Содержание к диссертации
Введение
1 Методы оценивания огибающей и чистоты колебаний
1.1. Частота и огибающая колебаний
1 2. Аналитический сигнал и преобразование Гильберта
1.3. Методы оценивания огибающей колебании
1.4. Методы оценивания частоты колебаний
1.4.1. Оценивание средней сое кг рал ьно и частоты
1.4,2. Непоередетвенное оценивание мгновенной частоты колебаний
1.4.3 Оценивание мгновенной частоты с помощью время-частотных распределений
1.4.4 Цифровые меюды измерения частім гармоническої о си і нала...
1.4.5. Современные цифровые методы оценивания мгновенной частоты сигнала
1.5. Спектральное оценивание сигнал о*пго методу Про НИ
1.5.1. Метод наименьших квадратов Прони
1.5.2, Модификация метода наименьших квадратов Прони для периодических сигналов
2. Исследование модификации метода наименьших квадратов Прони для периодических сигналов
2.1. Модификации параметрического vie і ода спектрального оценивания периодических сигналов
2.1.1. Альтернативная форма для вычисления суммарной ошибки линейного сглаживания
2.1.2. Алгоритм расчета элементов матрицы линейных уравнений
2.2. Статистические свойства параметрического метода спектрального оценивания периодических сигналов
2.2.1 Исследование устойчивости метода при воздействии аддитивного шумового процесса
2.2.1.2. Влияние интервала дискретизации и длины интервала наблюдения на точность метода
2.3. Алгоритм адаптивного спсктрЕиыюго оценивания квазипериодических сигналов 56
2.4. Анализ результатов и выводы 61
3. Спектральное оценивание мгновенной частоты сигналов е медленно меняющейся амиляїудой и фазой 63
3.1. Оценка мгновенной чаеюты сигнала 63
3.2. Влияние длительности интервала наблюдения на точность спектральной оценки мгновенной частоты 67
3.3. Статистические свойства спектральной опенки мгновенной частоты 74
3.4 Слскіральное оценивание частої ы в дальномере с линейной частотой модуляцией 78
3.5. Анализ результатов и выводы 83
4. Спектральное оценивание мгновенной частоты широкополосных сигналов 85
4.1. Оценивание мгновенной частоты сні нала по текущему спектру 85
4.2. Влияние длительности интервала наблюдения на точность оценивания мгновенной частоїы 93
4.3. Реализация спектрального частотомера в виде цифрового фильтра 103
4.4. Анализ результатов и выводы 107
Заключение 309
Литература .,„ 111
Приложение
- Методы оценивания огибающей колебании
- Статистические свойства параметрического метода спектрального оценивания периодических сигналов
- Влияние длительности интервала наблюдения на точность спектральной оценки мгновенной частоты
- Реализация спектрального частотомера в виде цифрового фильтра
Введение к работе
При решении многих физических задач о характеристиках тех или иных исследуемых радиофизических систем приходится судить по параметрам соответствующих им процессов В качестве таких параметров могут выступать частота, амплитуда и фаза колебаний.
Располагая параметрами колебаний можно проанализировать процессы, создать адекватную модель системы, которая позволит построить процессов в исследуемом объекте. Примером метода анализа служить амплитудная и частотная характеристики линейной пени, которые измеряются по параметрам гармонических колебаний, прошедших через цепь. Располагая амплитудной и частотной характеристиками цепи, можно построить ее отклик на произвольный входной сигнал. Другими примерами могут служиіь изучение закона движения объекта с помощью эффекта Доплера, точное и оперативное измерение параметров отклика системы на внешнее воздействие. прецизионное измерение кратковременной и долговременной нестабильности кварцевых генераторов и многие другие задачи.
Обычно колебательные процессы представляют в виде амплитудного и фазовою сомножителей. Для узкополосных сигналов задача выделения и регистрации этих сомножителей решена с достаточной для технических приложений точностью [1]. Огибающую таких сигналов позволяет оценить амплитудный детектор, а колебаний - частої ный дискриминатор [2]
При исследовании широкополосных сигналов задача определения огибающей и частоты колебаний представляй собой серьезную проблему, которая осложняется необходимостью оперативного оценивания данных величин via коротком (по сравнению со всей длительностью процесса) интервале наблюдения [1]
Немаловажным является вопрос об однозначности определения частоты и огибающей колебаний [3]. Для периодических сигналов частота однозначно он Введение как величина, обратно пропорциональная периоду колебаний. Для произвольных (в том числе - широкополосных) используются средняя спектральная или мгновенная частота. Аналогично, существует несколько разновидностей определений огибающей сигнала комплексная, , и аналитическая. Для любою сигнала мгновенная частота и аналитическая огибающая могут быть однозначно найдены с помощью преобразования Гильберта, однако оікрьп вопрос о выборе определения частоты и огибающей сигнала при рассмотрении конкретных физических задач.
Известен ряд методов определения параметров колебательных процессов, большинство из которых основано на решении обратной задачи (в общем случае - некорректной). При этом существующие методы требуют больших вычислительных затрат и не обладают необходимыми точностью и оперативностью.
Таким образом, актуальность данной работы определяется потребностью создания высокоточных и оперативных цифровых измеричельных систем для оценивания параметров колебательных процессов, для чего необходима как разработка новых эффективных методов, так и исследование их статистических и точностных характеристик.
Цель работы:
разработка модификаций метода спектрального оценивания юдаиперио-днческих сигналов по короткой выборке, приводящих к уменьшению вычислительных затрат при сохранении точности;
построение спектральных оценок мгновенной частоты для сигналов с также анализ их точности и устойчивости;
приведение исследуемых методов к форме, допускающей реализацию в виде цифровых измерительных устройств.
6 Предмет исследования:
1. Параметрический метод спектрального оценивания квачипериодичеасих сигналов по короткой выборке данных и возможности его использования для анализа динамики процессов
2. Методы оценивания мгновенной частоты колебательных процессов с медленно меняющейся амплитудой и фазой (в том числе - широкополосных), а также их точностные и характеристики
Научная новизна:
2. Впервые предпожеп метод оценивания мгновенной частоты колебательных процессов с медгепш меняющейся амплитудой и фазой, основанный на использовании текущего спектра, выполнен анализ влияния длигелы-юеш интервала наблюдения л формы временного окна на ею точность при обработке гармонических сигналов, а также исследованы статистические характеристики данного метода для аддитивной смеси сигнала с флуктуирующей частотой и случайной фазой и белого нормального шума.
3. Впервые получено интегральное преобразование с разностным интегрируемым ядром, являющееся оконным аналогом преобразования Гильбер їа и допускающее реализацию в виде цифрового фильтра. Исследовано влияние формы и длительности временного окна на точность работы спектрального частотомера, построенного па основе предложенного преобразования, что дало возможность уменьшить смещение оценки мгновенной частоты путём ввода корректирующего слагаемого.
1 .Предложенная .модификация метода спектрального оценивания квазипериодических сигналов и алгоритм его адаптации позволяют ускорить процесс оораоотки сигналов этим методом, что немаловажно при его реализации в виде специализированной микропроцессорной структуры и применении в режиме реального гремели.
2 Результаты численного моделирования показали, что обработка сигнала дальномера с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) на основе предложенного в работе спектрального оценивании мгновенной частоты сигналов с медленно меняющейся амплитудой и фазой позволяет повысить точность определения дальности до объекта при увеличении рабочего диапазона дальномера.
3 Предложенная и работе структура на основе цифровых филыров позволяет реализовать спектральный частотомер в виде отдельного компактного микропроцессорного устройства
На защиту выносятся:
1. Модификация и алгоритм адаптации параметрическою метода епек-тралычого оценивания сигналов по короткой выборке, позволяющие путем существенного сокращения вычислительных затрат реализовать данный метод в виде специализированной микропроцессорной структуры.
2. Формулы, реализующие спектральные методы оцениваний мгновенной частоты лля процессов с медленно меняющейся амплитудой и фазой, основанные на понятии текущего спектра.
Результаты аналитическою и численного исследования точностных и статистических характеристик разработанных спектральных методов оценивания параметров колебаїельньїх процессов.
Введение Структура диссертации:
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений.
В первой главе проведен обзор основных публикаций по тематике диссертационной работы и проанализированы основные методы оценивания параметров колебаний. Поскольку для гармонических сигналов эти параметры можно е достаточной і очное гью оценить с помощью частотомера и амплитудного детектора, основное внимание уделялось методам оценивания параметров негармонических еш налов (в ЮМ числе - широкополосных) .
Во второй главе предлагается модификация параметрического метода спектральної о оценивания квазипериодических сигналов, основанного на методе наименьших квадратов Проии. значительно уменьшающая вычислительные затраты при сохранении точности. Параметрический метод спектральною оценивания квазипериодмческих сигналов впервые реализован в виде адаптивной цифровой измерительной Сфуюуры; проведены исследования по изучению влияния количества отсчетов, шага дискретизации и аддитивного шума на его точность.
Я третьей главе предложена оценка мгновенной частоты сигналов с медленно изменяющейся амплитудой и фазой, основанная на вычислении іекущего спектра сигнала. Приведены результаты аналитического исследования статистических свойств оценки мгновенной частоты сигналов с медленно меняющейся амплитудой и фазой. Приводятся результаты численных экспериментов по оцениванию мгновенной частоты модельных сигналов с использованием различных временных окон. Показано, что применение окна Натгола позволяет существенно уменьшить срсдпеквадратичсскую погрешность спектральной оценки по сравнению е методом дискретного счета. Применение оценки мгновенной частоты сигналов с медленно изменяющейся амплитудой к задаче измерения часкпы ЛЧМ-дальномера позволило увеличить точность определения дальности до объекта при увеличении рабочеі о диапазона дальномера.
Введение В четвертой главе предложен спектральный частотомер, измеряющий мгновенную частоту сигналов с непрерывно дифференцируемыми огибающей и полной фатой гго методу? основанному на понятии текущего спекіра. Исследовано влияние формы и длительности временного окна на точность работы спектрального частотомера, что дало возможноеп мепынить смещение оценки мгновенной частоты путем ввода корректирующего слагаемого. Показано, при отсутствии шумов предложенная оценка неемегцена и состоятельна, получена зависимость ее погрешности от интервала наблюдения в случае .медленно меняющихся амплитуды и фазы сигнала при использовании гауссова и прямоугольного временных окон. Получено интегральное преобразование с разностным интегрируемым ядром, связывающее сигналы, входящие в формулу для оценки мгновенной частоты. Приводятся результаты численных экспериментов по оцениванию мгновенной часюїьі модельных сигналов и структурная схема цифрового фильтра, реализующего данную оценку мгновенной частоты,
В заключении сформулированы основные результаты и краткие выводы из представленной диссертации.
В приложениях приведены фрагменты программного обеспечения, реализующего алюритмы методов предложенных преде га пленной диссертации, атак же принципиальная электрическая схема восьмиразрядного аналого-цифрового преобразователя
Методы оценивания огибающей колебании
Проблема оценивания ОІ ибающей колебаний являє іея легко разрешимой, по крайней мере для узкополосных сигналов [1]. В большинстве случаев она решается с помощью амплитудного детектора [2]: который состоит из нелинейного элемента (квадратора) и низкочастотного фильтра (рис, 1.2). Узкогюлосный сигнал поступает на квадратор, па выходе которого получается сигнал Далее фильтр усчрапяег ішсокочасютиую компонспту: выделяя кпадрат огибающей. Для того чтобы амплитудный детектор не вносил искажения, необходимо чтобы спектры слагаемых в выражении (1 11) не перекрывались. Только в этом случае низкочастотную и высокочастотную компоненты можно рлзлеліп к фильтром. Ясно, что чем хуже выполняется критерий узкополосноети {1.4). тем труднее обеспечить точность оценивания огибающей амплитудным детектором. Для широкополосных сигналов такой способ вообще не применим. Однако можно построить амплитудный детектор, который позволит определять огибающую лля любого класса сигналов [1] Структурная схема такого амплитудного дечекіора представлена на рис. 1,3, R основе функционирования данного устройства лежит прямое использование формул (1.6) и (1.9), Детектор состоит из двух квадраторов, сумматора и блока, реализующего преобразование Гильберта, в качестве которого может, например выступать цифровой фильтр J иль-бсрти [Sj..
Для оценивания естественной огибающей может быть использована схема, предложенная в работе [4], естественная огибающая определена для узко-лолосных сигналов, представимых и виде где функции o(t) и h(f) являются низкочастотными к -юм смысле, что их относительные изменения за период высокочастотных колебаний Т = 2к/(Оц доста-точно малы [4]. Определению подлежат синфазная a(t) или квадратурная h(i) компоненты. Располагая этими компонентами, всегда молшо построить естественную огибающую по формуле Структурная схема детектора, позволяющего оцепить естественную огибающую представлена на рис. 1.4. Методы оценивания огибающей и частоты колебаний Узкополосный сигнал О.12) вместе с опорным сигналом cos(to0/j поступают на перемножитель, па выходе которого получается сигнал Далее фильтр устраняет высокочастотную составляющую, выделяя синфазную компоненту а(!). Аналогично работает второй канал этого устройства, формирующий квадратурную компоненту h((). В качестве опорного сигнала для второго капала используется сигнал siiiKou/j L Следует отмстить, что из-за достаточной точности амплитудных де Гекторов, используемых для выделения огибающей узкополосных колебаний, спектр методов оценивания огибающей невелик Для определения огибающей широкополосных сигналов амплитудные детекторы неприменимы, однако такие сигналы достаточно редко используются в технике. Даже частотно-модулированный сигнал со сравнительно высокой несущей частотой, спектр которого теоретически бесконечен, рассматривают как узкополосный в силу того, что в реальных системах передачи информации происходит ограничение полосы сигнала. Полученный таким образом сигнал уже удовлетворяет соотношению (1.3), следовательно - является узкополосным. Довольно экзотические задачи, когда источником широкополосного сигнала является некоторая физическая сисіема, требуют отдельного рассмотрения. Напротив, для оценивания частоты колебаний существует огромное количество методов как аналоговых, с использованием частотных детекторов, так и цифровых Методы (щетинили сгибаїшцсіг и ЧНЬКІПІІ колсҐншіш В теоретической радиотехнике часто применяется понятие средней спектральной частоты, которая определяется как "центр тяжести" энергетического спектра мощности сигнала: Такое определение средней спектральной чаеюш можно найіи в литературе [1, 3, 5], В работах [1] и 5] показано, что определенная таким образом средняя сиемральная частота сиг нала тесно связана с его мгновенной частотой то есть средняя спектральная частота является средним значением мгновенной частоты на всем интервале времени существования сигнала. К сожалению, даже для і армонического сигнала с частотой ils спектром которого является совокупность дельта функций 5(ш ± І1), применение формулы (1.13) невозможно, поскольку не ясен вопрос об интегрируемости квадрата 5- функции. При практической реализации алгориша измерения средней спектральной частоты (I 13) всегда возникает ограничение длины окна наблюдения; в этом случае говоря і о применении прямоугольного окна данных:
Тогда для оценки средней спектральной частоты сигнала применяют формулу, аналогичную (1,13) Методы оценивания оі нбаюіїїеіі и частоты колебаний Прямое усечение пределов иніеірировапия Б (1 14) приводит к искажению спектра сигнала x(t). Как известно, в этом случае рассшташшй по (U l) спектр будет представлять собой свертку истинного спектра сигнала со спектром функции прямоугольного временного окна - аіїгс(соУ/2) 2j. В случае простого гармонического сигнала формула (I 14) даст следующее выражение для опенки спектра Можно показати что каждое из слагаемых в зтом выражении имеет "центр тяжести" на частоте исходного гармонического сигнала. В формуле (\.\5) интегрирование ведется только в области положительных частот, вследствие чего, из-за просачивания боковых лепестков функции зшс[/ (сй +Q)/2] в область положительных частот возникает существенная дополнительная погрешность в оценке (1.15), вопрос о величине которой не исследован. Применение известных временнвтх окон Бартлета, Ханна, Наттола и Хемминга и т.д. [8 - 11] значительно уменьшает эффект просачивания боковых лепестков функции sine 7 (m -і- Q) 2 I в область положительных частот, что. в свою очередь, приводит к увеличению точности оценки (1,15). След еі отмегиты что определение средней частоты чоре.з (І.іЗ) и (1.15) позволяет построить как аналоговые [12], так и цифровые [13] системы до ее измерения.
Статистические свойства параметрического метода спектрального оценивания периодических сигналов
Статистические исследования параметрического метода спекЕрального оценивания периодических сигналов производились путем численного моделирования. Исследовалась устойчивость метода при воздействии аддитивного нормального шумового пропесса ,„ с нулевым средним. Длл удобства рассмотрения влияния аддигииного шума на точность обработки введем оіношение сигнал/шум О как отношение максимального значения пиковой мощности сигнала на рассматриваемом интервале к средней мощности наложенного шума. выраженное в децибелах Исследование устойчивости модификации метода наименьших квадратов Прони для периодических сигналов начнем с численного эксперимента по об-рабочке зашумл енного тонального сигнала где Q = 0.3, а таг дискретизации выбирается по методике, описанной в [43]. В частности, At = Q )Atl.v_y = {) 9 n:\_LCi). где L - порядок модели Хп. аппроксимирующей сигнал (2,18). Длина выборки - N ,VIIL[II = 4/, -И. Эксперименты проводились при разном уровне шумов и разных порядках модели L . Для кодичееівенной опенки точности определения основной частоты исследуемых колебаний введем относительную ошибку определения частоты: где Сі - опенка основной частоты исходных колебаний, полученная с помощью глобальной минимизации суммарной ошибки линейного сглаживания (2.2) с учетом модификации (2J I), На рис 2.1 представлены зависимости среднею значения относительной ошибки определения частоты (2Л9) и ее среднеквадратичного отклонения для сигнала (2 18) от величины отношения сигнал/шум Статистическое усреднение производилось по 100 реализациям.
Из графиков видно, ню излишнее увеличение порядка аппроксимации ухудшает точность метода при больших шумах, однако среднеквадратичное отклонение при тгом уменьшается. .Это явление можно объяснигь тем, что искусственно введенные компоненты частично компенсируют влияй не аддитикноготпума. Для количественной оценки точности метода введем функцию относительной энергетической ошибки аппроксимации в виде где xtl — отсчеты модели (2 1), построенные по найденным параметрам. На рис. 2.2 представлены зависимости среднего значения относительной энергетической ошибки аппроксимации (2.20) и ее среднеквадратичного отклонения для сигнала (2.18) от величины отношения сигнал/шум Видно, что зависимость среднего энергетической ошибки аппроксимации от отношения сигнал/шум близка к линейной. Кроме тогот добавление излишних составляющих и модель не клияеі на угол наклона линейкой закисимоеш. Уравнение прямой, описывающей поведение зависимости среднего значения относительной энергетической ошибки, полученное путем вычисления экспоненциального тренда [46] имеет вид При мтом средпеквадрашчное отклонение с увеличением порядка аппроксимации до 7 - уменьшается. При сильном превышении порядка аппроксимации L истинного порядка сигнала величина относительной энергетической ошибки аппроксимации немного увеличивается. Аналогичный зффеїсг наблюдается при обработке более сложных сигналов. На следующем этапе исследования был проведен численный экеперимен: по обработке более сложного сигнала, состоящего из нескольких гармоник. В качестве примера был взят сигнал в пиде представляющий собой усеченный ряд Фурье 2] прямоугольною колебания (меандра). Следует отмеїить. что переход к ряду (2.22) с конечным числом членом обусловлен необходимостью ограничения частотного диапазона сигнала перед его дискретизацией, поэтому предположение о конечности числа гармо ник вполне разумно, к тому же сиекіральньїй состпн сигнала значительно ограничивается при его прохождении через предварительные усилители и преобразователи. На рис 2.3 представлены зависимости среднего значения относительной ошибки определения частоты вида (2J9J и ее среднеквадратичного отклонения для сигнала \2 22) от величины отношения сигнал/шум.
Видно, что как н в случае гармонического сигнала, излишнее увеличение порядка аппроксимации при большом уровне шума у худите г гочноеіь метода, однако среднеквадратичное оїшпемие при этом уменьшается На рис, 2.4 представлены зависимости среднего значения относительной энергетической ошибки аппроксимации вида (2 20) и её среднеквадратичного отклонения для сигнала (2.22) от величины отношения сигнал/шум\ В отличие от случая гармонического сш нала, зависимости среднего значения от постельной ооеріетической ошибки ог величины ошошепия сигнал/шум не укладываются на одну прямую. Однако обшая тенденция к увеличению уровня этой ошибки при увеличении порядка аппроксимации сохраняется. Следует отметить, что для сигнала (2.22) при больших уровнях шума среднее значение относительной зііерісіичеекой ошибки аппроксимации увеличивается с увеличением порядка модели, в то время как среднеквадратичное отклонение уменьшается При малых уровнях шума среднеквадратичное отклонение увеличивается. Аналої ичная ситуация наблюдается и при использовании др\гих модельных сигналов.
Влияние длительности интервала наблюдения на точность спектральной оценки мгновенной частоты
Поскольку в силу центральной предельной теоремы [53] сигнал о медленно меняющимися амплитудой и фазой вида (3.2) является узкополоспы.м гауссовым процессом, его фаза рп распределена равномерно, поэтому полную фазу со0/,л +cpti3 с которой сигнал проходит через середину интервала наблюдения. при усреднении по примыкающим интервалам можно считать равномерно рас-пре,деленной случайной неличиной. В этом случае среднее значение случайной погрешности Д v равно пулю, то есть оценка мгновенной частоты не смещена. Смешение возможно только Б тривиальном случае, когда р постоянна, то есть сигнал спектрально чист, а интервал наблюдения Т кратен 2к/Ъи. и /,f приходная иа одну и ту же фазу периода. В этом случае для модуля относительной погрешности измерения мгновенной частоты из соотношения (3.10) получаем: то есть относительная погрешность спектрального метода измерения мгновенной частоты примерно в 5 раз меньше относительной погрешности метода ZLHC-кретиого счета, не превосходящем по модулю 2 ту со и [20], При вычислении дисперсии погрешности (3,10) учтем, что среднее значение случайной величины cos2(2e (1f„ -ь2фц) равно 1/2. При выполнении второго условия (3.3) можно іаюке счшаїь cos{(.otlT/2} случайной величиной, средний квадрат которой равен 1/2 В этом случае для относительной среднеквадратичной погрешносш получаем Из формулы (3.11) слелует, что среднеквадратическая ошибка определения мгновенной частоты в отсутствии шумов определяется только конечностью интервала наблюдения Т и еіремиїся к нулю ари У — OJ, то есть оценка состоятельна.
Заметим, что эта погрешность также примерно в 5 раз меньше характерной для метода дискретного счета погрешности 2тг/(-/бсо1, /,1 [20], Для проверки полученных соотношений было проведено численное моделирование спектрального оценивания мгновенной частоты сигнала (3.8) в соответствии с формулой (3,6), причем мгновенный спектр A (CJ) определялся с помощью прямоугольного временного окна. Численные эксперименты проводились для различной длительности временного окна Т и различных моментов времени 1п (начальная фаза сигнала о„ для просюты полагалась равной нулю). Спектр сигнала рассчитывался с использованием алгоритма БПФ по основанию 2 с последующей коррекцией отсчетов спектра в соответствии с выражением (3.4) В Приложении 4 приведены фрагменты программного обеспечения, реализующего описываемый атгоритм. На рис. 3.1 представлены зависимости относительной ошибки определения мгновенной частоты ЧЛО/,, от величин w„7 /2 и toа м для тонального сигнала. Пунктирной линией построена аналитическая зависимость ошибки измерения мгновенной частоты. Видно, что характер зависимостей качественно соотоетеївует аналитической оценке (3.10). При этом численный эксперимент дает несколько большее значение относительной погрешности &(l\tti); utl, чем соотношение (3.10), очевидно - из-за неполного выполнения второго условия (3.3). Расхождения между аналитической и практической зависимостью относительной погрешности Д(7\/„)/ш0 от величины со0/, которые проявляюся в смещении оценки относительно нуля, по -видимому, можно объяснить эффектами дискретизации сигнала, которые при выводе формулы (3.9) учитывались лишь частично. На рис 3 2 представлены зависимости относительной ошибки определения мгновенной частоты Д(7 /„) їоГ от величии С0(Т "2 и со,/,, при использовании метода трапеций [46] для численного интегрирования выражения (3.6). Как видно из рис. 3.2, погрешность метода уменьшается па порядок по сравнению с аналитической оценкой, и при усреднении по величине со./,, оценка (3.6) действительно даст несмещенное значение t)0. Однако уменьшение погрешности .метода при использовании для численного интегрирования метода гранении наблюдается лишь при малых адшп шшых шумах. Не смотря на ато, в дальнейшем все исследования будут производится с применением данного метода. На рис. 3.3 приведены зависимости А(Т:1г/)/( и от (uu772 : вычисленные с использованием других временных окон Хашт} Хзмминга, Ыаттола w усеченного гауссова fl 1]. Применение перечисленных окон позволяет существенно
Реализация спектрального частотомера в виде цифрового фильтра
Переходя к последовательности отсчетов исследуемого сигнала х[п], взятых с шагом дискретизации Дг н используя .V -точечный дискретно-временной ряд Фурье [11], для отсчетов мгновенного спектра получим; Данное выражение с точностью до множителя (-1) совпадает с формулой скользящего преобразования Фурье [8], что позволяет реализовать его в виде гребенки рекурсивных цифровых филыров, описываемых линейными разностными уравнениями вида где отсчеты спектра [т,л] имеют смысл выходной последовательности т го фильтра гребенки в момент времени п&і , Полагая для определенности N четным, на основе определения сигналов z.., (/) = г..л[і- Т/2] (4.5) запишем выражение для последовательностей -у. t[rt]: Нетрудно посчитать, что для получения очередных значений fr y[fl] и :п[л] требуется (3+ДҐ/2) операций комплексного сложения и SN/4 комплексных умножении, ю есть всего (3 + 7Лт/4) комплексных операции. Заменим, что данная структура не предполагает применения дифференцирующих фильтров, в отличие от случая, когда используется цифровой преобразователь Гильберта [8]. Операция численного дифференцирования является одним из главных источников лоїрешности к определении мгновенной частоты по алгоритму аналитического часютомера [7,14]. На основе выражении (4.17) для улучшенной оценки мгновенной частоты и конкретного вида поправочного члена при использовании прямоугольного временного окна (4.15), запишем дискретный вариант формулы для улучшенной оценки мгновенной частоты: Следует помнить, что в утом выражении йЛи] дает оценку мгновенной частоты в момент времени t = nAi - NAi/2, то есть с задержкой на N/2 тактов. Для проверки полученных соотношений при помощи описанных цифровых фильтров проводилось оценивание мгновенной частоты сигналов с амплитудной и частотной тональной модуляцией. Рассматривались временные последовательности вида Л"іН = {і + Msin nAftyzosfotfiAt), х2[я] = cos(c!)0w.Ar 4- Ї14 s m(Q2nAr)) (4.27) со бедующими значениями параметров: to,, = J, Q, =0,1, (22 = 0,2, At = 0,09773 M = 0,4. Ela рис. 4.4 представлены зависимости относительной погрешности определения мгновенной частоты по формуле (4 26) от текущего индекса я, полученные при N =2048, что соответствует значению іяиТ!2 = 100,045. Видно, что в обоих случаях относительная погрешность не превосходит 1%. Предложен спектральный частотомер, измеряющий мгновенную частоту но методу, основанному на понятии текущего спектра (3,4), который отличается от классического определения мгновенного (оконного) спектра [5, 17] на величину фазового множителя. Это позволило использовать ;і;ія одновременного вычисления аналитического сигнала и его производных эффективный рекурсивный алгоритм, построенный па основе скользящего преобразования Фурье [8].
Кроме этого удалось, во-первых, исключить неустойчивую операцию численного дифференцирования, во вторых - частично скомпенсировать погрешность, связанную с ограниченностью измерительного интервала, и получить улучшенную несмещенную и состоятельную оценку мгновенной частоты (4.16). применимую для широкого класса сигналов с медленно меняющимися амплитудой и фазой, причем не обязательно узкополоспых. Проведен анализ влияния ограниченности измерительного интервала на точность предлагаемой оценки мгновенной частоты для случая, когда при вычислении текущего спектра применяется гауссово временное окно. Полученные аналитические выражения дли погрешнее;и оиенинашя частоты спектрально чистого сигнала с применением прямоугольного и гауссова временных окон гюдінержденьг результатами численных экспериментов. При измерении мгновенной частоты в режиме реального времени предложенный алгоритм дает оценку с запаздыванием ла 1)2 Это порождает динамическую погрешность текущего значения мгновенной частоты 5 , - 7шах(о)(г)/о: (г)1. Полученные аналитические оценки (4.23) и (4.24) позволяют оптимизировать длительность интернала измерения Т при наличии априорной информации о характере сигнала (максимальное ускорение объекта при измерении доплеровской частоты, ширина спектра процесса и т. д.) из условия Sf/ -ог +G; для оценки (4.6) и bd =дт для опенки (4.16). Показано, что сигналы, входящие в оценку мгновенной частоты, связаны с исходным сигналом интегральным преобразованием с разностным интегрируемым ядром, чю позволяет реализовать предложенный алгоритм в шде цифрового фильтра.
На основе алгоритма скользящего преобразования Фурье предложена структура цифрового фильтра для получения вспомогательных сигналов, по которым вычисляется оценка мгновенной частоты. Данная структура не требует применения дифференцирующих фильтров, необходимых при использовании цифрового нреобразона-іели Гильбер їа [8]. Параллельно-последовательное сіроенне предлагаемого фильтра позволяет легко реализовать его на базе широко распространенных сигнальных процессоров. Эффективность предложенной структуры подтверждена численными экспериментами. В данной диссертационной работе рассмотрены вопросы анализа и модификации параметрического метода оценивания параметров периодического сигнала, таких как основная частота и амплитудные коэффициенты. Кроме отого предлагаются два метода оценивания мгновенной частоты: сигналов с медленно меняющейся амплитудой (Глава 3) и і пир око полосных сигналов с непрерывно дифференцируемыми фазой и огибающей (Глава 4). Подводя краткий итог проделанной работы, отметим ее основные результаты. 1. Впервые предложены модификации метода наименьших квадратов Прогш для периодических сигналов, которые значительно уменьшают вычислительные затраты при практической реализации указанного алгоритма. Показано, что исследуемый метод сохраняет приемлемую точность в целом диапазоне значений шага дискретизации, ширина коюрого .зависит только от мощности аддитивного шума и порядка модели. Точность метода не ухудшается вплоть до пятикратного превышения минимально необходимою количества о]счетов данных, при этом применение модификации Битти, Джорджа и Робинсона не требуется. 2. Впервые предложена оценка мгновенной частоты сигналов с медленно изменяющейся амплитудой и фазой, основанная на вычислении текущего спектра сигнала. Аналитические исследования точностных и статистических свойств покачали, что при бесконечном окне наблюдения спектральная оценка в отсутсівие флуктуации амплитуды точна независимо от закола изменения мгновенной частоты, а медленные изменения амплитуды создают погрешность второго порядка малости. Для конечного интервала наблюдения погрешность определения М1ПОВЄПНОЙ частоты на ишервале наблюдения определяется, с одной стороны длительностью интервала наблюдения, с другой - величиной первой производной амплитуды исследуемого сигнала и второй производной его полной фазы. Покапано, что применение окна
Наттола позволяет сущест БЄНІТО уменьшить среднеквндрагическую пофешность спектральной сценки по сравнению с меюдом дискретного счета. Аналитические результаты подтверждены численными экспериментами. 3. Предложена улучшенная оценка мгновенной частоты сигналов с непрерывно .дифференцируемыми огибающей и полной фазой. Данная оценка исключает операцию численного дифференцирования и частично компенсирует погрешность, связанную с ограниченнос іью измерительного интервала. Показано, что при отсутствии шумов предложенная оценка несметцена и состоятельна. получена зависимость ее погрешности от интервала наблюдения в случае медленно меняющихся амплитуды и фазы сигнала при использовании гауссова и прямоугольного временных окон. Доказано, что сигналы, входящие в оценку мгновенной частоты, связаны с исходным сигналом интегральным преобразованием с разностным итерируемым ядром, что позволяет реализовать предложенный алгоритм в виде цифрового фильтра без применения дифференцирующих звеньев. Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю к.ф-м.і-L, доценту А.В. Никитину за постоянное и внимательное руководство и заведующему кафедрой Радиофизики Вол ГУ д.ф-м.п., профессору В.К. Игнатьеву за помощь в работе и критические замечания.
