Международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС'01)" (Саратов, 2001).
Результаты диссертации использовались при выполнении НИР, поддержанных грантами НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» CRDF № REC-006, РФФИ №№ 03-02-17593, 02-02-17578, 05-02-16305, Президиума Российской Академии Наук № 23, Министерства Образования РФ.
Личный вклад соискателя выразился в участии и проведении всего объема экспериментальных работ, проведении компьютерного моделирования с помощью, в основном, разработанного им комплексом программ и анализа полученных данных. Физическая интерпретация результатов проводилась совместно с научными руководителями и соавторами опубликованных работ.
Структура и объем работы:
Диссертация состоит из введения, трех глав одного приложения, заключения и списка литературы и содержит 210 страниц текста, включая 61 иллюстрацию, 3 таблицы и список литературы из 193 наименований.
Положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Количественные характеристики связи между колебательными
системами, опирающиеся на анализ следования событий во временных
рядах, анализ распределения ближайших соседей в пространстве
состояний и анализ модели фазовой динамики, отражают как наличие
взаимодействия, так и изменение во времени его направления. Временной
сдвиг максимума функции взаимной корреляции позволяет оценить
направление взаимодействия лишь при наличии задержки в канале связи
тем большей, чем меньше диффузия фаз в наблюдаемых сигналах.
2. Метод выявления интенсивности и направленности слабой связи между
колебательными системами, основанный на построении динамической
13 модели фазовой динамики связанных осцилляторов, не критичен к спектральным и вероятностным свойствам шумов и применим к системам с нелинейностью до 60% и уровнем связи до 20% от линейной компоненты возвращающей силы.
Предложенные интервальные оценки по , временным рядам, основанные на анализе условных вероятностей, позволяют выявить направленность взаимодействия для систем, в которых реализуется последовательность переключений между двумя состояниями.
Для различных режимов дыхания показана возможность синхронизации процесса медленной регуляции артериального давления дыханием, причем длительность участков синхронизации для дыхания по заданному ритму в среднем больше, чем в случае произвольного дыхания.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертации проблем, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, формулируются положения и результаты, выносимые на защиту.
В первой главе вводятся основные понятия и определения теории колебаний в системе связанных осцилляторов (связь, связанность, виды связи, направленность взаимодействия, виды синхронизации). Далее проводится систематизация известных методов оценок параметров взаимодействия между колебательными системами. Методики разделены на два больших класса согласно тому математическому аппарату, который в них используется.
В оригинальной части первой главы проводится сопоставление разных подходов на радиофизических эталонных системах. Сопоставление осуществлялось на примерах трех контролируемых ситуаций (примерах, в которых можно заведомо судить о наличии или отсутствии взаимодействия): отсутствие связи, однонаправленное воздействие и симметричная связь. В
14 результате сопоставления для однонаправленного воздействия представлены условия применимости подхода, основанного на положении максимума функции взаимной корреляции. Для случая симметричной связи рассматривалась ситуация, когда связанные системы находились в режиме биений, когда имело место периодическое изменение во времени направления передачи энергии между системами (в общем случае, передачи информации). Показано, что численные характеристики связи трех из четырех перечисленных выше подходов отражают изменение направления передачи энергии между системами.
Вторая глава посвящена методам определения направления слабой связи по коротким временным рядам.
В первой части главы проводится исследование пределов применимости метода выявления интенсивности и направленности воздействия, основанного на моделировании фазовой динамики, применительно к коротким зашумленным рядам [114]. В результате проведенного исследования получены численные оценки на допустимый уровень нелинейности и связи в системах, тем самым показана применимость метода к достаточно широкому кругу систем, в том числе реальным объектам. Продемонстрирована возможность выявления слабого взаимодействия между реальными колебательными системами на примере собранного макета двух генераторов с кусочно-линейной аппроксимацией характеристики нелинейного элемента (диода) [131].
Вторая часть главы посвящена модернизации методов диагностики связи для систем, в которых наблюдаются непериодические во времени переключения между двумя состояниями. Рассмотрены два подхода к определению связи - по анализу следования событий [101] и анализу условных вероятностей переключений. Получены формулы для 95% доверительного интервала на оценки связи каждого из этих методов. Сопоставление подходов проводилось на эталонных системах.
15 Третья глава носит прикладной характер и посвящена приложению методов оценки параметров связи по временным рядам к решению физиологических задач.
Первым приложением является оценка связи между сигналами, полученными с отведений человеческих электроэнцефалограмм. Показано, что методика выявления связи между системами, основанная на построении модели фазовой динамики, может рассматриваться как дополнительный инструмент при решении задач локализации патологических очагов в головном мозге.
Вторым приложением являлось исследование возможности фазовой и частотной синхронизации между основными процессами кардио-респираторной системы человека: дыханием имеющем в среднем частоту 0.25 Гц, процессом, связанным с сокращением сердечной мышцы (около 1 Гц) и процессом, отражающим медленную регуляцию артериального давления, в среднем с частотой около 0.1 Гц. Сохранение кратности или совпадения частот, а также ограниченности разности фаз во времени этих процессов продемонстрировано при различных видах дыхания: спонтанном, периодическом с заданной частотой и изменяющемся по линейному закону. Показано, что длительность участков захвата в среднем выше для случая вынужденного дыхания (дыхания по заданному ритму). Продемонстрирована возможность выявления фазовой и частотной синхронизации между этими процессами при использовании только скалярного ряда вариабельности сердечного ритма.
В приложении представлен вывод формул для 95% доверительного интервала на оценку направленности и интенсивности связи для систем с переключением, основанную на анализе условных вероятностей.
В заключении приведены основные результаты и сформулированы выводы диссертационной работы.
Слабая и сильная связь в автоколебательных системах. Основные виды синхронизации
Другой вид связи, диссипативный, означает, что состояние одной системы добавляется в состояние другой уже после «прохождения» эволюционной функции. В этом случае уравнение будет иметь вид где є - коэффициент диссипативной связи. Диссипативная связь способствует выравниванию мгновенных состояний систем, а при равенстве мгновенных состояний не влияет на их динамику. Такая связь обеспечивает сжатие фазового объема (при условии, что 0 є 1) по сравнению с той величиной, которую он имел бы в отсутствии связи.
В общем случае любую слабую связь можно рассмотреть как комбинацию инерционной и диссипативной связи [22]. В области перехода к хаосу оба этих типа связи характеризуются принципиально разными свойствами по отношению к РГ-преобразованию [22, 23]. Система с инерционной связью демонстрирует более сложную динамику, чем система с диссипативной связью. В частности, в докритической области поведение диссипативно связанных систем очень простое: они демонстрируют устойчивые синфазные циклы, период которых удваивается при тех же значениях управляющего параметра, как и у отдельной системы. Для связанных систем с инерционной связью оказываются возможным гистерезисные явления; плоскость параметров имеет многолистную структуру, причем один лист соответствует синфазным движениям систем, а другие - несинфазным.
Рассматривая автоколебательные системы, будем использовать понятие сильной связи, подразумевая связь, вызывающую синхронизацию, а под слабой связью будем понимать связь не достаточную для наступления синхронизации.
Синхронизация - это фундаментальное нелинейное явление, наблюдаемое в самых различных системах природы и техники. Происходя от греческих слов XPONOS (хронос - время) и 2УГ (син - тот же самый), в прямом переводе «синхронный» означает «происходящий в то же самое время». Следуя авторам [15], под синхронизацией будем понимать подстройку ритмов3 автоколебательных систем за счет взаимодействия между ними. Как отмечалось выше, связь может быть однонаправленная и двунаправленная (взаимная). В последнем случае говорят о взаимной синхронизации, т.е. взаимной подстройке ритмов друг к другу. В первом случае обычно говорят о вынужденной синхронизации (синхронизация внешней силой, или синхронизация, возникающая в результате причинно-следственной связи), где воздействующую систему называют ведущей (захватывающей), а автоколебательную систему, на которую она воздействует, ведомой (захватываемой). Тогда ритм ведомой системы подстраивается к ритму ведущей.
В «дохаотические» времена, когда речь шла только о регулярных движениях, синхронными считали системы, колеблющиеся с одинаковыми или кратными частотами. В настоящее время при рассмотрении сложных (хаотических) движений выделяют несколько видов синхронизации, основные из которых: идентичная, фазовая и обобщенная синхронизация. Идентичная синхронизация
Наиболее простым видом синхронизации является идентичная или полная синхронизация. Это означает, что состояния двух связанных систем X и Y полностью совпадают Совпадение состояний может наблюдаться также между двумя процессами, сдвинутыми во времени где т - временная задержка. В этом случае говорят о лаг-синхронизации. Идентичная синхронизация является специфической, т.к. она может наблюдаться, в основном, для систем с идентичными параметрами4. Фазовая (частотная) синхронизация
Фазовая синхронизация основана на понятии фаз колебаний. Для автоколебательного процесса динамику можно представить в полярной системе координат пространства состояний как вращение изображающей точки вокруг некоторого центра. В таком случае под фазой понимают угол поворота вектора состояний относительно начального положения. Любые возмущения фазы вдоль траектории вращения эквивалентны временному сдвигу, после которого система продолжает функционировать в том же самом режиме, поэтому для автономных систем фазовые возмущения ни нарастают, ни убывают. Фаза колебаний осциллятора является динамической переменной, которой соответствует нулевой показатель Ляпунова [15].
Сопоставление методов оценок связи на эталонных примерах
Для выявления нелинейной связи между процессами часто используют, так называемое корреляционное отношение вида [64] где «S - дисперсия частных средних ук около своего общего среднего у . Для оценки частных (условных) средних ук разобьем область значений x(tt) на / отрезков, обозначим их Pk,к = 1...1. Тогда для отрезка Рк условное среднее есть среднее всех таких y(tk.), для которых
В отличие от коэффициента взаимной корреляции корреляционное соотношение несимметрично, т.е. t]xl Ф 7]у/х. Однако в остальном свойства последнего во многом похожи на свойства С іг). Оно принимает минимальное значение 0, соответствующее отсутствию какой-либо корреляции между рядами (?,) и y(tt). Это, например, означает, что условные средние ук постоянны в статистическом смысле, при этом y{tk.) распределены по всей области значений y{tt), поэтому 5(jc)=0. Максимальное значение корреляционного соотношение 1 означает присутствие однозначной функциональной связи между рядами. Следует отметить, что некоррелированность x(ti) с y{tt) (т.е. т]х/у =0) не влечет за собой непосредственно некоррелированность y(tt) с x{tt). Возможны ситуации, когда один из этих показателей принимает нулевое значение, в то время как второй равен 1. Согласно работе [65], если функциональная связь нелинейна и однозначна, то асимметрия между TJX/ и 7]у/х мала, если нелинейная связь неоднозначная, то асимметрия будет большой. В качестве примера можно рассмотреть простое соотношение х = у2. Предположим, что у принимает всего три значение -1, 0, +1 с вероятностями Y\ каждое. В этом случае цх1 = 1, а т]у/х =0 (в силу симметрии параболы относительно оси X и симметричности распределения у). Оценку значимости корреляционных соотношений можно найти, например, в [64]. Между корреляционными соотношениями и коэффициентом взаимной корреляции существуют определенные неравенства Корреляционные соотношения применимы и для оценки линейной взаимосвязи между процессами. В этом случае С (г) « цх1 . В противном случае Сху(т)\ т]х/у. Используя такие соотношения можно определить характер связи между процессами. В работе [66] применительно к физиологическим данным было продемонстрировано,, что взаимодействия межкорковые взаимодействия, а также взаимодействия между ядрами таламуса линейны для крыс. Корреляционные соотношения также с успехом применялись к анализу сложных физиологических данных и в других работах [41, 65-68]. В работе [41] можно найти определение немного другого корреляционного соотношения, основанного на построении нелинейной регрессионной кривой.
Для корреляционного соотношения также как и для линейной корреляции можно ввести параметр т - временной сдвиг между рядами x(tt) и y(ti) [65]. Временная задержка оценивается по максимуму корреляционного соотношения. Мерой отклонения от независимости двух процессов X и Y может служить взаимная информация [69] Плотность вероятности р{ї) оценивается путем разбиения области значения x(f) на большое число отрезков; при этом p(i) имеет смысл вероятности попадания значений ряда в і-й отрезок. Аналогично оценивается и объединенная плотность вероятности p(i,j). Если два процесса независимы, то
В этом случае, как следует из (1.24), М1 = 0. Отличие от нуля взаимной информации свидетельствует о наличии связи между процессами, причем эта связь может быть как линейной, так и нелинейной. Максимальное значение взаимная информация принимает в случае идентичной синхронизации между процессами: MI = Нх = HY. Взаимная информация показывает, какую дополнительную информацию можно получить о первом процессе, зная второй процесс [41]. Взаимную информацию можно также определить как энтропию Куллбэка-Ляйблера [70] следующим образом: где р(к) и q(J) плотности вероятности для x(tt) и y(tj), соответственно. Одним из недостатков MI является отсутствие динамической информации (невозможность отслеживания изменения взаимодействия между системами во времени) и направленности (невозможность определения направленности взаимодействия, т.е. MI = MIYX). Направленность взаимодействия можно определить, введя временную задержку т в одном из рядов [71]
Приложение метода к выявлению связи по сигналам с взаимодействующих генераторов с кусочно-линейной характеристикой
В работе [94] на примере связанных эталонных систем была продемонстрирована применимость биспектрального анализа к выявлению квадратичной связи между осцилляторами, линейной связи при адаптации специальным образом функции биспектра (1.29) и при параметрической связи (модуляция собственной частоты одного осциллятора другим). Возникает сложность применения данной методики к реальным данным (в частности, к анализу взаимодействия между процессами сердечнососудистой и дыхательной систем человек), т.к. на биспектре появляются множество пиков, обусловленных индивидуальной нелинейностью систем, что может затруднить поиск компонентов, ответственных за связь между процессами. В работах [95, 96] проиллюстрировано приложение полиспектрального анализа к физиологическим векторным двухканальным данных. В работе [55] говорится об ошибочных, выводах о связях, возникающих при применении такого подхода к многоканальным данным с размерностью большей 2.
Для нестационарных процессов можно использовать метод скользящего окна, применяя оконное преобразование Фурье, но уменьшение длины временной реализации ведет к ухудшению частотного разрешения спектра, связанного с особенностями дискретного преобразования Фурье. Выходом из этой ситуации может служить применение веивлетного преобразования. Вычисление биспектра и бикогерентности с помощью веивлетного преобразование осуществляется аналогично по (1.29) и (1.30), но Фурье-преобразование заменяется вейвлетным. В [58, 97] представлены обзорный материал применения бикогерентного веивлетного преобразования на примере модельных сигналов, связанных систем, а также приложение к реальным данным, в частности, исследование процессов структурообразования в электронном пучке со сверх критическим током [58] и исследование модели дрейфовой волновой турбулентности широко применяемой в физике плазмы [97]
Биспектр является специфической характеристикой взаимодействия, т.к. рассчитан на определенный вид связи. Выявление сложных (сложный характер связи) взаимодействий можно осуществлять с применением спектров более высокого порядка (полиспектры).
Взаимодействие между автоколебательными системами можно выявить по анализу фаз колебаний. Ниже приведены численные характеристики степени фазовой синхронизованности систем при условии, что они имеют узкополосный спектр мощности. 1. Коэффициент синхронизации
Для количественной характеристики фазовой связи между системами традиционно используют коэффициент синхронизации [98] Для двух рядов фаз фх і) и фуУі) колебательных процессов X и Y он имеет вид (обобщенная) разность фаз, п,т положительные целые числа, характеризующие порядок фазовой синхронизации, а (...) означает операцию усреднения по времени. Максимальное значение р = \ коэффициент достигает, когда обобщенная разность фаз не меняется во времени. Круговая обобщенная разность фаз п,т = Рп,ттй2л будет иметь 5-распределение. (рис 10,а). Такая ситуация соответствует полной фазовой синхронизации. Минимальное значение р = О достигается, если два процесса полностью независимы, т.е. их фазы меняются во времени независимо друг от друга. Распределение круговой обобщенной разности фаз будет равномерным (рис. 10,6). Промежуточное значения коэффициента свидетельствует о том, что разность фаз может принимать некоторые преимущественные значения (рис. 10,в). Такая ситуация может возникнуть, если между процессами существует слабая связь (нет синхронизации), во времени их разность фаз меняется: имеется интервалы фазового захвата и срыва [15], поэтому распределение хп т имеет унимодальную структуру, это свидетельствует о том, что разность фаз принимает преимущественные значения. Таким, образом, коэффициент синхронизации оценивает отклонение от 8-функции распределения круговой обобщенной разности фаз. 2. Индекс, основанный на теории информации
Другая количественная характеристика основана на энтропии Шеннона плотности вероятности круговой разности фаз [31]. где р{Г) - плотность вероятности круговой обобщенной разности фаз (i = l...M). Энтропия принимает максимальное значение Ятах =logM, если Ч п т имеет равномерное распределения (нет связи между процессами X и Y). В результате нормированный коэффициент можно определить как Он принимает максимальное значение 1, когда разность фаз постоянна (рис. 10, а) и минимальное значение 0, при однородном распределении обобщенной разности фаз (рис. 10,6), т.е. Н = Hmax. Коэффициенты р и у оценивают отклонения от 8-функции распределения круговой разности фаз (разность фаз постоянна).
Оценка связи по сигналам с отведений электроэнцефалограмм методом фазовой динамики
В данном разделе на радиофизических системах проводится сопоставление следующих мер оценки параметров взаимодействия между связанными системами по временным рядам:
Временной сдвиг ттах между рядами, обеспечивающий максимальное значение модуля коэффициента взаимной корреляции С Дг ) (разд. 1.5.1). Положительный временной сдвиг (ттазі 0) может указывать на то, что система X воздействует на систему 7 (X Y), отрицательное значение (rmax 0) - на обратное воздействие (7 -» X). Мера q, характеризующая преимущественное следование событий одного ряда за событиями другого (разд. 1.5.9). Максимальное значение +1 указывает на то, что все события в ряде Y следуют за событиями в ряде X. Это может означать, что система X воздействует на систему Y (X-+Y). Минимальное значение -1 свидетельствует об обратной ситуации (7 — X). Мера нелинейной зависимости Н = Н(Х \ Y) - Н(Y X), оценивающее распределение условных ближайших соседей в восстановленном методом задержки пространстве состояний (разд. 1.5.6). Она принимает положительное значение (Н 0) в случае, если система X однонаправлено воздействует на 7 (X -» 7) при условии слабой связи [115]. Отрицательные значения (Я 0) свидетельствуют об обратном воздействии (7 - X). Меры интенсивности связи 5, ух 2, основаны на моделировании фазовой динамики (разд. 1.6.2). Коэффициент ух характеризует воздействие системы Y на X, а у2 - обратное воздействие X на Г. Коэффициент $ - її У\ оценивает преимущественную направленность воздействия. Положительные значения указывают на влияние X- Y, отрицательные характеризуют воздействие Y - X. Выбор этих мер связан с тем, что они опираются на различные подходы к выявлению взаимодействия между процессами (статистический, по внешнему признаку причинно-следственных отношений, анализу ближайших соседей в пространстве состояний и моделировании фазовой динамики). На эталонных системах рассмотрены три основные ситуации: отсутствие связи (на примере систем Ресслера), симметричная связь (автономные консервативные линейные осцилляторы и неавтономные диссипативные), однонаправленная связь (системы Ресслера, Ван-дер-Поля и стохастические). Численные оценки характеристик связи для рядов конечной длины будут ненулевыми. Поэтому на примере несвязанных систем (первая ситуация) можно сделать оценку порога значимости для каждой характеристики9, превышение которой свидетельствует о наличии связи между системами.
При симметричной связи наиболее интересйой (богатой своей динамикой) ситуацией является квазипериодический режим. Например, для системы двух маятников связанных пружиной существует три вида колебаний: синфазный (пружина не влияет на динамику маятников, они колеблются как изолированные системы), противофазный (маятники воздействуют друг на друга через пружину, но поведение отдельного
Исключением является методика моделирования фазовой динамики, для которой характеристики уже снабжены 95% доверительным интервалом. маятника качественно напоминает динамику изолированного, хотя частота колебаний отличается) и квазипериодический режим (биения): один маятник, воздействуя через пружину, раскачивает второй, идет передача энергии колебаний от первого ко второму, затем направление воздействие меняется на противоположное притом, что в уравнениях коэффициенты, отвечающие за связь, со временем не меняются. Это обстоятельство позволяет заключить, что по структуре уравнений не всегда можно сделать вывод о том, какая из систем является причиной «раскачки» другой, из какой системы энергия передается в другую. В общем случае можно говорить о передаче некоторой информации между некоторыми связанными системами, совершающими колебания.
В третьем случае исследуется процесс однонаправленного воздействия одной системы на другую при наличии задержки в канале связи (рис. 13). Выбор такой ситуации связан с тем, что, используя сдвиг максимума функции взаимной корреляции в качестве оценки направления связи, предполагается, что динамика ведущей системы повторяется в ведомой с некоторой задержкой как показано на рис.6.
продемонстрируем, какую информацию о взаимодействии дадут численные характеристики для рядов конечной длины. С этой целью набирался ансамбль из 250 пар рядов при разных начальных условиях.
