Содержание к диссертации
Введение
1. Разработка электродинамических моделей явлений и процессов, связанных с излучением двумерных проводящих структур 19
1.1. Физическая интерпретация и формализация сторонних источников в электродинамических задачах, сводимых к интегральным уравнениям. 19
1.1.1. Задача дифракции электромагнитных волн. Потенциалы. Сторонние источники 19
1.1.2. Граничные условия. Постановка краевой задачи 21
1.1.3. Интегральное уравнение в теории антенн 23
1.2. Общие принципы построения физических и математических моделей двумерных излучающих структур 25
1.2.1. Постановка задачи 25
1.2.2. Вывод исходных уравнений 26
1.3. Выводы по разделу 1 31
2. Разработка алгоритмов решения двумерных интегральных уравнений относительно распределения поверхностной плотности тока на зеркалах различной конфигурации 33
2.1. Общие подходы к решению интегральных уравнений второго рода на двумерных проводящих структурах 33
2.1.1. Метод моментов 34
2.1.2. Приближенные методы 39
2.2. Применение различных базисов к аппроксимации токовых функций на проводящих поверхностях 49
2.2.1. Системы базисных функций полной области 50
2.2.2. Системы базисных функций подобластей 52
2.3. Численное решение сформулированной электродинамической задачи 58
2.4. Выводы по разделу 2 61
3. Расчет распределения поверхностной плотности тока на зеркалах различной конфигурации 62
3.1. Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элемен тарным излучателем на идеально проводящий плоский экран 62
3.1.1. Вертикальный элементарный электрический излучатель (ЭЭИ) 67
3.1.2. Горизонтальный элементарный электрический излучатель (ЭЭИ) 76
3.1.3. Вертикальный элементарный магнитный излучатель (ЭМИ) 82
3.1.4. Горизонтальный элементарный магнитный излучатель (ЭМИ) 88
3.2. Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболического цилиндра .93
3.2.1. Вертикальный ЭЭИ 94
3.2.2. Горизонтальный ЭЭИ 96
3.2.3. Вертикальный ЭМИ 97
3.1.1. Горизонтальный ЭМИ 101
3.3. Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболоида вращения 105
3.4. Выводы по разделу 3 112
4. Исследование электромагнитных полей реальных излучающих структур 113
4.1. Расчет распределения тока на зеркале параболической антенны при различных распределениях возбуждения 113
4.2. Определение характеристик излучения параболической антенны (определение пространственной характеристики направленности и ее огибающей) 117
4.3. Расчет диаграммы направленности параболической антенны 126
4.4. Выводы по разделу 4 130
Заключение 132
Список литературы 133
- Задача дифракции электромагнитных волн. Потенциалы. Сторонние источники
- Применение различных базисов к аппроксимации токовых функций на проводящих поверхностях
- Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболического цилиндра
- Определение характеристик излучения параболической антенны (определение пространственной характеристики направленности и ее огибающей)
Введение к работе
Антенны являются важнейшей составляющей частью любой радиотехнической системы (РТС), в значительной степени определяющей как ее качественные показателя, так и стоимость. Наиболее распространенным типом направленных антенн в сантиметровом, дециметровом и отчасти метровом диапазонах волн являются зеркальные антенны.
Зеркальные антенны, применяемые в радиолокационных системах, позволяют легко получить равносигнальную зону, допускают одновременное формирование суммарных и разностных диаграмм направленности общим зеркалом. Отдельные типы зеркальных антенн могут обеспечивать достаточно быстрое качение луча в значительном секторе углов. Такой тип антенн является наиболее распространенным в космической связи и радиоастрономии.
Широкое использование данного вида антенн объясняется следующими факторами:
простотой конструкции;
возможностью получения почти любого применяемого типа диаграммы направленности;
высоким к.п.д.
хорошими диапазонными свойствами.
При анализе действующих зеркальных антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения следующих параметров: распределения поверхностной плотности тока по зеркалу, диаграммы направленности, гарантированной огибающей и др.
С точки зрения проектирования антенн, одним из путей достижения этой цели является разработка строгой математической модели излучения антенны в свободном пространстве, позволяющей в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчетов, повысить точность инженерных расчетов и сократить время, затрачиваемое на их проведение. Решение данной задачи позволяет создавать антенны с улучшенными характеристиками и в то же время способствует сокращению объема работ, связанных с
макетированием и экспериментальными исследованиями, что является технически весьма сложной задачей, требующей обеспечения условий излучения, близких к реальным.
Задачи анализа излучения зеркальных антенн в форме параболоида вращения, параболического цилиндра, идеально проводящего плоского экрана, облучаемых элементарными излучателями, являются базовыми в теории антенн и решение их в строгой математической и электродинамической постановке является крайне важным.
Актуальность работы
При моделировании различных антенных устройств большое значение имеют задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях. Поэтому интерес к теории дифракции электромагнитных волн резко вырос за последнее время. Данная теория превратилась в самостоятельную область, в которой работает большое число ученых различных специальностей: математики, математической физики, вычислительной математики, радиофизики, специалисты в области антенн, радиолокации, техники СВЧ, распространения радиоволн и др. [1,6,7,8,22,31,42,52,54,56,61,62,63,67,74,75,79-88,91-99,113,129,136,141,150].
Под задачей дифракции понимают задачу определения влияния рассматриваемого объекта на структуру электромагнитного поля. При исследовании дифракции радиоволн на реальных объектах возникают сложные задачи электродинамики, решение которых сопряжено с большими математическими трудностями и практически осуществимо только на основе построения математических моделей реальных объектов. В настоящее время существует некоторая система математических моделей, в большей или меньшей степени соответствующих реальной ситуации [42,63,97,137]. При постановке дифракционной задачи делают ряд упрощающих предположений: ограничиваются исследованием дифракции монохроматических полей, пренебрегают
влиянием соседних тел, считают окружающее пространство безграничным и заполненным однородной изотропной средой, металлические объекты считают идеально проводящими, максимально упрощают форму объекта.
Задача дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой поверхности допускает аналитическое решение на основе классических методов лишь в ограниченном числе случаев, когда рассматриваемая поверхность полностью совпадает с какой-либо координатной поверхностью системы координат, допускающей разделение переменных в уравнении Гельмгольца. В данном случае иногда удается получить решение в замкнутом виде, выраженное через известные функции (Драбкин А.Л., Зузенко В.Л. [61]). Например, решение в замкнутой форме задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей полуплоскости представлено в работах Гринберга [51].
Для нахождения решения задачи, заданной на незамкнутой поверхности более сложной формы (например, параболоид вращения или параболический цилиндр) метод Фурье и его обобщения непосредственно не применимы. Поэтому для решения таких задач применяются асимптотические методы: геометрическая оптика, физическая оптика, геометрическая теория дифракции, метод краевых волн, метод теневых токов и др. [42,62,96-98,129]. Данные методы имеют общий недостаток: до сих пор нерешен вопрос о точности асимптотического решения и границах его применимости (Фрадин А.З. [137]). Этот факт заставляет искать новые пути решения задач дифракции радиоволн. Один из таких методов - численный анализ задач дифракции [42,63].
Разработка численных методов решения задач дифракции открыла широкие возможности для анализа влияния поверхностей произвольной конфигурации на структуру электромагнитного поля. При этом возникла проблема создания общих вычислительных алгоритмов, позволяющих исследовать широкий класс задач. Методы, разработанные на основе применения различного математического аппарата [63], жестко связаны с определенными клас-
сами незамкнутых поверхностей и неприменимы для поверхностей произвольной формы. В этом отношении универсальным математическим аппаратом являются интегро-дифференциальные уравнения, которые позволяют подойти с единых позиций к анализу дифракции радиоволн на поверхностях произвольной формы.
Граничные задачи электродинамики допускают сведение к интегральным уравнениям различной размерности и различного типа.
Еще В.Д. Купрадзе в 50-х годах свел плоские задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих цилиндрических телах к одномерным интегральным уравнениям второго рода [63]. В. А. Фоком в 70-х годах было получено векторное интегральное уравнение для задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящем трехмерном теле относительно плотности электрического тока [136], наводимого на теле падающей волной. Примерно в то же время К. Мюллером та же задача была сведена к векторному интегральному уравнению по поверхности тела относительно плотности магнитного тока, были сформулированы условия, однозначные разрешимости интегральных уравнений, и доказаны теоремы существования и единственности. Интегральные уравнения имеют меньшую размерность, чем краевая задача, и универсальны по отношению к форме тела [63]. Они оказались удобными для построения численных методов решения задач дифракции. Например, алгоритмы решения задач дифракции для трехмерных тел, обладающих симметрией вращения, представлены в работах Е.Н. Васильева [44-46]. В данных работах задачи сводились к системе одномерных интегральных уравнений, которые получались из уравнений Фока и Мюллера. Однако данные алгоритмы приводят к довольно большому объему вычислений.
Проблемы возникают при численном исследовании задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях. Применением формулы Грина или ее векторных аналогов эту задачу можно свести к векторному интегро-дифференциальному уравнению первого рода.
В общем случае алгоритмизация таких уравнений наталкивается на значительные трудности, связанные с необходимостью аппроксимации дифференциального оператора, удовлетворения условий на контуре, ограничивающем поверхность, и неустойчивостью решения интегральных уравнений первого рода с вполне непрерывным оператором [22,63,96-98]. Один из возможных путей преодоления указанных трудностей состоит в преобразовании ин-тегро-дифференциального уравнения к интегральным уравнениям Фредголь-ма второго рода [42,63].
Общая процедура решения граничной задачи для трехмерной области состоит в сведении трехмерной задачи к двумерной путем замены неизвестных функций, заданных в некотором объеме, неизвестными функциями, заданными на некоторой поверхности. Таким образом, вместо решения простого на вид волнового уравнения с очень сложными граничными условиями мы выражаем искомое решение через неизвестные функции, заданные на двумерной поверхности. Такой подход является более общим, чем непосредственное решение волнового уравнения, хотя он и приводит к интегральным уравнениям, которые, более трудны для решения.
Итак, преимущества данного подхода очевидны:
появляется возможность отказаться от специальных систем координат;
отпадает необходимость выбирать среди всех возможных решений дифференциального уравнения частное решение, удовлетворяющее данной задаче;
уменьшаются ограничения, накладываемые на неизвестные функции (они должны лишь удовлетворять интегральному уравнению).
Однако трудности возникают при решении непосредственно самих двумерных интегральных уравнений.
Самыми распространенными методами численного решения интегральных уравнений являются различные модификации известного метода моментов. Наиболее полное описание данного метода применительно к элек-
тродинамическим задачам представлено в работе Р.Ф. Харрингтона [146]. Кроме того, описание численных методов решения интегральных уравнений можно встретить в работах Бахвалова Н.[25], Завьялова Ю.С., Квасова Б.И., Мирошниченко В.Л. [66], а также в ряде других работ [39,40,41,42,50,89,90,118,119,120].
Однако даже самые большие ЭВМ еще в конце прошлого века не обладали достаточной мощностью. Этот факт давал некоторые ограничения при решении задач дифракции, сводимых к двумерным интегральным уравнениям Фредгольма. Порядок матриц импедансов, получаемых при дискретизации данных уравнений в методе моментов, был неприемлемо велик, поэтому система полученных уравнений решалась довольно долго. Данные задачи решались при помощи численных методов путем уменьшения порядка матриц, используя некоторый математический аппарат [38,42,101]. В частности подобный подход к решению задачи описан в работах Poggio A. I., Mayes Р. [150], где исходя из некоторого физического смысла предлагается понизить порядок интегрирования в уравнении. В работах Е.В. Захарова и Ю.В. Пименова [63] также приводится метод решения задачи дифракции на поверхностях вращения, где задача сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Однако в данных трудах не приведены результаты численных расчетов.
В последние годы возможности для решения двумерных задач дифракции существенно расширились: во - первых, увеличилась мощность вычислительных машин, во - вторых, появился новый математический аппарат пригодный для решения задач такого класса (например, разработан новый класс базисных функций - вейвлеты [139]).
Вейвлет-функции появились сравнительно недавно, в середине 80-х годов, и завоевали популярность в связи с рядом преимуществ перед классическими ортогональными системами функций, включая тригонометрические полиномы, ряды Фурье, алгебраические полиномы, для широкого круга задач. Математическая теория wavelet-систем была описана в работах
[18,32,43,59,99,100,139,144,147]. Если использовать вейвлет-функции в качестве базисных, то матрицы линейных систем, возникающих при дискретизации интегральных уравнений, оказываются псевдоразреженными (т.е. близкими к разряженным матрицам [101]). Это обстоятельство делает перспективным применение wavelet-систем для численного решения многомерных интегральных уравнений. Методы работы с псевдоразреженными матрицами широко отражены в трудах Блатова И.А.[2б-28].
Кроме того, все описанные методики встречаются в литературе в последнее время в основном для решения задач дифракции, сводимых к одномерным интегральным уравнениям. Методы решения подобных уравнений, например, рассмотрены в работах Неганова В.А., Нефедова Е.И, Матвеева И.В. [91-94]. Анализ решения задач такого класса приведен в работах Юдина В.В.[141].
Однако практически нигде не присутствуют оценки эффективности существующих алгоритмов и четкие разработки методик, соответствующие современному развитию науки и техники, направленные на решение задач дифракции, сводимых к двумерным интегральным уравнениям.
Итак, в свете научно - технического прогресса в таких областях, как математика и информатика появились новые возможности для решения задач о дифракции электромагнитных волн. Поэтому проблема достаточно актуальна в настоящее время.
Данная диссертационная работа посвящена изучению некоторых методов решения задач дифракции, сравнения их по сложности и быстродействию алгоритма, выбору оптимального базиса. В работе приводится расчет некоторых модельных задач (распределение тока на идеально проводящем плоском экране, на зеркалах в формах параболоида вращения и параболического цилиндра с источниками в виде элементарных излучателей). Кроме того, в работе присутствует расчет некоторых реальных электродинамических задач: расчет нормального распределения тока на зеркале параболической антенны, а также диаграммы направленности и гарантированной огибающей.
Цель работы.
Целью диссертационной работы является разработка математических моделей двумерных идеально проводящих излучающих структур на основе математического аппарата двумерных интегральных уравнений, а также разработка нового эффективного алгоритма решения двумерных интегральных уравнений, к которым сводятся внутренние электродинамические задачи для данных излучающих структур. В диссертации рассмотрены:
идеально проводящий плоский экран;
зеркало в форме параболического цилиндра;
зеркало в форме параболоида вращения,
возбуждаемые элементарным электрическим излучателем (ЭЭИ) и элементарным магнитным излучателем (ЭМИ).
Основные задачи работы:
разработка экспериментальных алгоритмов для решения задачи об излучении двумерной идеально проводящей структуры различными методами: методом Галеркина с использованием базиса полной области (двумерный ряд Фурье), методом Галеркина с использованием базисов подобластей (сплайнового и вейвлет - базиса);
разработка метода решения задачи поверхностного распределения тока, наводимого элементарным излучателем на идеально проводящий плоский экран;
разработка метода решения задачи поверхностного распределения тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболического цилиндра;
разработка метода решения задачи поверхностного распределения тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболоида вращения.
Методы исследования
В работе использованы методы вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений в частных производных, функционального анализа, дифференциальной геометрии, вычислительной электродинамики.
Численные эксперименты реализованы на ЭВМ в среде визуального программирования Delphi. Также были использованы пакеты Mathematica, Excel.
Научная новизна диссертации
Разработана методика анализа излучения двумерных проводящих структур, возбуждаемых ЭЭИ и ЭМИ, с применением численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, имеющей смысл граничного условия для тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности, образующей структуру;
Разработан алгоритм численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом Галеркина с использованием в качестве базиса полной области двумерного ряда Фурье;
При помощи разработанной методики получен ряд численных результатов анализа характеристик излучения двумерных проводящих структур с внешним возбуждением различной конфигурации (плоский экран, зеркало в форме параболического цилиндра, зеркало в форме параболоида вращения), а именно графики распределения поверхностной плотности тока на данных структурах.
Обоснованность и достоверность результатов работы
Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Вывод непосредственно интегральных
уравнений корректен с формальной математической точки зрения. Используемый численный метод решения интегральных уравнений получен на основе классических описанных в литературе методов [42,44,101]. Контроль результатов осуществлялся: исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решений.
Практическая ценность работы
Результаты, полученные в диссертации, имеют большое значение применительно к вопросам, связанным с практическим применением рассмотренных антенн для излучения и приема электромагнитных волн. В частности, разработанный в диссертации метод расчета может быть обобщен на случай более сложных зеркальных антенн. Разработанные математически обоснованные электродинамические модели двумерных проводящих структур могут быть использованы в задачах синтеза сложных антенных конструкций. Полученные результаты могут быть использованы как справочные данные при проектировании зеркальных антенн. Предложенные алгоритмы расчета антенн могут быть использованы при разработке систем автоматизированного проектирования различных антенно-фидерных устройств.
Положения, выносимые на защиту:
1. Методика анализа излучения двумерных идеально проводящих структур, возбуждаемых ЭЭИ и ЭМИ, с применением численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, включающая:
формальное представление сторонних источников в рамках сформулированной электродинамической задачи;
алгоритм преобразования координат и специализации уравнений в задачах об излучении структур различного вида - в виде плоских экранов, зер-
кал в форме параболического цилиндра, зеркал в форме параболоида вращения;
Результаты исследования влияния вида базисных функций на показатели эффективности алгоритма численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Эффективный алгоритм численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом Галеркина с использованием в качестве базиса полной области двумерного ряда Фурье;
Результаты расчета распределения поверхностной плотности тока на двумерных проводящих структурах различной конфигурации (в виде плоских экранов, зеркал в форме параболического цилиндра, зеркал в форме параболоида вращения) с внешним возбуждением.
Апробация работы
Основные результаты по теме диссертационного исследования опубликованы в сборниках докладов XI,XII,XIII,XIV и XV Всероссийских научных конференций профессорско - преподавательского ПГАТИ (Самара, 2004 г., 2005 г., 2006 г., 2007 г., 2008 г. соответственно), в сборниках трудов II, III, IV Всероссийских научных конференций «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005 г. 2006 г., 2007г. соответственно), в сборниках трудов V и VI Международных научно-технических конференций «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2006 г. и Казань, 2007 г.), VII и VIII Международных научно-методической конференциях «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций» (Самара, 2006 г. и Уфа, 2007 г.), а сборнике материалов воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна, (Воронеж, 2008 г.), в сборнике материалов воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач», (Воронеж, 2008 г.)
Публикации
По тематике диссертационных исследований автором опубликовано 15 печатных работ. Основные научные и прикладные результаты опубликованы в 4 статьях в периодических научных изданиях, два из которых включены в перечень ВАК, и в 11 публикациях в форме тезисов докладов, 3 на российских и 8 на международных конференциях и семинарах.
Содержание работы
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы.
Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.
Первая глава диссертации посвящена выводу уравнений для решения двумерных задач дифракции. В данном разделе показан классический вывод различных задач дифракции и, как следствие интегральных уравнений. Кроме того, отмечены особенности для уравнений, к которым сводятся задачи диссертационного исследования. Т.е. показано, как исходная задача может быть сведена к системе интегральных (интегро-дифференциальных) уравнений (ИУ), относительно поверхностной плотности тока или тангенциальных компонент суммарных электрического или магнитного полей
Во второй главе сравниваются различные методы решения задачи дифракции и, как следствие интегро-дифференциальных уравнений и их систем. В частности, приводится сравнительная характеристика различных модификаций метода моментов: метода Галеркина, метода наименьших квадратов, метода базисных функций полной области, метода сшивания по точкам,
метода базисных функций подобластей. Данная характеристика сведена в таблицу. Также, в главе присутствует описание различных систем базисных функций и сделаны выводы по целесообразности использования той или иной системы для решения задач диссертационного исследования. Кроме того, в главе описывается оригинальный вейвлет — базис и прогнозируется круг задач, для которых будет эффективно его использование. В итоге, в данном разделе разработан алгоритм для решения двумерных задач дифракции. Был сделан вывод по эффективности использования в качестве базиса разложение в двумерный ряд Фурье и нецелесообразности использования в качестве базисов для решения задач диссертационного исследования сплайновых функций и вейвлет.
Третья глава посвящена непосредственно численному моделированию задач электродинамики разработанными методами. В главе приведены решения модельных задач распределения поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркала различной конфигурации. Задача решена на идеально проводящем плоском экране, на зеркале в форме параболического цилиндра, на зеркале в форме эллиптического параболоида. В конце раздела сделаны выводы по эффективности разработанного алгоритма для решения задач такого класса.
Четвертая глава посвящена исследованию электромагнитных полей реальных излучающих структур. Здесь приведен расчет распределения поверхностной плотности тока на зеркале параболической антенны при различных распределениях возбуждения. Кроме того, часть раздела посвящена описанию алгоритма, который ускоряет процесс интегрирования быстро осциллирующих функций, что позволяет существенно сократить время расчета одних из важнейших характеристик при антенном моделировании, диаграммы направленности и гарантированной огибающей. В разделе приведены результаты расчета нормированного распределения тока, диаграммы направленности и гарантированной огибающей для параболической антенны с излучателем в виде открытого конца волновода.
В заключении сформулированы основные научные и научно-практические результаты работы.
Итогом работы является разработка методов расчета нормированного распределения тока, диаграммы направленности и гарантированной огибающей эффективных для задач диссертационного исследования. Предполагается, что данные методики дадут основу для дальнейших исследований по решению двумерных задач дифракции.
Отмечено, что метод, разработанный в процессе данного исследования, отвечает следующим требованиям:
алгоритм метода прост для реализации на ЭВМ;
поставленная задача решается за короткое время;
результат вполне соответствует физическим представлениям о нем и пригоден для дальнейшего использования.
Задача дифракции электромагнитных волн. Потенциалы. Сторонние источники
Основные результаты по теме диссертационного исследования опубликованы в сборниках докладов XI,XII,XIII,XIV и XV Всероссийских научных конференций профессорско - преподавательского ПГАТИ (Самара, 2004 г., 2005 г., 2006 г., 2007 г., 2008 г. соответственно), в сборниках трудов II, III, IV Всероссийских научных конференций «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005 г. 2006 г., 2007г. соответственно), в сборниках трудов V и VI Международных научно-технических конференций «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2006 г. и Казань, 2007 г.), VII и VIII Международных научно-методической конференциях «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций» (Самара, 2006 г. и Уфа, 2007 г.), а сборнике материалов воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна, (Воронеж, 2008 г.), в сборнике материалов воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач», (Воронеж, 2008 г.)
По тематике диссертационных исследований автором опубликовано 15 печатных работ. Основные научные и прикладные результаты опубликованы в 4 статьях в периодических научных изданиях, два из которых включены в перечень ВАК, и в 11 публикациях в форме тезисов докладов, 3 на российских и 8 на международных конференциях и семинарах.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы.
Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.
Первая глава диссертации посвящена выводу уравнений для решения двумерных задач дифракции. В данном разделе показан классический вывод различных задач дифракции и, как следствие интегральных уравнений. Кроме того, отмечены особенности для уравнений, к которым сводятся задачи диссертационного исследования. Т.е. показано, как исходная задача может быть сведена к системе интегральных (интегро-дифференциальных) уравнений (ИУ), относительно поверхностной плотности тока или тангенциальных компонент суммарных электрического или магнитного полей
Во второй главе сравниваются различные методы решения задачи дифракции и, как следствие интегро-дифференциальных уравнений и их систем. В частности, приводится сравнительная характеристика различных модификаций метода моментов: метода Галеркина, метода наименьших квадратов, метода базисных функций полной области, метода сшивания по точкам, метода базисных функций подобластей. Данная характеристика сведена в таблицу. Также, в главе присутствует описание различных систем базисных функций и сделаны выводы по целесообразности использования той или иной системы для решения задач диссертационного исследования. Кроме того, в главе описывается оригинальный вейвлет — базис и прогнозируется круг задач, для которых будет эффективно его использование. В итоге, в данном разделе разработан алгоритм для решения двумерных задач дифракции. Был сделан вывод по эффективности использования в качестве базиса разложение в двумерный ряд Фурье и нецелесообразности использования в качестве базисов для решения задач диссертационного исследования сплайновых функций и вейвлет.
Третья глава посвящена непосредственно численному моделированию задач электродинамики разработанными методами. В главе приведены решения модельных задач распределения поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркала различной конфигурации. Задача решена на идеально проводящем плоском экране, на зеркале в форме параболического цилиндра, на зеркале в форме эллиптического параболоида. В конце раздела сделаны выводы по эффективности разработанного алгоритма для решения задач такого класса.
Четвертая глава посвящена исследованию электромагнитных полей реальных излучающих структур. Здесь приведен расчет распределения поверхностной плотности тока на зеркале параболической антенны при различных распределениях возбуждения. Кроме того, часть раздела посвящена описанию алгоритма, который ускоряет процесс интегрирования быстро осциллирующих функций, что позволяет существенно сократить время расчета одних из важнейших характеристик при антенном моделировании, диаграммы направленности и гарантированной огибающей. В разделе приведены результаты расчета нормированного распределения тока, диаграммы направленности и гарантированной огибающей для параболической антенны с излучателем в виде открытого конца волновода. В заключении сформулированы основные научные и научно-практические результаты работы.
Итогом работы является разработка методов расчета нормированного распределения тока, диаграммы направленности и гарантированной огибающей эффективных для задач диссертационного исследования. Предполагается, что данные методики дадут основу для дальнейших исследований по решению двумерных задач дифракции.
Отмечено, что метод, разработанный в процессе данного исследования, отвечает следующим требованиям: - алгоритм метода прост для реализации на ЭВМ; - поставленная задача решается за короткое время; - результат вполне соответствует физическим представлениям о нем и пригоден для дальнейшего использования.
Применение различных базисов к аппроксимации токовых функций на проводящих поверхностях
При решении ряда прикладных задач электродинамики и теории антенн часто возникает проблема анализа электромагнитного поля, рассеянного проводящими телами, расположенными в непосредственной близости излучающей системы. К подобным задачам относятся задачи расчета ближних полей апертурных антенн, а также учета влияния подстилающей поверхности и иных материальных тел, расположенных вблизи антенны, таких как затеняющие металлоконструкции, импедансные структуры и т.п. При этом в ряде случаев рассеивающие тела могут быть представлены как тонкие проводящие поверхности ограниченных размеров (см. рисунок 1.3).
Явление рассеяния электромагнитного поля тонким телом может быть исследовано либо как краевая задача для неоднородного уравнения Гельм-гольца [96], либо исходная задача может быть сведена к системе интегральных (интегро-дифференциальных) уравнений (ИУ), относительно плотности поверхностного тока или тангенциальных компонент суммарных электрического или магнитного полей (см. рисунок 1.3). Система ИУ может быть получена из интегральных соотношений для векторного или скалярного потенциалов вторичного поля.
Для решения подобных внешних электродинамических задач весьма широко применяется метод ИУ [42,63], поскольку в отличие от внутренних задач, в данном случае известны выражения для функций Грина в замкнутой форме [63].
В рамках метода ИУ в некоторой точке наблюдения поле определяется интегральным выражением, где подынтегральная функция, включающая искомую функцию распределения тока (токовую функцию), имеет смысл поля, создаваемого элементом поверхности, на которой распределен ток. Перемещение точки наблюдения по этой поверхности при требовании выполнения соответствующего граничного условия, позволяет определить токовую функцию, удовлетворяющую ИУ.
Так в [42] предложен метод, позволяющий свести задачу рассеяния электромагнитного поля произвольной конфигурации на идеально проводящей поверхности произвольных очертаний к системе интегральных уравнений относительно плотности поверхностного тока, наведённого на этой поверхности. В настоящей работе данный метод применён к выводу интегральных уравнений для случаев вертикального и горизонтального элементарных электрических и магнитных излучателей, расположенных вблизи идеально проводящего экрана. Основанием для такого выбора базового источника излучения служит то обстоятельство, что любой, сколь угодно сложной конфигурации источник может быть приставлен суперпозицией элементарных излучателей, различным образом ориентированных в пространстве.
Пусть элементарный излучатель находится в точке с координатами (x\y ,z ) (рисунок 1.4), вблизи проводящего тела. Амплитуда тока, возбуждающего излучатель і, длина излучателя /. Здесь и далее штрихованные координаты обозначают точки источников первичного поля Геометрические параметры задачи очевидны из рисунка 1.4. Длина радиус-вектора точки наблюдения: Расстояние от начала координат до точки на экране определяется длиной радиус-вектора точки на поверхности экрана: При выводе ИУ воспользуемся граничным условием для магнитного поля [42] на поверхности проводящего тела: где HTQ и Hjg, соответственно тангенциальные компоненты вектора напряженности первичного магнитного поля и поля рассеяния на поверхности S. Для тангенциальной компоненты магнитного поля рассеяния справедливо выражение [97]: где 7S {г") - вектор плотности тока на поверхности S, п - вектор нормали в точ ке с координатами г", G\r,r") = : -г- - функция Грина уравнения Гельмгольца для свободного пространства, к = волновое число для сво А бодного пространства. Штрих у оператора grad в (1.30) указывает на то, что дифференцирование производится по координатам г".
Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболического цилиндра
Матрица импедансов, получающаяся из интегрального уравнения, учитывает взаимодействие между отрезками кривой или участками поверхности рассматриваемой структуры. При увеличении расстояния между отрезками или участками поверхности соответствующие элементы матрицы, очевидно, уменьшаются. Таким образом, интуитивно представляется, что пренебрежение взаимодействием между достаточно удаленными участками, т. е. приравнивание к нулю элементов матрицы, малых по сравнению с главными (диагональными) элементами, не приводит к значительному уменьшению точности.
Удобство этого приближенного метода состоит в том, что матрица импедансов содержит большое число нулей, т.к. элементы настолько малы, что их можно обнулить, причем, чем больше размеры структуры, тем большую часть матрицы заполняют нули. Матричное уравнение с такой разреженной матрицей проще решать стандартными способами, чем матричное уравнение с исходной матрицей. Одновременно уменьшается необходимый объем оперативной памяти ЭВМ, и, конечно, время вычисления матрицы импедансов также становится существенно меньше. Методы решения систем уравнений с разреженной матрицей широко исследовались в связи с решением больших систем линейных уравнений, решением уравнений для потенциала и т. д. [152]. Однако для достижения необходимой точности решения требуется, чтобы порядок малости элементов матрицы, которых мы обнуляем, был значительно больше порядка малости остальных элементов. Это достигается лишь в том случае, когда данные элементы малы по абсолютной величине, т.е необходим выбор соответствующего базиса.
Разреженная матрица импедансов получается, например, при использовании сплайновых вейвлет в качестве базисных функций. Теория вейвлет описана в следующих работах [33,139,147]. Применение вейвлет-базиса встречается в трудах [5,6,8,9,10,31]. Остановимся подробнее на данном методе. Построение сплайновых вейвлет на прямоугольнике. ПустьП = [ я,б]х[с,с/]- произвольный прямоугольник, т — натуральное число и щ - такое целое число, что 2п 2т- 1 2п+ . Рассмотрим семей ство Ах = {Ах ,п = п0 п0 + J,...} разбиений отрезка \fi,b\ Ах :а = хд х" ...хпп =Ь с постоянным шагом h = hXn=(b-а)12п и се мейство Ау={Ау ,п = п0щ +-/,...} разбиений отрезка [c,d] Ау :с = yjj у" ...упп = d с постоянным шагом h-hy = (d - с) 12п. По лучим сетку линий А = АххАу. На каждом из разбиений Ах ,Ау рассмот рим пространство сплайнов степени т-1 дефекта 1 Lx -S(AX ,т — 1,1) и Ly =S(Ay ,т-1,1) соответственно [66]. Тогда для каждого к п0 про странство S(AX ,т-1,1) можно представить в виде прямой суммы Lx = LX WX ...WX , где через Wx обозначено ортогональное до полнение пространства Lx до пространства Lx . Искомый вейвлет-базис будем строить как объединение базиса в Lx и всех базисов в пространствах Wx ,пд п к-1. Аналогично для пространства S{Ayk,m-l,l) будем рас сматривать представление Ly - Lyn Wy ... Ук_1 Вначале построим базис в Wx . Зафиксируем п пд. В случае необходимости будем считать, что разбиение Ах продолжено с тем же шагом на всю числовую ось узлами xf ,-со / +оо. Пусть у/іп{х) - полу ортогональный сплайновый вейвлет порядка т [31]. Известно, что при у/1n(x)&Wx , supp ,„ = (хГ іГІ-і), i,n ( ) = otn0 (2" " - Kb - a)/2"-J) и [f/in(x)- функция с минимальной длиной носителя, удовлетворяющая этим свойствам. Носители функций y/in(x),0 i 2n -2т + 1 целиком содержатся в [a, b] и они образуют группу базисных функций Wx . Однако, d\mWx = 2п , т.е. до базиса в Wx не хватает 2(т - і) функций. Построим недостающие вейвлет-функции. Для этого рассмотрим функции у/іп(х) при -2т + 2 і 2 -1 на расширенном разбиении Ах . Через р{п(х) обозначим нормированный В-сплайн степени т — 1 на разбиении Ах с носителем (xf ,х"+т) [66,119]. Первую группу из т -1 недостающих базисных функций будем искать в виде из условий где скалярное произведение понимается в смысле L2[a,b]. Подставляя (2.9) в (2.10), получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения а,-. Матрица этой системы невырождена, так как в противном случае существовало бы нетривиальное решение соответствующей однородной системы, что означало бы, что функция } . 0Cj\j/in{x) является ненулевой вейвлет-функцией на разбиении Ад. с носителем {XQ ,Х2т-2) чт0 невозможно [31]. Решая систему (2.10), получаем, что функция (2.9) является искомой, так как ортогональность к В-сплайнам рк п (х) при к 0 имеет место в силу ортогональности им всех вейвлет из линейной комбинации (2.9), а при - m +1 z -1 в силу условий (2.10). Следующие т-1 базисных функций определим в виде.
Определение характеристик излучения параболической антенны (определение пространственной характеристики направленности и ее огибающей)
В первом пункте настоящей главы описана параболическая антенна. Теперь рассчитаем ее диаграмму направленности с учетом выше описанного алгоритма. Рисунок 4.24 - Диаграмма направленности параболической антенны. Частоту - 3 ГГц, длина волны - 10 см, диаметр рефлектора - 100 см. Декартова система координат. При рассмотрении полученных диаграмм направленности можно сделать вывод, что данные характеристики вполне соответствую физическим о них представлениям. Т.е. при уменьшении частоты число лепестков на диаграмме направленности уменьшается (рисунки 4.20 - 4.24). Однако, при частоте меньше 0,5 ГГц нормированная диаграмма направленности практически не изменяется. В данной главе была рассмотрена реальная задача об излучении параболической антенны с зеркалом в форме параболоида вращения и волно-водным облучателем. В первом пункте была описана сама модель, также найдено нормированное распределение тока при различных длинах волн при помощи алгоритма представленного ранее. Во втором пункте представлен оригинальный алгоритм для интегрирования быстро осциллирую 130 щих функций, с помощью которого можно ускорить процесс нахождения важнейшей антенной характеристики - диаграммы направленности. И, наконец, в третьей части главы были найдены непосредственно сами диаграммы направленности для параболических антенн с различными размерами и различными частотами. Алгоритмы и результаты, приведенные в настоящем разделе, опубликованы в [3,4,10]. К основным результатам и выводам диссертации следует отнести следующее: 1. Разработана электродинамическая модель для анализа излучения двумерных идеально проводящих структур, возбуждаемых ЭЭИ и ЭМИ. 2. Произведено сравнение трех методик анализа излучения двумерных проводящих структур с применением базиса полной области (двумерный ряд Фурье) и двух базисов подобластей (сплайновый базис и вейвлет-базис). 3. Разработана методика анализа излучения двумерных проводящих структур с применением численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, имеющей смысл граничного условия для тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности, образующей структуру. 4. Произведен расчет распределения поверхностной плотности тока на идеально проводящем плоском экране. 5. Произведен расчет распределения поверхностной плотности тока на зеркале в форме параболического цилиндра. 6. Произведен расчет распределения поверхностной плотности тока на зеркале в форме параболоида вращения. Автор считает своим долгом выразить благодарность своему научному руководителю д. ф.-м. н. Блатову И.А., оказавшему сильное влияние на формирование научных взглядов.
