Введение к работе
Актуальность работы. За почти вековую историю своего развития радиофизика и ее идейная база - теория колебаний - постоянно расширяли круг объектов исследования и приложений своих методов. Если сначала речь шла о способах генерации и преобразования регулярных сигналов для радиосвязи и локации, то в последние десятилетия в центре внимания находятся сложные и хаотические сигналы, нелинейные колебательные процессы в системах различной природы. Модели и методы радиофизики активно используются в различных областях - от физики до биологии, медицины и наук о Земле.
Отличительной чертой современного периода исследования колебаний является также цифровая форма представления и обработки информации: сигналы на выходе большинства современных измерительных приборов имеют вид временных рядов - дискретных последовательностей значений наблюдаемых величин. Подходы и идеи теории колебаний, нелинейной динамики, статистической радиофизики оказываются особенно плодотворными при анализе сигналов, демонстрирующих колебательный характер, нерегулярность, признаки нелинейности. В этом круге задач выделяется проблема реконструкции уравнений динамики (построения математической модели) по временным рядам, поскольку при ее успешном решении полученные уравнения могут использоваться для целого ряда приложений - от прогноза до диагностики взаимодействия исследуемых систем. Последнее востребовано в физике и химии, кардиологии , нейрофизиологии , климатологии . Этими обстоятельствами обусловлена важность и актуальность темы диссертации, что подробнее обосновывается ниже.
1 Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.
Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.
Дмитриев А.С, Кислое В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.:
Наука, 1989. АнищенкоB.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. Лос
кутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. Ланда П.С. Нелиней
ные колебания и волны. М.: Физматлит, 1997. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные
проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. Кузнецов СП. Динамический
хаос. М.: Наука, 2001. Кузнецов А.П., Кузнецов СП, Рыскин Н.М. Нелинейные колебания.
М.: Физматлит, 2002. Дмитриев А.С, Панас А.И. Динамический хаос: новые носители ин
формации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Динамиче
ский хаос в фазовых системах. Н. Новгород: изд-во ННГУ, 2007. Лоскутов А.Ю., Михайлов
А.С. Основы теории сложных систем. М.-Ижевск: Институт комп. исследований, 2007.
2 Farmer J.D., Sidorowich J.J. II Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 845-848. Casdagli M. II Physica
D. 1989. V. 35. P. 335-356. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. II Радиотехника и
электроника. 1995. Т. 40, вып. 12. С. 1866-1873. Молъков Я.И., Фейгин AM. II Нелинейные
волны - 2002 / Ред. А.В. Гапонов-Грехов, В.И. Некоркин. Н. Новгород: ИПФ РАН, 2003. С.
34-53. Макаренко Н.Г. Теория и практика моделирования распределенных динамических
систем методами современной математики. Дисс. на соиск. уч. ст. д.т.н. Алма-Ата, 2004.
3 Miyazaki J., Kinoshita S. II Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96, 194101. Tokuda IT. et al II Phys. Rev.
Lett. 2007. V. 99, 064101.
4 Rosenblum M.G. et al II Phys. Rev. E, 2002. V. 65, 041909. ProkhorovM.D. et al. //Phys. Rev. E,
2003. V. 68, 041913.
5 PeredaE. et al. II Progress in Neurobiology, 2005. V. 77, pp. 1-37.
6МоховИ.И. и dp. II Доклады академии наук, 2006. Т. 409. № 1. С. 1-5.
Построение математических моделей по временным рядам получило назва-ние «идентификации систем» в математической статистике и «реконструкции динамических систем» - в нелинейной динамике. Предшественницами современных задач реконструкции были задачи аппроксимации и статистического исследования зависимостей между наблюдаемыми величинами. Долгое время наблюдаемые процессы моделировались с помощью явных функций времени rj = fit), аппроксимирующих множество экспериментальных точек на плоскости it, tj), где t - время, Tj - наблюдаемая. Целью моделирования был прогноз будущего развития процесса или сглаживание зашумленных данных. В начале XX века серьезный шаг в развитии методов эмпирического моделирования нерегулярных процессов был сделан в математической статистике, когда было предложено использовать линейные стохастические модели. Этот подход практически не имел альтернатив в течение полувека (1920-е - 1970-е) и нашел многочисленные приложения, особенно для прогноза и автоматического управления. Успехи нелинейной динамики, обосновавшей возможность хаотического поведения нелинейных динамических систем малой размерности, и развитие вычислительной техники открыли перспективы успешного эмпирического моделирования сложных процессов на основе нелинейных разностных и диффе-
~ 10
ренциальных уравнении.
Обсуждая современное состояние проблемы, воспользуемся сложившейся типовой схемой реконструкции уравнений динамики, которая включает в себя несколько этапов. На первом получают временной ряд; на втором - выбирают структуру модельных уравнений, т.е. все, кроме конкретных значений параметров; на третьем - оценивают параметры (подгонка модели); в итоге проверяют, удовлетворительно ли полученная модель описывает наблюдаемый процесс. Предложены теоретические идеи, обосновывающие алгоритмы действия на каждом этапе. При выборе структуры уравнений - это теоремы Такенса для восстановления значений вектора состояния и обобщенная аппроксимационная теорема для задания оператора эволюции; при оценке параметров - минимизация различных целевых функций; при проверке адекватности модели - расчет метрических и топологических характеристик аттрактора и т.д. Тем не менее, на практике получить удовлетворительную модель с помощью существующих универсальных подходов зачастую не удается. Одним из широко известных препятствий является так называемое «проклятие размерности» - трудности аппроксимации и требования к объему и качеству данных, резко возрастающие с ростом размерности вектора состояния модели. Но и кроме этого на каждом
ЛъюнгЛ. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.
8 Chaos and Its Reconstructions I Eds. G. Gouesbet, S. Meunier-Guttin-Cluzel, O. Menard. Nova
Science Publishers, New York, 2003. Павлов A.H., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. II Радиотехника и
электроника. 1999. Т. 44, вып.9. С. 1075-1092. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. II
Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т.8, № 1. С. 29-51.
9 Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.
10 Abarbanel H.D.I. Analysis of observed chaotic data. Springer, New York, 1996. Kantz H.,
Schreiber T. Nonlinear time series analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
этапе процедуры моделирования остаются нерешенные проблемы, связанные с оценкой параметров хаотических систем, оптимизацией структуры модели, выбором динамических переменных. Сложившаяся ситуация требует развития практически эффективных методов для реконструкции уравнений нелинейных колебательных систем в реалистичных условиях коротких временных рядов, хаотичности наблюдаемых процессов, нестационарности и зашумленности. Одним из перспективных направлений представляется разработка методов, ориентированных на избранные классы систем и задач, учитывающих особенности этих классов при выборе структуры модели, расширяющих возможности физической интерпретации результатов моделирования.
Среди практических приложений реконструкции в настоящее время выделяется обнаружение и количественная оценка связей (диагностика взаимодействия) между нелинейными системами по данным наблюдений. Эта задача является обратной по отношению к исследованию динамики в ансамбле нелинейных колебательных систем с заданной структурой связей между ними. Во многих работах показано, что динамика существенно зависит от структуры связей в ансамбле. В частности, эти связи определяют виды синхронизации, простоту или сложность динамики, образование различных пространственно-временных структур. Поэтому оценки связей дают важную информацию при исследовании различных объектов, а методы получения таких оценок представляют значительный практический интерес. При этом особенное внимание уделяется возможности оценивания по коротким и нестационарным сигналам, широко распространенным в физике, биологии, науках о Земле.
Существуют «непосредственные» (не опирающиеся на построение моделей) методы выявления зависимостей между процессами, включая корреляционный и спектральный анализ, теоретико-информационные и нелинейно-динамические характеристики. Однако для оценки направленных связей, т.е. для ответа на вопрос о том, влияет ли один процесс на другой и с какой «силой», наиболее подходящим инструментом оказывается реконструкция уравнений. С 1960-х гг. широко применяется линейная оценка «причинности по Грейнджеру», основанная на построении линейных авторегрессионных моделей и расчете улучшения прогноза одного процесса при учете в модели данных
о другом процессе. Она позволяет с надежностью установить факт наличия связей между линейными системами, но сталкивается с трудностями при решении более сложных задач. Во-первых, физическая интерпретация ее количественных характеристик не очевидна: не ясно, в какой степени они отражают
11 Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и
хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький: ИПФ АН СССР, 1989. АнищенкоВ.С,
Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем.
Саратов: изд-во СГУ, 1999. Mosekilde Е., Maistrenko Yu., Postnov D. Chaotic synchronization.
Applications to Living Systems. World Scientific, Singapore, 2002. Boccaletti S., Kurths J., Osipov
G. et al. //Phys. Rep. 2002. V.366. P.l. Пиковский A.C., РозенблюмМ.Г., Курте Ю. Синхрони
зация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. Osipov G.V., Kurths J.,
Zhou С. Synchronization in oscillatory networks. Springer, Berlin, 2007.
12 Granger C.W.J. IIEconometrica. 1969. V.37. P.424-438.
влияние связей на те или иные свойства наблюдаемой динамики. Во-вторых, при анализе нелинейных систем линейная оценка причинности по Грейнджеру часто оказывается не пригодной даже для выявления связей. Попытки ее нелинейных обобщений, использующие реконструкцию уравнений в универсальном виде, сталкиваются с упомянутыми выше общими трудностями нелинейного моделирования по временным рядам и, как следствие, с недостоверностью выводов о наличии связей. Более перспективный нелинейный метод оценки связей, предложенный для исследования колебательных систем, допускающих введение фазы, основан на моделировании фазовой динамики. Однако его известный вариант ориентирован на случай длинных стационарных сигналов. Для коротких или нестационарных временных рядов получаемые с его помощью результаты не надежны, т.к. не исследованы статистические свойства итоговых оценок связи и не предусмотрена оценка статистической значимости выводов. Таким образом, для исследования взаимодействий между сложными колебательными процессами различной природы на практике требуются новые подходы, позволяющие получать физически интерпретируемые характеристики связей и применимые для исследования нелинейных систем в реалистичных постановках достаточно коротких временных рядов, нелинейных и запаздывающих связей, многих взаимодействующих систем.
Наконец, следует отметить, что теоретические идеи нелинейной динамики, на которых основаны реконструкция динамических систем, диагностика связей, решение ряда других задач, и соответствующие методы обычно тестируются на эталонных динамических системах в численном эксперименте. При этом количество работ, посвященных их приложениям для анализа реальных процессов относительно мало. Поэтому в последние годы все настойчивее интерес научного сообщества к практическим приложениям идей и методов теории колебаний и нелинейной динамики в биофизике, физиологии, науках о Земле. Таким образом, актуальность темы диссертации связана с необходимостью развития практически эффективных методов для реконструкции уравнений и диагностики взаимодействия нелинейных систем в реалистичных постановках задач, а также их востребованностью при исследовании нелинейных колебательных процессов в различных естественнонаучных областях.
Цель диссертационной работы: развитие методов реконструкции уравнений и диагностики взаимодействия нелинейных колебательных систем в условиях дефицита данных и сложности наблюдаемой динамики и их приложения для анализа колебательных процессов различной природы.
Для достижения цели решались следующие основные задачи.
1. Разработка комплекса методов, повышающих эффективность процедуры реконструкции уравнений динамики по временным рядам, включая оценку параметров хаотических систем при дефиците данных, оптимизацию модельных функций, подбор динамических переменных. Апробация развитых методов при моделировании радиотехнических и биологических систем.
RosenblumM.G., Pikovsky A.S. //Phys. Rev. E, 2001. V. 64, 045202(R).
-
Разработка и апробация комплекса методов для диагностики взаимодействия в ансамблях нелинейных колебательных систем, ориентированного на получение достоверных выводов о наличии связей и физически интерпретируемых характеристик связи по относительно коротким временным рядам.
-
Приложения развитых методов диагностики взаимодействия для исследования колебательных процессов в реальных системах различной природы, включая радиотехнические, нейрофизиологические и климатические.
На защиту выносятся следующие положения и результаты.
1) Разработанные методы оценки параметров хаотических динамических
систем по зашумленным временным рядам дают более точные результаты, чем
известные подходы. А именно, модифицированный метод множественной
стрельбы, допускающий разрывы фазовой траектории на интервале наблюде
ния, позволяет эффективно использовать сколь угодно длинные ряды и смягча
ет требования к стартовым догадкам для искомых параметров. Для одномерных
отображений использование обратного отображения при расчете целевой
функции дает оценки параметров, среднеквадратическая погрешность которых
в типичном случае уменьшается с ростом длины временного ряда N как \/N в
отличие от закона 1/л/N для подходов, основанных на сегментировании ряда.
-
Разработанный комплекс методов для реконструкции уравнений динамики расширяет возможности моделирования нелинейных колебательных систем по временным рядам. Он включает в себя приемы подбора динамических переменных на основе тестирования аппроксимируемых зависимостей на однозначность и непрерывность, оптимизации модельных уравнений за счет исключения лишних слагаемых, описания внешних воздействий за счет использования многочленов с переменными коэффициентами. По сравнению с известными подходами это позволяет получать модели с меньшим числом динамических переменных, воспроизводящие наблюдаемую динамику в более широкой области фазового пространства.
-
Предложенный метод оценки динамического эффекта воздействий по временным рядам позволяет количественно охарактеризовать, в какой степени различные свойства одного процесса зависят от других наблюдаемых процессов (факторов). Он основан на построении эмпирической модели и анализе ее динамики при искусственных изменениях рассматриваемых факторов. Это дополняет широко используемые характеристики причинности по Грейнджеру, которые позволяют выявить наличие связей между исследуемыми системами, но не дают возможности оценить степень влияния этих связей на динамику.
-
Предложенный модифицированный метод моделирования фазовой динамики, основанный на учете корреляционных свойств фазовых шумов, позволяет с заданной доверительной вероятностью делать выводы о наличии связей между двумя нелинейными колебательными системами по временным рядам длиной от двадцати характерных периодов колебаний. Метод становится более чувствительным к слабой связи, чем известные подходы (оценка частной направленной когерентности и статистика ближайших соседей в пространствах
состояний), при уменьшении коэффициентов диффузии фазы исследуемых систем и длины временного ряда.
-
Предложенные обобщения метода моделирования фазовой динамики позволяют выявлять структуру связей в ансамблях колебательных систем, получать физически интерпретируемые характеристики взаимодействий, оценивать связи, характеризующиеся нелинейностью произвольно высокого порядка, получать интервальные оценки времени запаздывания связей.
-
По эмпирическим данным за период 1856 - 2005 гг. выявлено влияние вариаций солнечной и вулканической активности и содержания углекислого газа в атмосфере на вариации глобальной приповерхностной температуры (ГПТ) с помощью оценки причинности по Грейнджеру. Согласно оценке динамического эффекта воздействий рост ГПТ в последние десятилетия объясняется эмпирической моделью только при учете в ней вариаций содержания СОг-
-
По эмпирическим данным за период с 1870 г. до начала XXI в. с помощью метода моделирования фазовой динамики и оценки причинности по Грейнджеру выявлены связи процесса Эль-Ниньо - Южное колебание (ЭНКЖ) в Тихом океане с процессами в других регионах. А именно, обнаружены и количественно охарактеризованы воздействие ЭНКЖ на Северо-Атлантическое колебание, воздействие экваториальной атлантической моды на ЭНКЖ и двунаправленная связь между ЭНЮК и индийским муссоном.
-
При анализе записей локальных потенциалов с глубинных электродов и сигналов акселерометров с помощью метода моделирования фазовой динамики и линейной и нелинейной оценок причинности по Грейнджеру выявлена двунаправленная связь между активностью субталамического ядра (структуры мозга в базальных ганглиях) и колебаниями противоположной руки при паркинсо-новском треморе. Влияние колебаний руки на активность субталамического ядра обнаруживается и линейным, и нелинейными методами. Обратное воздействие выявляется только нелинейными методами и характеризуется запаздыванием от 200 до 400 миллисекунд.
Достоверность научных выводов обусловлена теоретическим обоснованием разработанных методов реконструкции уравнений и оценки связей с позиций нелинейной динамики и математической статистики, тестированием методов на эталонных системах в численных экспериментах и установлением эмпирических критериев их применимости, согласованием результатов численных расчетов и физических экспериментов, совпадением ряда результатов с результатами других авторов. При анализе физических, физиологических и климатических процессов достоверность подтверждается также проверкой адекватности эмпирических моделей, выполнением критериев применимости методов, высокой статистической значимостью выводов согласно аналитическим оценкам и воспроизводимостью результатов.
Научная новизна результатов работы состоит в следующем.
Предложен оригинальный метод оценки параметров хаотических одномерных отображений по зашумленным временным рядам. Количественно показано, что модифицированный метод множественной стрельбы позволяет эффек-
тивно использовать для оценки параметров сколь угодно длинные хаотические ряды. Предложен и апробирован комплекс методов, повышающих эффективность реконструкции уравнений динамики нелинейных колебательных систем по временным рядам по сравнению с известными подходами.
Предложен метод оценки динамического эффекта воздействий различных факторов на исследуемый процесс, дополняющий широко используемую идею причинности по Грейнджеру. Разработан оригинальный комплекс методов для оценки связей между нелинейными колебательными системами по относительно коротким временным рядам.
На основе анализа направленных связей по эмпирическим данным выявлено и охарактеризовано воздействие различных факторов на вариации глобальной приповерхностной температуры. По эмпирическим данным выявлены связи процесса Эль-Ниньо/Южное колебание с другими крупномасштабными климатическими процессами: Северо-Атлантическим колебанием, экваториальной атлантической модой и индийским муссоном.
Впервые по эмпирическим данным выявлено воздействие субталамического ядра на колебания конечностей у пациентов с паркинсоновским тремором и получена оценка времени запаздывания этого воздействия. Показано, что в начале пик-волнового разряда у крыс линии WAG/Rij связь между ядрами таламуса и лобной корой (двунаправленная и асимметричная) резко усиливается. Показано, что автономные колебания аристы Drosophila melanogaster, вызванные введением диметилсульфоксида, адекватно описываются с помощью уравнений автогенератора с одной степенью свободы, и получены характеристики диссипации и возвращающей силы для этой системы.
Научное и практическое значение результатов работы.
В распространенной на практике ситуации, когда структура модели полностью известна из физических соображений, а все параметры и переменные имеют физический смысл, но не могут быть измерены, предложенные методы позволяют получить оценки параметров хаотических систем и восстановить временные ряды скрытых переменных.
В ситуации, когда структура модельных уравнений отчасти известна, а неизвестны входящие в них функции (характеристики объекта), которые не могут быть непосредственно измерены, предложенный метод оптимизации структуры уравнений позволяет восстановить эти характеристики по временным рядам. Он апробирован при восстановлении эквивалентных характеристик нелинейных элементов электрических цепей. Получен патент на изобретение.
В ситуации, когда структура модели неизвестна, предложенный комплекс методов для реконструкции уравнений позволяет получать модели, точнее воспроизводящие наблюдаемую динамику в широкой области фазового пространства по сравнению с известными подходами, что имеет универсальное значение для моделирования колебательных процессов различной природы.
Метод оценки динамического эффекта воздействий позволяет установить, в какой степени те или иные свойства исследуемого процесса обусловлены раз-
личными факторами, т.е. охарактеризовать важность воздействий и предсказать изменения в наблюдаемой динамике при вариации упомянутых факторов.
Предложенный комплекс методов оценки связей между нелинейными колебательными системами позволяет решать практически важные задачи диагностики структуры связей в ансамбле и оценки нелинейности и запаздывания связей по относительно коротким временным рядам с контролируемой надежностью. Последнее обстоятельство важно при нестационарности сигналов и дефиците данных, что типично в нейрофизиологии и геофизике.
Модели автономных колебаний аристы Drosophila melanogaster и полученные нелинейные характеристики значимы для биофизических исследований. Поскольку многие свойства спонтанных отоакустических излучений насекомых и позвоночных аналогичны, эти результаты должны быть востребованы при дальнейших исследованиях физики усилителя в улитке уха позвоночных.
Выявленное с помощью реконструкции уравнений деление эпилептического припадка на квазистационарные сегменты может стать основой для дальнейшего нейрофизиологического анализа, направленного на изучение и классификацию таких сегментов при различных формах эпилепсии.
Результаты анализа связей между колебаниями конечностей и активностью подкорковых структур мозга во время спонтанного паркинсоновского тремора важны для дальнейшего развития нейрофизиологических представлений о его механизме. Результаты соответствуют гипотезе о том, что исследуемые структуры мозга играют активную роль в генерации тремора. Однако представления о петле обратной связи, содержащей только линии проведения нервных сигналов в обоих направлениях, по-видимому, следует обновить.
Результаты анализа климатических данных расширяют сведения о характере связей между крупномасштабными климатическими процессами, что важно в теории климата для усовершенствования и исследования моделей земной климатической системы и построения прогнозов.
Разработанные в диссертации методы и программы используются при проведении научных исследований в Институте физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН (г. Москва). Результаты работы внедрены в учебный процесс на факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского госуниверситета. Они составили основу монографий [47,48], содержащих образовательную компоненту, предназначенную для студентов и аспирантов.
Личный вклад соискателя. Соискатель лично сформулировал рассмотренные в диссертации задачи, разработал новые методы реконструкции уравнений и оценки связей и компьютерные программы для их реализации, провел тестирование и сравнительный анализ этих методов, выполнил основную часть работ по анализу экспериментальных данных. Выбор направления исследований и интерпретация ряда результатов осуществлялись совместно с проф. Б.П. Без-ручко. Некоторые результаты по тестированию методов и анализу экспериментальных данных получены совместно с Т.В. Диканевым, М.Б. Бодровым, И.В. Сысоевым, А.С. Караваевым, B.C. Власкиным, С.С. Козленко, П.И. Наконечным. Лабораторные радиотехнические макеты для тестирования развитых ме-
тодов в физическом эксперименте разработаны Е.П. Селезневым и В.И. Поно-маренко. Постановки задач анализа нейрофизиологических и климатических данных и интерпретация соответствующих результатов осуществлены совместно со специалистами в этих областях (И.И. Мохов, P. Tass, Е.Ю. Ситникова, Е. van Luijtelaar, R. Stoop, M. Goepfert, J.-L. Perez Velazquez, R. Wennberg).
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации составили содержание докладов на всероссийских школах «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2002; 2004; 2006; 2008; 2010); международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» - ХАОС (Саратов, 1998; 2001; 2004; 2007); международных симпозиумах «Topical problems of nonlinear wave physics» (Нижний Новгород, 2003; 2005; 2008), «Topical problems of Biophotonics» (Нижний Новгород, 2007; 2009), «Nonlinear Theory and its Applications» -NOLTA (Дрезден, Германия, 2000); международных семинарах «Nonlinear Dynamics of Electronic Systems» - NDES (Борнхольм, Дания, 1999; Делфт, Нидерланды, 2001; Рапперсвиль, Швейцария, 2009), «WE Heraues Seminar» (Бад Хонеф, Германия, 2001), «PASCAL» (Лавин, Швейцария, 2005); международных конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1999; 2002; 2005; 2008), «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000), «Современные проблемы электроники СВЧ и радиофизики» (Саратов, 2001), «Synchronization of chaotic and stochastic oscillations» (Саратов, 2002), European Congress on Epileptology (Мадрид, Испания, 2002), IEEE on Circuits and Systems for Communications (Москва, 2004), «Dynamic Days» (Пальма-де-Майорка, Испания, 2004), «Идентификация систем и проблемы управления» - SICPRO (Москва, 2005), «Biomagnetism» (Ванкувер, Канада, 2006), «Nonlinear Dynamics, Chaos, and Applications» (Меллас, Крым, Украина, 2006); научно-практических конференциях «Системный анализ в проектировании и управлении» (Санкт-Петербург, 2004), «Новые технологии в экспериментальной биологии и медицине» (Ростов-на-Дону, 2007); научно-технических конференциях «Радиотехника и связь» (Саратов, 2005), «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии» (Суздаль, 2006); всероссийских симпозиумах «Медленные колебательные процессы в организме человека. Теоретические и прикладные аспекты нелинейной динамики в физиологии и медицине» (Новокузнецк, 2005; 2007); русско-японском семинаре по нейробиологии и нейродинамике «Bridging nonlinear dynamics with cellular and molecular neuroscience» (Токио, Япония, 2008); всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, 2008; 2009); научных конференциях «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006; 2007; 2008; 2009) и «Состав атмосферы. Атмосферное электричество. Климатические процессы» (Борок, 2008); школах-семинарах «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине» (Саратов, 2007; 2008; 2009); конкурсах работ молодых ученых им. И.В. Анисимкина (ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Москва, 2005; 2006; 2007).
Результаты работы многократно обсуждались на научных семинарах Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Института физики атмосферы им. A.M. Обухова (г. Москва), Института медицины и Института вычислений им. Дж. фон Неймана Исследовательского центра Юлих (Германия), Центра по анализу данных и моделированию Фрайбургского университета (Германия), научной группы нелинейной динамики Потсдамского университета (Германия), факультета эпилептологии Боннского университета (Германия), Института познания и информации Наймегенского университета (Нидерланды), университета Торонто (Канада), кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета.
Работы были поддержаны грантом Президента РФ для молодых кандидатов наук, Российским фондом фундаментальных исследований, Фондом содействия отечественной науке, Американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза (CRDF), Немецким научным фондом (DFG), ФЦНТП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники на 2002-2006 годы», программами РАН и Министерства образования и науки РФ.
По теме диссертации опубликовано 67 работ (без учета тезисов докладов), в том числе 2 монографии, 40 статей в журналах, рекомендованных ВАК, 5 статей в прочих журналах, монографиях и научных сборниках, 1 патент, 15 статей в сборниках трудов научных конференций, 4 учебно-методических пособия.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти содержательных глав, сгруппированных в три части, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 390 страниц, включая 111 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 406 наименований.
