Содержание к диссертации
Введение
1. Решение задачи дифракции электромагнитных волн на телах с идеальными краевыми условиями методом диаграммных уравнений ... 18
1.1. Постановка задачи и вывод интегрооператорного уравнения 18
1.2. Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений 21
1.3. Асимптотика матричных элементов и свободных членов алгебраической системы уравнений в МДУ и обоснование метода редукции 35
1.4. Результаты численных исследований 43
2. Дифракция электромагнитных волн на телах с импедансными краевыми условиями 63
2.1. Алгебраизация краевой задачи 63
2.2. Асимптотика матричных элементов и свободных членов системы МДУ и обоснование метода редукции 69
2.3. Исследование характеристик рассеяния тел с импедансными краевыми условиями 71
2.4. Моделирование характеристик рассеяния тел с диэлектрическим покрытием 81
2.5. Моделирование при помощи импедансного приближения задач рассеяния на телах с поглощающим покрытием 85
3. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических телах 90
3.1. Постановка задачи 91
3.2. Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений 92
3.3. Асимптотика коэффициентов алгебраической системы уравнений и обоснование метода редукции 106
3.4. Анализ численных результатов 112
Заключение 123
Приложение 125
Список литературы 129
- Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений
- Асимптотика матричных элементов и свободных членов алгебраической системы уравнений в МДУ и обоснование метода редукции
- Асимптотика матричных элементов и свободных членов системы МДУ и обоснование метода редукции
- Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений
Введение к работе
Предмет исследований
Предметом исследования этой работы являются рассеивающие свойства тел различной природы, на поверхности которых выполняются идеальные, импедансные граничные условия, либо условия сопряжения. Основной исследуемой величиной для рассматриваемых тел была диаграмма рассеяния. Исследование диаграмм рассеяния представляет важное значение во многих областях науки и техники, в частности в таких, как радиолокация, метеорология, радиоастрономия, лазерная дефектоскопия и др., где исследуется рассеяние электромагнитных волн телами различной физической природы. Вышедшая не так давно монография [1], посвященная изучению рассеивающих свойств малых частиц, подтверждает важность рассмотрения таких задач.
Укажем основные типы рассеивателей, рассматриваемых в настоящей работе. Все выбранные рассеиватели являлись телами вращения. Простейшим видом таких тел можно считать сферу. Решение задач электромагнитного рассеяния волн на сфере можно получать в аналитической форме, что отражено, например, в работах [2]-[6], [20]. На сегодня можно считать, что рассеивающие свойства сферы уже достаточно хорошо изучены как аналитическими, так и различными численными методами. Другим важным видом тел вращения являются сфероиды, которые, наряду со сферой, можно отнести к классу рассеивателей простой геометрии. Известно, что исследование диаграмм рассеяния сфероидов можно проводить аналитически только в случае идеальных краевых условий на их границе, в остальных случаях подобные исследования могут проводиться только при помощи численных методов.
В последнее время благодаря появлению мощных вычислительных средств появилась возможность изучать рассеивающие свойства тел, граница которых имеет изломы и/или острые вершины. В качестве таких рассеивателей здесь исследовались конечные круговые цилиндры и круговые конусы. Помимо упомянутых тел, рассматривались также составные объекты, составленные из этих рассевателей. Прежде всего, это цилиндры и конусы, сопряженные на торцах со сферой и другие составные объекты. Эти тела, в отличие от сфер и сфероидов, являются телами с неаналитической границей и изучение рассеивающих свойств таких объектов находит широкое применение в радиофизике и в антенной технике.
Исследования проводились как в резонансном диапазоне частот (максимальный размер тела порядка длины волны падающего поля), так и в более коротковолновом, когда характерный размер тела составлял несколько длин волн. Рассматривалась задача моделирования характеристик отражения и рассеяния волн телами, покрытыми тонким диэлектрическим слоем, толщина которого была меньше длины волны падающего поля. Наконец, исследовалась возможность моделирования рассеивающих свойств так называемых "черных" тел. Результаты исследований характеристик рассеяния таких тел могут найти практическое использование при разработке поглощающих сред.
Цель работы и метод ее исследования
Целью диссертационной работы было создание эффективного и универсального численного метода решения трехмерных задач дифракции электромагнитных волн на одиночных рассеивателях в достаточно широком диапазоне размеров и геометрий. Для этого были использованы теоретические основы метода диаграммных уравнений (МДУ), ранее применявшегося только к двумерным и трехмерным скалярным задачам рассеяния. В результате было разработано обобщение МДУ на трехмерные векторные задачи рассеяния и получена численная схема решения поставленных задач на основе этого метода.
Отметим основные теоретические аспекты решения поставленной задачи. Как известно, трехмерная задача дифракции электромагнитных волн на произвольных телах является классической в теории дифракции [5]-[6]. С математической точки зрения она формулируется как внешняя краевая задача для дифференциальных уравнений Максвелла. В том случае, когда электромагнитное поле зависит гармонически от времени, уравнения Максвелла сводятся к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка -уравнению Гельмгольца. Как известно, решения эллиптических уравнений являются вещественно аналитическими функциями и удовлетворяют определенным краевым условиям, а также условиям излучения, возникающими при рассмотрении внешних краевых задач.
Ниже будет приведен краткий обзор существующих методов решения задач дифракции, которые отличны от развиваемого в этой работе метода. Все они обладают рядом недостатков, поэтому разработка новых и эффективных методов решения задач дифракции по-прежнему актуальна.
Краткий обзор существующих методов решения задач дифракции и рассеяния
Материал данного раздела представляет собой краткое рассмотрение некоторых методов решения задач дифракции, а также преимуществ и недостатков этих методов. Более подробный обзор приводимых здесь методов можно найти в литературе [1], [7]-[9]. В этой же литературе приводятся и другие нерассмотренные здесь методы.
Для решения задачи дифракции было разработано большое количество аналитических, численно-аналитических, численных и асимптотических методов. Все эти методы можно условно поделить на две группы. К первой группе можно отнести те методы, в которых задача дифракции монохроматической волны сводится к решению уравнения Гельмгольца при заданных краевых условиях. Ко второй группе можно отнести такие методы, в которых исходная внешняя краевая задача сводится к нахождению решения соответствующего интегрального уравнения. Решение интегральных уравнений для тел произвольной формы получается при помощи различных численных методов, основные из которых будут перечислены ниже.
Остановимся сначала на описании методов, основанных на решении дифференциальных уравнений. Решение эллиптических дифференциальных уравнений в аналитической форме возможно получить при помощи классического метода - метода разделения переменных. Этот метод применим не для всех геометрий рассеивателей, а лишь для тех, граничные поверхности которых совпадают с координатными поверхностями в выбранной системе координат, в которой возможно сделать разделение переменных в дифференциальном (эллиптическом) уравнении Гельмгольца. В трехмерном векторном случае такое аналитическое решение эллиптического уравнения возможно только для сферических [2]-[6] или сфероидальных [10] частиц.
Впервые аналитическое решение задачи рассеяния на сфере было предложено Лоренцем и Ми [2], которые независимо друг от друга применили к волновому уравнению Гельмгольца метод разделения переменных. В этом методе искомое рассеянное, внутреннее и падающее поля представляются в виде рядов по системе собственных функций — волновых сферических гармоник, которые образуют ортогональный базис в сферической системе координат [11]. Далее эти разложения подставляются в исходные краевые условия, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения рассеянного и внутреннего поля в терминах известных коэффициентов падающего поля. Получаемая алгебраическая система в методе разделения переменных может быть решена аналитически только для сфер, в результате получается хорошо известное решение для искомого
поля в виде рядов Ми [2-4]. В случае сфероидов метод разделения переменных рассматривается в сфероидальной системе координат, где приходится использовать сфероидальные векторные волновые функции для представлений внешних и внутренних полей в виде бесконечных рядов [10]. Эти функции, вообще говоря, не образуют ортогональный базис, вследствие чего получаемая алгебраическая система уравнений может быть разрешима только численно (строгое аналитическое решение для сфероидов существует только в случае идеальных краевых условий на их границе). Вследствие того, что для сфероида приходится решать бесконечную систему линейных алгебраических уравнений при помощи метода усечения, точность решения, в отличие от сфер, будет зависеть как от размеров рассеивателя, так и от коэффициента преломления. Это ведет к ограничению применимости метода разделения переменных для сфероидов.
В общем случае для тел несферической формы разделить переменные уже не удастся, поэтому решение задач дифракции на таких телах можно получить только численно. Приведем краткий обзор наиболее известных численных методов решения дифференциальных уравнений Гельмгольца.
Одним из наиболее известных численных методов решения уравнений Гельмгольца является метод конечных элементов, известный еще как метод сеток [12—17]. Этот метод основан на дискретизации дифференциального уравнения в рассматриваемой конечной области и последующем численном решении получающейся граничной задачи. При этом конечная область, которая содержит в себе рассматриваемое тело вместе с его границей, заменяется конечным множеством ячеек малого объема (элементов), т.е. сеткой. Таким образом, задача рассеяния рассматривается в конечной области, содержащей рассеиватель. При подходящем выборе сетки и наложении граничных условий в узловых точках сетки на поверхности рассеивателя, приходим к системе линейных уравнений относительно значений искомого поля в узловых точках сетки, которая решается численным способом. Основная проблема метода конечных элементов заключается в том, что решение рассматривается в конечной области и удовлетворяет только краевому условию на поверхности тела, поэтому возникает необходимость в разработке дополнительных мер, чтобы получаемое решение удовлетворяло также и условиям излучения на бесконечности. Один из путей решения этой проблемы состоит в наложении приближенных граничных условий на границе дискретизируемой области [13]. Второй путь состоит в комбинации метода конечных элементов с методом поверхностных интегральных уравнений [14], [16]—[17]. Основное преимущество метода конечных элементов по сравнению с другими методами состоит в том, что получаемая в этом методе алгебраическая система обладает ленточной диагональной матрицей, что весьма удобно при численном обращении таких систем. Также отметим, что этот метод может быть применен к решению задач дифракции на телах рассеяния
произвольной геометрии, однако даже для тел небольших размеров точность численного решения будет зависеть от точности дискретизации рассматриваемой области. При этом даже небольшой рост количества точек дискретизации будет вести к непомерному росту необходимых объемов вычислений.
Остановимся теперь на методах, в которых рассматриваются различные численные методики решения интегральных уравнений. Метод интегральных уравнений применяется к решению задач дифракции уже достаточно давно. Основные соотношения метода и область его применимости можно найти в работах [1], [6]-[7], [21]-[26]. Этот метод наиболее эффективен, когда размеры тела соизмеримы с длиной волны падающего поля. Суть метода состоит в сведении исходных уравнений Максвелла или уравнений Гельмгольца, которым удовлетворяют искомые векторные поля, к интегральным уравнениям относительно неизвестной функции, определяющей распределение тока по поверхности рассеивателя или внутри его объема. Соответственно можно выделить два метода: метод поверхностных и метод объемных интегральных уравнений. Преимуществом объемных интегральных уравнений является то, что они применимы для тел как любой геометрии, так и любой зависимости коэффициента преломления в материале, заполняющем объем рассеивателя, от координат. Получающиеся интегральные уравнения обычно являются интегральными уравнениями Фредгольма I или IT рода. Их численное решение связано с применением различных проекционных методов, таких как метод моментов (метод Крылова-Боголюбова), метод Галеркина и др. Во всех этих методах исходное интегральное уравнение сводится к системе линейных алгебраических уравнений различными способами. Так в методе Галеркина эта система получается при помощи подстановки в интегральное уравнение разложения искомой функции в ряд по некоторому базису и последующим проектированием получающегося равенства на некоторый, вообще говоря, другой базис [25]. В методе моментов, для получения алгебраической системы уравнений используются квадратурные формулы для интегралов [21]. Следует отметить, что методом интегральных уравнений были решены в основном задачи дифракции на телах вращения [18]-[19], [22], [25], [28]-[33], [81]. Это связано с тем, что для получения высокой точности в случае рассмотрения задач дифракции на телах сложной геометрии приходится решать алгебраические системы очень высокого порядка. При наличии же у таких тел изломов границы это приводит к еще большему увеличению количества вычислений, а также требует более тщательного подбора базисных функций для алгебраизации задачи [26]. Все это ведет к рассмотрению задач дифракции преимущественно на телах простой формы с аналитической границей. При наличии же у тел изломов границы, эти изломы обычно сглаживаются различными приемами, что ведет к приближенному решению исходной задачи. При решении задач рассеяния на телах вращения методом Боголюбова было установлено [27],
что для проведения численных расчетов с погрешностью не более 1%, необходимо использовать 10-20 точек разбиения на одну длину волны падающего поля вдоль образующей тела для аппроксимации неизвестного тока. Это означает, что максимальное число гармоник при аппроксимации тока в виде ряда составляет примерно 5+\0kd (где к - волновое число падающей волны, a d - диаметр минимальной сферы, описанной вокруг тела). В случае же тел, не обладающих симметрией вращения, максимальное число гармоник растет пропорционально квадрату указанной выше
величины для тел вращения и составляет примерно 50-М00(Ы) [28].
Отсюда можно сделать вывод, что метод интегральных уравнений является слишком громоздким для неосесимметричных тел, но, в отличие от метода конечных элементов, в этом методе автоматически выполняется условие излучения на бесконечности, которому должно удовлетворять искомое дифракционное поле. В общем, это свидетельствует о том, что проблема эффективного решения векторных задач рассеяния на телах произвольной геометрии является все еще весьма актуальной.
В качестве одного из вариантов метода интегральных уравнений можно рассматривать метод вспомогательных токов (МВТ) [34]-[35], который основан на представлении волнового поля при помощи волновых потенциалов. Эти потенциалы могут быть как потенциалами простого слоя, так и потенциалами двойного слоя, в зависимости от вида граничного условия. С использованием таких представлений исходное уравнение Гельмгольца сводится к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода с гладким ядром относительно неизвестной функции - плотности вспомогательного тока, носителем которого является вспомогательная поверхность, лежащая внутри объема рассеивателя. При численном решении полученное интегральное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений, матричные элементы которой пропорциональны значениям в дискретных точках фундаментального решения уравнения Гельмгольца (ядра интегрального уравнения). При более аккуратной аппроксимации соответствующего подынтегрального выражения в уравнении МВТ естественно ожидать более высокой точности решения краевой задачи. Однако оказалось, что такой подход обладает определенными недостатками, один из которых обусловлен способом построения носителя тока. В работах [34]-[35] показано, что интегральное уравнение, возникающее в этом методе, разрешимо и притом единственным образом в том и только в том случае, если вспомогательная поверхность охватывает все особенности волнового поля внутри рассеивателя. Кроме того, было установлено, что метод вспомогательных (или дискретных) источников (МДИ) [36]-[39] является по существу дискретным вариантом МВТ, когда интеграл в интегральном уравнении заменяется суммой по формуле прямоугольников, а равенство левых и правых частей выполняется в дискретных точках (точках коллокации). В МДИ источники образуют
дискретное множество, лежащее на некоторой вспомогательной поверхности 2. С ростом количества источников (для получения более точных результатов расчетов) они все плотнее располагаются на , поэтому здесь также необходимо, чтобы S охватывала особенности дифракционного волнового поля. Нужно отметить, что при численной реализации, например метода нулевого поля [42]-[43], обзор которого буден дан ниже, возникают те же проблемы, что и в методе разделения переменных, либо в МДИ. А именно, вычислительные алгоритмы оказываются корректными либо лишь в случае, когда граница рассеивателя является рэлеевской, либо при условии, что поверхность, на которой ставится условие равенства нулю полного поля, охватывает все особенности аналитического продолжения дифракционного поля [41].
Помимо рассмотренных выше методик численного решения интегральных уравнений в теории дифракции была предложена еще одна методика, основанная на матричном представлении характеристик рассеяния дифракционного поля. Речь идет о методе Т-матриц, известном также еще как метод нулевого поля и метод продолженных граничных условий [1], [7]-[9], [42]-[43]. Этот метод основан на разложении падающего и рассеянного полей по векторным волновым сферическим гармоникам для внутренней и внешней бесконечной области соответственно. Т-матрица устанавливает явную связь между коэффициентами разложения падающего поля с искомыми коэффициентами разложения рассеянного поля (в этом суть термина "Т-матрица" - матрица перехода). Впервые метод Т-матриц был предложен Уотерменом [42]-[43], причем этот метод был разработан на основе использования идей метода нулевого поля. В связи с этим часто в литературе по обзору численных методов решения задач дифракции происходит путаница двух различных методов - метода Т-матриц и метода нулевого поля. Причина этого хорошо описана в работе [9], в которой было показано, что метод нулевого поля является только лишь одним из методов, в котором вычисляется Т-матрица. Так, например, в работе [44] Т-матрица была получена в рамках метода разделения переменных, который рассматривался в сфероидальном базисе для отыскания рассеянного поля при различных ориентациях сфероидальных частиц относительно падающего поля. В работах Мищенко (Mishchenko) [1], [7] было показано, что Т-матрица - это такая величина, которая, вообще говоря, содержит в себе всю информацию о характеристиках рассеяния частицы и именно это является одним из преимуществ метода Т-матриц.
Рассмотрим кратко идею метода нулевого поля. Этот метод, по сути, является одной из форм метода поверхностных интегральных уравнений [9]. В этом методе используется так называемое обобщенное граничное условие, которое заключается в том, что полное поле внутри рассеивателя равно внутреннему полю, а рассеянное и падающее поля взаимно компенсируются
внутри рассей вателя [22], [42]. Его использование приводит к обобщенному интегральному уравнению относительно неизвестной величины — поверхностного тока, наводимого сторонними источниками на поверхности рассеивателя. При численном решении обобщенного интегрального уравнения возникают две связанные алгебраические системы относительно коэффициентов разложения для плотности тока на граничной поверхности и рассеянного полей. Таким образом, решение в методе нулевого поля строится в два этапа: сначала ищутся коэффициенты разложения для плотности тока через известные разложения падающего поля по волновым векторным сферическим гармоникам. На втором этапе решается алгебраическая система относительно неизвестных коэффициентов разложения для рассеянного поля через найденные на предыдущем этапе коэффициенты разложения для плотности тока. Далее, обращая матрицу системы на первом этапе и подставляя найденное решение во вторую систему, можно прийти к произведению двух матриц, которое и называется Т-матрицей. В работах [45]-[49] приведены решения задач дифракции и рассеяния описанным здесь методом для различных геометрий тел.
Нужно отметить, что по вычислительной сложности метод Т-матриц оказался эффективней по сравнению с методом моментов, но только в случае тел вращения. В случае же неосесимметричных тел, вычислительная сложность метода Т-матриц сопоставима с такой же сложностью, например, в методе объемных интегральных уравнений. Следует также отметить, что в случае задачи дифракции на сфере формулы метода Т-матриц приводят к стандартному аналитическому решению при помощи рядов Ми. Одним из недостатков метода Т-матриц является неявное использование гипотезы Рэлея [41], что сильно сужает круг решаемых задач этим методом. Вторым недостатком метода является отсутствие обоснования применимости метода редукции для усечения бесконечной алгебраической системы, что, в общем случае, ведет к потере устойчивости решения при увеличении размерности решаемой конечной системы.
Перейдем теперь к описанию использовавшегося в этой работе численного метода и его предпосылок.
Краткий обзор МДУ
Метод диаграммных уравнений (МДУ) - это численно-аналитический метод, в котором исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца сводится к решению некоторого интегрооператорного уравнения относительно диаграммы волнового поля (диаграммы рассеяния). МДУ впервые был предложен А.Г. Кюркчаном в работе [50] для решения двумерных задач рассеяния волн одиночным рассеивателем в свободном пространстве, и впоследствии был применен им к решению широкого круга
задач теории дифракции, рассеяния и распространения волн. Речь идет о таких задачах, как рассеяние волн одиночным трехмерным телом [51]-[55] и группой тел [56]-[57] как в однородном пространстве, так и в плоскослоистой среде, дифракция волн на многорядной периодической решетке вблизи плоской границы раздела сред [58]-[59] и на рассеивателях и решетках, расположенных в плоскослоистых средах [60]-[66]. Кроме того, этот метод был успешно применен к решению задач о собственных волнах в периодических структурах и диэлектрических волноводах сложного поперечного сечения [67]-[68]. Недавно вышли обзоры по методу диаграммных уравнений (см. например [69]—[71]). МДУ оказался универсальным и высокоэффективным методом решения краевых задач для уравнений Гельмгольца. Однако до сих пор этот метод не применялся для решения векторных задач дифракции.
Основу метода составляет сведение исходной краевой задачи для уравнения Гельмгольца к интегрооператорному уравнению II рода относительно диаграммы рассеяния (спектральной функции волнового поля). При этом используется обобщенное представление Зоммерфельда-Вейля [72] дифракционного поля в виде интеграла плоских волн, спектральной функцией в котором является диаграмма рассеяния. Далее это интегрооператорное уравнение алгебраизуется с использованием разложения искомой функции в ряд по некоторому базису и последующим проектированием левой и правой частей равенства на некоторый, вообще говоря, другой базис. При определенных ограничениях на геометрию задачи, которые могут быть строго установлены, полученная бесконечная алгебраическая система разрешима методом редукции, т.е. усечения.
Было установлено, что МДУ обладает рядом важных преимуществ по сравнению с другими методами решения задач дифракции и рассеяния волн.
Так, применение МДУ к скалярным задачам рассеяния волн на трехмерных телах показало его высокую эффективность. Скорость сходимости решения задачи о дифракции плоской волны на сфероиде даже при соотношении длин осей 40:1 оставалась примерно такой же, как и в задаче дифракции волн на сфере. Столь высокая скорость сходимости была продемонстрирована при применении МДУ и к другим задачам.
При решении скалярных задач рассеяния волн одиночным телом было установлено, что скорость сходимости вычислительного алгоритма МДУ определяется, главным образом, размером тела и почти не зависит от его геометрии [52], [55], [64]. При этом для проведения расчетов с погрешностью не более 1% необходимо, чтобы максимальный номер N гармоники в представлении диаграммы рассеяния был приблизительно равен 2Ы, где к = 2тг(Я, Я - длина волны падающего поля, d - диаметр описанной вокруг рассеивателя сферы. При решении же аналогичных задач
методом токовых интегральных уравнений необходимо учитывать порядка (50-200)(с//Л)2 базисных функций [28].
В задачах дифракции волн на группе тел [56], [66] и периодических решетках [61] было установлено, что скорость сходимости вычислительного алгоритма метода практически не зависит от расстояний между отдельными телами почти вплоть до их соприкосновения. Это обстоятельство имеет довольно простое объяснение: при сближении тел возбуждаемые на них токи испытывают локальные возмущения, слабо сказывающиеся на диаграмме рассеяния тела, т.е. величине, которая и является искомой в МДУ.
Отметим, что для задачи рассеяния волн группой тел из интегрооператорных уравнений МДУ в качестве частного случая могут быть получены интегральные уравнения Тверского [73].
Суть МДУ состоит в следующем. При решении задач дифракции, как правило, расчеты сводятся к нахождению значений рассеянного (дифракционного) поля в дальней зоне. Для этого необходимо знать только лишь диаграмму рассеяния этого поля, которая является в определенном смысле его исчерпывающей характеристикой. Так, зная диаграмму, можно при помощи соответствующих представлений волнового поля через эту диаграмму восстановить поле всюду, за исключением некоторой окрестности начала координат, где расположены особенности волнового поля. Укажем, о каких особенностях идет речь. Известно, что волновое поле, будучи решением однородного уравнения Гельм гольца (эллиптического типа), является вещественной аналитической функцией. Эта функция на бесконечности обращается в нуль в соответствии с условиями излучения Зоммерфельда, а поэтому волновое поле где-то должно иметь особенности, так как, в противном случае, как нетрудно показать, оно было бы всюду тождественным нулем. Эти особенности, очевидно, должны лежать внутри рассей вател я (в так называемой нефизической области), т.е. там, где проводится вспомогательная поверхность, например, в МВТ, и игнорирование этих особенностей приводит к разрушению вычислительных алгоритмов как в МВТ, так и в других численных методах, использующих неявно принцип аналитического продолжения. Идея продолжения поля по его диаграмме и была использована в МДУ. Для этого искомое волновое поле было представлено в виде обобщенного интеграла по плоским волнам с диаграммой рассеяния в качестве спектральной функции. Этот интеграл сходится вплоть до выпуклой оболочки особенностей продолжения поля внутрь рассеивателя. Таким образом, в МДУ получающееся решение задачи рассеяния является справедливым не только во внешней по отношению к рассеивателю области, но также и внутри него вплоть до выпуклой оболочки особенностей, что позволяет строго удовлетворить граничным условиям на поверхности тела
широкого класса геометрий и гарантировать решение задачи при любых краевых условиях.
Недавно появилась работа [74], в которой предложен метод, названный автором "Full-field method" (FFM), позволяющий свести краевую задачу рассеяния волн к алгебраической системе уравнений (full-field equations (FFE)), совпадающей с алгебраической системой МДУ в скалярном (акустическом) случае [51], [55]. В этой работе автор демонстрирует преимущества подхода, основанного на FFE (а, следовательно, и МДУ) по сравнению с методами токовых интегральных уравнений и Т-матриц.
В данной диссертационной работе МДУ был впервые распространен на решение трехмерных задач дифракции электромагнитных волн одиночными телами как с импедансными краевыми условиями, так и с условиями сопряжения на границе таких тел.
Достоверность научных выводов. Было проведено математически строгое обоснование численного алгоритма МДУ. Там, где было возможно, результаты расчетов диаграмм рассеяния сравнивались с результатами, полученными при помощи других численных методов или при помощи измерений.
Научная новизна работы. Научной новизной данной работы является распространение МДУ для решения векторных задач рассеяния электромагнитных волн одиночными телами с импедансным граничными условиями и условиями сопряжения на границе. Этот метод не имеет аналогов ни среди российских, ни среди зарубежных методов. Он обладает высокой скоростью сходимости вычислительного алгоритма, слабо зависящей от геометрии рассеивателя.
В рамках разработанного метода было проведено математически строгое обоснование полученного численного алгоритма и установлены точные границы применимости метода, Это отличает МДУ от других численных методов, которые, как правило, не имеют явного строгого обоснования.
В результате проведенных исследований было показано, что на основе МДУ можно получать с приемлемой точностью решения задач дифракции на телах с диэлектрическим покрытием при помощи импедансного приближения в том случае, когда размеры тел составляют несколько длин волн падающего поля. При этом было установлено, что импедансное приближение может быть использовано и для тел с изломами границы.
При рассмотрении МДУ для тел с идеальными краевыми условиями была проведена численная проверка теоремы Уфимцева, согласно которой интегральный поперечник рассеяния черного тела в два раза меньше
интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела той же геометрии. Результаты проверки этой теоремы подтвердили ее справедливость для тел, размеры которых составляли несколько длин волн падающего поля. Для тел же с размерами порядка или меньшими длины волны отношение интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела к интегральному поперечнику рассеяния черного тела того же размера растет с уменьшением размеров тел.
Проведенные численные исследования характеристик рассеяния тел с различными краевыми условиями на их границе при помощи разработанного метода доказали его высокую эффективность. Были проведены сравнения по скорости сходимости и точности численных решений с другими методами. Во всех рассмотренных случаях МДУ оказался эффективнее других известных численных методов.
Практическая значимость результатов работы связана с более точным и эффективным моделированием характеристик рассеяния различных реальных физических объектов: импедансных или диэлектрических тел; возможностью моделирования характеристик рассеяния тел с покрытием при помощи импедансного приближения и, как следствие, получением практических рекомендаций по проектированию поглощающих сред.
Апробация работы. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [85]-[95].
Результаты работы докладывались на Московском
электродинамическом семинаре в ИРЭ РАН (Москва, 2001), XII Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению волн в Российском Новом Университете (Москва, 2001), Научно-технической конференции профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУСИ (Москва, 2002 и 2003), 6-й конференции по рассеянию света несферическими частицами (Sixth Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles) (University of Florida Campus, Gainesville, Florida, USA, 2002), XX Всероссийской научной конференции по распространению волн (Нижний Новгород, 2002), на семинаре по математическому моделированию в МГУ (Москва, 2002), на Общероссийском научном семинаре "Математическое моделирование волновых процессов" в РосНоУ (Москва, 2003), на LVII научной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 2003) и на 7-й конференции по рассеянию света несферическими частицами (7th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles) (Бремен, Германия, 2003).
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 96 наименований. Материал изложен на 135 страницах текста, включая 48 рисунков и 6 таблиц.
Содержание работы
Во введении дан краткий обзор существующих методов решения задач дифракции и результатов применения МДУ к скалярным (акустическим) задачам дифракции, сформулированы предмет исследования и цель работы, приведен краткий обзор. Кроме того, обоснована научная новизна, отмечена практическая значимость и достоверность научных выводов работы. Приведены основные результаты работы.
В первой главе рассмотрено обобщение МДУ на задачи дифракции электромагнитных волн идеально проводящими телами. Приведено интегрооператорное уравнение МДУ и сформулирована идея построения эффективного численного алгоритма решения поставленной задачи. При этом была получена бесконечная алгебраическая система уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложения диаграммы рассеяния, которые являются искомыми в предлагаемом здесь методе. Была исследована асимптотика матричных элементов и правых частей получающейся системы и дано обоснование применимости метода редукции для усечения бесконечной системы. Были исследованы характеристики рассеяния для тел различной геометрии и указана скорость сходимости численного алгоритма МДУ для каждой задачи. Там, где это было возможно, проводились сравнения результатов расчета, полученных при помощи МДУ, с результатами, полученными другими методами. Помимо характеристик рассеяния идеально проводящих тел были исследованы так называемые "черные" тела на основе концепции Макдональда.
Во второй главе приводится обобщение МДУ на случай импедансных краевых условий. Показывается связь получаемой для этого случая системы алгебраических уравнений с аналогичной системой для идеально проводящих тел, приведенной в главе 1. Было установлено, что полученные в главе 1 асимптотические оценки для матричных элементов справедливы и для матричных элементов, обусловленных наличием ненулевого импеданса. Были проведены исследования характеристик рассеяния волн на телах вращения при различных значениях импеданса. Показана возможность моделирования характеристик рассеяния тел с диэлектрическим покрытием при помощи импедансных граничных условий.
В третьей главе приводится обобщение МДУ на задачи рассеяния электромагнитных волн одиночными трехмерными диэлектрическими телами. По аналогии с той схемой, которая использовалась ранее в первой и
второй главах, здесь была получена сдвоенная система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов рассеянного и внутреннего полей. Далее, проводилась асимптотическая оценка матричных элементов и правых частей получившейся бесконечной системы точно так же, как это было сделано для случая идеально проводящих тел. В результате, было получено обоснование применимости метода редукции для усечения бесконечной системы и установлено, что ограничения на геометрию рассеивателя, которые приводились для идеально проводящих тел в первой главе, остаются верными и для диэлектрических тел. На основании решения конечной системы были проведены исследования характеристик рассеяния диэлектрических тел вращения, таких как: сфера, сфероид, конечный цилиндр, а также трехлиситник вращения. Там, где это было возможно, результаты расчета, полученные при помощи МДУ, сравнивались с результатами, полученными другими методами.
В заключение к диссертации сформулированы основные выводы по всем трем главам и указаны направления для дальнейшего распространения
МДУ.
Основные результаты работы
Приведем основные результаты работы.
1. Разработано обобщение метода диаграммных уравнений (МДУ) для
решения трехмерных задач рассеяния электромагнитных волн на телах с
идеальными и импедансными краевыми условиями, а также с условиями
сопряжения на границе этих тел. Была установлена связь между
матричными элементами и коэффициентами правых частей алгебраических
систем, возникающих при решении задач рассеяния на идеально электро- и
магнитопроводящих телах, позволяющая получать решение одной задачи из
решения другой. Соответствующая система для диэлектрического случая
позволяет найти не только коэффициенты разложения диаграммы
рассеяния, но и коэффициенты, определяющие поле внутри рассеивателя.
Дано математически строгое обоснование полученного численного алгоритма и установлены точные границы применимости метода.
Была исследована сходимость алгоритма МДУ для тел различной геометрии, в том числе и для тел с изломами границы, В результате было установлено, что эффективность МДУ слабо зависит от геометрии рассеивателя и вида граничных условий. При этом решение задач рассеяния на телах вращения предложенным методом показало его высокую эффективность, сравнимую с точными методами решения, такими как метод разделения переменных. Также было установлено, что МДУ достаточно универсален и не требует никаких дополнительных мер для устранения
особенностей при решении задач рассеяния на телах с неаналитической границей.
Предложенным в этой работе методом были проведены исследования характеристик рассеяния импедансных, диэлектрических и "черных" тел. На основе импедансного приближения было проведено моделирование задач рассеяния на телах с диэлектрическим покрытием и поглощающих телах. Сравнения полученных результатов со строгими методами решения показали, что импедансное приближение пригодно для моделирования характеристик рассеяния тел с диэлектрическим покрытием даже в условиях, когда граница тела имеет изломы, а показатель преломления материала покрытия не слишком велик.
Для черных тел была осуществлена проверка теоремы Уфимцева. В результате была установлена справедливость этой теоремы для тел, размеры которых составляли несколько длин волн падающего поля. Для тел же с размерами, меньшими длины волны, было установлено, что отношение их интегрального поперечника рассеяния в идеально проводящем случае к интегральному поперечнику рассеяния черного тела того же размера и формы не удовлетворяет теореме Уфимцева и растет при уменьшении размера рассматриваемых тел.
Было показано, что при применении метода редукции к системе МДУ получающаяся конечная система может быть обращена при помощи метода Гаусса. Кроме того, обращение этой конечной системы проводилось и итерационным методом, который показал свою эффективность и применимость в случае, когда размеры рассеивателей не слишком велики, точнее, если диаметр Ы описанной вокруг рассеивателя сферы не превышает 10. В случае же сфер степень применимости итерационной процедуры была такой же, как и метода Гаусса.
Личный вклад соискателя
Лично соискателем были получены следующие результаты:
обобщение МДУ на векторные задачи рассеяния электромагнитных волн трехмерными идеально проводящими, импедансными и диэлектрическими телами;
строгое обоснование применимости метода редукции к полученной в методе бесконечной алгебраической системы уравнений и исследование ее применимости для тел различной геометрии для рассматриваемых краевых условий;
результаты решения конкретных задач рассеяния на осесимметричных телах, таблицы сходимости, проверка оптической теоремы и численная проверка теоремы Уфимцева.
Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений
Материал данного раздела представляет собой краткое рассмотрение некоторых методов решения задач дифракции, а также преимуществ и недостатков этих методов. Более подробный обзор приводимых здесь методов можно найти в литературе [1], [7]-[9]. В этой же литературе приводятся и другие нерассмотренные здесь методы.
Для решения задачи дифракции было разработано большое количество аналитических, численно-аналитических, численных и асимптотических методов. Все эти методы можно условно поделить на две группы. К первой группе можно отнести те методы, в которых задача дифракции монохроматической волны сводится к решению уравнения Гельмгольца при заданных краевых условиях. Ко второй группе можно отнести такие методы, в которых исходная внешняя краевая задача сводится к нахождению решения соответствующего интегрального уравнения. Решение интегральных уравнений для тел произвольной формы получается при помощи различных численных методов, основные из которых будут перечислены ниже.
Остановимся сначала на описании методов, основанных на решении дифференциальных уравнений. Решение эллиптических дифференциальных уравнений в аналитической форме возможно получить при помощи классического метода - метода разделения переменных. Этот метод применим не для всех геометрий рассеивателей, а лишь для тех, граничные поверхности которых совпадают с координатными поверхностями в выбранной системе координат, в которой возможно сделать разделение переменных в дифференциальном (эллиптическом) уравнении Гельмгольца. В трехмерном векторном случае такое аналитическое решение эллиптического уравнения возможно только для сферических [2]-[6] или сфероидальных [10] частиц.
Впервые аналитическое решение задачи рассеяния на сфере было предложено Лоренцем и Ми [2], которые независимо друг от друга применили к волновому уравнению Гельмгольца метод разделения переменных. В этом методе искомое рассеянное, внутреннее и падающее поля представляются в виде рядов по системе собственных функций — волновых сферических гармоник, которые образуют ортогональный базис в сферической системе координат [11]. Далее эти разложения подставляются в исходные краевые условия, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения рассеянного и внутреннего поля в терминах известных коэффициентов падающего поля. Получаемая алгебраическая система в методе разделения переменных может быть решена аналитически только для сфер, в результате получается хорошо известное решение для искомого поля в виде рядов Ми [2-4]. В случае сфероидов метод разделения переменных рассматривается в сфероидальной системе координат, где приходится использовать сфероидальные векторные волновые функции для представлений внешних и внутренних полей в виде бесконечных рядов [10]. Эти функции, вообще говоря, не образуют ортогональный базис, вследствие чего получаемая алгебраическая система уравнений может быть разрешима только численно (строгое аналитическое решение для сфероидов существует только в случае идеальных краевых условий на их границе). Вследствие того, что для сфероида приходится решать бесконечную систему линейных алгебраических уравнений при помощи метода усечения, точность решения, в отличие от сфер, будет зависеть как от размеров рассеивателя, так и от коэффициента преломления. Это ведет к ограничению применимости метода разделения переменных для сфероидов.
В общем случае для тел несферической формы разделить переменные уже не удастся, поэтому решение задач дифракции на таких телах можно получить только численно. Приведем краткий обзор наиболее известных численных методов решения дифференциальных уравнений Гельмгольца.
Асимптотика матричных элементов и свободных членов алгебраической системы уравнений в МДУ и обоснование метода редукции
Одним из наиболее известных численных методов решения уравнений Гельмгольца является метод конечных элементов, известный еще как метод сеток [12—17]. Этот метод основан на дискретизации дифференциального уравнения в рассматриваемой конечной области и последующем численном решении получающейся граничной задачи. При этом конечная область, которая содержит в себе рассматриваемое тело вместе с его границей, заменяется конечным множеством ячеек малого объема (элементов), т.е. сеткой. Таким образом, задача рассеяния рассматривается в конечной области, содержащей рассеиватель. При подходящем выборе сетки и наложении граничных условий в узловых точках сетки на поверхности рассеивателя, приходим к системе линейных уравнений относительно значений искомого поля в узловых точках сетки, которая решается численным способом. Основная проблема метода конечных элементов заключается в том, что решение рассматривается в конечной области и удовлетворяет только краевому условию на поверхности тела, поэтому возникает необходимость в разработке дополнительных мер, чтобы получаемое решение удовлетворяло также и условиям излучения на бесконечности. Один из путей решения этой проблемы состоит в наложении приближенных граничных условий на границе дискретизируемой области [13]. Второй путь состоит в комбинации метода конечных элементов с методом поверхностных интегральных уравнений [14], [16]—[17]. Основное преимущество метода конечных элементов по сравнению с другими методами состоит в том, что получаемая в этом методе алгебраическая система обладает ленточной диагональной матрицей, что весьма удобно при численном обращении таких систем. Также отметим, что этот метод может быть применен к решению задач дифракции на телах рассеяния произвольной геометрии, однако даже для тел небольших размеров точность численного решения будет зависеть от точности дискретизации рассматриваемой области. При этом даже небольшой рост количества точек дискретизации будет вести к непомерному росту необходимых объемов вычислений.
Остановимся теперь на методах, в которых рассматриваются различные численные методики решения интегральных уравнений. Метод интегральных уравнений применяется к решению задач дифракции уже достаточно давно. Основные соотношения метода и область его применимости можно найти в работах [1], [6]-[7], [21]-[26]. Этот метод наиболее эффективен, когда размеры тела соизмеримы с длиной волны падающего поля. Суть метода состоит в сведении исходных уравнений Максвелла или уравнений Гельмгольца, которым удовлетворяют искомые векторные поля, к интегральным уравнениям относительно неизвестной функции, определяющей распределение тока по поверхности рассеивателя или внутри его объема. Соответственно можно выделить два метода: метод поверхностных и метод объемных интегральных уравнений. Преимуществом объемных интегральных уравнений является то, что они применимы для тел как любой геометрии, так и любой зависимости коэффициента преломления в материале, заполняющем объем рассеивателя, от координат. Получающиеся интегральные уравнения обычно являются интегральными уравнениями Фредгольма I или IT рода. Их численное решение связано с применением различных проекционных методов, таких как метод моментов (метод Крылова-Боголюбова), метод Галеркина и др. Во всех этих методах исходное интегральное уравнение сводится к системе линейных алгебраических уравнений различными способами. Так в методе Галеркина эта система получается при помощи подстановки в интегральное уравнение разложения искомой функции в ряд по некоторому базису и последующим проектированием получающегося равенства на некоторый, вообще говоря, другой базис [25]. В методе моментов, для получения алгебраической системы уравнений используются квадратурные формулы для интегралов [21]. Следует отметить, что методом интегральных уравнений были решены в основном задачи дифракции на телах вращения [18]-[19], [22], [25], [28]-[33], [81]. Это связано с тем, что для получения высокой точности в случае рассмотрения задач дифракции на телах сложной геометрии приходится решать алгебраические системы очень высокого порядка. При наличии же у таких тел изломов границы это приводит к еще большему увеличению количества вычислений, а также требует более тщательного подбора базисных функций для алгебраизации задачи [26]. Все это ведет к рассмотрению задач дифракции преимущественно на телах простой формы с аналитической границей. При наличии же у тел изломов границы, эти изломы обычно сглаживаются различными приемами, что ведет к приближенному решению исходной задачи. При решении задач рассеяния на телах вращения методом Боголюбова было установлено [27], что для проведения численных расчетов с погрешностью не более 1%, необходимо использовать 10-20 точек разбиения на одну длину волны падающего поля вдоль образующей тела для аппроксимации неизвестного тока.
Асимптотика матричных элементов и свободных членов системы МДУ и обоснование метода редукции
В случае же тел, не обладающих симметрией вращения, максимальное число гармоник растет пропорционально квадрату указанной выше величины для тел вращения и составляет примерно 50-М00(Ы) [28]. Отсюда можно сделать вывод, что метод интегральных уравнений является слишком громоздким для неосесимметричных тел, но, в отличие от метода конечных элементов, в этом методе автоматически выполняется условие излучения на бесконечности, которому должно удовлетворять искомое дифракционное поле. В общем, это свидетельствует о том, что проблема эффективного решения векторных задач рассеяния на телах произвольной геометрии является все еще весьма актуальной.
В качестве одного из вариантов метода интегральных уравнений можно рассматривать метод вспомогательных токов (МВТ) [34]-[35], который основан на представлении волнового поля при помощи волновых потенциалов. Эти потенциалы могут быть как потенциалами простого слоя, так и потенциалами двойного слоя, в зависимости от вида граничного условия. С использованием таких представлений исходное уравнение Гельмгольца сводится к интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода с гладким ядром относительно неизвестной функции - плотности вспомогательного тока, носителем которого является вспомогательная поверхность, лежащая внутри объема рассеивателя. При численном решении полученное интегральное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений, матричные элементы которой пропорциональны значениям в дискретных точках фундаментального решения уравнения Гельмгольца (ядра интегрального уравнения). При более аккуратной аппроксимации соответствующего подынтегрального выражения в уравнении МВТ естественно ожидать более высокой точности решения краевой задачи. Однако оказалось, что такой подход обладает определенными недостатками, один из которых обусловлен способом построения носителя тока. В работах [34]-[35] показано, что интегральное уравнение, возникающее в этом методе, разрешимо и притом единственным образом в том и только в том случае, если вспомогательная поверхность охватывает все особенности волнового поля внутри рассеивателя. Кроме того, было установлено, что метод вспомогательных (или дискретных) источников (МДИ) [36]-[39] является по существу дискретным вариантом МВТ, когда интеграл в интегральном уравнении заменяется суммой по формуле прямоугольников, а равенство левых и правых частей выполняется в дискретных точках (точках коллокации). В МДИ источники образуют дискретное множество, лежащее на некоторой вспомогательной поверхности 2. С ростом количества источников (для получения более точных результатов расчетов) они все плотнее располагаются на , поэтому здесь также необходимо, чтобы S охватывала особенности дифракционного волнового поля. Нужно отметить, что при численной реализации, например метода нулевого поля [42]-[43], обзор которого буден дан ниже, возникают те же проблемы, что и в методе разделения переменных, либо в МДИ. А именно, вычислительные алгоритмы оказываются корректными либо лишь в случае, когда граница рассеивателя является рэлеевской, либо при условии, что поверхность, на которой ставится условие равенства нулю полного поля, охватывает все особенности аналитического продолжения дифракционного поля [41].
Помимо рассмотренных выше методик численного решения интегральных уравнений в теории дифракции была предложена еще одна методика, основанная на матричном представлении характеристик рассеяния дифракционного поля. Речь идет о методе Т-матриц, известном также еще как метод нулевого поля и метод продолженных граничных условий [1], [7]-[9], [42]-[43]. Этот метод основан на разложении падающего и рассеянного полей по векторным волновым сферическим гармоникам для внутренней и внешней бесконечной области соответственно. Т-матрица устанавливает явную связь между коэффициентами разложения падающего поля с искомыми коэффициентами разложения рассеянного поля (в этом суть термина "Т-матрица" - матрица перехода). Впервые метод Т-матриц был предложен Уотерменом [42]-[43], причем этот метод был разработан на основе использования идей метода нулевого поля. В связи с этим часто в литературе по обзору численных методов решения задач дифракции происходит путаница двух различных методов - метода Т-матриц и метода нулевого поля. Причина этого хорошо описана в работе [9], в которой было показано, что метод нулевого поля является только лишь одним из методов, в котором вычисляется Т-матрица. Так, например, в работе [44] Т-матрица была получена в рамках метода разделения переменных, который рассматривался в сфероидальном базисе для отыскания рассеянного поля при различных ориентациях сфероидальных частиц относительно падающего поля. В работах Мищенко (Mishchenko) [1], [7] было показано, что Т-матрица - это такая величина, которая, вообще говоря, содержит в себе всю информацию о характеристиках рассеяния частицы и именно это является одним из преимуществ метода Т-матриц.
Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений
Рассмотрим кратко идею метода нулевого поля. Этот метод, по сути, является одной из форм метода поверхностных интегральных уравнений [9]. В этом методе используется так называемое обобщенное граничное условие, которое заключается в том, что полное поле внутри рассеивателя равно внутреннему полю, а рассеянное и падающее поля взаимно компенсируются внутри рассей вателя [22], [42]. Его использование приводит к обобщенному интегральному уравнению относительно неизвестной величины — поверхностного тока, наводимого сторонними источниками на поверхности рассеивателя. При численном решении обобщенного интегрального уравнения возникают две связанные алгебраические системы относительно коэффициентов разложения для плотности тока на граничной поверхности и рассеянного полей. Таким образом, решение в методе нулевого поля строится в два этапа: сначала ищутся коэффициенты разложения для плотности тока через известные разложения падающего поля по волновым векторным сферическим гармоникам. На втором этапе решается алгебраическая система относительно неизвестных коэффициентов разложения для рассеянного поля через найденные на предыдущем этапе коэффициенты разложения для плотности тока. Далее, обращая матрицу системы на первом этапе и подставляя найденное решение во вторую систему, можно прийти к произведению двух матриц, которое и называется Т-матрицей. В работах [45]-[49] приведены решения задач дифракции и рассеяния описанным здесь методом для различных геометрий тел.
Нужно отметить, что по вычислительной сложности метод Т-матриц оказался эффективней по сравнению с методом моментов, но только в случае тел вращения. В случае же неосесимметричных тел, вычислительная сложность метода Т-матриц сопоставима с такой же сложностью, например, в методе объемных интегральных уравнений. Следует также отметить, что в случае задачи дифракции на сфере формулы метода Т-матриц приводят к стандартному аналитическому решению при помощи рядов Ми. Одним из недостатков метода Т-матриц является неявное использование гипотезы Рэлея [41], что сильно сужает круг решаемых задач этим методом. Вторым недостатком метода является отсутствие обоснования применимости метода редукции для усечения бесконечной алгебраической системы, что, в общем случае, ведет к потере устойчивости решения при увеличении размерности решаемой конечной системы.
Метод диаграммных уравнений (МДУ) - это численно-аналитический метод, в котором исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца сводится к решению некоторого интегрооператорного уравнения относительно диаграммы волнового поля (диаграммы рассеяния). МДУ впервые был предложен А.Г. Кюркчаном в работе [50] для решения двумерных задач рассеяния волн одиночным рассеивателем в свободном пространстве, и впоследствии был применен им к решению широкого круга задач теории дифракции, рассеяния и распространения волн. Речь идет о таких задачах, как рассеяние волн одиночным трехмерным телом [51]-[55] и группой тел [56]-[57] как в однородном пространстве, так и в плоскослоистой среде, дифракция волн на многорядной периодической решетке вблизи плоской границы раздела сред [58]-[59] и на рассеивателях и решетках, расположенных в плоскослоистых средах [60]-[66]. Кроме того, этот метод был успешно применен к решению задач о собственных волнах в периодических структурах и диэлектрических волноводах сложного поперечного сечения [67]-[68]. Недавно вышли обзоры по методу диаграммных уравнений (см. например [69]—[71]). МДУ оказался универсальным и высокоэффективным методом решения краевых задач для уравнений Гельмгольца. Однако до сих пор этот метод не применялся для решения векторных задач дифракции.
Основу метода составляет сведение исходной краевой задачи для уравнения Гельмгольца к интегрооператорному уравнению II рода относительно диаграммы рассеяния (спектральной функции волнового поля). При этом используется обобщенное представление Зоммерфельда-Вейля [72] дифракционного поля в виде интеграла плоских волн, спектральной функцией в котором является диаграмма рассеяния. Далее это интегрооператорное уравнение алгебраизуется с использованием разложения искомой функции в ряд по некоторому базису и последующим проектированием левой и правой частей равенства на некоторый, вообще говоря, другой базис. При определенных ограничениях на геометрию задачи, которые могут быть строго установлены, полученная бесконечная алгебраическая система разрешима методом редукции, т.е. усечения.
