Содержание к диссертации
Введение
1 Существующие методы оценки параметров диффузионных процессов 18
1.1 Статистические оценки параметров случайных процессов . 19
1.2 Существующие методы оценки параметров диффузионных процессов 22
1.3 Выводы 28
2 Экстремальные методы оценки параметров диффузион ных процессов 30
2.1 Эстиматор, построенный на экстремальных значениях исследуемого процесса 31
2.2 Метод оценки моста 57
2.3 Метод оценки полного моста 75
2.4 Выводы 92
3 Распределение плотностей вероятности 95
3.1 Функция плотности вероятности максимального значения исследуемого процесса и значения процесса на конце рассматриваемого интервала 96
3.2 Совместная плотность вероятностей минимального, максимального и значения винеровского случайного процесса с равномерным сносом на конце заданного временного интервала 99
3.3 Геометрические свойства неполного моста 102
3.4 Совместная плотность вероятности экстремальных значений моста исследуемого процесса 108
3.5 Выводы 116
Заключение 118
Список публикаций по теме диссертации 121
Литература
- Существующие методы оценки параметров диффузионных процессов
- Метод оценки полного моста
- Совместная плотность вероятностей минимального, максимального и значения винеровского случайного процесса с равномерным сносом на конце заданного временного интервала
- Совместная плотность вероятности экстремальных значений моста исследуемого процесса
Существующие методы оценки параметров диффузионных процессов
Как уже было сказано во введении, во многих областях современной радиофизики, гидроакустики, медицины используются модели диффузионных случайных процессов. В практических приложениях часто возникают задачи, когда по данным наблюдений за значениями подобных случайных процессов в течение определённого промежутка времени требуется оценить значения каких-то его параметров или же, например, оценить значение в фиксированный момент времени самого процесса (в предположении, что этот фиксированный момент времени лежит за пределами интервала наблюдений) или значение какого-либо вспомогательного процесса.
"Полезность" использования моделей диффузионных случайных процессов во многом зависит от точности оценок параметров исследуемых процессов. На практике, как правило, необходимо сначала спрогнозировать параметры на основе какого-либо статистического метода или фундаментального анализа, а уже потом подставлять в модельное уравнение. Если полученные оценки окажутся близкими к реальности (к неизвестным будущим значениям параметров), то рассматриваемая модель будет давать "хорошие результаты".
Задача статистического оценивания неизвестных параметров — одна из двух основных (наряду с задачей проверки статистических гипотез) задач математической статистики. Теория оценок определяет методы и способы оценки неизвестных параметров распределений совокупности или решения задачи предсказания исходя из экспериментальных данных.
Различают два основных типа оценок: точечные оценки и доверительные интервалы. Интервальное оценивание предполагает построение доверительного интервала, в котором предположительно находится истинное значение параметра генеральной совокупности. Точечное оценивание, которому посвящена данная работа, — это вид статистического оценивания, при котором значение неизвестного параметра в приближается отдельным числом, это означает, что указывается функция от выборки (статистика), значение которой будет рассматриваться в качестве приближения к неизвестному истинному значению в.
К общим методам построения точечных оценок параметров относятся: метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов, метод квантилей. При использовании подобных методов в случае большого количества наблюдений можно говорить о близости полученных статистических оценок и истинных значений. Однако, на практике может быть известна лишь одна реализация исследуемого процесса или же несколько значений процесса внутри одной рассматриваемой реализации, в этом случае теория оценивания требует поиска новых, эффективных методов решения поставленной задачи.
Данная диссертационная работа посвящена построению новых методов оценки параметров диффузионных процессов. С точки зрения математической статистики постановка задачи звучит следующим образом, пусть ( — случайный процесс с функцией распределения FQ(X) определенного математического вида, зависящая от одного или нескольких параметров 9. Возникает задача получения оценок параметра 9 по выборке, состоящей из п наблюдений Х\, #2, , хп.
Идеальной оценкой параметра 9 была бы статистика, которая для любых наблюдений значений xi, Х2,-, хп давала бы значение оценки 9{xi, Х2,..., хп) = 9. Такие оценки, однако, получить практически невозможно. Поэтому используют те методы оценивания, которые обладают таким свойством хотя бы при больших объемах выборок.
Наиболее важным свойствами оценок являются несмещенность, эффективность, состоятельность [54].
Определение 1 Оценка в(хі,Х2,...,хп) называется несмещенной оценкой параметра 9 по выборке х\, Х2}..., хп, если среднее значение в равно значению неизвестного параметра в, т.е. Е[9] = 9. В том случае, когда Е[9] = 9, оценка 9 называется смещенной, а величина Е[9 — 9} — смещением оценки 9.
Определение 2 Несмещенная оценка 9 называется эффективной оценкой параметра 9 по выборке объема п, если дисперсия оценки Var[9] принимает наименьшее значение из всех возможных.
Условие состоятельности является обязательным требованием для всех рассматриваемых в данной работе оценок. В иностранной литературе методы оценки параметров случайных процессов принято называть эстиматорамщ позаимствуем это понятие для краткости и удобства. Сразу же определим, оценками каких параметров диффузионных процессов посвещена данная работа. Для этого введем следующие понятия.
Метод оценки полного моста
Во второй главе предложены три новых метода оценки параметров диффузионных процессов: - метод, в котором оценка параметров строится на базе максимального, минимального, а также значения исследуемого процесса на конце рассматриваемого интервала. - метод, в котором оценка параметров строится на базе максимального, минимального значения неполного моста исследуемого процесса, а также на значении исследуемого процесса на конце рассматриваемого интервала. -метод, в котором оценка параметров строится на базе максимального, минимального значения полного моста исследуемого процесса.
Все эти эстиматоры могут применяться к любому диффузионному процессу и учитывают множество статистических эффектов. Однако, эффективность предложенных эстиматоров будет рассмотрена в рамках наиболее распространенной модели диффузионного процесса — модели геометрического броуновского движения. Именно эта модель диффузионного процесса рассматривается по тем причинам, что описанные выше экстремальные методы оценки параметров диффузионных процессов, такие как метод Гармана-Класса, Роджера-Сатчелла, построены в рамках данной модели и это позволит сравнить результаты оценок, полученных в данной работе с результатами последних достижений в этой области. Для того, чтобы построить новые экстремальные методы оценки параметров в рамках модели геометрического броуновского движения, в данной главе будут рассмотрены несколько полезных особенностей данной модели.
В рамках второй главы иследованны статистические свойства полученных оценок, такие как эффективность и несмещенность.
Наглядно путем численного моделирования продемонстрировано преимущество, предлагаемых в работе эстиматоров, по сравнению с существующими оценками, описанными в первой главе.
Основные результаты исследований, представленных во второй главе, опубликованы в работах [А1, А5, АН, А16, А18, А20-А23].
Перейдем к цели данной главы — описанию новых экстремальных методов оценки параметров диффузионных процессов. Первый из этих методов — эстиматор основанный на экстремумах самого процесса (OHLC estimator).
Цель данного раздела построить новый эффективный метод оценки параметров диффузионных процессов. Предлагаемый эстиматор построен на экстремальных значениях процесса (OHLC estimator), взятых из одной известной его реализации. В рамках данного раздела исследованы статистические свойства предлагаемого метода оценки, а также проведено сравнения эффективности полученных оценок с соответствующими значениями для ранее описанных методов.
Примем, что случайный процесс X(t) — это процесс со стационарными приращениями. Также для простоты, но не теряя общности предположим to = О, Х(0) = 0 и рассмотрим реализацию данного процесса длительностью Т = 1. Статистические характеристики вспомогательного случайного процесса A(t,j) предполагаются известными для любого значения параметра 7- Примем также, что математическое ожидание и дисперсия случайного процесса A(t, 7) конечны:
Следует отметить, что дисперсия приращений нормированного случайного процесса Y(t) на временном интервале длительностью Т, совпадает с дисперсией приращений исходного процесса X(t) на единичном временном интервале длительностью Т = 1: Var[N{T, 7)] = 1 Var[Y{T, 7)] = а2 Рассмотрим реализацию исходного процесса X(t) на некотором временном интервале t Є (0,Т) разбитом на т точек (t\,t2, ...,m_i) Є (0,Т),
В этом случае наиболее общее выражение для эстиматора коэффициента диффузии процесса X(t) примет вид:
В данной главе мы рассмотрим частный случай m = 3, однако теория, развитая в работе, может быть обобщена на большее количество точек m 3. При условии m = 3 в качестве величин xi, x2j х% могут выступать как эквидистантные отсчеты процесса [х\ = Х(Т/3): х2 = Х(2Т/3): х% = Х(Т)) или их приращения Xl = X(T/3), х2 = Х(2Т/3)-Х(Т/3), х3 = Х(Т)-Х(2Т/3), (2.3) так и более сложные временные характеристики реализации. Например, максимальное и минимальное значения процесса на заданном промежутке времени. На основании подобных характеристик и построен, предлагаемый в рамках данного раздела наиболее эффективный эстиматор (OHLC), экстремальный метод оценки параметров диффузионных процессов, которому и посвещен данный раздел.
Название OHLC выбрано по первым буквам английских слов Open, High, Low and Close. В дальнейшем мы сравним эффективность оценок, построенных на основании эквидистантного способа выбора отсчетов и по экстремальным значениям процесса.
Определим в соответствии с названием high (максимальное), Іош(минимальное) and close (на конце временного интервала Т) значения случайного процесса X(t) внутри одной рассматриваемой реализации на временном интервале te(0,T) Дадим определение OHLC эстиматоров дисперсии и коэффициента диффузии.
Определение 7 OHLC эстиматорами, называются такие эстимато-ры, которые являются функцией только трех переменных максимального, минимального и значения процесса на конце рассматриваемого временного интервала t Є (0,Т) внутри одной реализации процесса X(t), то есть такие эстиматоры коэффициента диффузии и дисперсии, которые могут быть записаны в следующем виде:
Совместная плотность вероятностей минимального, максимального и значения винеровского случайного процесса с равномерным сносом на конце заданного временного интервала
Тот факт что OHLC эстиматор моста при к 1, значительно более эффективен, чем стандартный OHLC эстиматор, соответствующий к = 0, может быть объяснен следующим образом: хорошо известен тот факт, что максимальное и минимальное значение винеровского процесса наиболее вероятно находятся вблизи границ рассматриваемого интервала. Наоборот, при построении винеровского моста, его минимальное и максимальное значения находятся достаточно далеко от границ рассматриваемого интервала, как показано на рис.2.9. Максимальное и минимальное значения моста содержат значительно больше информации о поведении самого случайного процесса, чем его собственные максимальное и минимальное 200
Сверху вниз: 200 реализаций эстиматора Гармана-Класса для к = 0, эстиматора Паркинсона и наиболее эффективного канонического эстиматора моста для к = 0.99 значения. также заслуживает внимания тот факт, что наиболее эффективный эстиматор при 7 = 0 более эффективен, чем эстиматор Гармана-Класса и Паркинсона и остается таким до тех пор пока 7 меньше 0.8 (для к = 0.95 и практически для всех к). Однако это не имеете большого значения поскольку на практике значения 7 достаточно малы.
На рис. 2.14 показаны зависимости дисперсии наиболее эффективного канонического эстиматора моста при (Л = 1), а также дисперсии соответствующих эстиматоров Гармана-Класса и Паркинсона. В случае полного моста к Є (0.9,1), дисперсия наиболее эффективного эстиматора значительно меньше, чем дисперсия аналогичных эстиматоров Гармана-Класса и Паркинсона:
Принимая в выражении (2.40) п = 200 построим соответствующие эсти-маторы Гармана-Класса (Л = 1) (2.80) при к = 0, Паркинсона (2.81) (Л = 1)и наиболее эффективный канонический эстиматор моста для к = 0.99 и 7 = 0. Как видно "невооруженным взглядом "наиболее эффективный эстиматор моста обладает более низкой дисперсией и является наиболее эффективным по сравнению с эстиматорами Паркинсона и Гармана-Класса рис. 2.15.
Здесь представлено сравнение эффективности Гармана-Класса, Паркинсона и наиболее эффективного эстиматора, однако не представленно сравнение с эффективностью эстиматора Роджера-Сатчелла. Как видно из наших прошлых вычислений для к 1, эффективность эстиматора Роджера-Сатчелла, значительно ниже, чем эффективность эстиматора Гармана-Класса, поэтому резонно предположить что и в данном случае эффективность будет значительно ниже и данный метод оценки можно не рассматривать.
Описанные выше методы оценки параметров имеют существенный недостаток — зависимость от исходного сноса процесса. В данном разделе предложен еще один экстремальный метод оценки параметров диффузионных процессов — эстиматор полного моста. Данный эстиматор является более простой разновидностью метода оценки, представленного в предыдущем разделе т.к. не имеет зависимости от случайной константы к. Несомненным достоинством предлагаемой новой модели является независимость от исходного сноса процесса. Рассмотрим данный эстиматор на примере оценки дисперсии (1.1).
В дальнейшем мы исследуем статистические свойства канонических эс-тиматоров (2.44) и (2.84), сравнивая их математические ожидания и дис персии. Напомним, что чем ближе математические ожидания канонических эстиматоров dp{ ), (1сж{ )-, dns и db к единице, тем менее смещены соответствующие эстиматоры дисперсии Dp: DQK, DRS И Db. При этом чем меньше дисперсии канонических эстиматоров, тем эффективнее исходные эстиматоры Dp: DQK, DRS И Db- также не следует забывать, что в реальных условиях неизвестен снос /І исходного процесса (2.31). Соответственно, неизвестен и канонический дрейф 7 в выражении для канонического броуновского движения ж(т,7) (2.43). Тем не менее, чтобы иметь представление о зависимости эффективности эстиматоров дисперсии от сноса /І, мы будем в дальнейшем считать канонический дрейф 7 произвольно заданным, и уделим особое внимание зависимости математических ожиданий и дисперсий канонических эстиматоров (2.44) и (2.84)от параметра
Как уже было сказано выше, в следующей главе выводятся выражения для совместной плотности вероятностей случайных величин характеризующих экстремальные свойства неполного моста (2.58) и значение самого процесса на конце временного интервала С при произвольных параметрах к и 7 неполного моста Z(t, к, Т) (2.55), а также совместное распределение экстремумов и ( моста z(r) (2.86). Используя указанные плотности вероятностей перейдем к исследованию статистических свойств канонических эстиматоров (2.44), (2.84).
Проверим несмещенность канонического эстиматора Паркинсона. Формально можно было бы воспользоваться результатами, полученными в прошлом разделе, однако в качестве величин Н и L в том случае выступали соответствующие значения г(т, ). В рамках данного раздела срав ним статистические характеристики нового эстиматора полного моста с эстиматорами Паркинсона, Гармана-Класса и Роджера-Сатчелла, построенных на значениях самого процесса ж (г, 7)- Для этого вычислим, с помощью плотности вероятностей Q(d) (3.19), средний квадрат колебания d = Н — L канонического броуновского движения ж (г, 7) при нулевом регулярном дрейфе (7 = 0).
Совместная плотность вероятности экстремальных значений моста исследуемого процесса
В данной главе найдено явное аналитическое выражение для трехмерной плотности вероятностей экстремальных значений винеровского процесса с равномерным сносом, совместная плотность вероятностей случайных величин характеризующих экстремальные свойства неполного и полного моста.
Выражение для совместных плотностей вероятностей, найденное в данной главе аналитическим путем, позволяет построить не только новые, предлагаемые в данной работе оценки коэффициента диффузии и дисперсии, но и получить аналитические оценки другими методами, начиная от традиционных и до новых последних разработок в данной области, таких как метод Гармана-Класса, Роджерса-Сатчелла и Паркинсона.
Алгоритм поиска аналитического выражения для данных исчерпывающих статистических характеристик не был предложен ни в одном из ранее построенных методов. В большинстве случаев данная величина моделировалась численно, при помощи генерирования большого числа реализаций винеровского случайного процесса с равномерным сносом.
Попутно в данной главе находится функция Грина уравнения диффузии с нулевыми условиями на равномерно движущихся границах. Указанная функция Грина имеет самостоятельное значение и может быть, к примеру, использована для анализа движения квантовых частиц в потенциальной яме с движущимися стенками.
В рамках диссертационной работы проведено теоретическое исследование существующих методов теории оценивания и предложены новые методы оценки параметров диффузионных процессов. На примере вине-ровского процесса с равномерным сносом продемонстрирована применимость, предлагаемых в рамках диссертационного исследования новых методов статистической оценки параметров диффузионных процессов.
Основные результаты диссертационной работы:
Проанализированы существующие методы оценки параметров диффузионных процессов. Определены "критерии качества", предъявляемые с точки зрения практических приложений к статистическим оценкам параметров диффузионных процессов, получаемых на основании существующих методов. Проведено сравнение эффективности статистических оценок, получаемых на основании существующих методов, и выявлены недостатки существующих методов оценки параметров диффузионных процессов.
Предложены три новых метода оценки параметров диффузионных процессов. Данные методы основаны на экстремальных значениях самих диффузионных процессов и их мостов, внутри одной рассмат 118 риваемой реализации. Исследованы статистические характеристики оценок, полученных новыми методами, такие как: -дисперсия оценки параметров диффузионных процессов; -математическое ожидание оценки параметров диффузионных процессов; -функция распределения оценки параметров диффузионных процессов.
На примере винеровского процесса с равномерным сносом, наглядно показана применимость предлагаемых в работе новых методов оценки параметров диффузионных процессов. Для случая винеровского процесса с равномерным сносом, впервые получены аналитически совместные плотности вероятности экстремальных значений процесса и его моста, внутри рассматриваемой реализации. Данные плотности вероятности необходимы не только для практического применения, предлагаемых в рамках работы методов оценок параметров диффузионных процессов, но и для расчета оценок существующими методами. Ранее данные величины заменялись результатами численного моделирования.
Для случая винеровского процесса с равномерным сносом найдены дисперсия и смещение статистических оценок параметров диффузионных процессов, полученных на основании применения новых методов оценки. Впервые получено значение наименьшей возможной границы дисперсии статистических оценок параметров диффузион 119
ных процессов. Проведено сравнение статистических характеристик оценок, полученных новыми, предлагаемыми в работе методами с соответствующими характеристиками оценок, получаемых на основании существующих методов оценки. Продемонстрирован "выигрыш" в эффективности, получаемый при применении новых методов оценки параметров диффузионных процессов.
Полученные в рамках работы теоретические зависимости подтверждены результатами численного моделирования.
Благодарности: Автор выражает благодарность и глубокую признательность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Саичеву Александру Ивановичу за постановку задач и ценные указания в научной работе, а также за помощь и поддержку в исследованиях и при подготовке диссертации.
Автор также благодарит научного консультанта кандидата физ.-мат. наук Лапинову С.А. за ценные советы и участие в постановке задачи, обсуждении полученных результатов и их приложений.
