Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сингулярные интегральные уравнения с особенностью Гильберта в теории полосковых рамочных антенн
1.1. Постановка задачи. Интегральное уравнение первого рода для конформной цилиндрической полосковой рамочной антенны... 22
1.2. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Гильберта 27
1.3. Алгоритмы решения сингулярного интегрального уравнения: метод ортогонализирующей подстановки и метод обращения интегрального оператора. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода 30
1.4. Диаграмма направленности конформной цилиндрической полосковой рамочной антенны 36
1.5. Постановка задачи. Интегральное уравнение первого рода для планарной полосковой рамочной антенны 37
1.6. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Гильберта для планарной полосковой рамочной антенны 43
1.7. Решение сингулярного интегрального уравнения для планарной полосковой рамочной антенны методом ортогонализирующей подстановки 49
1.8. Диаграмма направленности планарной полосковой рамочной антенны 56
1.9. Электродинамический анализ рамочных антенн 57
Глава 2. Системы связанных соосных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн
2.1. Постановка задачи. Система интегральных уравнений первого рода для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн 80
2.2. Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Гильберта для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн 84
2.3. Решение системы сингулярных интегральных уравнений для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн методом ортогонализирующей подстановки 85
2.4. Диаграмма направленности системы соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн 87
2.5. Постановка задачи. Система интегральных уравнений первого рода для связанных соосных планарных полосковых рамочных антенн 88
2.6. Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Гильберта для связанных соосных планарных полосковых рамочных антенн 92
2.7. Решение системы сингулярных интегральных уравнений для связанных соосных планарных полосковых рамочных антенн методом ортогонализирующей подстановки 93
2.8. Диаграмма направленности системы соосных планарных полосковых рамочных антенн 93
2.9. Численные результаты. Системы соосных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн 94
Глава 3. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши в теории конформного цилиндрического полоскового электрического вибратора
3.1. Постановка задачи. Интегральное уравнение первого рода 107
3.2. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши для конформного цилиндрического полоскового электрического вибратора 111
3.3. Решение сингулярного интегрального уравнения с особенностью Коши методом ортогонализирующеЙ подстановки 113
3.4. Решение сингулярного интегрального уравнения с особенностью Коши методом обращения интегрального оператора. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода... 116
3.5. Диаграмма направленности конформного цилиндрического полоскового электрического вибратор 118
3.6. Численные результаты 119
Глава 4. Система связанных полосковых электрических вибраторов, конформно расположенных на соосных цилиндрических поверхностях
4.1. Постановка задачи. Система интегральных уравнений первого рода 148
4.2. Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Коши для связанных конформных цилиндрических полосковых электрических вибраторов 152
4.3. Решение системы сингулярных интегральных уравнений с особенностями Коши методом ортогонализирующеЙ подстановки 154
4.4. Диаграмма направленности системы 156
4.5. Электродинамический анализ системы связанных конформных цилиндрических полосковых электрических вибраторов 157
Заключение 184
Список использованных источников
- Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Гильберта
- Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Гильберта для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн
- Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Гильберта для связанных соосных планарных полосковых рамочных антенн
- Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши для конформного цилиндрического полоскового электрического вибратора
Введение к работе
Актуальность темы. При анализе действующих антенн, а особенно при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: входного сопротивления, сопротивления излучения, диаграммы направленности (ДН) и др. Кроме того, часто необходима информация о структуре поля в ближней зоне антенны. Определение достоверных (самосогласованных) значений напряженности электрического и магнитного полей особенно актуально при решении проблем электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии.
Существующие в настоящее время программы расчета антенн на ПЭВМ (в основном зарубежного производства), основанные на общих численных методах и уравнениях Максвелла, продаются как готовый «закрытый» продукт, внутреннее содержание которого, как правило, не раскрывается. Поэтому оценка погрешности расчетов с помощью таких программ, требующих громадных затрат вычислительных ресурсов, практически невозможна. Более того, общие алгоритмы, построенные на основе общих вычислительных методов, зачастую могут быть неустойчивыми.
Задачу расчета параметров любой антенны обычно решают в два этапа. На первом этапе (внутренняя задача анализа антенны) определяют электрические или магнитные токи на некоторой виртуальной поверхности, которую в дальнейшем будем называть поверхностью излучения. На втором этапе (внешняя задача анализа антенны) по найденным токам на поверхности излучения определяют электромагнитное поле в любой точке пространства. К настоящему моменту решение внешней задачи по известному распределению токов для большинства известных излучателей особой проблемы не представляет. Почти все проблемы, связанные с построением адекватных физических и математических моделей излучающих систем, относятся к внутренним задачам анализа. В работе рассматриваются внутренние задачи анализа для одиночных и связанных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн, а также одиночного и связанных полосковых дийрдтрр^ ^пнфгірмнп расположенных на соосных цилиндрических і
Характерной особенностью большинства работ, посвященных рамочным антеннам, является использование заданных распределений тока, как вдоль антенного провода, так и по его поперечному сечению, т.е. поставленная задача является несамосогласованной. В самосогласованной постановке в [Л1] рассмотрена задача о распределении тока в рамочной антенне, находящейся в анизотропной плазме и представляющей собой бесконечно тонкую идеально проводящую узкую ленту, свернутую в кольцо. Получены приближенные сингулярные интегральные уравнения (СИУ) с логарифмическими и сингулярными ядрами, получены приближенные выражения для распределения тока и импеданса антенны, имеющие узкую область применимости. К сожалению, в [Л1] отсутствуют численные результаты. В [Л2] распределение тока по кольцевому проводнику ищется в виде ряда Фурье по азимутальным гармоникам, коэффициенты которого, зависящие от поперечной координаты, определяются из СИУ с особенностью типа Коши. В работе приведены комплексные распределения тока по кольцевому проводнику и зависимости входного сопротивления антенны от нормированного радиуса рамки.
Работ, посвященных расчету полосковых вибраторов, конформно расположенных на цилиндрической поверхности, автором найдено не было. Есть работы, посвященные расчету плоских полосковых вибраторов. В частности, в работах [ЛЗ,Л4] задача о распределении тока на вибраторе сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Здесь уместно заметить, что нахождение численных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода представляет собой некорректно поставленную задачу [Л5]. В [Лб] развит метод сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши, с помощью которых в строгой самосогласованной постановке решена задача о распределении тока по плоскому полосковому вибратору. В [Л7] предложен метод сингулярного интегрального представления электромагнитного поля, позволяющий подойти корректно к вопросам постановки задач и расчету электромагнитных полей вблизи
радиотехнических устройств (в ближних зонах).
- ,- > '
Расчет связанных электрических вибраторов производится, как правило, с помощью системы интегральных уравнений Фред-гольма первого рода [Л8.Л9].
Поэтому возникает необходимость построения строгих электродинамических и математических моделей, а также устойчивых алгоритмов решения внутренних и внешних электродинамических задач для базовых излучающих структур, таких как одиночные рамка и электрический вибратор, а также связанные рамки и электрические вибраторы. Разработка таких моделей и алгоритмов позволит создавать принципиально новые быстродействующие САПР, позволяющие рассчитывать характеристики антенн данного типа с точностью существенно превышающей максимально возможную в существующих САПР.
Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка на основе математического аппарата СИУ самосогласованных математических моделей конформных цилиндрических полосковых излучающих структур, а также устойчивых алгоритмов их решения. В диссертации рассмотрены:
цилиндрическая рамочная антенна в виде бесконечно тонкой идеально проводящей ленты, свернутой в кольцо;
планарная рамочная антенна в виде бесконечно тонкого диска с отверстием в его центре;
связанные соосные цилиндрические рамочные антенны;
связанные соосные планарные рамочные антенны;
одиночный конформный цилиндрический полосковый вибратор;
связанные конформные цилиндрические полосковые вибраторы.
Методы исследования. Основу работы составляют методы математического моделирования, математический аппарат электродинамики, математический аппарат теории СИУ, метод орто-гонализирующий подстановки, метод частичного обращения интегрального оператора, численные методы решения интегральных уравнений. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в интегрированной среде MathCad 2001.
Научная новизна диссертации:
впервые решены внутренние задачи анализа полосковых рамочных и вибраторных конформных цилиндрических антенн в строгой электродинамической и математической постановке;
для решения внутренних задач анализа рамочных антенн впервые применен математический аппарат СИУ с особенностью Гильберта;
впервые в теорию связанных конформных цилиндрических полосковых вибраторов введен математический аппарат СИУ с особенностью Коши;
исследованы распределения токов, входные сопротивления и диаграммы направленности одиночных полосковых рамочных и вибраторных конформных цилиндрических антенн;
исследовано влияние способа возбуждения (синфазного, противофазного, квадратурного) на распределения токов и диаграммы направленности связанных полосковых рамочных и вибраторных конформных цилиндрических антенн.
Обоснованность и достоверность результатов работы. Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Использованные при этом приближенные методы решения СИУ корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: сравнением полученных результатов для некоторых излучающих структур с расчетными данными, приведенными в работах других авторов, полученными с помощью других методов; исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решений. Кроме того, полученное СИУ относительно поверхностной плотности тока на полосковом вибраторе, конформно расположенном на цилиндрической поверхности в предельном случае угловой ширины равной 2л и отсутствия азимутальной зависимости переходит в известное СИУ для трубчатого электрического вибратора [Л10].
Практическая ценность работы. В работе рассмотрены внутренние и частично внешние задачи электродинамического анализа для одиночных и связанных цилиндрических и планарных 6
полосковых рамочных антенн, одиночных и связанных полоско-вых вибраторов, конформно расположенных на соосных цилиндрических поверхностях. Результаты, полученные в диссертации, имеют большое значение применительно к вопросам, связанным с практическим применением рассмотренных антенн для возбуждения и приема электромагнитных волн. В частности, разработанный в диссертации метод расчета антенн может быть обобщен на случай более сложных антенных систем: объемных спиральных антенн; плоских спиральных антенн; антенн, расположенных над границей раздела двух сред; фазированных антенных решеток и т.д. Разработанные математически обоснованные электродинамические модели конформных цилиндрических антенн могут быть использованы в задачах синтеза сложных антенных конструкций, например, антенных решеток, расположенных на поверхностях сложной формы. Предложенные алгоритмы расчета антенн могут быть использованы при разработке систем автоматизированного проектирования различных антенно-фидерных устройств.
На защиту выносятся следующие положения:
-
СИУ первого рода с ядрами Гильберта относительно производных неизвестных функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по цилиндрической и планарной полосковым рамочным антеннам, как результаты аналитических решений внутренних задач анализа для этих антенн.
-
СИУ первого рода с ядром Коши относительно производной неизвестной функции, определяющей продольное распределение поверхностной плотности тока по одиночному полосковому вибратору, конформно расположенному на цилиндрической поверхности, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этой излучающей структуры.
-
Система СИУ первого рода с ядрами Гильберта относительно производных неизвестных функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по связанным соосным полосковым цилиндрическим и планарным рамочным антеннам, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этих излучающих структур.
-
Система СИУ первого рода с ядрами Коши относительно производных неизвестных функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по связанным по-лосковым вибраторам, конформно расположенным на соосных цилиндрических поверхностях, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этой излучающей структуры.
-
Численно-аналитический алгоритм решения СИУ с ядрами Гильберта и Коши, основанный на методе ортогонализирующей подстановки.
-
Самосогласованные математические модели конформных цилиндрических полосковых излучающих структур, разработанные на основе математического аппарата теории СИУ: одиночных и связанных полосковых рамочных антенн (цилиндрических и планарных) и конформных цилиндрических полосковых вибраторов,
-
Численные результаты анализа одиночных и связанных полосковых рамочных антенн (цилиндрических и планарных) и конформных цилиндрических полосковых вибраторов: комплексные распределения тока; зависимости входных сопротивлений от их геометрических размеров; диаграммы направленности.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на IX, X, XII научных конференциях профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГАТИ (Самара, Февраль 2002, 2003, 2005); на I, II, III, IV Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2001, сентябрь 2003; Волгоград, сентябрь 2004; Нижний Новгород, октябрь 2005); на VII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2001); на IX Международной научно-технической конференции «Оптические, радиоволновые и тепловые методы и средства контроля качества материалов, промышленных изделий и окружающей среды» (Ульяновск, 2004)
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 25 работ, в том числе 11 статей и 14 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях. 8
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 126 наименований, и содержит 196 страниц текста, в том числе 89 рисунков.
Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Гильберта
Антенны являются важнейшей составляющей частью любой радиотехнической системы (РТС), в значительной степени определяющей как ее качественные показателя!, так и стоимость. Одним из самых распространенных типов излучателей являются рамочные и вибраторные антенны.
Рамочные и вибраторные антенны применяются как самостоятельнее антенны, а также часто используются в качестве составных элементов ряда сложных антенных систем. Вибраторные излучатели широко используются как элементы фазированных антенных решеток (ФАР) в метровом, дециметровом и сантиметровом диапазонах волн. Вибраторные излучатели как элементы ФАР при соответствующем выборе конструкции позволяют обеспечить работу в широкой полосе частот или в многочастотном режиме ТВ совмещенных вибраторных ФАР, которые обеспечивают электрическое сканирование лучом в достаточно широком секторе углов до ±50 от нормали. В последнее время резко возрос интерес исследователей и разработчиков к микрополосковым и полосковым антеннам. Это связано прежде всего с известными достоинствами этого класса антенн: улучшенными массогабаритными характеристиками и возможностью применения современных технологий при серийном производстве как излучателей, так и устройств возбуждения, согласования и управления характеристиками излучения. Поэтому важной задачей является анализ базовых — рамочной и вибраторной антенн — в полосковом исполнении.
Повышение эффективности антенны при одновременном снижении ее стоимости позволяет существенно улучшить технико-экономические показателя РТС в целом. Поэтому при анализе действующих антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: распределения тока по антенне, входного сопротивления, сопротивления излучения, диаграммы направленности и др. Также представляет определенный интерес знание структуры поля в ближней зоне антенны, ее характеристик направленности, уровней бокового излучения. Точное определение значений электрического и магнитного полей может быть использовано при решении проблем электромагнитной экологии.
С точки зрения проектирования антенн, одним из путей достижения этой цели является разработка строгой математической модели излучения антенны в свободном пространстве, позволяющей в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчетов, повысить точность инженерных расчетов и сократить время, затрачиваемое на их проведение. Решение данной задачи позволяет создавать антенны с улучшенными характеристиками и в то же время способствует сокращению объема работ, связанных с макетированием и экспериментальными исследованиями, что является технически весьма сложной задачей, требующей обеспечения условий излучения, близких к реальным.
Задачи анализа рамочной антенны, одиночного электрического вибратора и связанных электрических вибраторов являются базовыми в теории антенн и решение ее в строгой математической и электродинамической постановке является крайне важным.
Актуальность работы
Пристальный интерес исследователей и разработчиков к микрополосковым и полосковым антеннам связан с известными достоинствами этого класса антенн: улучшенными массогабаритными характеристиками и возможностью применения современных технологий при серийном производстве как излучателей, так и устройств возбуждения, согласования и управления характеристиками излучения. Полосковые рамочная и вибраторная антенны также относятся к этому классу антенн.
Методы расчёта характеристик полосковых и микрополосковых антенн можно условно разбить на две большие группы. Методы, относящиеся к первой группе, основаны на эвристических предположениях и не позволяют определить все необходимые характеристики антенны. Так например, в [1,2] анализ антенн проводился с помощью эквивалентных магнитных токов на проводящих поверхностях по контуру пластины. Вторая группа методов, основанная на общих численных методах и уравнениях Максвелла, имеет широкую область применимости, определяемую вычислительными ресурсами современных ЭВМ. В частности в [3] описана программа расчёта микрополосковых антенн с произвольной формой излучающих проводников. В основе алгоритма лежат известные функции Грина для элементарных металлических форм, на которые разбиваются полосковые излучатели произвольной формы. Однако в силу громадных затрат вычислительных ресурсов, оценка погрешности расчётов с помощью этих методов затруднительна. Более того, алгоритмы, построенные на основе этих методов, зачастую могут быть неустойчивыми. Оценка погрешности и вопрос об устойчивости алгоритмов, при таких подходах, как правило, остаются в стороне, т.к. в основном усилия тратятся на проведение вычислительных процедур на ЭВМ и минимум усилий на разработку математических моделей антенн, связанную с определением корректности поставленной электродинамической задачи.
Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Гильберта для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн
1. СИУ первого рода с ядрами Гильберта относительно производных некоторых функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по цилиндрической и планарной полосковым рамочным антеннам как результаты аналитических решений внутренних задач анализа для этих антенн.
2. СИУ первого рода с ядром Коши относительно производной некоторой функции, определяющей продольное распределение поверхностной плотности тока по одиночному полосковому вибратору, конформно расположенному на цилиндрической поверхности, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этой излучающей структуры.
3. Система СИУ первого рода с ядрами Гильберта относительно производных некоторых функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по связанным соосным полосковым цилиндрическим и планарным рамочным антеннам, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этой излучающей структуры.
4. Система СИУ первого рода с ядрами Копш относительно производных некоторых функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по связанным полосковым вибраторам, конформно расположенным на соосньгх цилиндрических поверхностях, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этой излучающей структуры.
5. Численно-аналитический алгоритм решения СИУ с ядрами Гильберта и Коши, основанный на методе ортогонализирующей подстановки.
6. Самосогласованные математические модели конформных цилиндрических полосковых излучающих структур, разработанные на основе математического аппарата теории СИУ: одиночных и связанных полосковых рамочных антенн (цилиндрических и планарных) и конформных цилиндрических полосковых вибраторов.
7. Численные результаты анализа одиночных и связанных полосковых рамочных антенн (цилиндрических и планарных) и конформных цилиндрических полосковых вибраторов: комплексные распределения тока; зависимости входных сопротивлений от их геометрических размеров; диаграммы направленности. Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на XII научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГАТИ (Самара, Февраль 2005); на I, II, III, IV Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2001, сентябрь 2003; Волгоград, сентябрь 2004; Нижний Новгород, 2005); на VII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2001); на IX Международной научно-технической конференции «Оптические, радиоволновые и тепловые методы и средства контроля качества материалов, промышленных изделий и окружающей среды» (Ульяновск, 2004)
Публикации По материалам диссертации опубликовано 23 работы, в том числе 13 статей и 10 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях. Содержание работы
Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.
В первой главе описаны физические модели и сформулированы основные положения электродинамики, на основе которых в диссертации построены теории цилиндрической и планарной полосковых рамочных антенн. В приближении квазистатического поперечного распределения азимутальной составляющей поверхностной плотности тока внутренние задачи анализа для этих антенн сведены к СИУ с ядрами Гильберта относительно производных некоторых функций, определяющих продольные относительно полоска распределения азимутальных составляющих поверхностных плотностей токов.
В главе разработан алгоритм решения СИУ с ядром Гильберта, основанный на методе ортогонализирующей подстановки. В результате чего процедура нахождения неизвестной функции сводится к решению СЛАУ относительно неизвестных постоянных коэффициентов в разложении ее по синусам. Приведена методика получения интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно вышеуказанной неизвестной функции, основанная на обращении интегрального оператора. Известно, что нахождение численных решений уравнений Фредгольма второго рода является корректной математической задачей. Показано, каким образом, используя найденные функции, можно определить непосредственно функции распределения поверхностных плотностей токов, самих токов, а также входные импедансы.
В главе приведены полученные с помощью вышеуказанной методики графики комплексных распределений токов, зависимости входных импедансов от нормированных на длину волны радиусов антенн, а также диаграммы направленности при различных геометрических размерах антенн.
Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Гильберта для связанных соосных планарных полосковых рамочных антенн
Под полосковым электрическим вибратором будем понимать излучатель электромагнитных волн в виде узкого проводящего ленточного проводника длиной 21, угловой шириной 2Д, конформно расположенный на цилиндрической поверхности радиуса а (рис. 3.1). Электрический вибратор возбуждается гармонической во времени ехр(/со?) распределенной сторонней ЭДС, приложенной в области разрыва шириной 26. Под воздействием ЭДС внешнего генератора, в антенне возникает электрический ток, который распределяется по поверхности таким образом, что создаваемое им электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла в свободном пространстве, граничным условиям на поверхности проводника и условию излучения на бесконечности.
При расчетах будем использовать следующую физическую модель полоскового электрического вибратора, подобную той, что использовалась в предыдущих главах: - полосковый проводник, предполагается достаточно узким з2Д ?с/, X (X — длина волны в свободном пространстве), так что азимутальной составляющей поверхностной плотности электрического тока г пренебрегаем по сравнению с продольной г\1; - полосковый проводник считается идеально проводящим, при этом продольная составляющая поверхностной плотности электрического тока ЧІ (ф г) вместе с эквивалентной поверхностной плотностью магнитного тока г (ф,г) в зазоре заменяется некоторой эквивалентной поверхностной плотностью электрического тока Гг (ф,г), непрерывной в области зазора; - касательная составляющая вектора напряженности электрического поля 7(tp,z) на полосковом проводнике обращается в нуль всюду, кроме области зазора, где она приравнивается некоторой сторонней возбуждающей функции e(q ,z). - эквивалентная поверхностная плотность электрического тока обращается в ноль на концах вибратора Tiz(cp,z = ±/)-0. Для данной излучающей структуры также как и в предыдущих главах справедливо уравнение (1.1). Переходя в цилиндрическую систему координат, в рамках принятой физической модели касательная составляющая электрического поля Е, на поверхности антенны (р = а) выражается через продольную составляющую А, векторного электродинамического потенциала А [85]: /ШЕА = Ч+ Г- (3.1) OZ На поверхности ленточного проводника (р = #) справедливо граничное условие: .=-f((p,Z) = {f(tP7)Tl AW A "
Составляющая векторного электродинамического потенциала А, связана с эквивалентной продольной составляющей поверхностной плотности электрического тока т]г(ф,г) выражением: д / А2 = а J тіДф ,гг)С(ф,2;ф ,2 ) г/ф (3.3) где функция Грина С(р-#,ф,г;р = а,ф ,2 ) для свободного пространства в цилиндрической системе координат имеет вид [85]: 109 0(4,, ,/) = - ± e-"" " »]e- 4 --V„(va)W«(va)dA, (3.4) OKI т=_Я1 „j, где v = -Nh2 -к2, Jm(va) — функция Бесселя первого рода порядка т, где Нт (va) — функция Ханкеля второго рода порядка т. Для узких полосок поперечное распределение продольной (по отношению к полоску) компоненты эквивалентной поверхностной плотности электрического тока Ti2((p,z) в первом приближении можно считать квазистатическим [86]: /НФМ) где f(z) — неизвестная функция, характеризующая продольное распределение поверхностной плотности тока.
Подставляя (3.3) с учетом (3.5) в (3.1) и выполняя дифференцирование, получаем при р = 0 (исходное соотношение (3.1) справедливо для любых фє[-А,Д]) следующее интегральное уравнение (ИУ) первого рода относительно неизвестной функции f{z)\
Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши для конформного цилиндрического полоскового электрического вибратора
Под системой связанных полосковых электрических вибраторов будем понимать систему из N излучателей электромагнитных волн в виде узких проводящих ленточных проводников длиной 21, угловой шириной 2ДП, конформно расположенных на соосных цилиндрических поверхностях радиуса ап (рис. 3.1). Вибраторы разнесены друг относительно друга на угол & ; и = 1,2,..., TV, p = l,2,...,N — номера вибраторов Электрические вибраторы возбуждаются гармоническими во времени ехр(/со/) распределенными сторонними ЭДС, приложенными в областях разрыва шириной 2Ьп. Под воздействием ЭДС внешних генераторов, в антеннах возникают электрические токи, которые распределяется по поверхностям таким образом, что создаваемое ими электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла в свободном пространстве, граничным условиям на поверхности проводника и условию излучения на бесконечности.
При расчетах будем использовать такую же физическую модель полоскового электрического вибратора, какая использовалась в предыдущей главе.
Для данной излучающей структуры также как и в предыдущих главах справедливо уравнение (1.1). Переходя в цилиндрическую систему координат, в рамках принятой физической модели касательная составляющая электрического поля Ег на
Таким образом, задача о распределении поверхностной плотности тока в системе N связанных полосковых электрических вибраторов, конформно расположенных на цилиндрической поверхности сведена к системе СИУ первого рода с ядром Коши.
Решение системы сингулярных интегральных уравнений с особенностями Коши методом ортогонализирующей подстановки Решение системы СИУ будем искать в виде: Итак, мы получили систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), относительно неизвестных коэффициентов Anv. Теперь по известным производным /, (/) несложно определить функции f„(t): Диаграмма направленности системы Для определения диаграммы направленности необходимо определить поле излучения в дальней зоне антенны. В данном случае электрическое поле в дальней зоне будет иметь лишь одну составляющую Ее, равную
Электродинамический анализ системы связанных конформных цилиндрических полосковых электрических вибраторов В качестве примера методом ортогонализирующей подстановки были рассчитаны распределения тока 1,п (/) вдоль двух связанных вибраторов. Ток определялся по формуле: ио=«Л ЪЛ У С) і /n{t) а ?=амт- с4-24) Ф„-Д ф д 1_((ф-фп)/А) При расчетах профиль стороннего поля в зазоре представлялся в виде следующей функции: =,( ) \o,\t-l0/l\ bp/h На рис. 4.2-4.19 представлены распределения токов на двух связанных вибраторах при различных геометрических размерах и различных типах возбуждения. На рис. 4.20-4.26 представлены нормированные диаграммы направленности системы двух вибраторов в плоскости XY (азимутальной) и XI (мериди анальной) при различных геометрических размерах и различных типах возбуждения. Диаграммы направленности для двух полуволновых симметричных конформных цилиндрических полосковых вибраторов для случаев синфазного и противофазного возбуждений совпадают с диаграммами направленности системы двух тонких симметричных электрических вибраторов, представленных в [94]. Есть небольшое различие лишь в случае квадратурного возбуждения, которое, на наш взгляд, является следствием учета в данной работе взаимного влияния вибраторов на распределения токов, которого нет в работе [94].
Таким образом, предложенный метод в рамках принятой физической модели позволил свести задачу расчета поверхностной плотности тока в системе полосковых электрических вибраторов, конформно расположенных на соосных цилиндрических поверхностях, к системе СИУ с ядрами Коши. Данный подход позволил обойти типичную некорректность в теории антенн: задачу нахождения численных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода.
